華東師大版2024七年級數(shù)學上冊重難點突破：與絕對值有關(guān)的化簡求值問題

重難點突破02與絕對值有關(guān)的化簡求值問題

題型大集合

根據(jù)字母的取值范圍化簡求值

已知點在數(shù)軸的位置化簡求值

化簡|x|/X型絕對值

與絕對值有關(guān)的化簡求值問題

利用零點分段法化簡求值

解含絕對值方程

與化簡求值有關(guān)的新定義問題

題I型I大I過I即

題型一根據(jù)字母的取值范圍化簡求值

1

1.（2024七年級下?北京?專題練習）己知一化簡|2—比|—|工一3|=.

2.（23-24七年級上?江蘇南通?期末）當1＜久＜5時，化簡：|5-x|+\x-1\=.

3.（23-24七年級下,江蘇南通?階段練習）已知|加=—巾，化簡|m—1|—|m—2|所得結(jié)果（）

A.—1B.1C.2TTI—3D.3—2/71

4.（2024七年級?全國?競賽）代數(shù)式|3久+2|+|2久一1|化簡后的結(jié)果不可能是（）

A.—5%—1B.%+3C.5%+1D.—x—3

題型二已知點在數(shù)軸的位置化簡求值

1.（23-24七年級上?福建福州?期末）已知數(shù)a,6,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡|a+-|-3c|--c|

的值是（）

A.—2cB.4cC.2cD.a+4c

2.（23-24六年級下?全國?假期作業(yè)）已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|磯=網(wǎng).

I]“I叩[”1

鬻5~a?_

⑴求a+b的值.

（2）化簡|a|—|a+b|一|c-b|一|一b|.

3.（2024七年級?全國?競賽）已知在數(shù)軸上與實數(shù)a、b、c對應(yīng)的點如圖所示，則化簡|a+—|a—6|+

\b—c\—|a|的結(jié)果為.

--1---------1->

c00a

4.（23-24七年級上?廣東廣州?期末）有理數(shù)a,b,c表示的點在數(shù)軸上的位置如圖所示：

?111A

ab0c

（1片+號+喘的值為-

（2）化簡|a+c\—\c—b\—2\b+a\

題型三化簡岡/x型絕對值

1.（23-24八年級下?河南駐馬店?階段練習）已知久+y+z=0,xyz0,則就'的值

是—.

2.（2024七年級?全國?競賽）已知在數(shù)軸上與實數(shù)a、b、c對應(yīng)的點如圖所示，則昌-恐+曷+溪崎

的值為.

岬可U.IIB1U（1U薄

幌>91L

3.（23-24七年級上?河南新鄉(xiāng)?期中）我們知道：在研究和解決數(shù)學問題時.當問題所給對象不能進行統(tǒng)一

研究時，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行

研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為"分類討論的思想”，這一

數(shù)學思想用處非常廣泛，我們經(jīng)常用這種方法解答問題.

例如，我們在討論的值時，就會對a進行分類討論，當時，|a|=a；當aVO時，|a|=-a；現(xiàn)在請

你利用這一思想解決下列問題：

⑴填空：而=（。。0）；而+由=（。力。0）

abc

（2）若1aM=-a%c40,求■而+西+面的值.

4.（23-24七年級上?江蘇蘇州?階段練習）分類討論是重要的數(shù)學方法，如化簡陽，當久>0時，因=久；當

%=0時，|%|=0；當］V0時，|%|=—%.求解下列問題：

⑴當先=—3時，由值為,當％=3時，后的值為,當x為不等于。的有理數(shù)時，向的值為

(2)已知％+y+z=。，xyz>0,求官+而■一面的值；

⑶已知xlfx2f…,'2021,%2022H2023,這2023個數(shù)都是不等于。的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有幾個正數(shù)，m=

荒+荒+…+展篙+黃著+意著，貝U加的值為一(請用含〃的式子表示)

題型四利用零點分段法化簡求值

1.(23-24七年級上?廣西梧州?期中)綜合與實踐：

%(%>0)

0(%=0),現(xiàn)在我們用這一個結(jié)論去探究

{—%(%<0)

含有絕對值代數(shù)式的化簡方法與過程.

【實踐發(fā)現(xiàn)】以化簡代數(shù)式|x+l|+|比一2|為例，我們可令x+l=o和X—2=0,分別求得久=—1,%=2

(這里，我們稱一1,2分別為|x+l|與|x—2|的零點值).在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x=—1和％=2可將全體

有理數(shù)范圍分成不重復(fù)且不遺漏的3種情況：①久<—1,@-1<%<2,(3)x>2.接下來就可分情況來

完成化簡了.解題過程如下：

解：令x+l=0和刀一2=0,分別求得%=-1,x=2.

①)當％V—1時，原式——(%+1)—(%—2)=-2x+1；

②當一1<%<2時，原式=x+l—(%—2)=3；

③當%>2時，原式=x+l+x—2=2x—1.

(—2%+1(%〈—1)

綜上討論，原式=3(-1<%<2).

I2x—1(%>2)

【問題解決】通過以上探究，解決以下問題：

①求出|x+2|和|x—4|的零點值；

(2)化簡代數(shù)式|久+2|+I%—4|.

>0)

0(%=0)

—%(%<0)

現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡含絕對值的代數(shù)式.例如化簡代數(shù)式國+l|+|x-2|時，可令X+1=0

和久一2=0,分別求得x=—1和％=2(稱一1,2分別為|%+1|與|x—2|的零點值).在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值

x=-1和x=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x<-1,-1<%<2,%>2.從而在化

簡|x+l|+|x—2|時，可分以下三種情況：①當工<1時，原式=—Q+l)—Q—2)=—2x+l；②當

—lWx<2時，原式=(久+1)—(久一2)=3；③當久N2時，原式=(x+1)+(久一2)=2久一1.通過以上

閱讀，請你解決問題：

(l)|x-3|+|x+引的零點值是.方程|久-3|+|x+4|=9的解為.

(2)化簡代數(shù)式|久+2|+|%-5|；

3.(23-24七年級上?江蘇揚州?階段練習)閱讀理解：

在形如2|x—3|=3|久—3|—2乂+9這一類含有絕對值的方程時，為了去絕對值符號，我們發(fā)現(xiàn)兩個絕對值符

號里面是相同的"％-3”,可以根據(jù)絕對值的意義先對"x"的取值分成x<3和x>3兩種情況，再去絕對值符

號：

①當％<3時，原方程可化為2(3—x)=3(3—x)—2x+9,得x=4,不符合久<3,舍去；

②當xN3時，原方程可化為2(%—3)=3(%—3)—2久+9,得久=6,符合

綜合可得原方程的為x=6.

(1)方法應(yīng)用：解方程：2|X-5|=2X+|5-%|

(2)拓展應(yīng)用：方程：|2—用—3|x+l|=x—9；(提示；可以考慮先對"x"的取值進行分類，去了一個絕對值

符號后；再對"x"的取值進行分類，去掉另一個絕對值符號)

⑶遷移應(yīng)用：①求阿一8|++2023|最小值為.

0|x-6|+|x+7|+|x+8|+|x—9|最小值為.

題型五解含絕對值方程

1.(24-25七年級上?全國?假期作業(yè))數(shù)學實驗室：點42在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,4、2兩點之間

的距離表示為4B,在數(shù)軸上/、8兩點之間的距離4B=|a—b].

域.瞿

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示x和一3的兩點之間的距離表示為.

⑵若|x+3|=4,則％=.

⑶|萬一3|一阿+21最大值為，最小值為.

2.(23-24七年級上?重慶江北?期中)數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a].數(shù)軸上

表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點距離記作|a—6|,如|3-5|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，

|3+5|=|3-(-5)|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)一5的點的距離，|a-3|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與

表示數(shù)3的點的距離.

根據(jù)以上材料回答下列問題：(將結(jié)果直接填寫在相應(yīng)位置，不寫過程)

(1)若|x-1|=|x+1|,貝卜=；若|x-2|=|x+1|,則％=.

⑵若|x—2|+|久+1|=3,貝漢能取到的最小值是,最大值是.

(3)當|x—2|+|%+1|++31到取最小值時,則久的值為,.

⑷張一2|+#+1］的最小值為.

⑸若|久一2|+|x+l|=9,求K的值.

3.(23-24七年級上?江西南昌?期中)同學們都知道，|5—(—2)|表示5與一2之差的絕對值，實際上也可理

解為5與一2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離.試探索：

(1)求|5—(—2)|=.

⑵找出所有符合條件的整數(shù)支，使得|x+5|+|%-2|=7這樣的整數(shù)是.

⑶由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x,|x+3|+|x—6|是否有最小值？如果有寫出取小值，如果沒有說明理

由.

⑷由以上探索是否存在》,使|x+3|+|x—6|=13,如果有寫出x的值，如果沒有說明理由.

⑸由以上探索是否存在居使|x+3|+|x—6|=2023,如果有寫出x的值，如果沒有說明理由.

4.(23-24七年級上?四川成者B?階段練習)對于有理數(shù)x,a,b,t,若|x—a|+|久一川=如則稱a和6關(guān)于

x的"美好關(guān)聯(lián)數(shù)"為例如，|1一2|+|1-3|=3,則2和3關(guān)于1的"美好關(guān)聯(lián)數(shù)"為3.

⑴—3和5關(guān)于2的"美好關(guān)聯(lián)數(shù)"為；

(2)若一2和3關(guān)于x的"美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為7,求x的值；

⑶若1和2關(guān)于x的"美好關(guān)聯(lián)數(shù)"為心3和4關(guān)于x的"美好關(guān)聯(lián)數(shù)"為％5和6關(guān)于x的"美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為

t3,101和102關(guān)于x的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為"1，????

①tl+以的最小值為；

②求tl+12+13-+---+151的最小值.

5.(2023七年級上?全國?專題練習)結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)探究：

①數(shù)軸上表示7和3的兩點之間的距離是;

②數(shù)軸上表示一4和一9的兩點之間的距離是；

③數(shù)軸上表示一3和5的兩點之間的距離是.

(2)歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)心和數(shù)"的兩點之間的距離等于.

(3)應(yīng)用：

①如果表示數(shù)。和3的兩點之間的距離是6,則可記為：|a—3|=6,那么a=.

???i__]A

-5-4-3-2-1012345

②若數(shù)軸上表示數(shù)Q的點位于一5與2之間，求|a+5|+|a-2|的值.

③當。何值時，|a+5|+|a—1|+|a—2|的值最小，最小值是多少？請說明理由.

-5-4-3-2-1012345

6.(23-24七年級上?江蘇無錫?階段練習)結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

已知表示一3和2兩點之間的距離是5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)冽和數(shù)〃的兩點之間的

距離等于—n\

-5-4-3-2-1012345

⑴如果|a+2|=3,那么a=；

⑵利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點x,使得|%+2|+|%—引=6,這些點表示的數(shù)的和是；

(3)當。=時，|a+5|+|a+1|+|a—4|的值最小，最小值是.

⑷若有理數(shù)Q、b、。滿足|a—加=2,g—c|=6,貝!J|a-c|=.

題型六與化簡求值有關(guān)的新定義問題

1.(22-23七年級上?廣東江門?期中)對于有理數(shù)a,b,定義一種新運算"?",規(guī)定a?6=|a+b|+

\a-b\.

—?-----------------------1---------------1---------------?

b0a

(1)若|a—2|+(6