七年級數(shù)學上冊-8.2解二元一次方程組 解析版

.2解二元一次方程組【考點梳理】考點一：代入消元法考點二：加減消元法考點三：二元一次方程組的特別的解法考點四：二元一次方程組的綜合考點一、二元一次方程組的解法——消元（整體思想就是：消去未知數(shù)，化“二元”為“一元”）1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為：①、從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；②、將變形后的關(guān)系式代入另一個方程（不能代入原來的方程哦?。?，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③、解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來的方程組中任一個方程）中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤、把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解。考點二、加減消元法兩個二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r，將兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法。注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為：①、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；②、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③、解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；④、將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，并把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解。題型一：代入消元法1．（23-24七年級下·河北邢臺）用代入法解方程組時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了代入法解二元一次方程組，把①代入②得，，整理后即可得答案．熟練掌握代入法是解題的關(guān)鍵．【詳解】把①代入②得，，整理得，，故選：B．2．（2024七年級下·全國·專題練習）利用帶入消元法解方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法與代入消元法是解題關(guān)鍵，（1）利用代入消元法即可解方程求解；（2）利用代入消元法即可解方程求解即可．【詳解】（1）解：，把②代入①得，解得，把代入②得，所以方程組的解為；（2）解：，由①得，把③帶入②中得解得，把代入③得，解得，所以方程組的解為．3．（23-24七年級下·山東濟寧·期中）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法并靈活運用是解答的關(guān)鍵．（1）先整理原方程組，再利用代入消元法解方程組即可；（2）先整理方程組，再利用代入消元法解方程組即可．【詳解】（1）解：原方程組化為，將①代入②中，得，則，將代入①中，得，∴原方程組的解為；（2）解：原方程可為，將①代入②中，得，則，將代入①中，得，∴原方程組的解為．題型二：加減消元法4．（23-24七年級下·重慶·階段練習）用加減法解方程組下列解法正確的是（

）A．，消去x． B．，消去yC．，消去x． D．，消去y【答案】D【分析】本題考查加減消元法解二元一次方程組，根據(jù)等式的可加性直接求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，消去x，故A選項不符合題意，，消去y，故B選項不符合題意，，消去x，故C選項不符合題意，，消去y，故D選項符合題意，故選：D．5．（23-24七年級下·海南省直轄縣級單位·階段練習）解方程組(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加減消元法和代入消元法兩種，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）用加減消元法求解即可；（2）用加減消元法求解即可．【詳解】（1），，得，∴，把代入①得，，∴，∴；（2），，得，∴，把代入①得，，∴，∴．6．（23-24八年級上·山東濟南·期末）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查加減消元法解二元一次方程組，掌握加減法的運算方法是解題的關(guān)鍵．（1）運用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）整理為系數(shù)相同后，再運用加減消元法即可求解．【詳解】（1）解：①②得，，把的值代入②得，，∴原方程組的解為；（2）解：得，，解得，，把的值代入①得，，∴原方程組的解為．題型三：二元一次方程組的特別的解法7．（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）已知關(guān)于，的方程組的解是．則關(guān)于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解二元一次方程組，利用換元法，得到的解為，進一步求解即可．【詳解】解：可化為：，∵關(guān)于，的方程組的解是，∴的解為：；解得：．故選D．8．（23-24七年級下·吉林長春·階段練習）已知方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是觀察題目特點，靈活運用換元法求解．兩個方程組除未知數(shù)不同外其余都相同，所以可用換元法進行解答，即可獲得答案．【詳解】解：對于方程組，可設(shè)，，可得，結(jié)合題意可知，解得．故選：C．9．（23-24七年級下·黑龍江綏化·開學考試）若方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)加減法，可得的解，再根據(jù)解方程，可得答案，解決本題的關(guān)鍵是先求的解，再求的值．【詳解】解：∵方程組的解是，∴方程組的解是，解得，故選：C．題型四：二元一次方程組的綜合10．（23-24七年級下·甘肅天水）閱讀探索（1）知識積累解方程組解：設(shè)，，原方程組可變?yōu)?，解方程組，得即所以有此種解方程組的方法叫換元法．（2）拓展提高運用上述方法解方程組：【答案】【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，設(shè)，則原方程組可變?yōu)?，解方程組得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)，則原方程組可變?yōu)?，解得，∴，∴?1．（2024七年級下·全國·專題練習）閱讀下列材料，學習完“代入消元法”和“加減消元法”解二元一次方程組后，聰明的小燕在解方程組時，采用了一種“平均值換元法”，解法如下：由①可設(shè)，，即，，代入②，得，解得．所以，．所以原方程組的解為．請你模仿小燕的“平均值換元法”解方程組：．【答案】【分析】本題考查解二元一次方程組及解一元一次方程，結(jié)合已知條件設(shè)得，是解題的關(guān)鍵．由題意設(shè)，，然后利用含的代數(shù)式分別表示出，，再將其代入第二個方程中求得的值，最后將其代入表示，的含的代數(shù)式中即可求得答案．【詳解】解：，由①可設(shè)，，則，，將其代入②得：，解得：，則，，故原方程組的解為．12．（2024七年級下·全國·專題練習）用換元法解二元一次方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查換元法解二元一次方程組，觀察方程組，（1）中都含有，，考慮運用換元法解原方程組，理解換元的意義是正確解答的關(guān)鍵；（2）中都含，，考慮運用換元法解原方程組，理解換元的意義是正確解答的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，設(shè)，，則，解這個方程組得，則，解這個方程組得，原方程組的解為．（2）解：，設(shè)，，則，解這個方程組得，則，解這個方程組得，原方程組的解為．一、單選題13．（23-24七年級下·海南省直轄縣級單位·階段練習）如果與是同類項，則m、n的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了利用同類項的定義求字母的值，解二元一次方程組，熟練掌握同類項的定義是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)同類項的定義求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所給代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵與是同類項，∴，∴．故選：C．14．（23-24七年級下·河南洛陽·階段練習）已知方程組，則的值為（）A． B．0 C．4 D．6【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，由①②得，利用整體思想進行求解即可．【詳解】解：，①②得：，，，故選：D．15．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）若方程組的解也是方程的解，則k的值是（

）A． B．10 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了解二元一次方程組及二元一次方程組的解，熟練掌握解二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．先解二元一次方程組，再將二元一次方程組的解代入，求解即可得到答案．【詳解】解方程組得：代入，得，解得：，故選：B．16．（23-24七年級下·浙江嘉興·階段練習）已知關(guān)于x，y的方程組給出下列結(jié)論：①當時，方程組的解也是的解；②無論取何值，，的值不可能是互為相反數(shù)；③，都為自然數(shù)的解有對；④若，則．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查二元一次方程的解，二元一次方程組的解，解二元一次方程組；①根據(jù)消元法解二元一次方程組，然后將解代入方程即可求解；②根據(jù)消元法解二元一次方程組，用含有字母的式子表示、，再根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加為即可求解；③根據(jù)試值法求二元一次方程的自然數(shù)解即可得結(jié)論；④根據(jù)整體代入的方法即可求解．【詳解】解：，得，將代入②得，方程組的解為∴當時，，而，①正確；②，當時，②不正確；③∵、，為自然數(shù)，∴或或或，③正確；④，解得，④正確．故選：C17．（23-24七年級下·吉林長春·階段練習）解下列方程組：(1)

（代入法）(2)（加減法）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解二元一次方程組．（1）按照代入法的步驟解二元一次方程組即可．（2）按照加減消元法的步驟解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：由①得：，把代入②得：，解得：，∴，∴方程組的解為：．（2）由①②得：，解得，把代入①得：，解得：，∴方程組的解集為：．18．（2024七年級下·全國·專題練習）按一定規(guī)律排列方程組和它的解的對應(yīng)關(guān)系如下：，，，．……，，，．……(1)依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將第4個方程組和它的解直接填入橫線處．(2)猜想第n個方程組和它的解并驗證．(3)若方程組的解是，求m的值，并判斷該方程組是否符合（1）中的規(guī)律．【答案】(1)(2)見解析(3)，它不符合（1）中的規(guī)律【分析】本題考查規(guī)律探索，觀察方程組，探索出方程未知數(shù)系數(shù)、常數(shù)與解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知的方程組，觀察方程未知數(shù)系數(shù)、常數(shù)與解的關(guān)系，確定第4個方程組，求解即可；（2）通過觀察，知第n個方程組及其解，將解代入方程組驗證；（3）將解代入方程求得參數(shù)值，故可知本方程組不符合規(guī)律．【詳解】（1）解：解方程組，得；（2）解：猜想第n個方程組為，解為，驗證如下：把代入得，，所以成立；（3）解：將代入，解得，即方程組為，所以它不符合（1）中的規(guī)律．一：單選題19．（23-24七年級下·山東聊城）如果是方程組的解，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】此題考查了二元一次方程組的解和解方程組，根據(jù)方程組的解得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組得到a、b的值，代入代數(shù)式即可得到答案.【詳解】解：∵是方程組的解，∴①＋②得，解得，把代入①得，解得，∴，故選：C20．（2024·浙江寧波·一模）表示小于a的最大整數(shù)，表示不小于b的最小整數(shù)，若整數(shù)x、y滿足，則的平方根為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，平方根，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意先求出和的值，從而可得，然后把的值代入式子中進行計算，即可解答．【詳解】解：由題意得：，解得：，∵為整數(shù)，∴，∴，∴的平方根是，故選：D．21．（23-24七年級下·浙江嘉興·階段練習）關(guān)于x，y的方程組的解是，則關(guān)于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解的定義，令，則，進而根據(jù)題意得到關(guān)于s，t的方程組的解是，則，解之即可得到答案．【詳解】解：令，∴，∴，∵關(guān)于x，y的方程組的解是，∴關(guān)于s，t的方程組的解是，∴，∴，故選：C．22．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習）若方程組的解為，則方程組的解為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二元一次方程組的解及解二元一次方程組．對方程組變形，然后根據(jù)二元一次方程組解的定義，利用整體思想求解．【詳解】解：∵方程組的解為，∴，∴方程組的解為，故選：C．23．（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）對x、y定義一種新運算T，規(guī)定：（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算．例如：，若，，則下列結(jié)論正確的有（

）個．①，；②若，則；③若，則m、n有且僅有3組整數(shù)解；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，正確理解題目所給的新定義是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)題意可得，求解即可判斷結(jié)論①；由可得，結(jié)合即可判斷結(jié)論②；由可得，整理可得，結(jié)合均為整數(shù)可知，進一步求得的值，即可判斷結(jié)論③．【詳解】解：根據(jù)題意，，，∴，解得，故結(jié)論①正確；∵，即，∵，∴，故結(jié)論②正確；∵，即，∵，∴，又∵均為整數(shù)，∴，∴或，∴滿足條件的值為或，故結(jié)論③錯誤．故選：C．24．（23-24七年級上·山東濱州·期末）以下解方程組的步驟正確的是（

）A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得C．加減法消去n，得 D．加減法消去m，得【答案】A【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，掌握代入消元法與加減消元法解方程組是解本題的關(guān)鍵．利用代入法或加減法逐一分析每個選項即可得到答案．【詳解】解：A、代入法消去m，由①得，故符合題意；B、代入法消去n，由②得，故不符合題意；C、加減法消去n，得，故不符合題意；D、加減法消去m，得，故不符合題意；故選A．二、填空題25．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如果與互為相反數(shù)，則．【答案】【分析】本題考查絕對值非負性，二次根式的非負性，相反數(shù)，解二元一次方程組，根據(jù)互為相反數(shù)和為0，結(jié)合非負式子和為0它們分別等于0列方程組求解即可得到答案【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，∴，∵，，∴，解得：，∴，故答案為：．26．（2024七年級下·浙江·專題練習）若二元一次方程組的解為，則的值．【答案】1【分析】本題考查了二元一次方程組的解，代數(shù)式求值．熟練掌握二元一次方程組的解，代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．將代入原方程組得：，得：，然后計算求解即可．【詳解】解：將代入原方程組得：，得：，∴．故答案為：1．27．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于，的方程組，（1），互為相反數(shù)時，；（2）；（3）若，滿足，則．【答案】；；．【分析】（）解出二元一次方程組，然后根據(jù)，互為相反數(shù)即可求出的值；（）解出二元一次方程組，然后代入求值即可；（）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法逆運算求出的值，把，代入即可求出的值；；本題考查了解二元一次方程組，冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，有理數(shù)的乘方，熟練掌握解二元一次方程組的方法和步驟及運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）由，解得：，∵，∴，解得：，故答案為：；（）由，解得：，∴，故答案為：；（）由，解得：，∵，∴，∴，則，解得：，∴，故答案為：．28．（23-24七年級下·浙江杭州·階段練習）已知方程組的解為，則方程組的解為．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)方程組的特點，理解整體思想是解題關(guān)鍵．先將方程變形為，根據(jù)方程組的解為得到，即可求出．【詳解】解：變形為，∵方程組的解為，∴，∴．故答案為：29．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習）已知關(guān)于的二元一次方程組（是常數(shù)），若不論取什么實數(shù)，代數(shù)式（是常數(shù)）的值始終不變，則，.【答案】【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，將方程組中的兩個方程變形后聯(lián)立消掉a即可得出結(jié)論．【詳解】解：得，，解得，，把代入①，得，，∴，∵不論取什么實數(shù)，代數(shù)式（是常數(shù)）的值始終不變，∴，，故答案為：，三、解答題30．（23-24七年級下·山東日照·階段練習）解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組；（1）先整理方程組，然后根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解；（2）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，即可求解．【詳解】（1）解：原方程組可化為得，解得：，將代入①得，，解得：，所以方程組的解為：（2）解：得，解得：將代入①得，，解得：所以方程組的解為：31．（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習）閱讀以下材料：解方程組，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，這種解法稱為“整體代入法”．請你用這種方法解方程組：．【答案】．【分析】本題考查的是在解二元一次方程組時整體思想的應(yīng)用．仿照所給的題例先把①變形，再代入②中求出y的值，進一步求出方程組的解即可．【詳解】解：由①得③，即，把代入②，得，解得，把代入③得，解得．∴．32．（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習）先閱讀材料，然后解方程組．材料：解方程組：，由①，得．③把③代入②，得，解得．把代入③，得．原方程組的解為；這種方法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請用這種方法解方程組：．【答案】．【分析】本題考查了解二元一次方程組．根據(jù)材料的方法，利用整體代入法求解即可．【詳解】解：由①，得．③把③代入②，得，解得．把代入③，得．原方程組的解為．33．（23-24七年級下·河南南陽·階段練習）規(guī)定：形如關(guān)于x、y的方程與的兩個方程互為共軛二元一次方程，其中；由這兩個方程組成的方程組叫做共軛方程組．（1）方程的共軛二元一次方程是________________；（2）若關(guān)于x、y的方程組為共軛方程組，則________，________；（3）若方程中x、y的值滿足下列表格：則這個方程的共軛二元一次方程是________；x0y02（4）解下列方程組（直接寫出方程組的解即可）：的解為________；的解為________；的解為________．拓展：共軛方程組的解是________________．【答案】（1）；（2）1；1；（3）；（4）；；；拓展：【分析】本題主要考查了解二元一次方程組