七年級數(shù)學(xué)上冊-專題強(qiáng)化：平行線?？寄Ｐ蜌w納 解析版

專題強(qiáng)化：平行線?？寄Ｐ蜌w納【題型歸納】題型一：M型（含鋸齒型）1．（2023下·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，結(jié)合，兩式相加即可求出．【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，求出是解題的關(guān)鍵．2．（2021下·重慶北碚·七年級西南大學(xué)附中校考期末）如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．【詳解】解：①過點F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識點，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關(guān)鍵．3．（2023下·山東聊城·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線，、和、分別交于點、、、，點在直線或上且不與點、、、重合．記，，．

(1)若點在圖（1）位置時，求證：；(2)若點在圖（2）位置時，寫出、、之間的關(guān)系并給予證明．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】此題兩個小題的解題思路是一致的，過作直線、的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和、相等的角，然后結(jié)合這些等角和的位置關(guān)系，來得出、、的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）過作，

∵，∴，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：、；∵，∴．（2）關(guān)系：．過作，

∵，∴，同（1）可證得：；∵，∴，即．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，能夠正確多出輔助線是解題關(guān)鍵．題型二：筆尖型4．（2023下·重慶九龍坡·七年級重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線，，分別為直線、上的點，為兩平行線間的點，連接、，過點作平分交直線于點，過點作，交直線于點，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作，則，由平行線的性質(zhì)得，NG平分和得，再由可變形推得．【詳解】解：過點作，則，如圖所示：，，，，平分，，，，，，．故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理的應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．5．（2021下·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個數(shù)為3，故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．6．（2021下·廣東東莞·七年級東莞市光明中學(xué)?？计谥校?）如圖（1），猜想與的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，不需要說明理由．

【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）圖（3），圖（4）【分析】（1）過點P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；（2）過點P作，由，得到，從而得到結(jié)論；（3）由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得與的關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想．理由：過點P作，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由：如圖，過點P作，

∵，∴，∴，∴；（3）如圖（3）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即；如圖（4）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三：雞翅型7．（2023上·廣東廣州·八年級?？计谥校靖兄骄俊咳鐖D①，已知，，點在上，點在上．求證：．【類比遷移】如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知，，，則°．【答案】【感知探究】證明見解析；【類比遷移】；【結(jié)論應(yīng)用】20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過點作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過作，，∵，∴，，，故答案為：20．8．（2021下·廣東河源·七年級河源市第二中學(xué)?？计谥校┮阎本€，A是l1上的一點，B是l2上的一點，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點P．(1)如果P點在C，D之間運動時，問，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)若點P在C，D兩點的外側(cè)運動時（P點與C，D不重合），試探索，，之間的關(guān)系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）【答案】(1)(2)當(dāng)點在直線上方時，；當(dāng)點在直線下方時，．【分析】（1）過點作，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）按點的兩種情況分類討論：①當(dāng)點在直線上方時；②當(dāng)點在直線下方時，同理（1）可得、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．過點作，如圖1所示．，，，，，，．（2）解：結(jié)論：當(dāng)點在直線上方時，；當(dāng)點在直線下方時，．①當(dāng)點在直線上方時，如圖2所示．過點作．，，，，，，．②當(dāng)點在直線下方時，如圖3所示．過點作．，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．9．（2020下·湖北武漢·七年級?？计谥校┤鐖D，已知：點A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點P，，直接寫出．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）過點C作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出、，據(jù)此可得；（2）過點Q作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出，結(jié)合（1）的結(jié)論可得出；（3）由（2）的結(jié)論可得出①，由可得出②，聯(lián)立①②可求出的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出的度數(shù)，將其代入中可求出結(jié)論．【詳解】（1）在圖①中，過點C作，則．

∵，∴，∴．（2）在圖2中，過點Q作，則．

∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線．題型四：骨折型10．（2020上·貴州六盤水·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)．過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差，求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點作，，，又，，，，．故答案為：．11．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考期中）已知直線，P為平面內(nèi)一點，連接、．

(1)如圖1，已知，，求的度數(shù)；(2)如圖2，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出證明過程．(3)如圖3，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可求出的度數(shù)；（2）過點作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，又，即可得出；（3）交于點，由，得出，由得出，由，得出，由對頂角相等得出，由角平分線的性質(zhì)得出，即，由（2）得：，代入計算即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖1，過點作，

，，，，，，，；（2）關(guān)系：證明：如圖2，過點作，則，

，，，，，故答案為：；（3）如圖3，交于點，

，，，，，，，，平分，，，由（2）得：，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2021下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．【分析】（1）過點A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補(bǔ)角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過點A作AD∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．【專題強(qiáng)化】一、單選題13．（2021下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內(nèi)任意一點（點E不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由題意根據(jù)點E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計算求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α．（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β．（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β．（5）（6）當(dāng)點E在CD的下方時，同理可得∠AEC=α-β或β-α．綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．故選：D．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)的運用，解題時注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及分類討論．14．（2016上·甘肅張掖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作直線，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而即可求得．【詳解】解：如圖，作直線，，

∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知，，，則的度數(shù)是（

）A．80° B．120°C．100° D．140°【答案】C【分析】過E作直線MN//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠1，進(jìn)而可求出∠2，然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得MN//CD，根據(jù)平行線性質(zhì)從而求出∠C．【詳解】解：過E作直線MN//AB，如下圖所示，∵M(jìn)N//AB，∴∠A+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵M(jìn)N//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點睛】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵．16．（2021上·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，點在上，，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點E在AC上的任意一點，∴AE無法判斷等于CE，∠BED無法判斷等于45°，故（1）、（4）錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．17．（2020下·重慶·七年級重慶南開中學(xué)?？计谀┤鐖D，直線，在中，，點落在直線上，與直線交于點，若，則的度數(shù)為（

）.A．30° B．40° C．50° D．65°【答案】B【分析】由題意過點B作直線，利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點B作直線，∵直線m//n，，∴，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵，∴∠1=∠4=40°．故選：B．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內(nèi)其外一條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關(guān)鍵．18．（2020下·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過作輔助線,過點C和點D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據(jù)ABEF,可得ABEFCGDH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得γ+β-α=90°,進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖,過點C和點D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．19．（2020下·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】過點E作EF∥AB，則EF∥CD，然后通過平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖，

∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．20．（2019·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°【答案】C【分析】根據(jù)題意作直線l平行于直線l1和l2，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：作直線l平行于直線l1和l2．，．，．故選C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題關(guān)鍵．21．（2016·浙江杭州·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．二、填空題22．（2023下·陜西西安·七年級西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2所示的是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知，，，，則的度數(shù)是．【答案】/80度【分析】過點F作，因為，所以，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出，，進(jìn)而可求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：如圖，過點F作，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴．故答案為．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計算．23．（2023下·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，將為的直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，則的度數(shù)為．【答案】【分析】過點B作交于點D，可證，利用平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得．【詳解】解：如圖，過點B作交于點D．中，，．，．，，，，，故按為：．【點睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，平行公理的推論，三角板中的角度計算等知識點，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．24．（2022上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．25．（2020下·山西·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，若直線，，，則的度數(shù)為．【答案】/150度【分析】如圖，先根據(jù)直線，得出，然后根據(jù)，得出，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，點在直線上，點、在直線上，點在、之間，為，直線，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)與判定定理是解本題的關(guān)鍵．26．（2021下·貴州安順·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=°．【答案】【分析】過點P作平行于AB的直線，運用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個角的和；分別過點P，Q作AB的平行線，運用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個角的和；同樣作輔助線，運用（n-1）次平行線的性質(zhì)，則n個角的和是．【詳解】解：（1）如圖，過點P作一條直線PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如圖，過點P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n-2）條輔助線，運用（n-1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n-1）．故答案為：【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．三、解答題27．（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）已知，平分交射線于點E，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點F是射線上一點，過點F作交射線于點G，點N是上一點，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，點P為延長線上一點，平分交于點M，若平分，，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用角平分線的定義可得，然后再利用等量代換可得，從而利用平行線的判定，即可解答；（2）過點E作，可知，利用平行線的性質(zhì)可得，，由，可知，由，可證得結(jié)論；（3）設(shè)，利用角平分線的定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直定義可得，最后利用（2）的結(jié)論可得，再利用角平分線的定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，，再根據(jù)已知，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）證明：過點E作，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，由（2）得：，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，∴的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)及角平分線的定義，垂直定義，熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2023下·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】過點作，根據(jù)，，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求的度數(shù)．【詳解】解：過點作，∵，∴，∴，，∴，【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線及靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)解決問題．29．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知，連接A，C兩點．(1)如圖1，與的平分線交于點E，則等于度；(2)如圖2，點M在射線反向延長線上，點N在射線上．與的平分線交于點E．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線，射線上的點，與的平分線交于點E．設(shè)，請直接寫出圖中的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)90(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用角平分線的定義求出，即可求出答案；（2）過點E作，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義求出，即可得到答案；（3）由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，∴，∵分別平分，∴，∴，∴；故答案為：90．（2）如圖2，過點E作，∵，∴，∴，∵分別平分，∴，∴；（3）①如圖3，過點E作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如圖4，過點E作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯角相等．30．（2022上·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．（2）如圖2，，點為直線間的一點，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．（3）如圖3，與相交于點，點為內(nèi)一點，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）過點作，可得，，根據(jù)即可求解；（2）過點作，可求出，過點作，可求出，由此即可求解；（3）延長交于點，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點作，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴．（2），理由如下：過點作，∵，∴，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，同理，過點作，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即．（3）如圖，延長交于點，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，理解平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2022下·廣東東莞·七年級東莞市光明中學(xué)?？计谥校╅喿x下面內(nèi)容，并解答問題．已知：如圖1，，直線分別交，于點，．的平分線與的平分線交于點．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點，．點在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見解析(2)①；②結(jié)論：【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解決問題即可；（2）①利用基本結(jié)論求解即可；②利用基本結(jié)論，，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過作，，，，,，平分，平分，，，，，；（2）解：①如圖2中，由題意，，平分，平分，，，故答案為：；②結(jié)論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．32．（2022下·山東聊城·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM