《機械制圖》期末考試試卷答案

《機械制圖》期末考試試卷答案第一篇：《機械制圖》期末考試試卷答案在半剖視圖中半個視圖與半個剖視圖的分界線用（）。（A）粗實線(B)細實線(C)細點畫線(D)波浪線答案：（C）局部放大圖的標注中，若被放大的部分有幾個，應(yīng)用（）數(shù)字編號，并在局部放大圖上方標注相應(yīng)的數(shù)字和采用的比例。（A）希臘(B)阿拉伯(C)羅馬(D)中國答案：（C）尺寸應(yīng)該盡量標注在（D）上。A、主視圖B、俯視圖C、左視圖D、特征視圖六個基本視圖中最常用的是（）視圖。（A）主、右、仰(B)主、俯、左(C)后、右、仰(D)主、左、仰答案：（B）下圖的A-A剖面圖中，選出正確的斷面圖（）。在下圖中，選出正確的一組視圖（）。答案：C下面右圖用的是（）表示方法。（A）全剖（B）局部剖（C）移出剖面（D）重合剖面答案：C在下圖中選出正確的剖視圖。（）答案：C在下圖中選出正確的局部剖視圖。（）答案：B在下圖中選出正確的剖視圖。（）答案：C求作立體的相貫線。（12分）一.標注尺寸（數(shù)值從視圖中量取，比例1:1）（13分）分析下列螺紋畫法的錯誤,正確的打“√”,錯誤的打“×”。（8分）(×)(√)(×)(×)選擇正確的移出剖面圖（將正確的答案序號填入括號內(nèi)）（6分）(b)讀齒輪軸零件圖，在指定位置補畫A-A斷面圖，并回答下列問題。（15分）1．說明M12×1.5-6g含義：表示公稱直徑為12mm的細牙普通螺紋，M為螺紋代號，1.5為螺距,6g為中徑和頂徑的公差帶代號。2．說明含義：⊥表示垂直度，0.03為垂直度公差，A為基準符號。3．指出圖中的工藝結(jié)構(gòu)：它有2處倒角，其尺寸分別為C2和C1.5，有1處退刀槽，其尺寸為2×2。模數(shù)其余218齒數(shù)壓力角精度等級齒厚配對齒數(shù)8-7-7-3.142圖號齒數(shù)齒輪軸制圖校核比例數(shù)量材料第二篇：2018機械制圖答案一、填空【每小題3分，共39分】1B,2B,3A,4B,5B,6D,7C,8D,9A,10B11A,12A,13C二、在下列視圖中填寫三視圖的方位?！久靠?分，共36分】略三、根據(jù)以下兩個視圖，補畫左視圖?！竟?5分】三、已知各點的兩個投影，畫出其第三投影【共10分】略第三篇：離散數(shù)學(xué)期末考試試卷答案離散數(shù)學(xué)試題(B卷答案1）一、證明題（10分）1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R證明:左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置換)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)證明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命題公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。證明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))（P∧(Q∨R)）∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理證明題（10分）1）C∨D，(C∨D)E，E(A∧B)，(A∧B)(R∨S)R∨S證明：(1)(C∨D)E(2)E(A∧B)PPP(3)(C∨D)(A∧B)T(1)(2)，I(4)(A∧B)(R∨S)(5)(C∨D)(R∨S)(6)C∨DT(3)(4)，IP(7)R∨ST(5)，I2)x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))證明(1)xP(x)P(2)P(a)T(1)，ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))P(4)P(a)Q(y)∧R(a)T(3)，US(5)Q(y)∧R(a)T(2)(4)，I(6)Q(y)T(5)，I(7)R(a)T(5)，I(8)P(a)∧R(a)T(2)(7)，I(9)x(P(x)∧R(x))T(8)，EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))T(6)(9)，I四、某班有25名學(xué)生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網(wǎng)球，還有2人會打這三種球。而6個會打網(wǎng)球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數(shù)（10分）。解：A，B，C分別表示會打排球、網(wǎng)球和籃球的學(xué)生集合。則|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。先求|A∩B|。∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不會打這三種球的人數(shù)25-20=5。五、已知A、B、C是三個集合，證明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)（10分）。證明：∵xA-（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∧xC）（xA∧xB）∧（xA∧xC）x（A-B）∧x（A-C）x（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）六、已知R、S是N上的關(guān)系，其定義如下：R={|x，yN∧y=x}，S={|x，yN∧y=x+1}。求R、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。解：R={|x，yN∧y=x}R*S={|x，yN∧y=x+1}S*R={|x，yN∧y=（x+1）}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。七、設(shè)R={，，}，求r(R)、s(R)和t(R)（15分）。解：r(R)={，，，，，}12-12s(R)={，，，，，}R=R={，，}R={，，}R={，，}t(R)={，，，，，，，，}八、證明整數(shù)集I上的模m同余關(guān)系R={|xy(modm)}是等價關(guān)系。其中，xy(modm)的含義是x-y可以被m整除（15分）。證明：1）x∈I，因為（x-x）/m=0，所以xx(modm)，即xRx。2）x，y∈I，若xRy，則xy(modm)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y-x）/m=-k∈I，所以yx(modm)，即yRx。3）x，y，z∈I，若xRy，yRz，則（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v∈I，因此xRz。九、若f:A→B和g:B→C是雙射，則（gf）=fg（10分）。1-1-14325證明：因為f、g是雙射，所以gf：A→C是雙射，所以gf有逆函數(shù)（gf）：C→A。同理可推fg：C→A是雙射。因為∈fg存在z（∈g∈f）存在z（∈f∈g）∈gf∈（gf），所以（gf）=fg。1-1-1-1-1-1-1-1-1-1離散數(shù)學(xué)試題(B卷答案2）一、證明題（10分）1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T證明:左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等冪律)T(代入)2)xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))證明：xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))x(P(x)∨yQ(y))xP(x)∨yQ(y)xP(x)∨yQ(y)(xP(x)yQ(y))二、求命題公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式（10分）解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3三、推理證明題（10分）1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS證明：(1)R(2)R∨P(3)P(4)P(QS)(5)QS(6)Q(7)S(8)RS2)x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。證明：(1)x(A(x)yB(y))P(2)A(a)yB(y)T(1)，ES(3)x(B(x)yC(y))P(4)x(B(x)C(c))T(3)，ES(5)B(b)C(c)T(4)，US(6)A(a)B(b)T(2)，US(7)A(a)C(c)T(5)(6)，I(8)xA(x)C(c)T(7)，UG(9)xA(x)yC(y)T(8)，EG四、只要今天天氣不好，就一定有考生不能提前進入考場，當且僅當所有考生提前進入考場，考試才能準時進行。所以，如果考試準時進行，那么天氣就好（15分）。解設(shè)P：今天天氣好，Q：考試準時進行，A(e)：e提前進入考場，個體域：考生的集合，則命題可符號化為：PxA(x)，xA(x)QQP。(1)PxA(x)P(2)PxA(x)T(1)，E(3)xA(x)PT(2)，E(4)xA(x)QP(5)(xA(x)Q)∧(QxA(x))T(4)，E(6)QxA(x)T(5)，I(7)QPT(6)(3)，I五、已知A、B、C是三個集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分）證明：∵xA∩（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∨xC）（xA∧xB）∨（xA∧xC）x（A∩B）∨xA∩Cx（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、A={x1,x2,x3}，B={y1,y2}，R={,,}，求其關(guān)系矩陣及關(guān)系圖（10分）。七、設(shè)R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它們及R的關(guān)系圖（15分）。解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}R=R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}八、設(shè)R1是A上的等價關(guān)系，R2是B上的等價關(guān)系，A≠且B≠。關(guān)系R滿足：<，>∈R∈R1且∈R2，證明R是A×B上的等價關(guān)系（10分）。證明對任意的∈A×B，由R1是A上的等價關(guān)系可得∈R1，由R2是B上的等價關(guān)系可得∈R2。再由R的定義，有<，>∈R，所以R是自反的。對任意的、∈A×B，若R，則∈R1且∈R2。由R1對稱得∈R1，由R2對稱得∈R2。再由R的定義，有<，>4325∈R，即R，所以R是對稱的。對任意的、、∈A×B，若R且R，則∈R1且∈R2，∈R1且∈R2。由∈R1、∈R1及R1的傳遞性得∈R1，由∈R2、∈R2及R2的傳遞性得∈R1。再由R的定義，有<，>∈R，即R，所以R是傳遞的。綜上可得，R是A×B上的等價關(guān)系。九、設(shè)f：AB，g：BC，h：CA，證明：如果hgf＝IA，fhg＝IB，gfh＝IC，則f、g、h均為雙射，并求出f、g和h（10分）。解因IA恒等函數(shù)，由hgf＝IA可得f是單射，h是滿射；因IB恒等函數(shù)，由fhg＝IB可得g是單射，f是滿射；因IC恒等函數(shù)，由gfh＝IC可得h是單射，g是滿射。從而f、g、h均為雙射。由hgf＝IA，得f＝hg；由fhg＝IB，得g＝fh；由gfh＝IC，得h＝gf。－1－1－1－1－1－1離散數(shù)學(xué)試題(B卷答案3）一、（10分）判斷下列公式的類型（永真式、永假式、可滿足式）？(寫過程)1)P(P∨Q∨R)2)((QP)∨P)∧(P∨R)3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)解：1)重言式；2)矛盾式；3)可滿足式二、（10分）求命題公式（P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)的主析取范式，并求成真賦值。解：（P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨RP∧(Q∨R)∨P∨Q∨R(P∧Q)∨(P∧R)∨(P∨Q)∨R((P∨Q)∨(P∨Q))∨(P∧R)∨R1∨((P∧R)∨R)1m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7該式為重言式，全部賦值都是成真賦值。三、（10分）證明((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))(A∧(PQ))C證明：((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))((P∧Q∧A)∨C)∧(A∨(P∨Q∨C))((P∨Q∨A)∨C)∧((A∨P∨Q)∨C)((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))C((P∨Q∨A)∨(A∨P∨Q))C((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))C(A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))C(A∧((P∨Q)∧(P∨Q)))C(A∧((QP)∧(PQ)))C(A∧(PQ))C四、（10分）個體域為{1，2}，求xy（x+y=4）的真值。解：xy（x+y=4）x（（x+1=4）∨（x+2=4））（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+2=4））（0∨0）∧（0∨1）0∧10五、（10分）對于任意集合A，B，試證明：P(A)∩P(B)=P(A∩B)解：xP(A)∩P(B)，xP(A)且xP(B)，有xA且xB，從而xA∩B，xP(A∩B)，由于上述過程可逆，故P(A)∩P(B)=P(A∩B)六、（10分）已知A={1，2，3，4，5}和R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。解：r(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}s(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<3，2>，<4，3>，<4，5>}t(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<1，4>}七、（10分）設(shè)函數(shù)f：R×RR×R，R為實數(shù)集，f定義為：f()=。1)證明f是雙射。解：1），∈R×R，若f()=f()，即=，則x1+y1=x2+y2且x1-y1=x2-y2得x1=x2，y1=y2從而f是單射。2）∈R×R，由f()=，通過計算可得x=(p+q)/2；y=(p-q)/2；從而的原象存在，f是滿射。八、（10分）是個群，u∈G，定義G中的運算“”為ab=a*u*b，對任意a，b∈G，求證：也是個群。證明：1）a，b∈G，ab=a*u*b∈G，運算是封閉的。2）a，b，c∈G，（ab）c=（a*u*b）*u*c=a*u*（b*u*c）=a（bc），運算是可結(jié)合的。3）a∈G，設(shè)E為的單位元，則aE=a*u*E=a，得E=u，存在單位元u。4）a∈G，ax=a*u*x=E，x=u*a*u，則xa=u*a*u*u*a=u=E，每個元素都有逆元。所以也是個群。九、（10分）已知：D=，V={1，2，3，4，5}，E={<1，2>，<1，4>，<2，3>，<3，4>，<3，5>，<5，1>}，求D的鄰接距陣A和可達距陣P。解：1）D的鄰接距陣A和可達距陣P如下：A=01010001000001100000100001111111000011111101-1-1P=1111十、（10分）求葉的權(quán)分別為2、4、6、8、10、12、14的最優(yōu)二叉樹及其權(quán)。解：最優(yōu)二叉樹為權(quán)＝(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2＝148離散數(shù)學(xué)試題(B卷答案4）一、證明題（10分）1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T證明:左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等冪律)T(代入)2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x))證明：x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧P(x))x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))二、求命題公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式（10分）解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3三、推理證明題（10分）1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS證明：（1）R附加前提(2)R∨PP(3)PT(1)(2),I(4)P(QS)P(5)QST(3)(4),I(6)QP(7)ST(5)(6),I(8)RSCP2)x(P(x)∨Q(x))，xP(x)xQ(x)證明：(1)xP(x)P(2)P(c)T(1),US(3)x(P(x)∨Q(x))P(4)P(c)∨Q(c)T(3),US(5)Q(c)T(2)(4),I(6)xQ(x)T(5),EG四、例5在邊長為1的正方形內(nèi)任意放置九個點，證明其中必存在三個點，使得由它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過1/8（10分）。證明：把邊長為1的正方形分成四個全等的小正方形，則至少有一個小正方形內(nèi)有三個點，它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過小正方形的一半，即1/8。五、已知A、B、C是三個集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分）證明：∵xA∩（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∨xC）（xA∧xB）∨（xA∧xC）x（A∩B）∨xA∩Cx（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、={A1，A2，?，An}是集合A的一個劃分，定義R={|a、b∈Ai，I=1，2，?，n}，則R是A上的等價關(guān)系（15分）。證明：a∈A必有i使得a∈Ai，由定義知aRa，故R自反。a,b∈A，若aRb，則a,b∈Ai，即b,a∈Ai，所以bRa，故R對稱。a,b,c∈A，若aRb且bRc，則a,b∈Ai及b,c∈Aj。因為i≠j時Ai∩Aj=，故i=j，即a,b,c∈Ai，所以aRc，故R傳遞。總之R是A上的等價關(guān)系。七、若f:A→B是雙射，則f:B→A是雙射（15分）。證明:對任意的x∈A，因為f是從A到B的函數(shù)，故存在y∈B，使∈f，∈f。所以,f是滿射。對任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得∈f且∈f,則有∈f且∈f。因為f是函數(shù)，則y1=y2。所以，f是單射。因此f是雙射。八、設(shè)是群，和是的子群，證明：若A∪B＝G，則A＝G或B＝G（10分）。證明假設(shè)A≠G且B≠G，則存在aA，aB，且存在bB，bA（否則對任意的aA，aB，從而AB，即A∪B＝B，得B＝G，矛盾。）對于元素a*bG，若a*bA，因A是子群，aA，從而a*(a*b)＝bA，所以矛盾，故a*bA。同理可證a*bB，綜合有a*bA∪B＝G。綜上所述，假設(shè)不成立，得證A＝G或B＝G。九、若無向圖G是不連通的，證明G的補圖G是連通的（10分）。證明設(shè)無向圖G是不連通的，其k個連通分支為G1、G2、?、Gk。任取結(jié)點u、v∈G，若u和v不在圖G的同一個連通分支中，則[u，v]不是圖G的邊，因而[u，v]1-1-1-1-1-1-1是圖G的邊；若u和v在圖G的同一個連通分支中，不妨設(shè)其在連通分支Gi（1≤i≤k）中，在不同于Gi的另一連通分支上取一結(jié)點w，則[u，w]和[w，v]都不是圖G的邊，因而[u，w]和[w，v]都是G的邊。綜上可知，不管那種情況，u和v都是可達的。由u和v的任意性可知，G是連通的。離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案5）一、（10分）求命題公式(P∧Q)(PR)的主合取范式。解：(P∧Q)(PR)（(P∧Q)(PR)）∧（(PR)(P∧Q)）（(P∧Q)∨(P∧R)）∧（(P∨R)∨(P∨Q)）(P∧Q)∨(P∧R)(P∨R)∧（Q∨P）∧（Q∨R）(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）M1∧M3∧M4∧M5二、（8分）敘述并證明蘇格拉底三段論解：所有人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。符號化：F（x）：x是一個人。G（x）：x要死的。A：蘇格拉底。命題符號化為x（F（x）G（x）），F(xiàn)（a）G（a）證明：（1）x(F(x)G(x))P（2）F(a)G(a)T(1),US（3）F(a)P（4）G(a)T(2)(3),I三、（8分）已知A、B、C是三個集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)證明：∵xA∩（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∨xC）（xA∧xB）∨（xA∧xC）x（A∩B）∨xA∩Cx（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）四、（10分）已知R和S是非空集合A上的等價關(guān)系，試證：1）R∩S是A上的等價關(guān)系；2）對a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。解：x∈A，因為R和S是自反關(guān)系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反的。x、y∈A，若∈R∩S，則∈R、∈S，因為R和S是對稱關(guān)系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是對稱的。x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，則∈R、∈S且∈R、∈S，因為R和S是傳遞的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是傳遞的?？傊甊∩S是等價關(guān)系。2）因為x∈[a]R∩S∈R∩S∈R∧∈Sx∈[a]R∧x∈[a]Sx∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。五、(10分)設(shè)A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元關(guān)系，且R＝{，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。解r(R)＝R∪IA＝{，，，，，，，}s(R)＝R∪R＝{，，，，，}R＝{，，，}R＝{，，，}R＝{，，，}＝Rt(R)＝R＝{，，，，，，，4232-1d>，}六、(15分)設(shè)A、B、C、D是集合，f是A到B的雙射，g是C到D的雙射，令h：A×CB×D且∈A×C，h()＝。證明h是雙射。證明：1）先證h是滿射?！蔅×D，則b∈B，d∈D，因為f是A到B的雙射，g是C到D的雙射，所以存在a∈A，c∈C，使得f(a)=b，f(c)=d，亦即存在∈A×C，使得h()＝＝，所以h是滿射。2）再證h是單射。、∈A×C，若h()＝h()，則＝，所以f(a1)＝f(a2)，g(c1)＝g(c2)，因為f是A到B的雙射，g是C到D的雙射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是單射。綜合1）和2），h是雙射。七、(12分)設(shè)是群，H是G的非空子集，證明是的子群的充要條件是若a，bH，則有a*bH。證明：a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。a∈H，則e=a*a∈Ha=e*a∈H∵a,b∈H及b∈H，∴a*b=a*（b）∈H∵HG且H≠,∴*在H上滿足結(jié)合律∴是的子群。八、（10分）設(shè)G=是簡單的無向平面圖，證明G至少有一個結(jié)點的度數(shù)小于等于5。解：設(shè)G的每個結(jié)點的度數(shù)都大于等于6，則2|E|=d(v)≥6|V|，即|E|≥3|V|，與簡單無向平面圖的|E|≤3|V|-6矛盾，所以G至少有一個結(jié)點的度數(shù)小于等于5。九.G=,A={a,b,c},*的運算表為：(寫過程，7分)-1-1-1-1-1-1-1-1-1（1）G是否為阿貝爾群？（2）找出G的單位元；（3）找出G的冪等元（4）求b的逆元和c的逆元解：（1）(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c)(a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b)(b*c)*(b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c)所以G是阿貝爾群（2）因為a*a=aa*b=b*a=ba*c=c*a=c所以G的單位元是a（3）因為a*a=a所以G的冪等元是a（4）因為b*c=c*b=a，所以b的逆元是c且c的逆元是b十、(10分)求葉的權(quán)分別為2、4、6、8、10、12、14的最優(yōu)二叉樹及其權(quán)。解：最優(yōu)二叉樹為權(quán)＝148離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案6）一、（20分）用公式法判斷下列公式的類型：(1)(P∨Q)(PQ)(2)(PQ)(P∧(Q∨R))解：（1）因為(P∨Q)(PQ)(P∨Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)m1∨m2∨m3M0所以，公式(P∨Q)(PQ)為可滿足式。（2）因為(PQ)(P∧(Q∨R))((P∨Q))∨(P∧Q∧R))(P∨Q)∨(P∧Q∧R))(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R)(P∨Q)∧(P∨Q∨R)(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)M0∧M1m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7所以，公式(PQ)(P∧(Q∨R))為可滿足式。二、（15分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：每個科學(xué)家都是勤奮的，每個勤奮又身體健康的人在事業(yè)中都會獲得成功。存在著身體健康的科學(xué)家。所以，存在著事業(yè)獲得成功的人或事業(yè)半途而廢的人。解：論域：所有人的集合。Q(x)：x是勤奮的；H(x)：x是身體健康的；S(x)：x是科學(xué)家；C(x)：x是事業(yè)獲得成功的人；F(x)：x是事業(yè)半途而廢的人；則推理化形式為：x(S(x)H(x))Q(x))，x(Q(x)∧H(x)C(x))，x(S(x)∧x(C(x)∨F(x))下面給出證明：(1)x(S(x)∧H(x))P(2)S(a)∧H(a)T(1)，ES(3)x(S(x)Q(x))P(4)S(a)Q(a)T(1)，US(5)S(a)T(2)，I(6)Q(a)T(4)(5)，I(7)H(a)T(2)，I(8)Q(a)∧H(a)T(6)(7)，I(9)x(Q(x)∧H(x)C(x))P(10)Q(a)∧H(a)C(a)T(9)，Us(11)C(a)T(8)(10)，I(12)xC(x)T(11)，EG(13)x(C(x)∨F(x))T(12)，I三、（10分）設(shè)A＝{，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)B。解P(A)＝{，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}}P(B)－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}P(B)B＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}＝{，0，{{0}}，{0，{0}}四、（15分）設(shè)R和S是集合A上的任意關(guān)系，判斷下列命題是否成立？(1)若R和S是自反的，則R*S也是自反的。(2)若R和S是反自反的，則R*S也是反自反的。(3)若R和S是對稱的，則R*S也是對稱的。(4)若R和S是傳遞的，則R*S也是傳遞的。(5)若R和S是自反的，則R∩S是自反的。(6)若R和S是傳遞的，則R∪S是傳遞的。解(1)成立。對任意的a∈A，因為R和S是自反的，則∈R，∈S，于是∈R*S，故R*S也是自反的。(2)不成立。例如，令A(yù)＝{1，2}，R＝{<1，2>}，S＝{<2，1>}，則R和S是反自反的，但R*S＝{<1，1>}不是反自反的。(3)不成立。例如，令A(yù)＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，1>，<3，3>}，S＝{<2，3>，<3，2>}，則R和S是對稱的，但R*S＝{<1，3>，<3，2>}不是對稱的。(4)不成立。例如，令A(yù)＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，3>，<1，3>}，S＝{<2，3>，<3，1>，<2，1>}，則R和S是傳遞的，但R*S＝{<1，3>，<1，1>，<2，1>}不是傳遞的。(5)成立。對任意的a∈A，因為R和S是自反的，則∈R，∈S，于是∈R∩S，所以R∩S是自反的。五、（15分）令X＝{x1，x2，?，xm}，Y＝{y1，y2，?，yn}。問(1)有多少個不同的由X到Y(jié)的函數(shù)？(2)當n、m滿足什么條件時，存在單射，且有多少個不同的單射？(3)當n、m滿足什么條件時，存在雙射，且有多少個不同的雙射？解(1)由于對X中每個元素可以取Y中任一元素與其對應(yīng)，每個元素有n種取法，所以不同的函數(shù)共nm個。(2)顯然當|m|≤|n|時，存在單射。由于在Y中任選m個元素的任一全排列都形成X到mY的不同的單射，故不同的單射有Cnm!＝n(n－1)(n―m―1)個。(3)顯然當|m|＝|n|時，才存在雙射。此時Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y(jié)的不同的雙射，故不同的雙射有m!個。六、（5分）集合X上有m個元素，集合Y上有n個元素，問X到Y(jié)的二元關(guān)系總共有多少個？解X到Y(jié)的不同的二元關(guān)系對應(yīng)X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有個2mn，所以X到Y(jié)的二元關(guān)系總共有2mn個。七、（10分）若是群，則對于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。證明設(shè)e是群的幺元。令x＝a1*b，則a*x＝a*(a1*b)＝(a*a1)*b＝e*b＝b。－－－所以，x＝a1*b是a*x＝b的解。－若x∈G也是a*x＝b的解，則x＝e*x＝(a1*a)*x＝a1*(a*x)＝a1*b＝x。所以，x－－－＝a1*b是a*x＝b的惟一解。－八、（10分）給定連通簡單平面圖G＝，且|V|＝6，|E|＝12。證明：對任意f∈F，d(f)＝3。證明由偶拉公式得|V|－|E|＋|F|＝2，所以|F|＝2－|V|＋|E|＝8，于是d(f)＝2|E|＝fF24。若存在f∈F，使得d(f)＞3，則3|F|＜2|E|＝24，于是|F|＜8，與|F|＝8矛盾。故對任意f∈F，d(f)＝3。離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案7）一、（15分）設(shè)計一盞電燈的開關(guān)電路，要求受3個開關(guān)A、B、C的控制：當且僅當A和C同時關(guān)閉或B和C同時關(guān)閉時燈亮。設(shè)F表示燈亮。(1)寫出F在全功能聯(lián)結(jié)詞組{}中的命題公式。(2)寫出F的主析取范式與主合取范式。解(1)設(shè)A：開關(guān)A關(guān)閉；B：開關(guān)B關(guān)閉；C：開關(guān)C關(guān)閉；F＝(A∧C)∨(B∧C)。在全功能聯(lián)結(jié)詞組{}中：A(A∧A)AAA∧C(A∧C)(AC)(AC)(AC)A∨B(A∧B)((AA)∧(BB))(AA)(BB)所以F((AC)(AC))∨((BC)(BC))(((AC)(AC))((AC)(AC)))(((BC)(BC))((BC)(BC)))(2)F(A∧C)∨(B∧C)(A∧(B∨B)∧C)∨((A∨A)∧B∧C)(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)m3∨m5∨m7主析取范式M0∧M1∧M2∧M4∧M6主合取范式二、（10分）判斷下列公式是否是永真式？(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))。(2)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x)))。解(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))(xA(x)∨xB(x))x(A(x)B(x))(xA(x)∨xB(x))∨x(A(x)∨B(x))(xA(x)∧xB(x))∨xA(x)∨xB(x)(xA(x)∨xA(x)∨xB(x))∧(xB(x)∨xA(x)∨xB(x))x(A(x)∨A(x))∨xB(x)T所以，(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))為永真式。(2)設(shè)論域為{1，2}，令A(yù)(1)＝T；A(2)＝F；B(1)＝F；B(2)＝T。則xA(x)為假，xB(x)也為假，從而xA(x)xB(x)為真；而由于A(1)B(1)為假，所以x(A(x)B(x))也為假，因此公式(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))為假。該公式不是永真式。三、（15分）設(shè)X為集合，A＝P(X)－{}－{X}且A≠，若|X|＝n，問(1)偏序集是否有最大元？(2)偏序集是否有最小元？(3)偏序集中極大元和極小元的一般形式是什么？并說明理由。解偏序集不存在最大元和最小元，因為n＞2。考察P(X)的哈斯圖，最底層的頂點是空集，記作第0層，由底向上，第一層是單元集，第二層是二元集，…，由|X|＝n，則第n－1層是X的n－1元子集，第n層是X。偏序集與偏序集相比，恰好缺少第0層和第n層。因此的極小元就是X的所有單元集，即{x}，x∈X；而極大元恰好是比X少一個元素，即X－{x}，x∈X。四、（10分）設(shè)A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關(guān)系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。解r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}s(R)＝R∪R1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，－<4，2>，<4，3>}R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>}R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2t(R)＝Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i11>，<5，4>，<5，5>}。五、（10分）設(shè)函數(shù)g：A→B，f：B→C，(1)若fg是滿射，則f是滿射。(2)若fg是單射，則g是單射。證明因為g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg為A到C的函數(shù)。(1)對任意的z∈C，因fg是滿射，則存在x∈A使fg(x)＝z，即f(g(x))＝z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y＝g(x)∈B，使得f(y)＝z。因此，f是滿射。(2)對任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，則由fg是單射得fg(x1)≠fg(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(shù)(x1)≠g(x2)。所以，g是單射。六、（10分）有幺元且滿足消去律的有限半群一定是群。證明設(shè)是一個有幺元且滿足消去律的有限半群，要證是群，只需證明G的任一元素a可逆。考慮a，a2，?，ak，?。因為G只有有限個元素，所以存在k＞l，使得ak＝al。令m＝k－l，有al*e＝al*am，其中e是幺元。由消去率得am＝e。于是，當m＝1時，a＝e，而e是可逆的；當m＞1時，a*am-1＝am-1*a＝e。從而a是可逆的，其逆元是am-1?？傊?，a是可逆的。七、（20分）有向圖G如圖所示，試求：(1)求G的鄰接矩陣A。(2)求出A2、A3和A4，v1到v4長度為1、2、3和4的路有多少？(3)求出ATA和AAT，說明ATA和AAT中的第(2，2)元素和第(2，3)元素的意義。(4)求出可達矩陣P。(5)求出強分圖。解(1)求G的鄰接矩陣為：00A00101011101100(2)由于002A001110220130A0211102011120322044A0312010123132322所以v1到v4長度為1、2、3和4的路的個數(shù)分別為1、1、2、3。(3)由于00ATA000002131212TAA210111021321102121再由定理10.19可知，所以ATA的第(2，2)元素為3，表明那些邊以v2為終結(jié)點且具有不同始結(jié)點的數(shù)目為3，其第(2，3)元素為0，表明那些邊既以v2為終結(jié)點又以v3為終結(jié)點，并且具有相同始結(jié)點的數(shù)目為0。AAT中的第(2，2)元素為2，表明那些邊以v2為始結(jié)點且具有不同終結(jié)點的數(shù)目為2，其第(2，3)元素為1，表明那些邊既以v2為始結(jié)點又以v3為始結(jié)點，并且具有相同終結(jié)點的數(shù)目為1。(4)00B4AA2A3A40000所以求可達矩陣為P0000(5)因為PPT0010100110+10101000111111。11111111101111∧1111111100001110＝01110111000111，所以{v1}，{v2，v3，v4}111111因11102010+111001102120312204+2120320101231323220000為741747，747434構(gòu)成G的強分圖。離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案8）一、（10分）證明(P∨Q)∧(PR)∧(QS)S∨R證明因為S∨RRS，所以，即要證(P∨Q)∧(PR)∧(QS)RS。(1)R附加前提(2)PRP(3)PT(1)(2)，I(4)P∨QP(5)QT(3)(4)，I(6)QSP(7)ST(5)(6)，I(8)RSCP(9)S∨RT(8)，E二、（15分）根據(jù)推理理論證明：每個考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。設(shè)P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個體域：人的集合，則命題可符號化為：x(P(x)(A(x)∨B(x)))，x(A(x)Q(x))，x(P(x)Q(x))x(P(x)∧B(x))。(1)x(P(x)Q(x))P(2)x(P(x)∨Q(x))T(1)，E(3)x(P(x)∧Q(x))T(2)，E(4)P(a)∧Q(a)T(3)，ES(5)P(a)T(4)，I(6)Q(a)T(4)，I(7)x(P(x)(A(x)∨B(x))P(8)P(a)(A(a)∨B(a))T(7)，US(9)A(a)∨B(a)T(8)(5)，I(10)x(A(x)Q(x))P(11)A(a)Q(a)T(10)，US(12)A(a)T(11)(6)，I(13)B(a)T(12)(9)，I(14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I(15)x(P(x)∧B(x))T(14)，EG三、（10分）某班有25名學(xué)生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網(wǎng)球，還有2人會打這三種球。而6個會打網(wǎng)球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數(shù)。解設(shè)A、B、C分別表示會打排球、網(wǎng)球和籃球的學(xué)生集合。則：|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。因為|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，|ABC|＝25－20＝5。故，不會打這三種球的共5人。四、（10分）設(shè)A1、A2和A3是全集U的子集，則形如Ai(Ai為Ai或Ai)的集合稱i13為由A1、A2和A3產(chǎn)生的小項。試證由A1、A2和A3所產(chǎn)生的所有非空小項的集合構(gòu)成全集U的一個劃分。證明小項共8個，設(shè)有r個非空小項s1、s2、…、sr(r≤8)。對任意的a∈U，則a∈Ai或a∈Ai，兩者必有一個成立，取Ai為包含元素a的Ai或Ai，則a∈Ai，即有a∈si，于是Usi。又顯然有siU，所以U＝si。i1i1i1i1i13rrrr任取兩個非空小項sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個Ai和Ai分別出現(xiàn)在sp和sq中，于是sp∩sq＝。綜上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一個劃分。五、（15分）設(shè)R是A上的二元關(guān)系，則：R是傳遞的R*RR。證明(5)若R是傳遞的，則∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy，由R是傳遞的得xRy，即有∈R，所以R*RR。反之，若R*RR，則對任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是傳遞的。六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結(jié)點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)。證明對G的邊數(shù)m作歸納法。當m＝0時，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時n＝1，r＝1，結(jié)論自然成立。假設(shè)對邊數(shù)小于m的連通平面圖結(jié)論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數(shù)為m的情況。設(shè)e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G，并設(shè)其結(jié)點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為n、m和r。對e分為下列情況來討論：若e為割邊，則G有兩個連通分支G1和G2。Gi的結(jié)點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為ni、mi和ri。顯然n1＋n2＝n＝n，m1＋m2＝m＝m－1，r1＋r2＝r＋1＝r＋1。由歸納假設(shè)有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。若e不為割邊，則n＝n，m＝m－1，r＝r－1，由歸納假設(shè)有n－m＋r＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。七、（10分）設(shè)函數(shù)g：A→B，f：B→C，則：(1)fg是A到C的函數(shù)；(2)對任意的x∈A，有fg(x)＝f(g(x))。證明(1)對任意的x∈A，因為g：A→B是函數(shù)，則存在y∈B使∈g。對于y∈B，因f：B→C是函數(shù)，則存在z∈C使∈f。根據(jù)復(fù)合關(guān)系的定義，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fg。所以Dfg＝A。對任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得、∈fg＝g*f，則存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。因為g：A→B是函數(shù)，則t1＝t2。又因f：B→C是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。所以A中的每個元素對應(yīng)C中惟一的元素。綜上可知，fg是A到C的函數(shù)。(2)對任意的x∈A，由g：A→B是函數(shù)，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函數(shù)，得∈f，于是∈g*f＝fg。又因fg是A到C的函數(shù)，則可寫為fg(x)＝f(g(x))。八、（15分）設(shè)是的子群，定義R＝{|a、b∈G且a1*b∈H}，－則R是G中的一個等價關(guān)系，且[a]R＝aH。證明對于任意a∈G，必有a1∈G使得a1*a＝e∈H，所以∈R。－－若∈R，則a1*b∈H。因為H是G的子群，故(a1*b)1＝b1*a∈H。所以－－－a>∈R。若∈R，∈R，則a1*b∈H，b1*c∈H。因為H是G的子群，所以(a－－－1*b)*(b1*c)＝a1*c∈H，故∈R。－－綜上可得，R是G中的一個等價關(guān)系。對于任意的b∈[a]R，有∈R，a1*b∈H，則存在h∈H使得a1*b＝h，b＝a*h，－－于是b∈aH，[a]RaH。對任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a1*b＝h∈H，∈R，故aH[a]R。所以，[a]R＝aH。離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案9）一、（10分）證明(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(A∧(PQ))C。證明：(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))∨C(A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))∨C(A∧(PQ))∨C(A∧(PQ))C。二、（10分）舉例說明下面推理不正確：xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))。解：設(shè)論域為{1，2}，令P(1)＝P(2)＝T；Q(1)＝Q(2)＝T；R(1)＝R(2)＝F。則：xy(P(x)Q(y))x((P(x)Q(1))∨(P(x)Q(2)))((P(1)Q(1))∨(P(1)Q(2)))∧((P(2)Q(1))∨(P(2)Q(2)))((TT)∨(TT))∧((TT)∨(TT))Tyz(R(y)Q(z))y((R(y)Q(1))∨(R(y)Q(2)))((R(1)Q(1))∨(R(1)Q(2)))∧((R(2)Q(1))∨(R(2)Q(2)))((FT)∨(FT))∧((FT)∨(FT))T但xz(P(x)R(z))x((P(x)R(1))∧(P(x)R(2)))((P(1)R(1))∧(P(1)R(2)))∨((P(2)R(1))∧(P(2)R(2)))((TF)∧(TF))∨((TF)∧(TF))F所以，xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))不正確。三、（15分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：所有牛都有角，有些動物是牛，所以，有些動物有角。解：令P(x)：x是牛；Q(x)：x有角；R(x)：x是動物；則推理化形式為：x(P(x)Q(x))，x(P(x)∧R(x))x(Q(x)∧R(x))下面給出證明：(1)x(P(x)∧R(x))P(2)P(a)∧R(a)T(1)，ES(3)x(P(x)Q(x))P(4)P(a)Q(a)T(3)，US(5)P(a)T(2)，I(6)Q(a)T(4)(5)，I(7)R(a)T(2)，I(8)Q(a)∧R(a)T(6)(7)，I(9)x(Q(x)∧R(x))T(8)，EG四、（10分）證明(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)。證明：因為∈(A∩B)×(C∩D)x∈(A∩B)∧y∈(C∩D)x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈D(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)∈A×C∧∈B×D∈(A×C)∩(B×D)，所以(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)。五、（15分）設(shè)A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關(guān)系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。解r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}s(R)＝R∪R1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，－<4，2>，<4，3>}R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>}R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2t(R)＝Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i11>，<5，4>，<5，5>}。六、（10分）若函數(shù)f：A→B是雙射，則對任意x∈A，有f1(f(x))＝x。－證明對任意的x∈A，因為f：A→B是函數(shù)，則∈f，于是－由f－1是B到A的函數(shù)，于是可寫為f1(f(x))＝x。－七、（10分）若G為有限群，則|G|＝|H|·[G:H]。證明設(shè)[G:H]＝k，a1、a2、…、ak分別為H的k個左陪集的代表元，由定理8.38得G[ai]RaiHi1i1kk又因為對H中任意不同的元素x、y∈H及a∈G，必有a*x≠a*y，所以|a1H|＝…＝|akH|＝|H|。因此|G||aiH|i1k|aH|k|H|＝|H|·[G:H]。ii1k八、（20分）（1）畫出3階2條邊的所有非同構(gòu)有向簡單圖。解：由握手定理可知，所畫的有向簡單圖各結(jié)點度數(shù)之和為4，且最大出度和最大入度均小于或等于2。度數(shù)列與入度列、出度列為：1、2、1：入度列為0、1、1或0、2、0或1、0、1；出度列為1、1、0或1、0、1或0、2、02、2、0：入度列為1、1、0；出度列為1、1、0四個所求有向簡單圖如圖所示。（2）設(shè)G是n(n≥4)階極大平面圖，則G的最小度≥3。證明設(shè)v是極大平面圖G的任一結(jié)點，則v在平面圖G－{v}的某個面f內(nèi)。由于G－{v}是一個平面簡單圖且其結(jié)點數(shù)大于等于3，所以d(f)≥3。由G的極大平面性，v與f上的結(jié)點之間都有邊，因此d(v)≥3。由v的任意性可得，G的最小度≥3。離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案10）一、（10分）使用將命題公式化為主范式的方法，證明(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。證明：因為(PQ)(P∧Q)(P∨Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)(Q∨P)∧(P∨Q)(P∧Q)∨(Q∧Q)∨(P∧P)∨(P∧Q)(P∧Q)∨P(P∧Q)∨(P∧(Q∨Q))(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)所以，(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。二、（10分）證明下述推理：如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，則D不愉快。解設(shè)A：A努力工作；B、C、D分別表示B、C、D愉快；則推理化形式為：AB∨C，BA，DCAD(1)A附加前提(2)AB∨CP(3)B∨CT(1)(2)，I(4)BAP(5)ABT(4)，E(6)BT(1)(5)，I(7)CT(3)(6)，I(8)DCP(9)DT(7)(8)，I(10)ADCP三、（10分）證明xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))。xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))x(P(x)∨yQ(y))xP(x)∨yQ(y)xP(x)∨yQ(y)(xP(x)yQ(y))四、（10分）設(shè)A＝{，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)B。解P(A)＝{，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}}P(B)－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}P(B)B＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}＝{，0，{{0}}，{0，{0}}五、（15分）設(shè)X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元關(guān)系，R＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)畫出R的關(guān)系圖。(2)寫出R的關(guān)系矩陣。(3)說明R是否是自反、反自反、對稱、傳遞的。解(1)R的關(guān)系圖如圖所示：(2)R的關(guān)系矩陣為：10M(R)11101110110000(3)對于R的關(guān)系矩陣，由于對角線上不全為1，R不是自反的；由于對角線上存在非0元，R不是反自反的；由于矩陣不對稱，R不是對稱的；經(jīng)過計算可得10M(R2)111011101100M(R)，所以R是傳遞的。00六、（15分）設(shè)函數(shù)f：R×RR×R，f定義為：f()＝。(1)證明f是單射。(2)證明f是滿射。(3)求逆函數(shù)f。(4)求復(fù)合函數(shù)ff和ff。證明(1)對任意的x，y，x1，y1∈R，若f()＝f()，則＝，x＋y＝x1＋y1，x－y＝x1－y1，從而x＝x1，y＝y(tǒng)1，故f是單射。(2)對任意的∈R×R，令x＝－1－1uwuwuwuw，y＝，則f()＝<＋，2222uwuw－>＝，所以f是滿射。22(3)f()＝<－1－1uwuw，>。22－1(4)ff()＝f(f())＝f－1()＝<xyxy，2xy(xy)>＝2ff()＝f(f())＝f()＝＝<2x，2y>。七、（15分）給定群，若對G中任意元a和b，有a*b＝(a*b)，a*b＝(a*b)，a*b＝(a*b)，試證是Abel群。證明對G中任意元a和b。因為a*b＝(a*b)，所以a*a*b*b＝a*(a*b)*b，即得a*b＝(b*a)。同33333225513111理，由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。于是(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。同理可得，(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。3333334344433555444由于(a*b)*b＝a*b＝b*a＝b*(b*a)＝b*(a*b)＝(b*a)*b，故a*b＝b*a。八、（15分）（1）證明在n個結(jié)點的連通圖G中，至少有n－1條邊。證明不妨設(shè)G是無向連通圖（若G為有向圖，可略去邊的方向討論對應(yīng)的無向圖）。設(shè)G中結(jié)點為v1、v2、?、vn。由連通性，必存在與v1相鄰的結(jié)點，不妨設(shè)它為v2（否則可重新編號），連接v1和v2，得邊e1，還是由連通性，在v3、v4、?、vn中必存在與v1或v2相鄰的結(jié)點，不妨設(shè)為v3，將其連接得邊e2，續(xù)行此法，vn必與v1、v2、?、vn1中的某個結(jié)點相鄰，得新邊en1，由此可見G中至少有n－1條邊。（2）試給出|V|＝n，|E|＝(n－1)(n－2)的簡單無向圖G＝是不連通的例子。解下圖滿足條件但不連通。12344333第四篇：《物權(quán)法》期末考試試卷及答案《物權(quán)法》期末考試試卷及答案一、單選題1.土地承包經(jīng)營權(quán)屬于()。A.所有權(quán)B.用益物權(quán)C.擔保物權(quán)D準物權(quán)2.相鄰關(guān)系是不動產(chǎn)的相鄰各方因不動產(chǎn)行使所有權(quán)或使用權(quán)而發(fā)生的權(quán)利義務(wù)關(guān)系，因此，相鄰關(guān)系的客體是()。A.不動產(chǎn)B.對不動產(chǎn)所有的權(quán)利C.對不動產(chǎn)所負的義務(wù)D.不動產(chǎn)權(quán)利人行使其所有權(quán)或者使用權(quán)過程中所體現(xiàn)的權(quán)益3.根據(jù)《物權(quán)法》的規(guī)定，下列各項有關(guān)共有關(guān)系的表述中，不符合法律規(guī)定的是()。A.按份共有人有權(quán)自由處分自己的共有份額，無需取得其他共有人的同意B.共同共有人對共有財產(chǎn)的處分，必須征得全體共有人的同意C.按份共有人將份額出讓給共有人以外的第三人時，必須征得其他共有人的同意D.共同共有關(guān)系終止，才能確定份額，分割共有財產(chǎn)4.甲、乙、丙了人分別出資修建了一棟三層小樓。建樓前三人約定建成后甲、乙、丙分別住一樓、二樓、三樓，但對樓房的所有權(quán)的歸屬未明確約定。樓房建成后，因?qū)欠康乃袡?quán)歸屬發(fā)生爭議，如果三人不能協(xié)商解決，該樓房的所有權(quán)()。A.三人共同共有B.三人按份共有C.三人區(qū)分所有D.甲擁有所有權(quán)，乙、丙擁有使用權(quán)5.通過招標、拍賣、公開協(xié)商等方式承包()等農(nóng)村土地，依照土地承包法等法律和國務(wù)院的有關(guān)規(guī)定。其土地承包經(jīng)營權(quán)可以轉(zhuǎn)讓、入股、抵押或者以其他方式流轉(zhuǎn)。A.耕地B.林地C.荒地D.草地6.孫某有一輛汽車，估價20萬元，6月1日向李某借款l0萬元。訂立了汽車抵押合同并于當天辦理抵押登記。6月2日，向趙某借款10萬元，又以該汽車抵押并辦理了登記。后孫某不能還款，變賣汽車得款l6萬元。關(guān)于抵押板，下列說法正確的是()。A.趙某優(yōu)先得到實現(xiàn)B.他們處于同一順序C.李某優(yōu)先得到實現(xiàn)D.二者協(xié)商處理7.甲公司向銀行貸款，并以所持乙上市公司股份用于質(zhì)押。根據(jù)《物權(quán)法》的規(guī)定：質(zhì)押合同的生效時間是()。A.借款合同簽訂之日B.質(zhì)押合同簽訂之日C.向證券登記機構(gòu)申請辦理出質(zhì)登記之日D.證券登記機構(gòu)辦理出質(zhì)登記之日8.甲遺失一部相機，乙拾得的后放在辦公桌的抽屜內(nèi)，并張貼了招領(lǐng)啟事。丙盜走該相機，賣給了不知情的丁，丁出質(zhì)于戊，對此下列說法不正確的是()。A.乙對相機的占有屬于無權(quán)占有B.丙對相機的占有屬于他主占有C.丁對相機的占有屬于自主占有D.戊對相機的占有屬于直接占有9.我國擔保法規(guī)定的擔保法規(guī)定的，擔保物權(quán)包括：（）A.典權(quán)和抵押權(quán)B.留置權(quán)、抵押權(quán)和質(zhì)權(quán)C.地上權(quán)和地役權(quán)D.地役權(quán)、典權(quán)和質(zhì)權(quán)10.根據(jù)物權(quán)是否具有獨立性不同，物權(quán)可以分為（）。A.主物權(quán)和從物權(quán)B.有期限物權(quán)和無期限物權(quán)C.動產(chǎn)物權(quán)、不動產(chǎn)物權(quán)和權(quán)利物權(quán)D．用益物權(quán)與擔保物權(quán)11.甲將自己所有的一套書賣給乙，但甲還想留閱一段時間，遂又與乙達成協(xié)議，借閱該書1個月，乙表示應(yīng)允。乙取得該套書所有權(quán)的交付方法為（）。A.簡易交付B.占有改定C.指示交付D.擬制交付12.所有人不明的埋藏物，所有權(quán)歸（）。A.發(fā)現(xiàn)人B.土地使用權(quán)人C.國家D．發(fā)現(xiàn)人和土地使用權(quán)人13.下列財產(chǎn)所有權(quán)取得方法中，屬于繼受取得的是（）。A．添附B．生產(chǎn)C．繼承D．拾得遺失物14.下列財產(chǎn)中，不得抵押的是（）。A.土地所有權(quán)B.抵押人所有的房屋C.抵押人所有的機器D.在建工程15.趙某孤身一人，因外出打工，將一祖?zhèn)鞴哦挥舌従渝X某保管。錢某因結(jié)婚用錢，情急之下謊稱該古董為自己所有，賣給了古董收藏商孫某，得款10000元。孫某因資金周轉(zhuǎn)需要，向李某借款20000元，雙方約定將該古董押給李某，如孫某到期不回贖，古董歸李某所有。下列說法中正確的是：（）A．錢某與孫某之間的古董買賣合同無效B．孫某取得該古董的所有權(quán)C．李某對該古董的占有屬于無權(quán)占有D．趙某可以直接請求李某歸還該古董16.根據(jù)我國《物權(quán)法》規(guī)定，下列各項中，不屬于物權(quán)的是：（）A．土地承包經(jīng)營權(quán)B．建設(shè)用地使用權(quán)C．典權(quán)D．海域使用17.某小區(qū)擬解聘現(xiàn)有的物業(yè)管理機構(gòu)，則下列關(guān)于業(yè)主表決情況的說法正確的是：（）A．應(yīng)當經(jīng)專有部分占建筑物總面積三分之二以上的業(yè)主或占總?cè)藬?shù)三分之二以上的業(yè)主同意B．應(yīng)當經(jīng)專有部分占建筑物總面積三分之二以上的業(yè)主且占總?cè)藬?shù)三分之二以上的業(yè)主同意C．應(yīng)當經(jīng)專有部分占建筑物總面積過半數(shù)的業(yè)主且占總?cè)藬?shù)過半數(shù)的業(yè)主同意D．應(yīng)當經(jīng)專有部分占建筑物總面積過半數(shù)的業(yè)主或占總?cè)藬?shù)過半數(shù)的業(yè)主同意18.下列關(guān)于留置權(quán)的表述，正確的是（）。A.留置權(quán)是用益物權(quán)B.留置權(quán)是約定擔保物權(quán)C.留置權(quán)是自物權(quán)D.留置權(quán)是法定擔保物權(quán)19.農(nóng)民甲一家4口承包了本村6畝家庭承包地，并取得土地承包經(jīng)營權(quán)證。后甲的女兒乙結(jié)婚嫁到外村，由于其夫家所在村農(nóng)地緊張，致其在夫家始終未取得家庭承包地。甲所在村村委會依據(jù)自定的村規(guī)民約，抽回了乙1.5畝承包地，并作為家庭承包地補給本村村民丁經(jīng)營管理。甲多次要求村委返還卻遭拒絕。下列說法錯誤的是：（）A．村委會侵害了甲的土地承包經(jīng)營權(quán)B．女兒外嫁后收回承包地是村規(guī)民約，村委會并未侵權(quán)C．甲可以請求丁返還該承包地D．甲可以請求村委會賠償其相應(yīng)的損失20.陳某向賀某借款20萬元.借期2年，陳某以自己正在建造的房屋提供抵押擔保并辦理了登記。下列說法中，符合《物權(quán)法》的是：()。A.賀某不享有抵押權(quán)。因為商品樓為在建工程，尚未完工B.賀某不享有抵押權(quán)，只有以建成的房屋抵押，才符合《擔保法》確定的抵押物范圍C.賀某享有抵押權(quán)，雖然商品樓正在建造中，但當事人辦理了抵押物登記D.賀某不享有抵押權(quán)，因為在建工程不屬于《擔保法》規(guī)定的抵押物范同二、多選題1.下列各項中，屬于物權(quán)法上物的有哪些？（）A．無線電頻譜B．水流C．海域D．空氣2.下列哪些權(quán)利可以作為權(quán)利質(zhì)權(quán)的標的：（）A．匯票、本票、支票、債券、存款單、倉單、提單B．依法可以轉(zhuǎn)讓的股份、股票、基金份額C．商標專用權(quán)、專利權(quán)、著作權(quán)中的財產(chǎn)權(quán)D．依法可以轉(zhuǎn)讓的債權(quán)3.下列民事關(guān)系中，應(yīng)按照相鄰關(guān)系處理的是：（）A．甲在乙的房屋后挖菜窖，造成乙的房屋基礎(chǔ)下沉，墻體裂縫引起糾紛B．甲開發(fā)商購得一塊土地的使用權(quán)，欲建一露天餐廳，其與該土地相鄰的乙約定，乙不得再建露天餐廳，為此甲給予乙每年3萬元的補償C．甲村在河流上游修建攔河壩，使乙村用水量劇減，引起糾紛D．甲家與乙家相鄰，甲家的貓闖入乙家，打碎乙家的花瓶，引起糾紛4.在當事人對擔保物權(quán)范圍沒有約定的情況下，下列各項中，屬于擔保物權(quán)擔保范圍的包括()。A.主債權(quán)B.主債權(quán)的利息C.損害賠償金D.律師費5.下列財產(chǎn)中，可以抵押的有（）。A.違章建筑物B.機關(guān)法人的公益性財產(chǎn)C.預(yù)購的房屋D.抵押人所有的汽車三、名詞解釋1.善意取得2.用益物權(quán)3.占有改定4.留置權(quán)四、簡答題1.簡述擔保物權(quán)的特征。2.簡述善意取得的構(gòu)成要件。3.試述留置權(quán)取得的條件。五、案例分析題甲信用社、乙銀行和丙公司在同一城市。丙與甲簽訂一金額為400萬元的質(zhì)權(quán)擔保借款合同，質(zhì)押財產(chǎn)為丙公司價值600萬元的動產(chǎn)。合同簽訂后，丙即將質(zhì)押財產(chǎn)轉(zhuǎn)移給甲占有。嗣后，丙與乙簽訂一金額為280萬元的借款、抵押合同，抵押物也為丙的上述動產(chǎn)，并辦理了抵押權(quán)登記。合同到期后，丙無法向甲和乙償還債務(wù)，甲和乙均要求以丙所提供的該擔保財產(chǎn)優(yōu)先清償債務(wù)，從而引發(fā)糾紛。思考并回答下列問題：1.質(zhì)權(quán)設(shè)立的要件是什么？2.在同一財產(chǎn)之上既設(shè)立質(zhì)權(quán)又設(shè)立抵押權(quán)，其效力如何？3.本案應(yīng)如何處理？參考答案一、單選題1-5BDCBC6-10CBBBA11-15BCCAB16-20CCDBC二、多選題1.ABC2.ABCD3.AC4.ABC5.CD三、名詞解釋1.善意取得亦稱即時取得，是指無權(quán)處分他人財產(chǎn)的財產(chǎn)占有人，在不法將其占有的財產(chǎn)轉(zhuǎn)讓給第三人以后，如果受讓人在取得該項財產(chǎn)時系出于善意，即依法取得該財產(chǎn)的所有權(quán)，原財產(chǎn)所有人不得要求受讓人返還財產(chǎn)的制度。2.用益物權(quán)，是指非所有權(quán)人對他人所有之物所享有的占有、使用和收益的他物權(quán)。其外延包括土地承包經(jīng)營權(quán)、建設(shè)用地使用權(quán)、宅基地使用權(quán)、地役權(quán)等。3.占有改定，是指在動產(chǎn)交易中出讓人與受讓人約定，由出讓人繼續(xù)直接占有動產(chǎn)，使受讓人取得對于動產(chǎn)的間接占有，并取得動產(chǎn)的所有權(quán)。4.留置權(quán)，是指債權(quán)人依債權(quán)占有屬于債務(wù)人的動產(chǎn)，債務(wù)人未按照約定的期限履行債務(wù)時，債權(quán)人有權(quán)依法留置該財產(chǎn)，以該財產(chǎn)折價或者以拍賣、變賣該財產(chǎn)的價款優(yōu)先受償?shù)膿Ｎ餀?quán)。四、簡答題1.擔保物權(quán)的特征有