2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算課時作業(yè)2向量的加法運算新人教A版必修第二冊

PAGE1-課時作業(yè)2向量的加法運算知識點一向量的加法及幾何意義1.下列命題中，真命題的個數(shù)為()①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a或b的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0，則A，B，C一定為一個三角形的三個頂點；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|＝|a|＋|b|.A．0B．1C．2D．3答案B解析①錯誤，若a＋b＝0時，a＋b的方向是任意的；②正確；③錯誤，當(dāng)A，B，C三點共線時，也滿足eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0；④錯誤，|a＋b|≤|a|＋|b|.2．下列三個命題：①若a＋b＝0，b＋c＝0，則a＝c；②eq\o(AB,\s\up15(→))＝Ceq\o(D,\s\up15(→))的等價條件是點A與點C重合，點B與點D重合；③若a＋b＝0且b＝0，則－a＝0.其中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．0答案B解析∵a＋b＝0，∴a，b的長度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b，c的長度相等且方向相反，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c，①正確；當(dāng)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(CD,\s\up15(→))時，應(yīng)有|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(CD,\s\up15(→))|及由A到B與由C到D的方向相同，但不一定要有點A與點C重合，點B與點D重合，故②錯誤；③顯然正確．3．向量a，b皆為非零向量，下列說法不正確的是()A．向量a與b反向，且|a|>|b|，則向量a＋b與a的方向相同B．向量a與b反向，且|a|<|b|，則向量a＋b與a的方向相同C．向量a與b同向，則向量a＋b與a的方向相同D．向量a與b同向，則向量a＋b與b的方向相同答案B解析向量a與b反向，且|a|<|b|，則a＋b應(yīng)與b方向相同，因此B錯誤．4．設(shè)|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值與最小值分別為________．答案20,4解析當(dāng)a，b共線同向時，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，當(dāng)a，b共線反向時，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.當(dāng)a，b不共線時，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20，所以最大值為20，最小值為4.5．如圖，已知向量a，b.(1)用平行四邊形法則作出向量a＋b；(2)用三角形法則作出向量a＋b.解(1)如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b.(2)如圖，在平面內(nèi)任取一點O′，作eq\o(O′D,\s\up15(→))＝a，eq\o(DE,\s\up15(→))＝b，連接O′E，則eq\o(O′E,\s\up15(→))＝a＋b.知識點二向量加法的運算律6.已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))；②(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))；③eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(CO,\s\up15(→))；④eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)).其中結(jié)果為0的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案B解析由向量加法的運算法則知①④的結(jié)果為0，故選B.知識點三向量加法的應(yīng)用7.如下圖，在正六邊形OABCDE中，若eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OE,\s\up15(→))＝b，試用向量a，b將eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))，Oeq\o(D,\s\up15(→))表示出來．解由題意，知四邊形ABPO，AOEP均為平行四邊形．由向量的平行四邊形法則，知eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))＝a＋b.∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OP,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋b.在△AOB中，根據(jù)向量的三角形法則，知eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋a＋b＝2a＋b，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝2a＋b＋b＝2a＋2b.eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→))＋eq\o(ED,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝b＋a＋b＝a＋2b.一、選擇題1．已知非零向量a，b，c，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的向量的個數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．2答案A解析向量加法滿足交換律，所以五個向量均等于a＋b＋c.2．向量(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋Oeq\o(M,\s\up15(→))化簡后等于()A.eq\o(CB,\s\up15(→)) B.eq\o(AB,\s\up15(→))C.eq\o(AC,\s\up15(→)) D.eq\o(AM,\s\up15(→))答案C解析(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up15(→)).故選C.3．如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(OQ,\s\up15(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up15(→)) B.eq\o(OG,\s\up15(→))C.eq\o(FO,\s\up15(→)) D.eq\o(EO,\s\up15(→))答案C解析設(shè)a＝eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(OQ,\s\up15(→))，利用平行四邊形法則作出向量eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(OQ,\s\up15(→))，再平移即發(fā)現(xiàn)a＝eq\o(FO,\s\up15(→)).4．設(shè)|a|＝1，|b|＝1，且p＝a＋b，則|p|的取值范圍為()A．[0,1] B．[0,2]C．[1,2] D．[0,3]答案B解析因為a，b是單位向量，因此當(dāng)兩個向量同向時，|p|取最大值2，當(dāng)兩個向量反向時，它們的和為0，故|p|的最小值為0.5．在?ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|，則四邊形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不確定答案B解析|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，|eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))|＝|eq\o(BD,\s\up15(→))|，由|eq\o(BD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|知，四邊形ABCD為矩形．二、填空題6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2，則|eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))|＝________.答案2eq\r(3)解析如圖所示，設(shè)菱形對角線交點為O.eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).∵∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up15(→))|2－|\o(OB,\s\up15(→))|2))＝eq\r(3)，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝2eq\r(3).7．如圖所示，若P為△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，則∠ACB＝________.答案120°解析因為P為△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因為eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，由向量的加法運算可得，四邊形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.8．設(shè)a表示“向東走了2km”，b表示“向南走了2km”，c表示“向西走了2km”，d表示“向北走了2km”，則(1)a＋b＋c表示向________走了________km；(2)b＋c＋d表示向________走了________km；(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案(1)南2(2)西2(3)2eq\r(2)東南解析(1)如圖①所示，a＋b＋c表示向南走了2km.(2)如圖②所示，b＋c＋d表示向西走了2km.(3)如圖①所示，|a＋b|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，a＋b的方向是東南．三、解答題9．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|與|eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|.解∵eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(CO,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→)).∴四邊形ABCD是平行四邊形．又|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，知四邊形ABCD為菱形．又cos∠DAB＝eq\f(1,2)，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形．∴|eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|＝|eq\o(BD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝1.10．已知在任意四邊形ABCD中，E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點，求證：eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)).證明如圖，在平面內(nèi)取點O，連接AO，EO，DO，CO，F(xiàn)O，BO.eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EO,\s\up15(→))＋eq\o(OF,\s\up15(→))＝eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(DE,\s\up15(→))＋eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))＋eq\o(FC,\s\up15(→)).因為E，F(xiàn)分別是