2024年湖南省九校高考數(shù)學第二次聯(lián)考試卷

2024年湖南省九校聯(lián)盟高考數(shù)學第二次聯(lián)考試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符

1.（5分）（2024?湖南模擬）對兩個變量x和y進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)（xi,yi）,

（眼，”），…，（物，A），下列統(tǒng)計量的數(shù)值能夠刻畫其經(jīng)驗回歸方程的擬合效果的是

（）

A.平均數(shù)B.相關(guān)系數(shù)廠

C.決定系數(shù)wD.方差

2.（5分）（2024?湖南模擬）已知｛即｝是等比數(shù)列，S"是其前"項和.若cz3-m=3,S4=

5s2,則ai的值為（）

A.2B.4C.±2D.±4

3.（5分）（2024?湖南模擬）關(guān)于復數(shù)z與其共輾復數(shù)2,下列結(jié)論正確的是（）

A.在復平面內(nèi)，表示復數(shù)z和2的點關(guān)于虛軸對稱

B.z-z>Q

C.z+2必為實數(shù)，z-2必為純虛數(shù)

D.若復數(shù)z為實系數(shù)一元二次方程如2+敬+°=0的一根，貝眩也必是該方程的根

x2y2

4.（5分）（2024?湖南模擬）已知/為雙曲線一一乙=1上一動點，則M到點（3,0）和

36

到直線x=l的距離之比為（）

A.1B.V2C.V3D.2

5.（5分）（2024?湖南模擬）如圖，在四面體P-A8C中，B4_L平面ABC,ACVCB,

AC=2BC=2,則此四面體的外接球表面積為（）

A.3TTB.9TtC.36TTD.48TT

6.（5分）（2024?湖南模擬）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入

大額存款ao元，按照復利計算，10年后得到的本利和為aio,下列各數(shù)中與巴及最接近的

a0

是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.（5分）（2024?湖南模擬）已知函數(shù)/（久）=sin（sx）+V5cos（3"），若沿x軸方向平移了

（%）的圖象，總能保證平移后的曲線與直線y=l在區(qū)間[0,可上至少有2個交點，至多

有3個交點，則正實數(shù)3的取值范圍為（）

A.[2,1）B.[2,學）C.卷，4）D.[2,4）

8.（5分）（2024?湖南模擬）過點尸（-1,0）的動直線與圓C：（x-a）2+（廠2）2=4Q

112

>0）交于A,8兩點，在線段A8上取一點。使得大+高薪=7^7，已知線段1尸。1

\PA\\PB\\pQ\

的最小值為魚，則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

（多選）9.（6分）（2024?湖南模擬）下列函數(shù)的圖象與直線y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=lnxC.j=siiu+lD.y=JC,+\

（多選）10.（6分）（2024?湖南模擬）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且c=6（2cosA+l）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.A=2B

B.若a=^6,則△ABC為直角三角形

11

C.若△ABC為銳角三角形，——--7的最小值為1

tanBtanA

D.若△ABC為銳角三角形，則:的取值范圍為（孝，季）

（多選）11.（6分）（2024?湖南模擬）如圖，點尸是棱長為2的正方體ABC。-481。。

的表面上一個動點，F(xiàn)是線段481的中點，則（）

A.若點P滿足APLBiC,則動點尸的軌跡長度為

B.三棱錐A-PB1D1體積的最大值為不

C.當直線AP與A8所成的角為45°時，點P的軌跡長度為兀+4立

D.當P在底面A8C。上運動，且滿足尸尸〃平面B1CD1時，線段PF長度最大值為2Vl

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）（2024?湖南模擬）對于非空集合P,定義函數(shù)萬（x）=1—1'XiP,已知集合

11,xeP

A^[x\Q<x<l],[x\t<x<2t],若存在xeR,使得必（x）+/B（X）>0,則實數(shù)，的

取值范圍為.

13.（5分）（2024?湖南模擬）已知橢圓—+—=1（?！盗Α?）與雙曲線-二=1,橢圓

azbzazbz

的短軸長與長軸長之比大于之則雙曲線離心率的取值范圍為.

2-----------------------------------

1

14.（5分）（2024?湖南模擬）函數(shù)次彳）=03?-03工在（0,271）范圍內(nèi)極值點的個數(shù)為

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）（2024?湖南模擬）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面BCCLBI,BC是圓柱底面

的直徑，O為底面圓心，A41為一條母線，E為CQ的中點，S.AB=AC=AAi=4.

（1）求證：OElABu

（2）求平面AB1E與平面81OE夾角的余弦值.

16.（15分）（2024?湖南模擬）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游

戲中有A,B,C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自

主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的

獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相

應的獎勵基金如表：

歌曲ABC

猜對的概率0.80.50.5

獲得的獎勵基金金額/元100020003000

（1）求甲按“A,B,C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；

（2）甲決定按“A,B,C”或者“C,B,A”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序

嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并

說明理由.

17.（15分）（2024?湖南模擬）已知函數(shù)/（%）—xi+ax^+bx+c（a,b,ceR）,其圖象的對

稱中心為（1,-2）.

（1）求a-b-c的值；

（2）判斷函數(shù)/（x）的零點個數(shù).

18.（17分）（2024?湖南模擬）已知數(shù)列｛斯｝的前“項和為品,滿足2S"+a〃=3；數(shù)列｛加｝

滿足bn+bn+l=2n+\其中61=1.

（1）求數(shù)列｛珈｝,｛仇｝的通項公式;

（2）對于給定的正整數(shù)iM=l,2,w）,在0?和由+1之間插入，個數(shù)以1,以2,…，

CH,使ai,CH,02,CU,%+1成等差數(shù)列.

（i）求Tn=Cll+C21+C22+-+Cnl+Cn2+-+Cnn；

1

bm-1H-----

（ii）是否存在正整數(shù)相，使得-------黑普恰好是數(shù)列｛而｝成｛加｝中的項？若存在，求

出所有滿足條件的根的值；若不存在，說明理由.

19.（17分）（2024?湖南模擬）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x="+l

表示過點（1,0）的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線

上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.

（1）若圓C1：久2+y2=1是直線族相什町=1（777,?￡R）的包絡曲線，求機，W滿足的

關(guān)系式；

（2）若點尸（xo,yo）不在直線族Q：（2a-4）x+4y+（a-2）2=0（aeR）的任意一條

直線上，求”的取值范圍和直線族。的包絡曲線E；

（3）在（2）的條件下，過曲線E上A,8兩點作曲線E的切線/1,12,其交點為P.已

知點C（0,1）,若A,B,C三點不共線，探究是否成立？請說明理由.

2024年湖南省九校聯(lián)盟高考數(shù)學第二次聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符

1.（5分）（2024?湖南模擬）對兩個變量尤和y進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)（對，戶）,

（北，”），…，（切，W），下列統(tǒng)計量的數(shù)值能夠刻畫其經(jīng)驗回歸方程的擬合效果的是

（）

A.平均數(shù)B.相關(guān)系數(shù)r

C.決定系數(shù)WD.方差

【考點】線性回歸方程.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求解.

【解答】解：平均數(shù)與方差是用來反饋數(shù)據(jù)集中趨勢與波動程度大小的統(tǒng)計量，

變量y和尤之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，則變量y和尤之間線性相關(guān)關(guān)系越強，

用決定系數(shù)爐來刻畫回歸效果，川越大說明擬合效果越好.

故選：C.

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?湖南模擬）已知｛.｝是等比數(shù)列，S〃是其前w項和.若.3-ai=3,SA=

5s2,則02的值為（）

A.2B.4C.±2D.±4

【考點】等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算.

【答案】C

2

arq—=3

a1（l—解可得的

）=5義（的+a）

｛1Q

值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

a】q2a1=3

若。3-01=3,S4=5S2,即、，

i-q=5x（為+a±q）

解可得：q=±2.

故選：C.

【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?湖南模擬）關(guān)于復數(shù)z與其共朝復數(shù)2,下列結(jié)論正確的是（）

A.在復平面內(nèi)，表示復數(shù)z和，的點關(guān)于虛軸對稱

B.z,zX）

C.z+2必為實數(shù)，z-2必為純虛數(shù)

D.若復數(shù)z為實系數(shù)一元二次方程"2+bx+c=0的一根，貝眩也必是該方程的根

【考點】共軌復數(shù)；虛數(shù)單位i、復數(shù)；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復數(shù)的定義，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：在復平面內(nèi)，表示復數(shù)z和2的點關(guān)于實軸對稱，故A錯誤；

當z=0時，選項8顯然錯誤，

當z=l時，2=1,

z-z=0,不滿足z—2必為純虛數(shù)，故C錯誤；

復數(shù)z為實系數(shù)一元二次方程以2+灰+0=0的一根，貝眩也必是該方程的根，故O正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

汽2y2

4.（5分）（2024?湖南模擬）已知M為雙曲線一一二-=1上一動點，則M到點（3,0）和

36

到直線x=l的距離之比為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【考點】雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】由已知求出雙曲線的離心率，再由雙曲線的第二定義得答案.

%4______

【解答】解：由雙曲線一一一=1,得〃2=3,/?2=6,則c=迎2+爐=3,

36

X2y2/12

???雙曲線二――二1的右焦點尸（3,0）,右準線方程為％=j=L

36c

由雙曲線的第二定義可知，M到點（3,0）和到直線尤=1的距離之比為e=（=b.

故選：C.

【點評】本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線第二定義的應用，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2024?湖南模擬）如圖，在四面體尸-ABC中，公平面ABC,AC±CB,PA=

AC=2BC=2,則此四面體的外接球表面積為（）

A.3TTB.9TTC.36nD.48it

【考點】球的體積和表面積.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；球；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意將三棱錐尸-ABC還原到長方體中，求出長方體的體對角線的長，即

可得外接球的直徑，從而可求出其表面積.

【解答】解：將四面體尸-ABC補形成長方體，長、寬、高分別為2,1,2,

外接球直徑等于體對角線長，故2R=+22+M=3,

所以外接球表面積為S=4ir7?2=9Tt.

故選：B.

【點評】本題考查了四面體外接球的表面積計算，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2024?湖南模擬）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入

大額存款ao元，按照復利計算，10年后得到的本利和為mo,下列各數(shù)中與也最接近的

a0

是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【考點】數(shù)列的應用.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；二項式定理；邏輯推理；

數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知每年末的本利和是以加為首項，1+3%為公比的等比數(shù)列，利用等

比數(shù)列的通項公式求出GO,進而求出處，利用二項式定理展開求近似值即可.

aO

【解答】解：存入大額存款項元，按照復利計算，

可得每年末的本利和是以ao為首項，1+3%為公比的等比數(shù)列，

所以aio=aoX(1+3%)10,

1O210

所以出=(1+3%)=1+Cl0XO.O3+Cl0X(0.03)+...+C.X(0.03)

a0

^1+0.3+0.0405=1.3405.

故選：D.

【點評】本題考查等比數(shù)列的應用，屬中檔題.

7.(5分)(2024?湖南模擬)已知函數(shù)/'(x)=sin(3久)+V5cos(3%),若沿x軸方向平移了

(x)的圖象，總能保證平移后的曲線與直線y=l在區(qū)間[0,用上至少有2個交點，至多

有3個交點，則正實數(shù)3的取值范圍為()

A.[2,1)B.[2,竽)C.[竽，4)D.[2,4)

【考點】函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變換.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【解答】解：由題知，f(x)=2s譏(3刀+芻，若沿無軸方向平移，考慮其任意性，

一1

不妨設(shè)得到的函數(shù)g(%)=2sin(o)x+(p),令g(x)=1,即+0)=,,

由正弦曲線性質(zhì)知，s譏％=]至少有2解，至多有3解，

8TC

則自變量x的區(qū)間長度在271到3之間，由于x€[0,TT],

則有27rM3?！椿?，即2W3V2

故選：A.

【點評】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.

8.(5分)(2024?湖南模擬)過點P(-1,0)的動直線與圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a

112

>0)交于A,B兩點,在線段AB上取一點Q,使得77777+7777=77TU，已知線段1尸。1

\PB\\PQ\

的最小值為e，則a的值為()

A.1B.2C.3D.4

【考點】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】直接利用直線與圓的位置關(guān)系，兩點間的距離公式求出a的值.

【解答】解：圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)的圓心(a,2),半徑為2,

所以圓與x軸相切，切點坐標為(a,0),連接PM,所以|PM]=a+l,

故|PM|2=|B411PBi=(a+1)2,

設(shè)AB的中點為D,連接CD,則COLAB,

如圖所示：

設(shè)圓心C到直線AB的距離為d,則0Wd<2,所以|出|+|尸2|=|尸。|+|4。|+|「。-3。|,

由于__+」_____7_士攵(a+/——

由于2|+|PB「附「故四一…小布才

.....(a+1)2(a+1)2

由于0Wd<2,所以I,、？W|PQ|

V(a+l)2+4-02V(a+1)+4-2

故”9：；),=力,解得。=1.

V(a+l)2+4-02

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：直線與圓的位置關(guān)系，主要考查學生的運算能力，屬于

中檔題.

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

（多選）9.（6分）（2024?湖南模擬）下列函數(shù)的圖象與直線>=尤+1相切的有（）

A.y=e:CB.y=lnxC.y=sinx+lD.y=x3+l

【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算.

【答案】AC

【分析】求出切點的坐標，代入切線方程，然后判斷即可.

【解答】解：對于A,y=e*,y'=",

設(shè)切點Qs,t）,貝卜="，函數(shù)的圖象與直線y=x+l相切，

可得e，=l,t=l,s=0,切點（0,1）,滿足題意.所以A正確；

1

對于5,y=lnx,y'=設(shè)切點（s,/）,

則，=1=1，

故s=l,

歷1=0,切點坐標（1,0）,不滿足y=x+l,所以B不正確；

對于C,y=sinx+l,y'=cosx,如果函數(shù)的圖象與直線y=x+l相切，切線的斜率為1,

cosx=1,可得一個切點坐標為（0,1）,滿足切線方程，所以。正確；

對于Z）,y=/+l,可得y'=2x2,切點為（s,力，切線的斜率為1時，2，=1,解得s

,V2,V2

=±——，t=l±—

24f

s,/代入切線方程，不成立，所以。不正確.

故選：AC.

【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義、切線方程的應用，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

（多選）10.（6分）（2024?湖南模擬）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

且（2cosA+l）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.A=2B

B.若。=遮匕，則△ABC為直角三角形

11

C.若△ABC為銳角三角形，一---7的最小值為1

tanBtanA

D.若△ABC為銳角三角形，則：的取值范圍為(孝，孥)

【考點】解三角形；正弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；解三角形；數(shù)學運算.

【答案】ABD

【分析】由題意及正弦定理可得A=2B,三角形中，由內(nèi)角之間的關(guān)系，分別對所給命

題的真假進行判斷.

【解答】解：因為c=Z?(2cosA+l),由正弦定理可得sinC=sin3(2cosA+l),

在△A8C中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

可得sin(A-可=sinB,

所以A-3=3,

即A=28,所以A選項正確;

B中，a=y/Sb,可得sinA=V3sinB,由A選項可得sin2B=Visin-

則2sin3cos3=V^sinB,在△A3C中，sinB>0,

可得cosB=竽，則B=l，A=l，所以C=*,即AABC為直角三角形，所以8選項正確;

C中，因為△ABC為銳角三角形，由A選項可得A=2B,

f0<F

Zr—

所以<0<4=28V*,可得々<BV?所以tanBE(―,1),

[oVC=7i-A-BV,

~…111l-tan2B1tanB

所以....-.....=---------------=------+-----，

tanBtanAtanB2tanB2tanB2

、V3

設(shè)s=tanBE(—,1),

3

1A/3

設(shè)g(S)=石+*在(W~，1)單調(diào)遞減，所以g(s)>g(1)=1,

所以C選項不正確；

csiYtCsinfji-A-B)sin3B

。中’△ABC為銳角三角形中‘￡=訴

sinAsin2B

sin2BcosB+cos2BsinBsinBCZcos2-B—l)。「1

--------------;------------------=cosB+

sin2B2sinBcosB~COS2cosB'

設(shè)t=cosB,

j0<B法兀

因為△ABC為銳角三角形，所以｛0<4=2BV±，可得，<BV會

\0<C=TI-A-B<^

V2V3

所以cosBe（一，—）,

22

rry[2V3

即tE（—，—）,

22

iV2V3

令/⑺=2.%怎（y,丁，則函數(shù)，⑺單調(diào)遞增，

f（-y）</（力</（/），而/號）=&一卡=￥，

即/卓）=遮—擊=竽，

ZV5J

-…V22V3

所以/'（f）G（―1—^一），

cV22V3

所以一e（一，一），所以。正確.

a23

故選：ABD.

【點評】本題考查正弦定理的應用和三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于

中檔題.

（多選）11.（6分）（2024?湖南模擬）如圖，點尸是棱長為2的正方體ABC。-AiBiCiDi

的表面上一個動點，尸是線段4功的中點，則（）

A.若點尸滿足APLBiC,則動點尸的軌跡長度為4位

B.三棱錐A-PB\D\體積的最大值為日

C.當直線AP與A8所成的角為45°時，點P的軌跡長度為兀+4加

D.當P在底面4BCD上運動，且滿足尸尸〃平面BiCDi時，線段PF長度最大值為2夜

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角；點、線、面間的距離計算；

棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】CD

【分析】作出圖形，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，分割補形法求體積，模型法，面面平行的性

質(zhì)，即可分別求解.

【解答】解：對A選項，如圖，

根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證平面48C1O1,

，當尸為矩形A8C1D1邊上的點（不含4）時，

都滿足APLB1C,

動點P的軌跡長度為矩形ABC1O1的周長，即為：4a+4,選項錯誤;

對B選項，如圖，當尸與C重合時，三棱錐體積最大，

此時三棱錐A-PB1D1為正四面體CABiDi,

8

，三棱錐A-PB1D1體積的最大值為23—4X*X*X23-

3???2選項錯誤;

當直線AP與AB所成的角為45°時,

點P的軌跡即為：Z\ABC以直角邊4B為軸旋轉(zhuǎn)所得圓錐與正方體表面的交線,

即點P的軌跡即為線段A81與線段AC和瓦t,（不含A點），

點尸的軌跡長度為4魚+與*2=4/+兀，；.C選項正確；

對。選項，如圖,

分別取A1D1,BBi,BC,CD,OD的中點E,G,H,I,J,

則根據(jù)面面平行的判定定理易得平面EFGHU〃平面BiCDi,

：.P為底面線段印上的點時，都滿足尸尸〃平面BiCDi,

又易知六邊形EFGH〃是邊長為近的正六邊形，如圖，

當尸與/重合時，線段PF的長度最大，

又易知族=返，：.IF^V2T6=2V2,

即線段尸尸長度最大值為2vL.,?￡(選項正確.

故選：CD.

【點評】本題考查正方體中動點軌跡問題，線面垂直的性質(zhì)，分割補形法的應用，面面

平行的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

1x史P

',已知集合

1,XEP

A^[x\Q<x<l],[x\t<x<2t],若存在xeR,使得必(x)+fB(x)>0,則實數(shù)r的

取值范圍為(0,1).

【考點】分段函數(shù)的應用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；集合；數(shù)學運算.

【答案】(0,1).

【分析】由題意知，ACBW0,由此列不等式組求得實數(shù)f的取值范圍.

t<l

【解答】解：由題意知，AC8=0,即

2t>0,

所以即實數(shù)f的取值范圍是（0,1）.

故答案為：（0,1）.

【點評】本題考查了集合的定義與應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

x2y2x2y2

13.（5分）（2024?湖南模擬）已知橢圓=+77=l（a〉6〉0）與雙曲線二—三=1,橢圓

a2bzazbz

的短軸長與長軸長之比大于士則雙曲線離心率的取值范圍為（―-V2）.

2-------2--------------

【考點】雙曲線的性質(zhì)；橢圓的性質(zhì).

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算.

【答案】（―,V2）.

2

【分析】由已知可得色的取值范圍，再由雙曲線的離心率公式求解即可.

a

【解答】解：由題意可知，-<—=-<L

22aa

,”八一—cyJa2+b2IbZV5-

則雙曲線禺心率一=-------=1+（-）2G（―,V2）.

CLCLCL2

故答案為：（"，V2）.

2

【點評】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?湖南模擬）函數(shù)次光）=/峻-在（0,2互）范圍內(nèi)極值點的個數(shù)為2.

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理.

【答案】2.

【分析】求導分析單調(diào)性，極值點，即可得出答案.

【解答】解：f'（x）=esinxcosx+eC0SXsinx=esinx+cosx

當xG（0,J時，/（x）>0,

當％e［兀，竽］時,f（x）<0,

當xeg,71）時，〃=siiu和M=COSX均為單調(diào)減函數(shù)，

又丫=/在“6（-1,1）上是單調(diào)增函數(shù)，

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知，9。）=喘+普為減函數(shù)，尸eSMx+cosx>0,

ee

又1G）>0,/（n）<0,

故函數(shù)，（無）在該區(qū)間上存在一個零點，該零點為函數(shù)/（x）的極值點，

當xe（手，2兀）時，"=sinx和〃=cosx均為單調(diào)增函數(shù)，又y=/在“6（-1,1）上

是單調(diào)增函數(shù)，

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知，3（?=嚅+黯為增函數(shù)，y=esinr+cos”>0,

又廣第vo,"（2n）>0,

故函數(shù)，（無）在該區(qū)間上存在一個零點，該零點為函數(shù)/（%）的極值點，

從而函數(shù)/（無）在（0,2TT）內(nèi)一共有2個極值點.

故答案為：2.

【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）（2024?湖南模擬）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面BCCLBI,BC是圓柱底面

的直徑，。為底面圓心，A41為一條母線，E為CQ的中點，且4B=AC=44i=4.

（1）求證：OEJ_A8i；

（2）求平面A21E與平面810E夾角的余弦值.

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；數(shù)學運算.

V2

【答案】（1）證明過程請見解答；（2）—.

2

【分析】（1）先證O4_L平面8CC181,可得OA_LOE,再證△O88isz；\ECO,推出0E

±OB1,然后結(jié)合線面垂直的判斷定理與性質(zhì)定理，即可得證；

（2）以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求平面與平面的夾角，即可得解.

【解答】(1)證明：因為AB=AC,點。是BC的中點，所以。1LBC,

由圓柱的性質(zhì)知，平面BC021，底面ABC,

因為平面BCCiBiA底面ABC=BC,OAu平面ABC,

所以平面BCCvBi,

又OEu平面BCCiBi,所以O(shè)ALOE,

在四邊形BCCiBi中，881=4,OB=OC=2a,CE=2,

所以空1=生=班，

OBCE

所以△0881s△ECO,

所以/B1OB=/OEC,

因為/EOC+/OEC=90°,所以NBiOB+NEOC=90°,即NBiOE=90°,

所以0EL021,

XOAQOBi=O,OA,O8]U平面。ABi,

所以O(shè)E_L平面0421,

因為ABiu平面。481,所以O(shè)E_LA8i.

(2)解：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0),Bi(4,0,4),E(0,4,2),O(2,2,0),

所以欣=(4,0,4),AE=(0,4,2),

'->T

設(shè)平面A81E的法向量為蔡=(x,y,z),則丁"i=°,即修=，二:

m-XE=01y―

取y=l,則x=2,z=-2,所以m=（2,1,-2）,

由（1）知，OA_L平面5CC1B1,即。4_L平面BiOE

->

所以平面為。￡的一個法向量為4。=（2,2,0）,

TT7r—

設(shè)平面ABLE與平面B1OE夾角為6,則cos6=|cos<m,^b>|=歲吧==乎，

\m\-\AO\3x2"乙

V2

故平面AB1E與平面B\OE夾角的余弦值為一.

2

【點評】本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面垂直的判斷定理與性質(zhì)定理，利

用向量法求平面與平面的夾角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能

力，屬于中檔題.

16.（15分）（2024?湖南模擬）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游

戲中有A,B,C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自

主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的

獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相

應的獎勵基金如表：

歌曲ABC

猜對的概率0.80.50.5

獲得的獎勵基金金額/元100020003000

（1）求甲按“A,B,C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；

（2）甲決定按“A,B,C”或者“C,B,A”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序

嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并

說明理由.

【考點】離散型隨機變量的期望與方差.

【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算.

【答案】⑴0.4；

（2）期望都是2200,按照“A,B,C”的順序猜歌名，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)互斥事件和獨立重復試驗的概率公式即可求解.

（2）先根據(jù)題意寫出甲決定按“A,B,C”的順序猜歌名獲得獎金數(shù)X的所有可能取值，

根據(jù)獨立重復試驗的概率公式求得每一個X取值對應的概率，由數(shù)學期望的計算方法得

出E(X)；再同理得出甲決定按“C,B,A”順序猜歌名的數(shù)學期望E(F)；最后可通

過計算、比較方差得出答案.

【解答】解：⑴由題意可知甲按“A,B,C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名分兩

種情況：

猜對A,B；猜對A,B,C,這兩種情況不會同時發(fā)生.

設(shè)“甲按'A,B,C的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E,

由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立可得：

P(￡)=P(ABC+ABC)=0.8X0.5X(1-0.5)+0.8X0.5X0.5=0.4.

(2)甲決定按“A,B,C”順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為X,

則X的所有可能取值為0,1000,3000,6000,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8X(1-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8X0.5X(1-0.5)=0.2,

P(X=6000)=0.8X0.5X0.5=0.2,

所以E(X)=0X0.2+1000X0.4+3000X0.2+6000X0.2=2200；

甲決定按“c,B,A”順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為y,

則Y的所有可能取值為0,3000,5000,6000,

p(y=o)=0.5,

P(y=3000)=0.5X(1-0.5)=0.25,

P(y=5000)=0.5X0.5X(1-0.8)=0.05,

P(y=6000)=0.5X0.5X0.8=0.2,

所以E(y)=0X0.5+3000X0.25+5000X0.05+6000X0.2=2200,

D(X)=(0-2200)2X0.2+(1000-2200)2X0.4+(3000-2200)2X0.2+(6000-2200)

2X0.2=4560000,

D(￥)=(0-2200)2X0.5+(3000-2200)2X0.25+(5000-2200)2X0.05+(6000-

2200)2X0.2=5860000,

由于E(X)=E(D,D(X)<D(y),所以應該按照“A,B,c”的順序猜歌名.

【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，是中檔題.

17.(15分)(2024?湖南模擬)已知函數(shù)/(%)—j^+aX'+bx+c(a,b,cCR),其圖象的對

稱中心為（1,-2）.

(1)求a-b-c的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的零點個數(shù).

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；利用導數(shù)研究函數(shù)的

極值.

【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算.

【答案】(1)-3；

(2)c>0時，函數(shù)有3個零點；

c=0時，函數(shù)有2個零點；

-3<c<0口寸，函數(shù)有1個零點.

【分析】(1)由己知可得y=/(x+l)+2為奇函數(shù)，然后結(jié)合奇函數(shù)的定義代入即可求

解；

(2)先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對。的范圍進行分類討論，然后結(jié)合函數(shù)零

點存在定理即可求解.

【解答】解：(1)因為無)的圖象的對稱中心為(1,-2),

所以>=/(尤+1)+2為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

所以/(-x+1)+2=-/(尤+1)-2,即/(尤+1)4/(-x+1)=-4,

所以(1+尤)(1+尤)“+b(1+x)+c+(1-x)^+a(1-x)~+b(1-x)+c--4,

整理得，(6+2。)x1+2a+2b+2c=-6,

所以6+2。=0,2a+2b+2c=-6,

解得a=-3,b+c=0,

所以a-6-c=-3；

(2)由(1)得，f(x)=x3-3X2-cx+c,f(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

當cW-3時，f(x)單調(diào)遞增，/(I)=-/<0,/(c2)—c6-3c4-C3+C^9<?4-3c4-c3+c

=6c4-C3+C=4C4+C4-c3+c4+c>0,

此時，函數(shù)/(x)有且僅有一個零點；

當-3<c<0時，f(x)=3/-6尤-c=0有兩個正根尤1<處XI+X2=2,XI無2=—1

又3xj—6xi-c=0,

故函數(shù)/(X)在(-8,XI)上單調(diào)遞增，在(尤1,X2)上單調(diào)遞減，在(X2,+°°)上

單調(diào)遞增，

2

因為/(xi)=—3%1—(xi-1)(3xi2-6xi)=-2xi—3xi+3)<0,f(3)=

-2c>0,

故函數(shù)/(光)有且僅有一個零點；

當c=0時，f(x)=/-3/有兩個零點；

當c>0時，f(x)=3/-6x-c=0有兩個根xi〈0Vx2,XI+X2=2,X\X2—-1<0,

故函數(shù)/(X)在(-8,XI)上單調(diào)遞增，在(XI,X2)上單調(diào)遞減，在(X2,+8)上

單調(diào)遞增，

所以/Gi)>f(0)=c>0,f(X2)</(1)=-2<0,

故/(x)有且僅有3個零點，

綜上，c>0時，函數(shù)有3