人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-與三角形有關(guān)的角（原卷版）

第02講與三角形有關(guān)的角

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1,掌握三角形的內(nèi)角和定理，并能夠利用三角形的內(nèi)

角和定理解相關(guān)題目

①三角形的內(nèi)角和定理2.掌握三角形的外角定理，并能夠利用三角形的外角

②三角形的外角定理定理解相關(guān)題目。

3.結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，外角定理，三角形的中

線、高線、角平分線解決相關(guān)題目。

思維導(dǎo)圖

直角三角形角的怪員

三角形的內(nèi)角和定理

三角形有關(guān)的角

三角形的外角定理

知識(shí)點(diǎn)01三角形的內(nèi)角和定理

i.三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容：

三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于。

2.三角形內(nèi)角和定理的證明：

證明思路：過三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線即可證明。

如圖：過點(diǎn)A作PQ平行于BC。

VPQ/7BC

.\ZB=；ZC=o

,/NPAB+NQAC+NBAC=。

/.NBAC+NB+NC=。

題型考點(diǎn)：①利用三角形的內(nèi)角和計(jì)算角度。②判斷三角形的形狀。

【即學(xué)即練11

1.在△48C中，/A-NB=35°,NC=55°,則等于（）

A.50°B.55°C.45°D.40°

【即學(xué)即練2】

2.在△48C中，//+48=141°,ZC+Z5=165°,則△A8C的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不存在這樣的三角形

知識(shí)點(diǎn)02直角三角形的性質(zhì)與判定

1.直角三角形的定義:

有一個(gè)角是直角的三角形。用及△N8C表示直角三角形ABC。

2.直角三角形的性質(zhì)：

直角三角形的兩個(gè)銳角。

數(shù)學(xué)語言：???△ABC是直角三角形，且/C=90。

?，?NA+NB=o

3.直角三角形的判定：

有兩個(gè)角的三角形是直角三角形。

數(shù)學(xué)語言：VZA+ZB=90°

AABC是二角形。

題型考點(diǎn)：①利用直角三角形的兩銳角互余以及三角形的內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算。

②直角三角形的判斷。

【即學(xué)即練1】

3.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于35°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）

A.145°B.125°C.65°D.55°

4.如圖，直線a〃人孔△/BC如圖放置，若Nl=28°,/2=80°,則的度數(shù)為（

A.62°B.52°C.38D.28°

【即學(xué)即練2】

5.對(duì)于下列四個(gè)條件：@ZA+ZB=ZC；②//：/B：NC=3：4：5,③N/=90°-ZB；④//=

Z5=0.5ZC,能確定△A8C是直角三角形的條件有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

知識(shí)點(diǎn)03三角形的外角定理

1.外角的定義：

如圖，三角形的一條邊與另一條邊的構(gòu)成的夾角叫做三角形的外角。

2.外角性質(zhì)：

①外角定理：三角形的一個(gè)外角等于.

即N1=o

②三角形的一個(gè)外角不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角。

③三角形的外角與相鄰的內(nèi)角=

④三角形的外角和都等于o

題型考點(diǎn)：根據(jù)外角定理求值。

【即學(xué)即練1】

6.已知：如圖所示，則//等于（）

A.60°B.70°C.50°D.80°

7.如圖所示.N/=10°,ZABC=9Q°,/ACB=/DCE,/ADC=/EDF,NCED=/FEG.則/尸的

度數(shù)等于（）

A.60°B.55°C.50°D.45°

題型精講

題型01內(nèi)角和判斷三角形的形狀

【典例1】

一個(gè)三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別如下，這個(gè)三角形是等腰三角形的是（）

A.40°,70°B.30°,90°C.60°,50°D.50°,20°

變式1:

在△NBC中，NN：/B：NC=3：4：5,則△A8C為（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.無法確定

變式2：

中，Z^=Azs=AzC,則△/BC是（）

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A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

變式3：

在△/BC中，如果//=50°,48=80°,那么這個(gè)三角形是（）

A.銳角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.直角三角形

題型02三角形內(nèi)角與外角綜合計(jì)算

【典例1】

如圖，在△NBC中，D為BC上一點(diǎn)、,Z1=Z2,N3=N4,/A4c=108°,則/D/C的度數(shù)為（）

變式1：

如圖，在△/BC中，N/=50°,Zl=30°，N2=40°,ND的度數(shù)是（）

B.120°C.130°D.140°

變式2：

如圖，△48C中，4D為△48C的角平分線，3￡1為△43C的高，/C=70°,/4BC=48°，那么/3是（)

A.59°B.60°C.56°D.22°

題型03三角形一個(gè)頂點(diǎn)上的角平分線與高線的夾角

【典例1】

如圖，在△N8C中，AD±BC,平分/8/C,若/BAE=3Q°,ZCAD=20°,則()

變式1：

已知：如圖，在△/BC中，是乙B/C的平分線，E為/。上一點(diǎn)，且M_L8C于點(diǎn)若NC=35

/DEF=15°,則的度數(shù)為（）

變式2：

如圖①，在△4BC中，4D平分NR4C,AELBC,N2=40°,ZC=70°.

（1）求NEUE的度數(shù)；

（2）如圖②，若把變成“點(diǎn)尸在。/的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)ELBC”,其它條件不變，求/DEB的

圖①圖②

題型04三角形的兩條內(nèi)角平分線形成的夾角

【典例1】

如圖，BD、CE是角平分線，交于。，若N/=50°,貝！J/3OC=

變式1變式2

變式1：

如圖，OB、OC^ZABC.N/C5的角平分線，NBOC=120°，則//=(

A.60°B.120°C.110°D.40°

變式2：

如圖，在△N8C中，ZA=52°,N48。與24C8的角平分線交于點(diǎn)Di,N/瓦力與//CDi的角平分線交

于點(diǎn)。2,依次類推，/ASD3與/NCD3的角平分線交于點(diǎn)。4,則/瓦為。的度數(shù)是.

題型05三角形的內(nèi)角平分線與外角平分線構(gòu)成的夾角

【典例1】

如圖所示，/N8C的內(nèi)角平分線與/NC3的外角平分線交于點(diǎn)P,已知/4=50°,ZP=.

變式1：

如圖，在△48C中，//8C和//C8的角平分線交于點(diǎn)。，延長(zhǎng)80與/NC8的外角平分線交于點(diǎn)。，若

ZDOC=48°,則ND=°.

變式2：

如圖，8/1和C/i分別是△/BC的內(nèi)角平分線和外角平分線，8/2是///〃的角平分線，。2是//CD的

角平分線，A43是//赤。的角平分線，。3是的角平分線，若乙4i=a,則N/2021為

題型06三角形的外角平分線構(gòu)成的夾角

【典例1】

如圖，△N5C的兩個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)O,若/4=80°,則NO等于（）

C.60°D.80°

變式1：

如圖，在△/8C中，BP平分/ABC,AP平分/NAC,CP平分△48C的外角連接NP,若/BPC

變式2：

如圖，在△4BC中，BD、CD分別平分N/2C、NACB,BG、CG分別平分三角形的兩個(gè)外角NE2C、ZFCB,

則/。和NG的數(shù)量關(guān)系為（)

A.ZD=yZGB.N￡?+NG=180°

C.ZD-^ZG=90°D-ZD=900卷NG

變式3：

綜合與探究：愛思考的小明在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過程中，對(duì)習(xí)題做了一定變式,

讓我們來一起看一下吧.在△/BC中，//3C與N/C3的平分線相交于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,如果/N=80°,那么°

(2)如圖2,作△/BC的外角NMBC,/NC8的平分線交于點(diǎn)°,試探究N。與的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)線段BP,QC交于點(diǎn)￡,在△8QE中，若/。=4/￡,求//的度

數(shù).

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.在探究證明三角形的內(nèi)角和定理時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明"三角形

內(nèi)角和是180°”的是（）

過C作EF//AB

作于點(diǎn)。

過AB一點(diǎn)D作DE//BC,DF//AC

延長(zhǎng)AC至阻過C作CE//AB

2.在△NBC中，ZA+ZB=141°，ZC+Z5=165°,則△48C的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不存在這樣的三角形

3.將一副三角尺按如圖所示的方式疊放，則N1的度數(shù)為（）

C.15°D.75

4.如圖，CD,CE分別是△A8C的高和角平分線,ZA=25°，ZB=65°,則/DCE度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.18D.15°

5.如圖，在△48C中，ZACB=90°，Z5=50°,DF//EB.若ND=70°,則//CD的度數(shù)為（）

6.如圖，在△48。中，角平分線3。，C￡相交于點(diǎn)〃.若/4=70°,則的度數(shù)是（）

A.60°B.90°C.110°D.125°

7.若直角三角形的一個(gè)銳角等于20°,則它的另外一個(gè)銳角等于（）

A.160°B.70°C.80°D.60°

8.如圖，NC1D和的平分線相交于點(diǎn)尸，若/C=28°,ZD=22°,則/尸的度數(shù)為（）

A.22°B.25°C.28°D.30°

9.在△48C中，如果N3=52°,ZC=68°,那么//的外角等于度.

10.在直角三角形中，兩個(gè)銳角的度數(shù)比為1：5,則較大的銳角度數(shù)為.

11.一張△A3C紙片，點(diǎn)M、N分別是AB、NC上的點(diǎn)，若沿直線折疊后，點(diǎn)/落在NC邊的下面H

的位置，如圖所示,則Nl,Z2,

12.如圖，/AOB=8Q°,0c平分N/O2,點(diǎn)