河北省廊坊市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期摸底試題含解析

PAGE21-河北省廊坊市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期摸底試題（含解析）留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次根式及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，再由交集的定義即可得解.【詳解】由題意，，，所以.故選：C.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在一個(gè)區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)存在定理推斷．【詳解】，，，在上有零點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理，在上連續(xù)的函數(shù)，若，則在上至少有一個(gè)零點(diǎn)．3.已知角終邊過點(diǎn)，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，再由兩角和的正切公式即可得解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊過點(diǎn)，所以，所以.故選：A.4.已知兩條直線，則（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩條直線平行的條件列式，由此求得的值.【詳解】由于，所以，解得.故選：C5.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】由題意，，，，所以.故選：C.6.設(shè)向量滿意，，，則=（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用向量的積的運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】設(shè)，，又由，所以，，解得，得，故選:B7.《易經(jīng)》中記載著一種幾何圖形-八卦圖，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，去測(cè)量當(dāng)?shù)匕素詧D的面積.如圖，現(xiàn)測(cè)得正八邊形的邊長(zhǎng)為，則整個(gè)八卦圖(包括中間的太極圖)的面積約為（）()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接正八邊形的中心及頂點(diǎn)，由余弦定理結(jié)合三角形面積公式即可得解.【詳解】連接正八邊形的中心及頂點(diǎn)，如圖，由題意，，，，設(shè)，則即，所以，所以整個(gè)八卦圖的面積.故選：B.8.已知函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出圖象，通過移動(dòng)結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的推斷即可得結(jié)果.【詳解】由題意，函數(shù)，的圖象如圖：方程的解為，方程的解為或；①當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，3；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，5；則實(shí)數(shù)m的取值范圍是：．故選：A.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.下列說法正確的是（）A.是的充分不必要條件B.“”的否定是“”C.若，則D.定義在上的偶函數(shù)的最大值為.【答案】AD【解析】【分析】由充分條件、必要條件的定義可推斷A；由特稱命題的否定可推斷B；由誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系及二倍角公式即可推斷C；由偶函數(shù)的性質(zhì)可求得，即可推斷D.【詳解】對(duì)于A，可推出，但推不出，所以是的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，命題“”為特稱命題，所以該命題的否定為“”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，即，所以，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以的最大值為，故D正確.故選：AD.10.等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，，則以下正確的是A. B.C.的最大值為 D.使得的最大整數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】先由題設(shè)求出等差數(shù)列的公差，再逐項(xiàng)推斷其正誤即可．【詳解】解：，，，，，數(shù)列的公差，故A錯(cuò)誤；，，故B正確；，當(dāng)時(shí)，取得最大值；，故D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】依據(jù)等差數(shù)列中的基本量的計(jì)算及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是求解此類問題的常見方法.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值是常見的方法.11.函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列推斷正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為D.要得到函數(shù)的圖象，只須要將的圖象向右平移個(gè)單位【答案】AD【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可推斷A、B、C；由三角函數(shù)圖象的變換及誘導(dǎo)公式可推斷D.【詳解】由函數(shù)的最大值為2可得，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期滿意，所以，，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以即，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以直線不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；將圖象向右平移個(gè)單位可得的函數(shù)為：，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，細(xì)心計(jì)算即可得解.12.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿意，設(shè)函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)B.是函數(shù)的極大值點(diǎn)C.函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)D.時(shí)，不等式恒成立【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)，求導(dǎo)，再依據(jù)，推斷正負(fù)，得到的單調(diào)性再逐項(xiàng)推斷.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，則遞減；當(dāng)時(shí)，，，則遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，所以不等式恒成立，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是發(fā)覺的導(dǎo)數(shù)，與條件的關(guān)聯(lián)，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而探討函數(shù)的極值，最值以及零點(diǎn)和恒成立問題.三?填空題：本題共4小，每小題5分，共20分.13.圓的圓心到直線的距離為，則__________.【答案】；【解析】【分析】首先圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】，圓心到直線的距離，解得：.故答案為：14.若實(shí)數(shù)滿意不等式組，則的最大值為__________.【答案】3【解析】【分析】由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖，設(shè)，則，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取最大值，由可得點(diǎn)，所以.故答案：3.15.橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，橢圓上的點(diǎn)滿意：且，則_________.【答案】1【解析】【分析】先依據(jù)數(shù)量積運(yùn)算得，再結(jié)合橢圓的定義與余弦定理即可得.【詳解】解：因?yàn)榍遥?，由橢圓的定義得，故所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于應(yīng)用定義與余弦定理列方程求解得.16.定義在上的函數(shù)滿意且.當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)在區(qū)間上全部的零點(diǎn)之和為__________.【答案】【解析】【分析】由是周期函數(shù)，奇函數(shù)，得對(duì)稱中心，又也有對(duì)稱性，利用對(duì)稱性及單調(diào)性得的圖象與圖象的交點(diǎn)的性質(zhì)，也即零點(diǎn)的性質(zhì)，從而可得和．可畫出圖象說明．【詳解】得，是偶函數(shù)，，是周期為4的周期函數(shù)，因此可得的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱．是奇函數(shù)，它關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間上全部的零點(diǎn)，即為方程的解，在同一坐標(biāo)系中作出和的大致圖象，如圖，它們?cè)谏嫌?個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)從小到大依次為，其中，，由對(duì)稱性知，∴，∴題中零點(diǎn)和為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)之和，解題時(shí)把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)的性質(zhì)特殊是對(duì)稱性，視察出交點(diǎn)的對(duì)稱性，得出交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量而（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由平面對(duì)量垂直的坐標(biāo)表示可得，即可得解；（2）由平面對(duì)量夾角的坐標(biāo)表示及三角恒等變換可得，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，，，由可得；（2）由題意，，，，，，.18.已知各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，a1=2，在①S3=6；②；③4a2，a3，a5成等差數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充為條件，并作答：（1）求an；（2）設(shè)bn=nan，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn；注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，選①：求出即得解；選②：依據(jù)已知求出即得解；選③：求出即得解.（2）求出，再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，選①：選②：選③：（2）兩式相減得，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分組求和法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）錯(cuò)位相減法；（5）倒序相加法.要依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)特征，選擇對(duì)應(yīng)的方法求和，本題選擇的是錯(cuò)位相減法求和.19.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)將已知式子中的三角函數(shù)化為正弦，再利用正弦定理統(tǒng)一為邊，然后利用余弦定理可求得結(jié)果；（2）先利用利用正弦定理得，，再求出，即可求得答案【詳解】解：（1），，，（2），，即周長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于給的條件是邊角關(guān)系混合在一起的問題，一般地，應(yīng)運(yùn)用正弦定理和余弦定理，要么把它統(tǒng)一成邊的關(guān)系，要么統(tǒng)一成角的關(guān)系，再利用三角形的有關(guān)學(xué)問、三角恒等變換方法、代數(shù)恒等變形方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)，從而可得結(jié)果20.2024年是充溢挑戰(zhàn)的一年，但同時(shí)也是充溢機(jī)遇?蓄勢(shì)待發(fā)的一年.突如其來的疫情給世界帶來了巨大的沖擊與變更，也在客觀上使得人們更加重視科技的力氣和潛能.某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).假設(shè)該企業(yè)第一年年初有資金5000萬(wàn)元，并將其全部投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)料以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同.公司要求企業(yè)從第一年起先，每年年底上繳資金萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬(wàn)元（1）推斷是否為等比數(shù)列？并說明理由；（2）若企業(yè)每年年底上繳資金，第年年底企業(yè)的剩余資金超過萬(wàn)元，求的最小值.【答案】（1）答案見解析；（2）6.【解析】【分析】（1）由題意得，從而得，而當(dāng)，即時(shí)，所以不是等比數(shù)列；（2）由（1）可知，，由可得，然后利用單調(diào)遞增，可得答案【詳解】解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.當(dāng)，即時(shí)，不是等比數(shù)列（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，，即，法一：易知單調(diào)遞增，又，，，，的最小值為6法二：，，的最小值為6.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，屬于難題.解決該問題應(yīng)當(dāng)留意的事項(xiàng)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)當(dāng)留意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很簡(jiǎn)單被忽視的問題；(3)利用函數(shù)的方法探討數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)精確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，留意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.21.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1.（1）求拋物線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與拋物線交于，兩點(diǎn)(不同于點(diǎn))，以為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn).【解析】【分析】（1）由拋物線的性質(zhì)可得，即可得解；（2）設(shè)直線方程，，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得、，轉(zhuǎn)化條件為，代入運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，即可得解.【詳解】（1）由題意得，，拋物線的方程為；（2）設(shè)直線方程為：，，聯(lián)立得，以為直徑的圓過點(diǎn)，，均存在且不為0，，，同理，，即，，，驗(yàn)證，，直線經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得、，再將點(diǎn)在圓上轉(zhuǎn)化為，最終結(jié)合直線過定點(diǎn)即可得解.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，推斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；（3）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）無零點(diǎn)，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，干脆求切線方程；（2）首先求導(dǎo)，并推斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，以及利用零點(diǎn)存在性定理說明存在使，并利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)