不定積分的換元積分法與分部積分法

復(fù)習(xí)引入(Introduction)在上次課中，我們學(xué)習(xí)了“不定積分的概念和性質(zhì)”給出了“基本積分公式表”。但是，對(duì)于形如這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表我們就無能為力了。為此，……9/8/20241第三節(jié)換元積分法與分部積分法

第四章一、換元積分法二、分部積分法三、小結(jié)與思考題9/8/20242設(shè)可導(dǎo),則有基本思路

9/8/20243一、第一類換元積分法定理1

則有換元公式(也稱配元法,湊微分法)9/8/20244解

9/8/20245解

所以9/8/20246解

9/8/20247例4

求答案：例5

求例6

求答案：例7

求答案:例8

求答案：或9/8/20248答案：

答案：

答案：

答案：

答案：

自學(xué)課本例149/8/20249對(duì)于形如高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-22m、n都為偶數(shù)時(shí)，用倍角公式降低冪次.9/8/202410例求積分高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-189/8/202411例8

求答案：或9/8/202412例求積分高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-129/8/202413例求積分高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-169/8/202414例求積分同理高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-279/8/202415幾種常見的湊微分類型：高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-289/8/202416高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-299/8/202417高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-299/8/202418思考與練習(xí)1.

若提示:9/8/202419例求積分高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-249/8/202420二、第二類換元法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則用第二類換元積分法

.難求，9/8/2024211.根號(hào)里是一次式，令整個(gè)根號(hào)為t2.根號(hào)里是二次式，令適當(dāng)?shù)娜亲儞Q第二換元的目的是化去根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

08-089/8/202422例求積分高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

08-06－根式代換法：9/8/202423求積分高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

07-149/8/202424二、第二類換元法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則用第二類換元積分法

.難求，9/8/202425是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則則有換元公式定理2設(shè)9/8/2024261.根號(hào)里是一次式，令整個(gè)根號(hào)為t2.根號(hào)里是二次式，令適當(dāng)?shù)娜亲儞Q第二換元的目的是化去根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令高等數(shù)學(xué)第三章第二節(jié)

08-089/8/202427解:

令則∴原式例14求9/8/202428解:

令則∴原式例15求9/8/202429解:令則∴原式例16求9/8/202430或從上面三個(gè)例子，可以看出如果被積函數(shù)含有：可作代換可作代換可作代換9/8/202431解

于是9/8/202432

常用基本積分公式的補(bǔ)充

9/8/2024339/8/202434新知識(shí)引入(Introduction)前面，我們利用復(fù)合函數(shù)的求到法則得到了“換元積分法”

。但是，對(duì)于形如的積分用直接積分法或換元積分法都無法計(jì)算.

注意到，這些積分的被積函數(shù)都有共同的特點(diǎn)——都是兩種不同類型函數(shù)的乘積。這就啟發(fā)我們把兩個(gè)這就是另一個(gè)基本的積分方法：分部積分法.

函數(shù)乘積的微分法則反過來用于求這類不定積分，9/8/202435積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.由導(dǎo)數(shù)乘法公式：9/8/202436第四章（IntegrationbyParts）例18

求解:

令則∴原式另解:令則∴原式三、分部積分法答案9/8/202437解

原式解

.9/8/202438解:

令則原式=例22求9/8/202439解

9/8/202440解:

令則∴原式例24求9/8/202441解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.例25

求自學(xué)課本例26、289/8/202442解:

令則原式令例26求9/8/202443把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪三指”

的順序,前者為后者為例5（補(bǔ)充題）求解:

令,則原式=反:反三角函數(shù)對(duì):

對(duì)數(shù)函數(shù)冪:

冪函數(shù)指:

指數(shù)函數(shù)三:

三角函數(shù)解題技巧:（自學(xué)課本例5～6）9/8/202444解:

令,則原式=例6（補(bǔ)充題）求9/8/202445本節(jié)小結(jié)2.分部積分公式(1)使用原則:易求出,易積分(2)使用經(jīng)驗(yàn):“反對(duì)冪三指”

,前u

后(3)題目類型:分部化簡(jiǎn);循環(huán)解出;遞推公式1.換元積分法9/8/202446課后練習(xí)習(xí)題4-32單數(shù);3單數(shù)思考與練習(xí)1.

下列各題求積方法有何不同?9/8/2024472.

下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令9/8/2