2022年下半年教師資格證《高中數(shù)學(xué)》真題及答案_第1頁
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2022年下半年教師資格證《高中數(shù)學(xué)》真題及答案[單選題]1.極限的值是()。A.-1B.C.D.1正確答案:C參考解析:本題主要考查極限的相關(guān)知識(shí)。由洛必達(dá)法則得,,C項(xiàng)正確。A、B、D三項(xiàng):與題干不符,排除。故正確答案為C。[單選題]2.函數(shù)的間斷點(diǎn)有()。A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無窮多個(gè)正確答案:C參考解析:本題主要考查間斷點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)。函數(shù)在,即x=1或x=2處無定義,其余點(diǎn)皆連續(xù),因此函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)間斷點(diǎn),C項(xiàng)正確。A、B、D三項(xiàng):與題干不符,排除。故正確答案為C。[單選題]3.曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是()。A.y=2x-1B.y=2x+1C.y=3x-1D.y=3x+1正確答案:D參考解析:本題主要考查切線方程的相關(guān)知識(shí)。對(duì)求導(dǎo)得,,因此當(dāng)x=0時(shí),,所以曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y-1=3(x-0),即y=3x+1。D項(xiàng)正確。A、B、C三項(xiàng):與題干不符,排除。故正確答案為D。[單選題]4.矩陣的秩是()。A.1B.2C.3D.4正確答案:C參考解析:本題主要考查矩陣的相關(guān)知識(shí)。對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換,,因此矩陣的秩為3。C項(xiàng)正確。A、B、D三項(xiàng):與題干不符,排除。故正確答案為C。[單選題]5.已知與是非零向量,則“”是“”的()。A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件正確答案:B參考解析:本題主要考查向量的相關(guān)知識(shí)。設(shè)非零向量與的夾角為。若,則,,又,則,可得;若,則,,=0。因此“”是“”的充要條件。B項(xiàng)正確。A、C、D三項(xiàng):與題干不符,排除。故正確答案為B。[單選題]6.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲4次,其中有2次正面朝上的概率是()。A.B.C.D.正確答案:B參考解析:本題主要考查概率的相關(guān)知識(shí)。將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲4次,其中有2次正面朝上的概率是。B項(xiàng)正確。A、C、D三項(xiàng):與題干不符,排除。故正確答案為B。[單選題]7.“文華逾九章,拓?fù)涔奖胧穬?cè);俊杰勝十書,機(jī)器證明譽(yù)寰球”是對(duì)數(shù)學(xué)家成就的高度概括,這位數(shù)學(xué)家是()。A.吳文俊B.蘇步青C.祖沖之D.李善蘭正確答案:A參考解析:本題主要考查數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)。A項(xiàng):“文華逾九章,拓?fù)涔奖胧穬?cè);俊杰勝十書,機(jī)器證明譽(yù)寰球”是對(duì)數(shù)學(xué)家吳文俊的高度概括,吳文俊的研究工作涉及數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域,其主要成就表現(xiàn)在拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)機(jī)械化兩個(gè)領(lǐng)域。他為拓?fù)鋵W(xué)做了奠基性的工作;他的示性類和示嵌類研究被國(guó)際數(shù)學(xué)界稱為“吳公式”,“吳示性類”,“吳示嵌類”,至今仍被國(guó)際同行廣泛引用,A項(xiàng)正確。B項(xiàng):蘇步青是中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、教育家,中國(guó)微分幾何學(xué)派創(chuàng)始人,被譽(yù)為“東方國(guó)度上燦爛的數(shù)學(xué)明星”、“東方第一幾何學(xué)家”、“數(shù)學(xué)之王”,主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究,在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)研究方面取得出色成果,在一般空間微分幾何學(xué)、高維空間共軛理論、幾何外型設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)等方面取得突出成就,不符合題干,排除。C項(xiàng):祖沖之是南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,他在劉徽開創(chuàng)的探索圓周率的精確方法的基礎(chǔ)上,首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位,不符合題干,排除。D項(xiàng):李善蘭是中國(guó)近代著名的數(shù)學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)和植物學(xué)家,創(chuàng)立了二次平方根的冪級(jí)數(shù)展開式,研究各種三角函數(shù),反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式(現(xiàn)稱“自然數(shù)冪求和公式”),這是李善蘭也是19世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)界最重大的成就,不符合題干,排除。故正確答案為A。[單選題]8.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不包括()。A.數(shù)學(xué)建模B.數(shù)學(xué)文化C.數(shù)據(jù)分析D.數(shù)學(xué)運(yùn)算正確答案:B參考解析:本題主要考查課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)知識(shí)?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。B項(xiàng)正確。A、C、D三項(xiàng):與題干不符,排除。故正確答案為B。[問答題]1.已知由方程所確定的隱函數(shù)為,求。正確答案:詳見解析參考解析:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),可得,整理得,將x=0代入方程,得y(0)=1,故。[問答題]2.已知兩點(diǎn),,求垂直且平分線段的平面方程。正確答案:詳見解析參考解析:設(shè)垂直且平分線段的平面為,則平面過線段的中點(diǎn)M(2,-1,1),且向量是平面的一個(gè)法向量,因此平面的方程為2(x-2)+2(y+1)-4(z-1)=0,即x+y-2z+1=0。故垂直且平分線段的平面方程為x+y-2z+1=0。[問答題]3.甲、乙兩個(gè)工廠為某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品,次品率分別為2%、1%。已知甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占這批產(chǎn)品總數(shù)的40%、60%,公司質(zhì)檢員從中任意抽取一件產(chǎn)品。(1)求這件產(chǎn)品是次品的概率;(5分)(2)若這件產(chǎn)品是次品,求該產(chǎn)品出自甲工廠的概率。(2分)正確答案:詳見解析參考解析:(1)“抽到的產(chǎn)品是甲工廠生產(chǎn)的”記為事件A,“抽到的產(chǎn)品是乙工廠生產(chǎn)的”記為事件B,“抽到的產(chǎn)品是次品”記為事件C,則任意抽取一件產(chǎn)品,這件產(chǎn)品是次品的概率為。(2)若抽取的產(chǎn)品是次品,則該產(chǎn)品出自甲工廠的概率為。[問答題]4.分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,簡(jiǎn)述分類的原則和學(xué)習(xí)分類的意義。正確答案:詳見解析參考解析:一般地,分類應(yīng)保證“不重不漏”,因此在分類時(shí)應(yīng)遵循以下原則:(1)同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類依據(jù)。如將三角形分為銳角三角形、鈍角三角形和等腰直角三角形,分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一,這顯然是錯(cuò)誤的。(2)互斥性原則。分類后的每個(gè)情況應(yīng)當(dāng)互不相容,也就是分類后不能有一些事物既屬于這個(gè)情況,又屬于另一個(gè)情況。如將實(shí)數(shù)分為非正數(shù)和非負(fù)數(shù)是錯(cuò)誤的,因?yàn)榉钦龜?shù)和非負(fù)數(shù)都包含0。(3)層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分,一次分類是對(duì)被討論對(duì)象只分類一次;多次分類是把分類后所得的情況再進(jìn)行分類,直至滿足需要為止,分層不能越級(jí)。如實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù),有理數(shù)又分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。學(xué)習(xí)分類討論的意義:①將題目化難為簡(jiǎn),提高學(xué)生的發(fā)散思維。②把抽象思維變成形象思維,進(jìn)而解決相應(yīng)的問題。③運(yùn)用分類思想能夠幫助學(xué)生有條理、有順序、不重復(fù)、不遺漏地歸納整理知識(shí),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。④加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,提高做題的有效性。[問答題]5.結(jié)合拋擲硬幣的試驗(yàn),簡(jiǎn)述概率和頻率的區(qū)別與聯(lián)系。正確答案:詳見解析參考解析:概率和頻率的區(qū)別與聯(lián)系:(1)概率和頻率都是統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)各元件發(fā)生的可能性大小。(2)頻率是概率的近似值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會(huì)越來越接近慨率;概率是系統(tǒng)固有的準(zhǔn)確值,是客觀存在的,與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)。(3)在實(shí)際問題中,通常頻率值容易得到,因此常用頻率作為概率的估計(jì)值。比如,投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,正面朝上是一個(gè)隨機(jī)事件,如果僅拋擲10次,正面朝上的次數(shù)可能是1~10次,結(jié)果不能確定,如果做成下上萬次試驗(yàn),出現(xiàn)正面的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在0.5;從概率的角度看,投擲硬幣1次出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5,與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)。[問答題]6.求線性方程組的通解。正確答案:詳見解析參考解析:由題可得線性方程組的增廣矩陣為,對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等變換得,得,可求基礎(chǔ)解系如下:令,

;令,得特解,因此線性方程組的通解為

,其中k為任意常數(shù)。[問答題]7.“幾何與代數(shù)”是高中數(shù)學(xué)必修課程內(nèi)容中的一個(gè)主題,該主題的內(nèi)容包括立體幾何、平面解析幾何、平面向量、空間向量、復(fù)數(shù),試論述:(1)將“幾何與代數(shù)”整體設(shè)計(jì)為一個(gè)主題的緣由;(6分)(2)復(fù)數(shù)與平面向量之間的關(guān)系。(9分)正確答案:詳見解析參考解析:(1)將“幾何與代數(shù)”整體設(shè)計(jì)為一個(gè)主題,主要有以下兩方面原因。①高中課程的需求。高中數(shù)學(xué)中,幾何與代數(shù)是聯(lián)系密切的整體,特別是向量作為溝通幾何與代數(shù)的橋梁,很好地將幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算融合在一起,即將形與數(shù)結(jié)合在一起。高中課程的這一特點(diǎn)決定了將“幾何與代數(shù)”整體設(shè)計(jì)為一個(gè)主題有利于課程內(nèi)容的連貫和完整。②學(xué)生學(xué)習(xí)的需求。代數(shù)用法則和公式能夠有效地對(duì)抽象的知識(shí)進(jìn)行推理,但缺乏直觀;幾何源自于圖形的發(fā)展,比較直觀易懂,但卻難以得到深化。因此,只有將兩者結(jié)合起來,幾何為抽象的代數(shù)提供原始的模型,代數(shù)為幾何提供有效的方法,才有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。(2)復(fù)數(shù)本質(zhì)上是有序數(shù)對(duì),因此復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為用向量方法解決復(fù)數(shù)問題或用復(fù)數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件,如復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算可以用向量的加減運(yùn)算的平行四邊形法則或三角形法則來理解。[問答題]8.案例:某習(xí)題課上有這樣一道習(xí)題,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。某同學(xué)的解法如下:函數(shù),由于是增函數(shù),所以只需求的增區(qū)間,因?yàn)?,易見該二次函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。(1)指出這名學(xué)生在求解過程中的錯(cuò)誤,并敘述理由;(8分)(2)給出上述題目的正確解答過程。(12分)正確答案:詳見解析參考解析:(1)這名學(xué)生的求解過程主要有下面兩處錯(cuò)誤:①?zèng)]有考慮函數(shù)的定義域,即要在定義域內(nèi)求函數(shù)的增區(qū)間;②該生在求二次函數(shù)的增區(qū)間時(shí),錯(cuò)誤地認(rèn)為函數(shù)值大于零的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間。(2)函數(shù),由可知,函數(shù)的定義域?yàn)?,令,由于y=lnt是增函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則,只需求二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,易得該二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。[問答題]9.(材料)下面是某高中數(shù)學(xué)教材“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)的內(nèi)容片段:取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn),套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓。如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點(diǎn)、(如圖所示),套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,畫出的軌跡是什么曲線?在這一過程中,移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么?把細(xì)繩的兩端拉開一段距離,移動(dòng)筆尖的過程中,細(xì)繩的長(zhǎng)度保持不變,即筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)。我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)(大于||)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓(ellipse)。這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距。由橢圓的定義可知,上述移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是橢圓。下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,建立橢圓的方程。根據(jù)上面的內(nèi)容,完成下列任務(wù):(1)寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程(設(shè)橢圓的焦距為2c,繩長(zhǎng)為2a,焦點(diǎn)在x軸上);(10分)(2)根據(jù)材料設(shè)計(jì)這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì),包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)過程(含引導(dǎo)學(xué)生研究的活動(dòng)和設(shè)計(jì)意圖)。(20分)正確答案:詳見解析參考解析:(1)以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)、的直線為x軸,線段的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖所示:設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),橢圓的焦距為2c(c>0),那么焦點(diǎn)、的左邊分別為(-c,0)、(c,0),由于繩長(zhǎng)是2a,根據(jù)橢圓的定義,點(diǎn)M與焦點(diǎn)、的距離之和為2a。由橢圓的定義可知,橢圓可看作點(diǎn)集,,因?yàn)椋?,所以,化?jiǎn)可得,等式兩邊同除以得,,有橢圓得定義可知,2a>2c>0,即a>c,所以,假設(shè),那么橢圓方程可簡(jiǎn)化為。(a>b>c)。(2)教學(xué)目標(biāo):①了解橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程是什么;理解橢圓方程是如何推導(dǎo)形成的;應(yīng)用橢圓方程解決實(shí)際問題。②通過自主探究與小組討論等活動(dòng),提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。③激發(fā)求知欲,培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、勤于動(dòng)腦的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重點(diǎn):橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)過程:環(huán)節(jié)一:情境導(dǎo)入教師活動(dòng):教師拿出之前準(zhǔn)備好的器具,并向?qū)W生展示繪制過程:取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩,把細(xì)繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點(diǎn)處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖。接著引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察,提出問題:看看你能畫出什么曲線?。學(xué)生活動(dòng):就教師的提問展開獨(dú)立思考或進(jìn)行討論。教師活動(dòng):針對(duì)學(xué)生表現(xiàn),順勢(shì)引出課題《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》【設(shè)計(jì)意圖】這樣的過程可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考。環(huán)節(jié)二:新課講授①初步感知教師活動(dòng):教師組織學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,提出問題:如果改變定長(zhǎng)和定點(diǎn),觀察所畫的曲線有什么共同的特點(diǎn),你能用數(shù)學(xué)語言刻畫這些曲線上的點(diǎn)滿足的條件嗎?給予一定的時(shí)間,組織學(xué)生自主探究再回答,教師針對(duì)學(xué)生的回答結(jié)果做相應(yīng)評(píng)價(jià)。學(xué)生活動(dòng):通過自主探究,學(xué)生回答出橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)。教師活動(dòng):教師給出橢圓的定義。平面內(nèi)一點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)(大于||)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。②小組討論教師活動(dòng):教師再次拋出問題:根據(jù)橢圓的定義,如果橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,那么你能求出橢圓的方程嗎?教師組織學(xué)生根據(jù)目標(biāo)問題四人一組進(jìn)行討論,教師進(jìn)行巡視指導(dǎo),交流討論結(jié)束后,找學(xué)生代表回答討論結(jié)果,教師評(píng)價(jià)。學(xué)生活動(dòng):預(yù)設(shè)學(xué)生給出推導(dǎo)過程,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由橢圓的定義可知,橢圓可看作點(diǎn)集,,因?yàn)?,,所以,化?jiǎn)可得,等式兩邊同除以得,,有橢圓得定義可知,2a>2c>0,即a>c,所以,假設(shè),那么橢圓方程可簡(jiǎn)化為(a>b>c)。③總結(jié)歸納教師活動(dòng):教師給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并組織學(xué)生梳理和總結(jié)本節(jié)新課的重難點(diǎn)并展示相關(guān)例題,引

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