2024中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)勾股定理之“出水芙蓉”模型（含答案）

2024中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)勾股定理之“出水芙

蓉”模型

勾股定理之“出水芙蓉''模型

D【知識梳理】

出水芙蓉類題和風(fēng)吹樹折類題一樣，數(shù)學(xué)知識本身其實(shí)很簡單，考查的就是句股定理，正確設(shè)出未知數(shù)列方程

就能求解,但是對很多同學(xué)來說，它的難點(diǎn)也是語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。

Q【考點(diǎn)剖析】

一、單選題

畫司］）（2021?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測）（數(shù)學(xué)文化）我國古代著作《九章算術(shù)》中有一“引葭赴岸”問題:“今有

池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何.”其大意為:有一水池一丈見

方，池中間生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊平齊（如圖），問水有多

深，該植物有多長？其中一丈為十尺，設(shè)水深為2尺,則可列方程為（）

B.(x—1)2+52=x2C.(x+1)2+52=x2D.(x+1)2=a;2+52

題目團(tuán)（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）如圖是一圓柱形玻璃杯，從內(nèi)部測得底面直徑為12cm，高為16cm,

現(xiàn)有一根長為25cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25—2V73cm

題目0（2022秋?八年級單元測試）如圖，八年級一班的同學(xué)準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿

4B豎直插到水底，此時竹竿48離岸邊點(diǎn)。處的距離8=0.8米.竹竿高出水面的部分AD長0.2米，如

果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)。處,竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

題目回（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮BA,高出水面的部分AC為1米,

一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊,花朵齊及水面（即AB=DB），已知紅蓮移動的水平距離CD為3米,則湖水

深CB為（）

A.3米B.3米C.4米D.12米

〔題目回（2022春?河南三門峽?八年級?？茧A段練習(xí)）將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm,高為

12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露出在杯子外面長為無cnz,則h的取值范圍是（）

A.0W無412B.12&九413C.114無&12D.124九424

題目回（2023春?河南三門峽?八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個飲料罐,下底面半徑是5，上底面半徑是8,高是

12,上底面蓋子的中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔

的大小忽略不計）的取值范圍是（）

A.12<a<13B.12<a<15C.5<a<12D.5<a<13

題目叵〕（2020秋?河南新鄉(xiāng)?八年級?？计谥校┤鐖D,是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為4cm、3cm、

12cm，現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入盒的底部，則吸管漏在盒外面的部分/i（cm）的取值范圍為（）

A.3<ft,<4B,34九44C.2&h44D.h=4

題目叵〕（2022春?湖南長沙?八年級校考階段練習(xí)）如圖所示,將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為

5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長為hcnz,則h的取值范圍是（）

A.Q<h<llB.114無<12C.九>12D.0<h<12

二、填空題

題目⑥（2022春?廣西梧州?八年級?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》卷九“勾股”中記載:今有戶不知高廣，竿不知長短,

橫之不出四尺，縱之不出二尺,斜之適出，問戶斜幾何，意思是:一根竿子橫放，竿比門寬長出四尺;豎放，竿

比門高長出二尺,斜放恰好能出去，則竿長是尺.

Wt?（2021?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題:“今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺,引葭赴岸，適與岸齊，問水深,葭長各幾何?”題意是:有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，

一棵蘆葦AC生長在它的中央,高出水面部分BC為1尺,如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，

那么蘆葦?shù)捻敳?。恰好碰到岸邊的。處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是尺.

題目①（2022秋?四川達(dá)州?八年級?？计谀┈F(xiàn)將一支長20cm的金屬筷子（粗細(xì)忽略不計）放入一個長和

寬分別為8cm,6cm的長方體水槽中,要使水完全淹沒筷子，則水槽中的水深至少為cm.

三、解答題

題目叵（2021?全國?八年級專題練習(xí)）讀詩求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動有6尺，求

水深幾何請你算”.

題目應(yīng)（2023春?湖北武漢?八年級武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個直徑為12cm的杯子，在它

的正中間豎直放一根筷子,筷子漏出杯子外2cm,當(dāng)筷子倒向杯壁時（筷子底端不動）,筷子頂端正好觸到杯

口，求筷子長度.

題目&J（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）一株荷葉高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼著水面,這時它

偏離原來的位置有2米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度.

題目E（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，一個直徑為12cm（即BC=12cm）的圓柱形杯子，在杯子底

面的正中間點(diǎn)E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG=2cm）,當(dāng)筷子GE倒向杯壁時（筷子底

端不動），筷子頂端正好觸到杯D,求筷子GE的長度.

-【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共2小題）

題亙國（2021秋?常寧市期末）如圖，在水池的正中央有一根蘆葦,池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這

根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）

題目叵〕（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖,一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高

12cm.若這支鉛筆長為18cm,則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

二.填空題（共4小題）

題目叵〕（2021秋?未央?yún)^(qū)校級期末）如圖，一架梯子長10米，底端離墻的距離為6米,當(dāng)梯子下滑到

DE時，AD=2米，則跳；=米.

@（2021秋?晉州市期末）如圖,淇淇在離水面高度為5小的岸邊。處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子

BC的長為13m.

（1）開始時，船距岸人的距離是m；

（2）若淇淇收繩5一后，船到達(dá)收處，則船向岸A移動m.

題目回（2021秋?寬城區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題:“今有池方一丈，葭/a）

生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何?”（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為:有一個

水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦AB,它高出水面1尺（即BC=1尺）.

如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處.問水的深度是多少？則水

深DE為尺.

:題目回（2021秋?滕州市校級月考）印度數(shù)學(xué)家什迦羅（H41年-1225年）曾提出過“荷花問題”：

平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮;出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；

漁人觀看忙向前,花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？

如圖所示:荷花莖與湖面的交點(diǎn)為。，點(diǎn)O距荷花的底端A的距離為0.5尺;被強(qiáng)風(fēng)吹一邊后,荷花底端與

湖面交于點(diǎn)B,點(diǎn)3到點(diǎn)O的距離為2尺，則湖水深度的長是尺.

三.解答題（共4小題）

題目叵〕（2022秋?二道區(qū)校級期末）如圖，有一架秋千,當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE=lm,將它往

前推送4機(jī)（水平距離BC=4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF=2機(jī),秋千的繩索始終拉得很直,求繩

索AO的長度.

題目區(qū)（2021春?漢陽區(qū)期中）“引葭赴岸”是《九章算術(shù)》中的一道題:“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺,

引葭赴岸，適與岸齊.問水深，葭長各幾何?”題意是:有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長

在它的中央，高出水面為1尺.如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰

好碰到岸邊的9（如圖）.問水深和蘆葦長各多少？（畫出幾何圖形并解答）

題目叵（2021秋?棲霞區(qū)校級月考）水池中有水，水面是一個邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦,

它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的終點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度和這根

蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

題目叵〕（2021秋?南山區(qū)校級期末）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，笠個問題

的意思是:有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它身出水面

］尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)?/p>

長度各為多少？

勾股定理之“出水芙蓉''模型

?！局R梳理】

出水芙蓉類題和風(fēng)吹樹折類題一樣，數(shù)學(xué)知根本身其實(shí)很簡單，考查的就是句股定理，正確設(shè)出未知數(shù)列方程

就能求解,但是對很多同學(xué)來說，它的難點(diǎn)也是語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。

W【考點(diǎn)剖析】

一、單選題

畫司［(2021?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測)(數(shù)學(xué)文化)我國古代著作《九章算術(shù)》中有一“引葭赴岸”問題:“今有

池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何.”其大意為:有一水池一丈見

方，池中間生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?露出水面一尺，若把它引向岸邊,正好與岸邊平齊(如圖)，問水有多

深，該植物有多長？其中一丈為十尺，設(shè)水深為a：尺,則可列方程為()

A.(x—1)2=X2+52B.(z—1)2+52=X2C.(x+1)2+52=x2D.(a;+1)2=z2+52

【答案】。

【分析】利用勾股定理建立方程即可得.

【詳解】解:如圖，由題意得：人。=2尺，5。=4跳；=5尺，8=1尺，48=40=3+1)尺，40,3。,

則在放ZVIBC中，由勾股定理得：AB^AC^+BC2,^(a;+1)2=rc2+52,

故選：D

?M

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、列一元一次方程，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

題目區(qū)（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）如圖是一圓柱形玻璃杯，從內(nèi)部測得底面直徑為12cm，高為16cm,

現(xiàn)有一根長為25cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25—2V73cm

【答案】B

【分析】吸管露出杯口外的長度最小，則在杯內(nèi)的長度最長,此時若沿杯子的底面直徑縱向切開，則當(dāng)吸管

在矩形的對角線所在直線上時，杯內(nèi)吸管最長,然后用勾股定理即可解決.

【詳解】如圖,沿杯子的底面直徑縱向切開，則當(dāng)吸管在矩形的對角線所在直線上時,杯內(nèi)吸管最長,則吸管

露出杯口的長度最小，由勾股定理得:杯內(nèi)吸管的長度為：V122+162=20（cm）

所以吸管露出杯口外的長度最少為25—20=5（cm）

故選：

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解答.

題目叵〕（2022秋.八年級單元測試）如圖，八年級一班的同學(xué)準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿

4B豎直插到水底，此時竹竿AB離岸邊點(diǎn)。處的距離8=0.8米.竹竿高出水面的部分AD長0.2米，如

果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)。處,竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為（）

A.L5米B.1.7米C.L8米D.0.6米

【答案】A

【分析】設(shè)BD的長度為初n,則AB=BC=Q+0.2）小，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】解:設(shè)的長度為立小,則AB=BC=Q+0.2）M,

在R/ACDB中，0.82+/=3+02）2,

解得c=1.5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

題目回（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮BA,高出水面的部分AC為1米,

一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊,花朵齊及水面（即AB=DB）,已知紅蓮移動的水平距離CD為3米,則湖水

深CB為（）

A.?米B.3米C.4米D.12米

【答案

【分析】根據(jù)題意得出水深、紅蓮移動的水平距離及紅蓮的高度構(gòu)成一直角三角形，然后設(shè)出口。的長度為

%,分別表示出BD和CD的長度，根據(jù)由勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解:在RtABCD中，設(shè)3。=拉，b。=48=拉+1,。。=3,

由勾股定理得：BD2=BC2+CD2（7I+1）2=/I2+32,

/.解得：h=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，能夠從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型是解決此題的關(guān)鍵.

題目回（2022春?河南三門峽?八年級?？茧A段練習(xí)）將一根長24cm的筷子,置于底面直徑為5cm,高為

12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露出在杯子外面長為無cm,則h的取值范圍是（）

A.0</z<12B.12</z<13C.ll</i<12D.12</z<24

【答案】。

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】當(dāng)筷子與杯底垂直時拉最大，無最大=24—12=12（cm）.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，

如圖所示:此時，AB=VAC2+BC2=V122+52=13（cm）,?M

故人=24—13=ll（cm）.

故九的取值范圍是：11cm&無&12cm.

故選：C,

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)生活中的應(yīng)用，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型是關(guān)鍵.

題目回（2023春?河南三門峽?八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個飲料罐,下底面半徑是5，上底面半徑是8,高是

12,上底面蓋子的中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔

的大小忽略不計）的取值范圍是（）

A.12WaW13B.12<a<15C.5WaW12D.5<a<13

【答案】A

【分析】最短距離就是飲料罐的高度,最大距離可根據(jù)勾股定理解答.

【詳解】解：由題意可得：

a的最小長度為飲料罐的高,即為12,

當(dāng)吸管斜放時，如圖，此時a的長度最大，即為AB,

?.?下底面半徑是5,

AB=V52+122=13,

.\a的取值范圍是1213,

【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.主要是運(yùn)用勾股定理求得a的最大值,此題比較常見，難度不大.

題目0（2020秋?河南新鄉(xiāng).八年級?？计谥校┤鐖D，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為4cm、3cm、

12cm,現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入盒的底部，則吸管漏在盒外面的部分九（cm）的取值范圍為（）

A.3</z<4C.2</z<4D./z=4

【答案】B

【分析】根據(jù)題中已知條件，首先要考慮吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時露在杯口外的最長長度;最短時與底面

對角線和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答,進(jìn)而求出露在杯口外的最短長度.

【詳解】①當(dāng)吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為16-12=4（cm）；

②露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，

底面對角線長=V32+42=5cm,高為12cm,

由勾股定理可得:杯里面管長=反F=13cm,則露在杯口外的長度最短為16-13=3（cm）,

故選：R

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形中勾股定理的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是要找出露在杯外面吸管最長和最短時，吸管

在杯中所處的位置.

題目回（2022春?湖南長沙?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示,將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為

5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長為hern,則h的取值范圍是（）

A.OVh&llB.C.h>12D.OV九412

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先找出九的值為最大和最小時筷子的位置，再根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24—12=12cm.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，

如圖所示：???

h

此時，48=，4c2+872=^122+52=13cm,

/z=24—13=11cm.

h的取值范圍是11cm4九412cm.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形找出何時％有最大及最

小值，同時注意勾股定理的靈活運(yùn)用,有一定難度.

二、填空題

題目⑥（2022春?廣西梧州?八年級?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》卷九“勾股”中記載:今有戶不知高廣，竿不知長短,

橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問戶斜幾何，意思是:一根竿子橫放，竿比門寬長出四尺;豎放，竿

比門高長出二尺,斜放恰好能出去，則竿長是尺.

【答案】10

【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)

用勾股定理可求出門對角線長.

【詳解】解：設(shè)竹竿c尺,則圖中BD=&

BC=BE-CE=X-4(X>G，CD=CF-DF=X—2(X>2),

在直角三角形BCD中，/BCD=90°,

由勾股定理得：BC2+CD2=BD2,

所以Q—4)2+(,—2)2=",

整理，得/—122+20=0,

因式分解，得(①一10)(2—2)=0,

解得g=10,工2=2,

,/a;>4,

劣=10.

答:竹竿為10尺.

故答案為：10.???

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問題中是解答本題的關(guān)鍵.

期日皿（2021.江蘇宿遷.統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題:“今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺,引葭赴岸，適與岸齊，問水深,葭長各幾何?”題意是:有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，

一棵蘆葦AC生長在它的中央,高出水面部分BC為1尺,如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，

那么蘆葦?shù)捻敳?。恰好碰到岸邊的。處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是尺.

A

【答案】12

【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形,如圖所示,根據(jù)題意，可知EC的長為10尺，則。'B=5尺,設(shè)蘆

葦長AC=AC'=c尺，表示出水深根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水

深.

【詳解】解:依題意畫出圖形，

設(shè)蘆葦長=47'=①尺，

則水深A(yù)B=（;r—1）尺，

；C'E=10尺,

.?.C'B=5尺，

在Rt^AC'B中，

52+（,—1）2=/,

解得，=13,

即蘆葦長13尺,水深為12尺，

故答案為：12.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

題目叵〕（2022秋?四川達(dá)州?八年級?？计谀┈F(xiàn)將一支長20cm的金屬筷子（粗細(xì)忽略不計）放入一個長和

寬分別為8cm,6cm的長方體水槽中,要使水完全淹沒筷子，則水槽中的水深至少為cm.

【答案】10V3

【分析】如圖，由題意可得，EF=6,FH=8,EL=20,利用勾股定理可以求解EH,然后再根據(jù)勾股定理，

即可求得從而可得答案.

【詳解】解:如圖，由題意可得，EF=6,FH=8,EL=20,

：.EH=V82+62=10,（cm）,

故水槽中的水深至少為：LH=YEG—Eti1=V202-102=V300=10V3（cm）,

故答案為：10V3.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡,解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的知識解

答.

三、解答題

趣目口乙（2021.全國.八年級專題練習(xí)）讀詩求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動有6尺，求

水深幾何請你算”.

【答案】4.5尺

【分析】設(shè)出水深A(yù)P的高，PB=PC=Q+3）,根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】設(shè)水深A(yù)P=/尺，=PC=（,+3）尺，

根據(jù)勾股定理得：FA2+AC2=PC2,/+6?=（x+3）2.

解得：x—4.5,

答：水深4.5尺.

【點(diǎn)睛】本題比較簡單，考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出AP的長,再根據(jù)勾股定

理求出AP的值.

題目至〕（2023春?湖北武漢?八年級武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個直徑為12cm的杯子，在它

的正中間豎直放一根筷子,筷子漏出杯子外2cm,當(dāng)筷子倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯

口，求筷子長度.

【答案】10cm

【分析】設(shè)杯子的高度是加小，那么筷子的高度是3+2）cm,可求杯子半徑為6cm,根據(jù)勾股定理構(gòu)造方

2

程"+62=Q+2）,解方程即可.

【詳解】解:設(shè)杯子的高度是蹌小,那么筷子的高度是（x+2）cm,

杯子的直徑為12cm,

杯子半徑為6cm,

/./+6?=（T+2）:

/+36=X2+4X+4,

二6二8,

8+2=10cm.

答:筷子長度為10cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是看到構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理構(gòu)造方程.

題目叵〕（2022秋.江蘇.八年級專題練習(xí)）一株荷葉高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼著水面,這時它

偏離原來的位置有2米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度.

【答案】荷葉的高度為|■米,水面的深度為|■米.

【分析】設(shè)04=05=/米，則OC=Q—1）米，在Rt/XOBC中，利用勾股定理得：（①-1）2+22=/,解方程

即可.

【詳解】解:設(shè)04=OB=/米，則（1―1）米，BC—2米，

在Rt/\OBC中，由勾股定理得：

OC2+BC2=OB2,

/.（力—l）2+22=x2,

解得名=等，

：.OA=1■（米）,OC=c—1=|■（米），

答:荷葉的高度為|■米,水面的深度為方米.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵.

期日叵（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，一個直徑為12cm（即BC=12cm）的圓柱形杯子，在杯子底

面的正中間點(diǎn)E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG=2cm）,當(dāng)筷子GE倒向杯壁時（筷子底

端不動），筷子頂端正好觸到杯。，求筷子GE的長度.

【答案】筷子GE的長度是10cm.

【分析】根據(jù)題意可得DE=GE,EF=GE—2,在Rt/XDFE中,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解:設(shè)筷子GE的長度是，cm,那么杯子的高度EF是（*-2）cm,

,/杯子的直徑為12cm,

杯子半徑DF為6cm,

在RtM）FE中，（c-2y+6?=/,

即X2—4：X+4+36=資,

解得：①=10,

答:筷子GE的長度是10cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

【過關(guān)檢測】

選擇題（共2小題）

題目［〕（2021秋?常寧市期末）如圖，在水池的正中央有一根蘆葦,池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這

根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）

C.12尺D.13尺

【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為土尺,根據(jù)勾股定理解答.

【解答】解：設(shè)水深為2尺，則蘆葦長為（2+1）尺，

根據(jù)勾股定理得：/+（學(xué)）2=（C+1）2,

解得：x—12,

蘆葦?shù)拈L度=c+1=12+1=13（尺）,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

題目劃（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖,一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高

12cm.若這支鉛筆長為18cm,則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形,利用勾股定理計算出AC的長度.然后求其差.

【解答】解:根據(jù)題意可得圖形：AB-12cm,BC=9cm,

在Rt^ABC中：AC=^AB2+BC2=V122+92=15（cm）,

所以18—15=3（cm）,18—12=6（cm）.

則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cM~6cm之間.

觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)。符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出筆筒內(nèi)鉛筆的最短長度是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

［題目目（2021秋?未央?yún)^(qū)校級期末）如圖，一架梯子長10米,底端離墻的距離為6米,當(dāng)梯子下滑到

DE時，AD=2米，則BE=2米.

【分析】在中，根據(jù)勾股定理得出進(jìn)而得出。。，利用勾股定理得出CE,進(jìn)而解答即可.

【解答】解:在Rt/\ABC中,根據(jù)勾股定理，可得：AC=y/AB2-BC2=VwW=8（米）,

：.DC=AC-AD=8-2=6（米）,

在RtWCE中，CE=^/DE2-DC2=V102-62=8（米），

:.BE=CE—BC=8—6=2（米）,

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中正確的使

用勾股定理求CE的長度是解題的關(guān)鍵.

題目⑷（2021秋?晉州市期末）如圖,淇淇在離水面高度為5m的岸邊。處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子

的長為13m.???

⑴開始時，船距岸人的距離是12m；

（2）若淇淇收繩5M后，船到達(dá)。處后IJ船向岸A移動（12-V39）m.

【分析】⑴在皮△ABC中,利用勾股定理計算出AB長；

（2）根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長,再利用BD=AB-AD可得BD長.

【解答】解：（1）在RtZXABO中，=90°,13m,AC^5m,

：.AB=V132-52=12（m）,

故答案為：12；

（2）V淇淇收繩5m后,船到達(dá)D處，

CD=8（m）,

：.AD=JCE>2—=782_52=^/39（m）,

：.BD=AB—AD=（12—V39）m.

故答案為：（12—V39）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示

意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

遒瓦回（2021秋?寬城區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題:“今有池方一丈，葭（/Q）

生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何?”（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為:有一個

水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦AB,它高出水面1尺（即BC=1尺）.

如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面。處.問水的深度是多少？則水

深DE為12尺.

【分析】設(shè)水深為九尺，則蘆葦長為伍+1）尺,根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可.

【解答】解：設(shè)水深為八尺,則蘆葦長為伍+1）尺，

根據(jù)勾股定理，得值+1）2—/?=（10-2）2,

解得無=12,

水深為12尺，

故答案是：12.

【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

題目回（2021秋?滕州市校級月考）印度數(shù)學(xué)家什迦羅（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”:

平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立,忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；

漁人觀看忙向前,花離原位二尺遠(yuǎn);能算諸君請解題，湖水如何知深淺？

如圖所示：荷花莖與湖面的交點(diǎn)為。，點(diǎn)。距荷花的底端A的距離為0.5尺;被強(qiáng)風(fēng)吹一邊后，荷花底端與

湖面交于點(diǎn)B,點(diǎn)B到點(diǎn)。的距離為2尺，則湖水深度OC的長是3.75尺.

【分析】先根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花的折斷與不斷時恰好構(gòu)成直角三角形），再根據(jù)已知條件求

解.

【解答】解:設(shè)水深，尺，則荷花莖的長度為①+0.5,

根據(jù)勾股定理得：3+0.5）2=/+4

解得：*=3.75.

答:湖水深3.75尺.

故答案為：3.75.

【點(diǎn)評】本題考點(diǎn):勾股定理的應(yīng)用.根據(jù)已知條件得出直角三角形各邊的長度，然后應(yīng)用勾股定理即可求

出湖水的深度.

三.解答題（共4小題）

題目⑦（2022秋?二道區(qū)校級期末）如