人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-因式分解（公式法與十字相乘法）原卷版

第05講因式分解一公式法與十字相乘法

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握公式法，并且能夠熟練的應(yīng)用公式法進(jìn)行因式

①公式法分解。

②十字相乘法2.掌握十字相乘法分解因式，并且能夠熟練運(yùn)用十字

相乘法。

思維導(dǎo)圖

平方差公式

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01平方差公式分解因式

i.平方差公式分解因式的內(nèi)容：

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的乘以這兩個(gè)數(shù)的O

即：a2-b2=________

2.式子特點(diǎn)分析與因式分解結(jié)果：

①式子特點(diǎn)分析：式子是一個(gè)，符號(hào)且都可以寫成的形式。

②因式分解結(jié)果：等于寫成平方形式時(shí)的的和乘以的差。

考點(diǎn)題型：①判斷式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。

【即學(xué)即練1】

1.下列各式能用平方差公式進(jìn)行分解因式的是（）

A.X2-25B.%3-4C.x2-2x+\D.x2+l

【即學(xué)即練2】

2.下列各個(gè)多項(xiàng)式中，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是()

A.-冽2+〃2B.-m2-n2C.4m2-1D.(加+幾)2-9

【即學(xué)即練3】

3.把下列各式因式分解：

(1)X2-25y2.(2)-4m2+25?2.(3)(a+b)2-4a2.

(4)a4-i.(5)9(m+n)2-(m-n)2.(6)mx2-4my2.

知識(shí)點(diǎn)02完全平方公式分解因式

1.完全平方公式分解因式的內(nèi)容：

a2+2ab+b^=。

2.式子特點(diǎn)分析與因式分解結(jié)果：

①式子特點(diǎn)分析：式子是一個(gè)，其中兩項(xiàng)符號(hào)__________且都能寫成的形式，

第三項(xiàng)是平方兩項(xiàng)乘積的。

②因式分解結(jié)果：等于的平方或的平方。若第三項(xiàng)與平方兩項(xiàng)符號(hào)，

則等于底數(shù)和的平方，若第三項(xiàng)與平方兩項(xiàng)符號(hào)，則等于底數(shù)差的平方。若平方兩項(xiàng)是符號(hào)，

則在括號(hào)前添加負(fù)號(hào)。

題型考點(diǎn)：①判斷式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。③求值

【即學(xué)即練11

4.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是()

A.a2+ab+b2B.9廿-4yC.4a2+l-4aD.q2+2q-1

【即學(xué)即練2】

5.下列各式中：①，2xW②尹+如產(chǎn)③--白廬；④4"1孫⑤3,6研3”,

能用完全平方公式分解的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【即學(xué)即練3】

6.把下列各式分解因式.

(1)n2-6mn+9m2(2)a2-14tzZ)+49Z>2

(3)6Z2-4ab+4b2(4)m2-10m+25.

【即學(xué)即練4】

7.分解因式：

①/+6%+9=；②1-4x+4y2=；

③-a2+2a-1=.

【即學(xué)即練5】

8.已知/-/=69,x+y=3,貝!]x-y=.

【即學(xué)即練6】

9.若/+冽%+16=(%+幾)2,其中冽、幾為常數(shù),則〃的值是()

A.w=8B.〃=±8C.〃=4D.n=±4

【即學(xué)即練7】

10.若/+5%+機(jī)=(%+〃)2,則冽，〃的值分別為()

A..=_25,"=5B.m=-=^-,n=5

424

5

C.冽=25,n=5D.m=5,n=—

2

知識(shí)點(diǎn)03十字相乘法分解因式

1.十字相乘法分解因式：

對(duì)于一個(gè)二次三項(xiàng)式QX+bx+c,若存在且。1。2+。2。1=力，那么二次三項(xiàng)

式ax?+bx+c可以分解為：ax2+Z?x+c=(^x+qX^xH-^)

舉例說明：2》2+5X+3

2,3=3

xx3+2=5o2x2+5x+3=(2x+3\x+1)

1/、=2

對(duì)于初中所用的十字相乘法，二次項(xiàng)系數(shù)a都是等于1的，即x2+/)x+c。若存在有。=?！?。2,且

2

C\+c2=b,則x2+&x+c可分解為：x+Z?x+c=(x+C1)(x+c2)

舉例說明：X2+7X+12

；12=3x4且3+4=7

**-x2+7x+12=(x+3)(x+4)

題型考點(diǎn)：①十字相乘法分解因式。②根據(jù)十字相乘法分解因式求值。

【即學(xué)即練11

11.十字相乘法分解因式：

(1)，+3X+2(2)x2-3x+2(3)，+2x-3

(4)x2-2x-3(5)X2+5X+6(6)x2-5x-6

(7)x2+x-6(8)x2-x-6(9)x2-5x-36

(10)X2+3X-18(11)2x2-3x+l(12)6X2+5X-6.

【即學(xué)即練2】

12.把多項(xiàng)式，-6x+冽分解因式得(x+3)(x-n),貝!J加+幾的值是.

【即學(xué)即練3】

13.把多項(xiàng)式分解因式，得(x+1)(x-3),貝(J。，6的值分別是()

A.q=2,Z?=3B.4=-2,b=-3C.ci=-2,6=3D.a=2,h~3

題型精講

題型01公式法分解因式

【典例1】

因式分解：

(1)m2-16；(2)(a2+l)2-4a2.

【典例2】

把下列各式因式分解:

(1)4"垸(2)(x+jH-1)2-Cx-y+1)2

【典例3】

把下列各式因式分解：

(1)(一+4)2-16/；(2)-4ab-4a2-b2.

【典例4】

把下列各式因式分解：

(1)-x2-4y2+4xy；(2)16a2-(2a+3b)2

【典例5】

因式分解：

(1)-4x2+12xy-9y2；(2)4-12(_y-x)+9(x-y)2

【典例6】

分解因式：

(I)(3x-2)2-(2x+7)2；(2)(X2+2)2-6(x2+2)+9.

題型02公式法的應(yīng)用一一求值

【典例1】

若4/-1-1)x+9能用完全平方公式因式分解，則k的值是()

A.13B.13或-11C.-11D.無法確定

【典例2】

已知/-2°x+b=(x-3)2,貝!］廬-的值是()

A.-72B.-45C.45D.72

【典例3】

已知9f+祖孫+16產(chǎn)能運(yùn)用完全平方公式因式分解，則加的值為()

A.12B.+12C.24D.±24

【典例4】

若x2+(m-3)x+4能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則常數(shù)%的值為()

A.1或5B.7或-1C.5D.7

【典例5】

已知4/+2(什1)x+1可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則左=.

題型03十字相乘法分解因式

【典例1】

把多項(xiàng)式x2-3x+2分解因式，下列結(jié)果正確的是()

A.(x-1)(x+2)B.(x-1)(%-2)

C.(x+1)(x+2)D.(x+1)(x-2)

【典例2】

分解因式：

(1)x2-]2x+36=；/+2x-]5=；

(2)(x-2)(x-3)-20.

【典例3】

閱讀下列材料：將一個(gè)形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足?=加〃且°="?+〃，則可以把

x2+px+q因式分解成(x+m)(x+〃).

例如：①f+4x+3=€x+l)(x+3)；

②f-4x-12=(x-6)(x+2).

根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解.

(1)x2-6x+8；

(2)X2-2X-15；

(3)(x-4)(x+7)+18.

【典例4】

閱讀下面的材料.

材料一：當(dāng)ab=O時(shí)，a=0,或6=0.

材料二：把等式(x+a)(x+6)—x2+(a+b)x+ab的左右兩邊交換位置后，得到f+(a+6)x+ab—(x+a)

(x+b),也就是說一個(gè)特殊形式的二次三項(xiàng)式也可以進(jìn)行因式分解，如/+3x+2=(x+1)(x+2).

所以在解方程/+3》+2=0時(shí)，可以把方程變形為(x+1)(x+2)=0,所以x+l=0,或x+2=0.所以xi

=-1,X2—-2.

根據(jù)以上材料回答下列問題：

(1)因式分解：JT+lx-18=；

(2)解方程：x2-5x+4=0；

(3)若X2-孫-12/=0,則x與y的關(guān)系式是.

題型04十字相乘法的應(yīng)用一一求值

【典例1】

把多項(xiàng)式，+5x+加因式分解得(x+〃)(x-2),則常數(shù)加，幾的值分別為()

A.m=-14,〃=7B.冽=14,n=-7

C.加=14,〃=7D.m=-14,n=-7

【典例2】

若/切%+1=(%+3)(x-5),則p、9的值分別為()

A.-15,-2B.-2,-15C.15,-2D.2,-15

【典例3】

若/-辦-1可以分解為(x-2)(x+b),則a+b的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【典例4】

若將多項(xiàng)式/-辦+b因式分解為(x-2)(x+5),則(-3〃+人)2023的值為()

A.0B.-1C.1D.1或-1

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列各式不能運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解的是()

A.-a2+b2B.16m2-25n2C.4x2+4x+lD.a2+2ab-b1

2.已知f+"+36可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則左的值為()

A.±6B.±12C.6D.12

3.下面分解因式正確的是()

A.4。2-4。+1=4。(。-1)+1

B.a2-4b2=(q+46)(a-46)

C.4。2-12。+9=(2。-3)2

D.lab-a2-b1--(a+b)2

4.若多項(xiàng)式/+冽%+〃可因式分解為(x-2)(x+3),則冽〃的值為()

A.6B.-6C.-5D.1

5.已知多項(xiàng)式4,-(y-z)2的一個(gè)因式為2x-y+z,則另一個(gè)因式是()

A.2x-y-zB.2x-y+zC.2x+y+zD.2x+y-z

6.現(xiàn)有一列式子:①552-452；②5552-4452；③55552-44452…則第⑧個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果用科學(xué)記數(shù)

法可表示為()

A.1.1111111X1016B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

7.若(q-b-2)2+|q+b+3|=0,則/-序的值是()

A.-1B.1C.6D.-6

8.若二次三項(xiàng)式^(aix+ci)(〃2x+c2)，則當(dāng)a>0,6<0,c>0時(shí)，c\,。2的符號(hào)為()

A.ci>0,C2>0B.ci<0,。2<0C.ci>0,c2VoD.c\,。2同號(hào)

9.分解因式：x6-28X3+27=.

10.分解因式：S+2x)2-(x+2y)2=.

11.若多項(xiàng)式，+加工+〃分解因式后的結(jié)