山東省淄博市2025屆高三數(shù)學(xué)（文）模擬考試試題（含解析）

淄博市2024-2025學(xué)年度高三模擬考試試題

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集〃=匕集合4={刈2、>1}，B=[x\-l<x<5],貝l](Q4)nB=()

A.B.(0,5]C.[-1,01D.[0,5]

【答案】C

【解析】

試題分析:A={x|x>0},B={x|-l<%<5}:(CR4)nB={x|-l<x<0]=[-1,0]

考點(diǎn)：集合運(yùn)算

2.若復(fù)數(shù)滿意zi=l+2L則的共輒復(fù)數(shù)的虛部為()

A.B.一iC.—1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共輾復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義即可得出.

【詳解】iz=1+2,i,-i-iz=-t(l+2i),z=-i+2

則z的共輾復(fù)數(shù)，=2+i的虛部為1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共朝復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義，考查了推理實(shí)力與計(jì)

算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

3.命題“VxwR,久3_/+igo”的否定是()

A.不存在叫)eR,久—￡+14。B.m久06R,X^—XQ^+1>0

C.三久0eR,X()3—久02+1>oD.VxER,久3—久2+1>0

【答案】C

【解析】

由全稱命題的否定是特稱命題可得命題"V工6R,^-X2+1<0”的否定是

u

3x0eR，W-君+1>0"

選C

4.2^/1+sin4+?2+2cos4=()

A.2cos2B.2sin2

C.4stn2+2cos2D.2sm2+4cos2

【答案】B

【解析】

【分析】

將1拆解為siM2+cos22,cos4和sin4利用二倍角公式拆開(kāi)，使得根號(hào)下的式子變成完全平方

的形式，再依據(jù)符號(hào)整理.

【詳解】6+sin4=yjsin22+2sin2cos,2+cos22=^(sin2+cos2)2=sin2+cos2

72+2cos4=^2(1+cos4)=^2(1+2cos22-1)=J4cos?2=—2cos2

2-^/1+sin4+12+2cos4=2sin2+2cos2—2cos2=2sin2

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系，易錯(cuò)點(diǎn)在于開(kāi)完全平方時(shí)，要留意符號(hào).

5.已知直線和兩個(gè)不同的平面a,夕，則下列結(jié)論正確的是()

A.若1〃a,lip,則a_LQB.若aILa,貝也_L.

C.若“/a,l//p,則a〃/?D.若。_1_/?,l//a,則2_1_8

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)面面垂直判定定理可以確定4選項(xiàng)正確，也可通過(guò)解除法得到結(jié)果.

【詳解】4選項(xiàng)：，〃a=>a內(nèi)存在直線m,使得m〃/;若，_L夕，則m±0；又mua,所以aj.0,

4選項(xiàng)正確；

其余三個(gè)選項(xiàng)均可利用正方體進(jìn)行解除，如圖所示：

B選項(xiàng)：平面4BCD_L平面BCG/,平面4BCD,而〃平面8~1瓦，可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)：占。1〃平面4BCD,A///平面8"人1，而平面4BCD1平面BCqB],可知C選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

D選項(xiàng)：平面ABCD1平面BCQB],名以〃平面BCq/,而占以〃平面ABCD,可知。選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視狀況分別如圖1和圖2所示,為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近

視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的中學(xué)生近視

人數(shù)分別為（）

A.100,10B.200,10C.100,20D.200,20

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】由圖1得樣本容量為（3500+2000+4500）X2%=10000X2%=200,

抽取的中學(xué)生人數(shù)為2000X2%=40人，

則近視人數(shù)為40X0.5=20人，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，依據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

7.一個(gè)底面是正三角形，側(cè)棱和底面垂直的三棱柱，其三視圖如圖所示.若該三棱柱的外接

球的表面積為124萬(wàn)，則側(cè)視圖中的久的值為（）

B.9C.3書(shū)D.3

【答案】A

【分析】

還原后，可知球心位于三棱柱的中界面上，且。。1，平面ABC,構(gòu)造出直角三角形，勾股定

理解方程求得久的取值.

【詳解】將三視圖還原后，可得如圖所示的正三棱柱ABC-aB/1：

。為外接球球心，。1為AABC外接圓圓心，由球的性質(zhì)可知：OQJ?平面ABC

球的表面積S=4TTR2=I247r^>R2=31，即。辟=31

221

又BO?=-BD=-x,OO]=-x4=2

13312

4

由BO：+。?！??2可得：_X2+4=31

解得：x=T

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的外接球問(wèn)題，關(guān)鍵在于確定外接球球心的位置，再利用外接

球球心與底面外接圓圓心連線垂直于底面的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)

題.

Xv

8.已知直線y=kx(k*0)與雙曲線丁彳=l(a>0,b>0)交于4乃兩點(diǎn)，以4B為直徑的圓恰好

ab

經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F,若AZB尸的面積為4a2,則雙曲線的離心率為

A.MB.73C.2D.書(shū)

【答案】D

【解析】

【分析】

通過(guò)雙曲線和圓的對(duì)稱性，將AZBF的面積轉(zhuǎn)化為AFBF'的面積；利用焦點(diǎn)三角形面積公式可

以建立a與b的關(guān)系，從而推導(dǎo)出離心率.

【詳解】由題意可得圖像如下圖所示：F'為雙曲線的左焦點(diǎn)

依據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知：四邊形4F8F'為矩形

_1

S，=S，

■-^F=fAFBF''XFBF

b2

又時(shí)/=b2=4a2,可得：c2=5a2

tan45°

e2=5=e=把

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求解，離心率問(wèn)題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于a,c的齊次

方程，從而配湊出離心率的形式.

o

/X<o

9.已知M(-4,0),N(0,4),點(diǎn)P(%,y)的坐標(biāo)％y滿意|y>,則而P?柿的最小值為

(3x—4y4-

()

4196

B.—C.--D.—衽

2525

【答案】C

【解析】

【分析】

通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，將所求最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(-2,2)到可行域內(nèi)點(diǎn)的距離的平方的最小值減8,利

用距離的最小值為點(diǎn)到直線距離求得所求最值.

【詳解】可行域如下圖所示：

-?—>

MP=(x+4,y)，NP—4)

???MP-NP=，+4%+y2—4y=(%4-2)2+(y—2)2—8

...藤.信的最小值為點(diǎn)(-2,2)到可行域內(nèi)點(diǎn)的距離的平方的最小值減8

由圖像可知，點(diǎn)(-2,2)到可行域的最短距離為其到直線3久-4y+12=0的距離d

13x(—2)—4x2+12|2

???d=

^32+425

4200_196

25-^5-一一公

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的相關(guān)學(xué)問(wèn)，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笞钪缔D(zhuǎn)化為距離的形式，從而

通過(guò)點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解.

711

blo

10.已知/■(%)=(s/o)x,6?e(o,-),設(shè)a=/'(/&⑺，=f{9^),c=/(Zo5165),貝ija,b,c的

大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.

c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】

推斷出/(》)單調(diào)性之后，將a也c的自變量轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)的形式比較大小，結(jié)合單調(diào)性可

確定a,b,c的大小關(guān)系.

【詳解】呵0,今=s譏。e(0,1)=/(?在R上單調(diào)遞減

11

/92a=log爐na=/'(產(chǎn)先〃)=/。。方⑺

log^=log^3=-log23^b=f(log43)

1

log16S=log^S=Aog^>=log排=c=f(log^

,■,log^>log處>log群f(log^)<fQog雨)<f(log炳.

可得：b<a<c

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠?qū)⒆宰兞孔儞Q成同底對(duì)數(shù)的

形式，比較出自變量的大小關(guān)系.

11.已知直線：丫=-2久一加(血>0)與圓。：x2+y2-2x-2y_23=0>直線與圓C相交于不同兩

點(diǎn)M,N.若|"N|W2|C〃+而則m的取值范圍是()

A.[75,5)B.[2,5把一3)C.(5,5衽)D.(何2)

【答案】B

【解析】

【分析】

通過(guò)平方運(yùn)算，將原不等式化簡(jiǎn)，求解叫就VJ的取值范圍；再利用直線與圓相交d<r以及弦

長(zhǎng)|向|=26匚次的關(guān)系，求得血的取值范圍.

【詳解】圓C方程可化為：斜-1)2+(y-l)2=25=C(1,1)，圓C半徑r=5

|W|<2|CM+CW|^|W|2<4|CM+CW|2

即麗2<4M2+4曲2+g扇.

cN

->—>—>

,1,IMN|2<100+100+8|CM|-\CN\cos/.MCN

-25+25-麗2―*

<100+100+200X................——-<4^/5

50

設(shè)圓心C到直線y=-2x-zn的距離為d

則2/2_d2=2卜—<4^/5=>m>2

又直線y=-與圓C相交，可得dVr

即「

=>zn<5衽-3

綜上所述：mE[2,575-3)

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線被圓截得的弦長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是能夠通

過(guò)向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，得到關(guān)于直線被圓所截得的弦長(zhǎng)的范圍，再利用直線與圓的相關(guān)學(xué)問(wèn)來(lái)

求解.

12.函數(shù)f（x）=sin（2x+0）+cos2x,若/'（工）最大值為G（0）,最小值為g（0）,則（）

使（））

A.30oefi,使G(Oo)+g(Oo)=nB.590eR,Geo_gg=7T

G”o）

C.頊eR,使％(。0>9(。0)|=兀D.30oe/?>使17^1=兀

【答案】D

【解析】

【分析】

通過(guò)對(duì)f(幻進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，可以得到G(0)與g(0)的解析式，依次解除掉4,B,C選項(xiàng)，可得結(jié)果.

1+cos*2iX|

[詳解]cos2x*4=-----------=/（%）=sin（2x+。）+5cos2%+-

「11/1\1

f（x\=sin2xcos3+cos2xsin0+-cos2x+—=cos0sin2x4-sinO+-\cos2x+-

…22\2）2

=Jco/e+[山6+]sin（2x+0）+]=+sin0sin（2x+0）+g

S；11s~~

???G（e）=-+sinO+g（0）=---+sm0

4選項(xiàng)：G（e）+g（e）=l,所以4錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：G（。）-g（。）=2+sinO

???sinOE[-1,1]???G（。）-g（。）E[1,3],所以B錯(cuò)誤；

15

C選項(xiàng)：口(0>0(。)=卜一4一5配。|=|一1一5山0|=|1+5譏0|€[0,2],所以C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng);

51515

I—+sinO+——+sinOH-----1--4-sinO—+sinO4--+sin3

4244J42、4

115-1-sin3

tel——sinO

2’444

3i5

—+sinO+—+sinO

242J4

1H----------------

1+sin31+sinO

設(shè)￡+sinO=tE1325

=>sinO=t——

?24

n咆-1=1=23+吃=|二可知:也92,+8),所以。正確.

9(。)1,,25(2t+l)(2t-l)|2t-lg(8)

i-rC—

4

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換以及與三角函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題，關(guān)鍵在于通過(guò)整理能夠得

到與s。。有關(guān)的函數(shù)解析式，從而利用s。。的范圍，求解函數(shù)的值域.

二、填空題(將答案填在答題紙上)

13.若f(x)="號(hào);,/"(0)=2,八-1)=4,則f(/(—2))=.

【答案】1

【解析】

【分析】

利用f(0)和/(-1)求解得到a,b的值；再將-2代入a，+b,求得汽-2)；依據(jù)f(-2)的值代入對(duì)應(yīng)

解析式求得結(jié)果.

【詳解】鵬:2,=席之，解得:比

1u—X

]

.?.當(dāng)*40時(shí),f(x)=(#+]

."(-2)=@-2+i=ionf(f(—2))=/(10)=IglO=1

本題正確結(jié)果：1

【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)解析式求解函數(shù)值，關(guān)鍵在于能夠?qū)⒆宰兞看敕戏秶?/p>

解析式當(dāng)中.

2

14.古代埃及數(shù)學(xué)中發(fā)覺(jué)有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象：除§用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示外，其它分?jǐn)?shù)都要寫(xiě)成

211

若干個(gè)單分?jǐn)?shù)和的形式.例如+可以這樣理解：假定有兩個(gè)面包，要平均分給5個(gè)

5315

1111111

人，假如每人士不夠，每人亍余弓，再將這弓分成5份，每人得在，這樣每人分得弓+石.

z33315315

2211211211

形如=7(九=234…)的分?jǐn)?shù)的分解：-=-+按此規(guī)律，

2n+1531574289545

【答案】n+1+(n+l)(2n+1)

【解析】

【分析】

視察規(guī)律，拆解后分子都是1;拆解后的兩個(gè)分母，假如原分母為2n+L第一個(gè)分母對(duì)應(yīng)

著w+1,其次個(gè)分母相當(dāng)于原分母與第一個(gè)分母的乘積，由此可得結(jié)果.

2211

【詳解】fET--------1---------------

2+1(2+1)x5

2211

--------1---------------

72x3+13+1(3+1)x7

2211

H---------------

92x4+14+1(4+1)x9

211

以此類(lèi)推得:--------1---------------------

2n+ln+1(n+l)(2n+1)

11

本題正確結(jié)果:--------1---------------------

n+1(n+1)(2九+1)

【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，通過(guò)已知關(guān)系式總結(jié)規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

15.如圖所示，平面BCCi/l.平面ABC,乙4BC=120°，四邊形BCq名為正方形，且

4B=BC=2,則異面直線8。與AC所成角的余弦值為.

Cl

【答案】趙

4

【解析】

【分析】

通過(guò)補(bǔ)全圖形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解直線AD與AC所成角的余弦值的問(wèn)題，求解出各個(gè)邊長(zhǎng),

利用余弦定理求出余弦值.

【詳解】由題目中的位置關(guān)系，可將原圖補(bǔ)為如圖所示的直四棱柱:

■--BCJ/AD異面直線BQ與4C所成角即為直線4D與AC所成角WAC

由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-7.AB-BCCOSAABC=4+4-8cosl20°=12

AC=2也又40=CD=V4T4=2M

AD2+AC2-CD28+12-8優(yōu)

：?cosZ-DAC=--------------=-----------=——?

2ADAC2x2我x2百4

本題正確結(jié)果：也

4

【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的異面直線成角問(wèn)題，解決異面直線成角問(wèn)題的關(guān)鍵在于能

夠通過(guò)平行移動(dòng)直線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為兩條相交直線所成角的問(wèn)題.

16.拋物線公=外的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)”為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AFPM為

等邊三角形時(shí)，貝IJAFPM的外接圓的方程為.

【答案】(久士竽)2+(y—1)2=￡

【解析】

【分析】

利用拋物線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，同時(shí)利用拋物線定義可知PM垂直于準(zhǔn)線，通過(guò)

假設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用等邊三角形邊長(zhǎng)相等的關(guān)系，求得P點(diǎn)和M點(diǎn)；依據(jù)

等邊三角形外心與重心重合的特點(diǎn)，利用重心坐標(biāo)公式表示出圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離

公式求得半徑，從而得到圓的方程.

【詳解】由拋物線方程可知：準(zhǔn)線方程為y=-i,網(wǎng)0,1)

設(shè)am

VPM=PF

由拋物線定義可知：PM垂直于準(zhǔn)線，可得：

又PM=MF,可得：了+1=再7

解得：久1=2也，x2=-273

當(dāng)久=一2火時(shí)，P(-2祗3),M(-2百，-1)

△FPM為等邊三角形nAFPM外接圓圓心與重心重合

.??外接圓圓心坐標(biāo)為：廣同產(chǎn)。3-y,即卜?f

外接圓半徑為：丫=:卜？+2時(shí)+0+以=子

同理可得：當(dāng)久=2方時(shí)，圓心坐標(biāo)為(fl),半徑為?

二外接圓方程為：卜±[}2+(y-l)2=￡

本題正確結(jié)果:卜±等+(74

【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義和幾何性質(zhì)解決綜合問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠通過(guò)等邊三角

形的結(jié)論確定出PM與準(zhǔn)線垂直、邊長(zhǎng)相等、外心與重心重合等條件.

三、解答題。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知在等比數(shù)列｛4｝中，%=2,且％,a2,。3-2成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛九｝滿意：bn=-+-Zlog2an-l,求數(shù)列｛九｝的前幾項(xiàng)和S”.

an

1

n1n2n

【答案】⑴an=a1<7-=2(ne/V*)(2)Sn=n-(-)+1

【解析】

【分析】

(1)利用2a2=%+(。3-2),求得公比q,進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；(2)列出｛勾｝的解析式，通

過(guò)分組求和的方式分別求得兩個(gè)部分的和，再整理出總體的前兀項(xiàng)和.

【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q

???向，a2,。3-2成等差數(shù)列???2。2=。1+(。3-2)=2+(。3-2)=。3

a3

-1n

q=一=2=>an==2(nEN*)

a2

(2)%二：+210g2%一1=(I)，+210gl~1=+2九一1

?0=(泊+曲+個(gè)曲+5]+—+腳+”)]

=E+伊+(才+-?+@"]+口+3+5+,-+(2”1)]

=比1止±尸1=/一⑶+i(")

1---

2

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及分組求和法求數(shù)列的前"項(xiàng)和.解題關(guān)鍵在于能夠通

過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式確定求和方法采納分組求和的方法，分組求和法主要適用于通項(xiàng)公式為和

差運(yùn)算的形式.

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，AB||CD,AB=1,CD=3,4P=2,DP=2^3,"40=60°，

4B_L平面PAD,點(diǎn)M在棱PC上.

(1)求證：平面P4B_L平面PCD；

(2)若直線PAII平面MBD,求此時(shí)三棱錐P-MBD的體積.

【答案】(1)見(jiàn)證明；⑵Vp_MBD=g

【解析】

【分析】

(1)利用線面垂直證得481DP,再利用正弦定理證得DP_L4P,由此可證得DP1平面PZB,

進(jìn)而得到結(jié)論；(2)利用線面平行性質(zhì)定理得至IJP4〃MN,再利用相像可求得PM="C,最

4

終將所求體積轉(zhuǎn)化為求解三棱錐尸-BCD的體積.

【詳解】(1)因?yàn)锳B1平面尸4D,所以4BJ.DP

又因?yàn)镈P=2點(diǎn),AP=2,zP4D=60°

PDPA1

Efa可得si?i4P￡h4=-

sin^PADsin匕PDA

所以NPD4=30°，所以乙4PD=90°，即DPI"

因?yàn)?Bn4P=4所以DP_L平面PAB

因?yàn)镈Pu平面尸CD,所以平面P4B1平面PCD

(2)連結(jié)AC,與BD交于點(diǎn)N,連結(jié)MN

因?yàn)镻4〃平面MB。,

MN為平面P4c與平面MB。的交線，所以24〃MN

~,MCNC

所以k

NA

在四邊形ABC。中，因?yàn)?B〃CD,所以A4BN?ACDN

LL-NCCD3MC1

所以——=——=—=3=>----=3nPM=-PC

NAAB1MP4

因?yàn)?B_L平面PAD,所以4814。，且平面4PDJ_平面ABC。

在平面PAO中，作P014D,貝IJPO_L平面？WCD

因?yàn)閁p—MBD—P-BCD~^M-BCD

所以Up_MBD=VP-BCD~~^P-BCD-P-BCD

11

因?yàn)镃D=3,所以Up_BCD=yX5X3x4xg=2次

所以Up_MBD

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明和三棱錐體積的求解，關(guān)鍵在于求解三棱錐體積時(shí)，將所

求三棱錐依據(jù)比例關(guān)系擴(kuò)大為求解易求得的三棱錐的體積，由此更簡(jiǎn)潔的解決問(wèn)題.

19.已知點(diǎn)4B的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0).三角形ABM的兩條邊AM,所在直線的斜率之

3

積是-不

4

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)設(shè)直線AM方程為x=-2(加力0),直線方程為久=2,直線AM交于P,點(diǎn)P,Q關(guān)于久軸

對(duì)稱，直線MQ與x軸相交于點(diǎn)D求A4PD的面積S(m)關(guān)于m的表達(dá)式.

【答案】(1)—+匕=l(xH+2)(2)S(m)=——^(jn0)

43,-J3m2+2

【解析】

【分析】

3

(1)假設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)，利用心認(rèn)建立關(guān)系式，求得軌跡方程；(2)求出P點(diǎn)坐標(biāo)后,

4

利用對(duì)稱關(guān)系得Q點(diǎn)坐標(biāo)；直線4M與軌跡方程聯(lián)立得M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得MQ方程，從而

得到。點(diǎn)坐標(biāo)；然后利用三角形面積公式可得S(m).

【詳解】⑴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(久,y),因?yàn)辄c(diǎn)4的坐標(biāo)是(-2,0)

所以，直線4"的斜率如M=*(XK—2)

同理，直線BM的斜率超時(shí)=為(乂力2)

由已知又上^匕=-[

%+2x—24

22

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程;+?=1作力士2)

4

(2)直線4時(shí)的方程為％=加、—2(加00),與直線的方程》=2聯(lián)立，可得點(diǎn)P(:

m,

22

將x=my-2與：+：=l聯(lián)立，消去久，整理得(3m2+4)y2_12my=0

12m

解得y=?；騳=-—

3m2+4

6m2—812m

由題設(shè)，可得點(diǎn)M

3m24-43m24-4.

2'4),可得直線"Q的方程為:

2

/12m+[(久-2)-6m—8-2股+3=0

3m2+43m2+4八mJ

6m2—46m2-4'

令y=o,解得x=,故3m2+2°,

3m2+2

6m2—412m2

所以留|=2+

3m2+23m2+2

112m24241ml

所以AAPD的面積：S(m)=-X-------X-=---------(m^O)

23m2+2|m|3m2+2

【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用問(wèn)題，處理問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠利

用m順當(dāng)表示出P,Q,M點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用對(duì)稱的性質(zhì)得到MQ的方程，從而順當(dāng)解決問(wèn)題.本

題思路較為簡(jiǎn)潔，但計(jì)算量較大.

20.某商店銷(xiāo)售某海鮮，統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天該海鮮的需求量x(10與久工20,單位：公斤),

其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進(jìn)貨1次，商店每銷(xiāo)售1公斤可獲利50元；若供

大于求，剩余的削價(jià)處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷(xiāo)

售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤，商店的日利潤(rùn)為y元.

(1)求商店日利潤(rùn)y關(guān)于需求量久的函數(shù)表達(dá)式；

(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替.

①求這50天商店銷(xiāo)售該海鮮日利潤(rùn)的平均數(shù)；

②估計(jì)日利潤(rùn)在區(qū)間［580,760］內(nèi)的概率.

【答案】（1）y=⑵①698.8元②0.54

【解析】

【分析】

（1）依據(jù)不同的需求量，整理出函數(shù)解析式；（2）①利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的方

法，結(jié)合利潤(rùn)函數(shù)得到平均利潤(rùn)；②依據(jù)利潤(rùn)區(qū)間，換算出需求量所在區(qū)間，從而找到對(duì)應(yīng)

的概率.

【詳解】（1）商店的日利潤(rùn)y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式為:

_j50x14+30X(x-14),14<x<20

一(50%—10X(14—x),10<%<14

化簡(jiǎn)得:一(30x+280,14<x<20

"一(60x-140,10<x<14

（2）①由頻率分布直方圖得:

海鮮需求量在區(qū)間「10,12）的頻率是2X0.08=0.16；

海鮮需求量在區(qū)間「12,14）的頻率是2x0.12=0.24；

海鮮需求量在區(qū)間「14,16）的頻率是2X0.15=0.30；

海鮮需求量在區(qū)間-16,18）的頻率是2X0.10=0.20；

海鮮需求量在區(qū)間「18,20］的頻率是2X0.05=0.10；

這5050天商店銷(xiāo)售該海鮮日利潤(rùn)y的平均數(shù)為：

(11x60-14x10)x0.16+(13x60-14x10)x0.24+(15x30+20x14)x0.30+(17x304-

20X14)X0.20+(19X30+20X14)X0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元)

②由于久=14時(shí)，30X14+280=60x14-140=700

明顯曠=｛需士部，急震含在區(qū)間口。，20］上單調(diào)遞增，

y=580=60x-140,得x=12；

y=760=3Ox+280,得x=16；

日利潤(rùn)y在區(qū)間「580,760］內(nèi)的概率即求海鮮需求量x在區(qū)間-12,16］的頻率：

0.24+0.30=0.54

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠嫻熟駕馭統(tǒng)計(jì)中用

樣本估計(jì)總體的方法,平均數(shù)的估計(jì)方法為每組區(qū)間的中點(diǎn)值與每組區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率的乘積

的總和.

2i.已知函數(shù)/（%）=-'i+1.

ex

（1）求fo）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)?shù)贜O時(shí)，04/（工）41,求。的取值范圍.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）[-±

L44

【解析】

【分析】

（1）求導(dǎo)之后，通過(guò)對(duì)分子的二次函數(shù)的圖像進(jìn)行探討，依次得到a在不同范圍中時(shí)，導(dǎo)函

數(shù)的符號(hào)，從而求得單調(diào)區(qū)間；（2）依據(jù)（1）中所求a在不同范圍時(shí)f（x）的單調(diào)區(qū)間，得到

f（x）的圖像，通過(guò)圖像找到恒成立所需條件，從而求得a的取值范圍.

，(ax+1)(比一2)

【詳解】⑴/(x)=-^——~-

e

alx4--Vx—2)

①當(dāng)a>0時(shí)，>\

f(x)=-------------

e

1

令/(乃=0，解得%1=々=2,且工］<冗2

11

當(dāng)x6(―8,—ju(2,+8)時(shí)，f(x)<0;當(dāng)久6(一［2)時(shí)，/(%)>0

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是卜,單調(diào)遞減區(qū)間是

xx—2

②當(dāng)a=0時(shí),f'()=

所以，/'（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,2）,單調(diào)遞減區(qū)間是（2,+8）；

1,1

③當(dāng)一]<aV0時(shí)，令f（x）=G，解得%1=2,%?=-—,并且第1<%2

當(dāng)》€(wěn)（—8,2）U（一：,+8）時(shí)，/（X）>0;當(dāng)%€（2,一；）時(shí)，f（x）<0.

所以/（團(tuán)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,2）和（-5+同，單調(diào)遞減區(qū)間是他一）;

④當(dāng)。=一:時(shí)，/（%）=（'?）,0,所以/（團(tuán)的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,+8）

22ex

11

⑤當(dāng)aV—5時(shí)，令/（%）=0，解得蒐1二一第2=2,且叼V嗎

當(dāng)?shù)趢卜8,一：）u（2,+8）時(shí)，/（X）>0;當(dāng)?shù)趢卜：,2）時(shí)，f（x）<0

所以，f⑺的單調(diào)遞減區(qū)間是（-52）,單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,和（2,+8）

(2)由/'(0)=0及(1)知，

4a+1

①當(dāng)a20時(shí)，=不恒成立，因此不合題意；

e

1

②當(dāng)一2<a<0時(shí)，a需滿意下列三個(gè)條件：

4a+11

⑴極大值：寅2)=—1+141,得Q4一I

/4

1

⑵微小值：

1

(3)當(dāng)》>——時(shí)，/(%)<1

a

111/11\11

當(dāng)》>->2時(shí)，/+工—140,2-4>故?！讹w

11

所以一不<a<--；

L4

1

③當(dāng)。=一］時(shí)，f(%)在。+8)單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0

12

—X+X—12y

2(%T)+1

fg=——-+1=-~~+1<1

ex2ex

1

所以a=_］；

④當(dāng)a<-;時(shí)，

1

1—

極大值:付

4a+1

微小值：<(2)=^^+1>0

e

/+1

由②中⑶知/'(x)w1,解得a2------

4

g”+11

所以-------<a<——

42

e2+1l-i

綜上所述，a的取值范圍是一3巖-:

44

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題，難點(diǎn)在

于須要依據(jù)a的不同范圍，精確得到函數(shù)的單調(diào)性.探討含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性，通常結(jié)合二

次函數(shù)圖像確定二次函數(shù)的符號(hào)，主要從以下三個(gè)角度考慮：①開(kāi)口方向；②判別式；③根

的大小關(guān)系.

22.選