2025高考數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量中的二級結(jié)論（5大結(jié)論）

2025高考數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)平面向量中的二級

結(jié)論（5大結(jié)論）

平面向量中的二級結(jié)論

角度1求數(shù)?積

題型1極化恒等式

—角度2求范困

、一角度3判斷軌跡類型

題型2奔馳定理

題型3三角形四心定理

平面向量中的二級結(jié)論

題型4等和（高）線定理

題型5爪子定理

高考要求

掌握平面向量中常用的二級結(jié)論并能應(yīng)用解題.

知熾解讀

結(jié)論1極化恒等式

模型1極化恒等式平行四邊形模式：a-b=^[(a+ft)2-(a-b)2]

證明:不妨設(shè)AB=a,AD=b，則AC=a+b,DB=a—b

|前F=芯2=R+gy=阿2+2日為+"①

\DB^=DB2=(a-b)2=\a\2-2a-b+\b^②

上面兩式相減，得：小日=:[0+佰―7]---------極化恒等式

幾何意義：向量的數(shù)量積表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的本

即：a-口］［|ACf—|。研］（平行四邊形模式）

模型2極化恒等式三角形模式

在三角形ABD中（”為5。的中點(diǎn)），則極化恒等式可表示為：

a-^=MA"—十0硝三角形模式）

模型3極化恒等式之矩形大法

如圖，在矩形ABCD中，若對角線4。和BD交于點(diǎn)O,P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有以下兩個(gè)重要的向量關(guān)系:

@B42+PC2=PB2+PD2；②用?歷=屋?屈.

證明：①連接PO,根據(jù)極化恒等式（？+/=2［（咤也）2+（氣力門，可得下比+P（J2=2（_?。2+/『）=PB?

+PD2；

②根據(jù)極化恒等式4不=（^^）2—（用也了,可得可?用=PC>2—平1=聞.屈

推廣到空間,得到的結(jié)論就是:底面是矩形的四棱錐相對側(cè)棱長的平方和以及向量乘積均相等.

模型4極化恒等式向加乘積型;」西?而=4

定理:平面內(nèi)，若B、。為定點(diǎn)，讖?N3=用貝UA的軌跡是以BC中點(diǎn)“為圓心，為半徑的圓.

2

證明由泰?前=九根據(jù)極化恒等式可知，AM-十BO?=九所以PM=+,p的軌跡是以M

為圓心J+好。2為半徑的圓.

結(jié)論2奔馳定理

奔馳定理:設(shè)O是AABC內(nèi)一點(diǎn)，bBOC.bAOC4AOB的面積分別記作SA,SB,SC則SA-OA+SB-

OB+Sc-dC^O.

說明:

本定理圖形酷似奔馳的車標(biāo)而得名.

奔融定理推論“?<51+9?瓦+2?元=6,則

①SABOC：SACOA：SMOB=1訃0樂|

S&BOC_XSixAOC__yS&AOB_z

S^ABCx+y+zS&ABCx+y+zS^ABCx+y+z

說明:對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量

關(guān)系符合奔馳定理的形式,在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案。

結(jié)論3三角形四心定理

1.四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點(diǎn),重心將中線長度分成2：1.???

（2）內(nèi)心:角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）,外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直.

2.三角形四“心”向■形式的充要條件

設(shè)。為AABC所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為a,b,c,則

222a

（1）0為bABC的外心OA=OB=OC\OA\=\OB\=\OC\=A.

2sm4

（2）0為^ABC的重心^OA+OB+OC=0.

（3）0為^ABC的垂心^OA-OB^OB-OC^OC-OA.

（4）0為AABC的內(nèi)心=a（不+6朝+=6.

提示：向量X器+片0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是/R4C的角平分線所在直線）;

|崩|歷+|法|向+|刀|屈=6oPAABC的內(nèi)心；

*

2025i結(jié)論4等和（高）線定理,

平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP',OP'=AOA+4而（九aeR）,若點(diǎn)P在直線AB上或在平行于

AB的直線上，則4+4=%（定值）;反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和（高）

線.

（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；

（2）當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí),fce（0,1）；

（3）當(dāng)直線4B在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，ke（1,+oo）；

⑷當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，&=0；

（5）若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對稱，則定值向，k2互為相反數(shù)；

（6）定值k的變化與等和線到。點(diǎn)的距離成正比.

規(guī)律方法要注意等和（高）線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k=l時(shí)的等和（高）線，利用比例求其他的

等和（高）線.

結(jié)論5爪子定理

已知河，P,N是平面上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)A是此平面上任意一點(diǎn)，則“河，P,N三點(diǎn)共線”的充要條件是“存在

實(shí)數(shù)人使得國5=4萬法+（1—冷俞”.此結(jié)論往往稱為向量的爪子模型.

【證明】先證充分性.若Q=（1-4國K

貝1]/=/1（畫?—而）+俞,AP-AN=A（AM-AN）,

即沛=4而，而〃麗，故M,P,N三點(diǎn)共線.

再證必要性.若M,P,N三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù)九使得NP=ANM,

即獷_京=；1（疝一?。?，M=；l（疝一京）+俞，故/=；[而+（l-A）AW.???

綜上知，結(jié)論成立.

向量的爪子模型所表達(dá)的意思就是：從一個(gè)頂點(diǎn)A引出三個(gè)向量，且它們不共線，如下圖，則/等于向量

AN,AM分別乘以它對面的比值的和，簡稱對面的女孩看過來.

特殊點(diǎn):當(dāng)P為NM中點(diǎn)時(shí)=京+彳法）（中線定理）

題型1極化恒等式的應(yīng)用

曜度1（求數(shù)量枳）

3.（2024陜西省咸陽市高三下學(xué)期高考模擬檢測（二））已知在邊長為1的菱形ABCD中，角A為60°,若點(diǎn)E為

線段GD的中點(diǎn)，則存?屈=（）

4.如圖，已知是AABC邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若反7=6,麗？?前=4,則加?而:.

1.（23-24高三上.云南保山.期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,若動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上

（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則歷?屈的取值范圍為（）

A.(0,16]B.[0,16]C.(0,4)D.[0,4]

2.如圖,在平面四邊形ABCD中，AC=4D=2,120°,90°,則說月方的?最大?值為?.

D

A>C

3.（2024貴州省名校協(xié)作體高三下學(xué)期聯(lián)考（二））已知橢圓。：喧+*=1的左右焦點(diǎn)分別為&段點(diǎn)“在

yo

直線Z：/+g—4=0上運(yùn)動(dòng)，則加1?加2的最小值為（）

A.7B.9C.13D.15

坡度31判斷軌跡類型）

1.（2024山東省泰安高三下學(xué)期一輪檢測）在平面內(nèi)，A￡N是兩個(gè)定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，若加?而=4,則點(diǎn)P的

軌跡為（）

A.橢圓B.拋物線C.直線D.圓

2.已知正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，如果對于常數(shù)九在正方形ABCD的四條邊

上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P,使得屋?刀=彳成立，那么4的取值范圍是（）

A.（0,2]B.（0,2）C.（0,4]D.（0,4）

題型2奔馳定理及應(yīng)用

1.已知O為LABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足OA+AOB+僅—1）而=6,若△O4B的面積與△04。的面積的比值為

小則才的值為（）

A.JB.C.yD.2

2.點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部，且滿足：詼5=占存+^N方，則△ABC的面積與△AOB的面積之比是（）

55

A.yB.3C.D.2

3.設(shè)么苕=：（毋+N3）,過G作直線I分別交AB,（不與端點(diǎn)重合）于P,Q,若Q=AAB,AQ=nAC,

O

若^PAG與^QAG的面積之比為。,則〃=

O

A1R2「35

A-TB-TC-7Dn.不

4.（2024高三上河南焦作期末）已知△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)。滿足向+屈+/反=6,則△ABC的面積

是△ABD的面積的（）???

A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍

題型3三角形四心定理

1.（23-24高三上?江西新余?期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)

美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知河是

內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為S”SB,SC,S.SA-MA+SB-MB+Sc-MC^0.

以下命題正確的有（）

A.若SA：SB：SC=1:1:1,則M為/\ABC的重心

B.若A/為△ABC的內(nèi)心，則BC?涼+AC?痂+AB?證=6

C.若M為&ABC的垂心，3MA+4加+5MC=6,則tanZBACitanZABCztanZBCA=3:4:5

D.若乙氏4。=45°,乙4BC=60°,M■為△AB。的外3則SA：SB：SC=V^:2:1

2.（2024高三?重慶?期中）已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足標(biāo)=5N+

4?萬

（4>0）,則P點(diǎn)軌跡一定通過三角形ABC的（

\AB\sinB罔sinC

A.內(nèi)心B.夕卜心C.垂心D.重心

3.（2024?高三?陜西渭南?期末）如圖所示，4ABC中G為重心，PQ過G點(diǎn)，1#=mAB,AQ=nAC,則工+

題型4等和（高）定理

1.（2024內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高三一模）如圖,在菱形ABCD中，AB=4,乙4BC=60°,分別為AB,BC

上的點(diǎn)，眉=3就，加=3圮.若線段EF上存在一點(diǎn)使得血=｝配+工況（xCR）,則曲

等于（）???

AEB

C.6D.8

2.如圖,邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O,P為圓。上任一點(diǎn)，若與=+苕，則2c+2y的最大

值為（）

D.1

3.（2024全國專題訓(xùn)練）如圖在直角梯形ABCD中，ABLA。，AD=OC=1,AB=3,動(dòng)點(diǎn)P在

以。為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)讖=aN方+￡金（&，66滅）

則a+0的取值范圍是

題型5爪子定理

1.（2024山西省部分學(xué)校高三下學(xué)期3月月考）已知。是△48。的AB邊上一點(diǎn)，若說=^DB,CD=ACA

+〃怎（兒〃6五），則4—〃=（）

A-fB-fc-°D--l

2.（2022年全國新高考/卷）在△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記（51=而也=力則（而=

（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)”是AB上的點(diǎn)且滿足無面=3面,N是AC上的點(diǎn)且滿足俞=麗5,CM與BN交

于P點(diǎn)，設(shè)毋=區(qū)％苕=比則/=（）

反饋訓(xùn)練

一、選擇題

1.如圖,在平面四邊形ABCD中，。為的中點(diǎn)，且。4=3,。。=5,若存?NB=—7,則反^?反=（）

2.如圖，BC,DE是半徑為1的圓。的兩條直徑，加=2用，則麗?屈=（）

3.（2024?全國?二模）點(diǎn)O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn),滿足而=方+而+。方,則直線0P經(jīng)過

△AB。的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知。為正4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足OA+AOB+（1+4）53=6,若△OAB的

面積與△03。的面積的比值為3,則4的值為（）

15

A.yB.yC.2D.3

5.（2024高三下?江西?開學(xué)考試）如圖，已知圓。的半徑為2,弦長AB=2,。為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，則N方?反?的

取值范圍為（）???

A.[0,4]B.[5-473,5+473]C.[6-473,6+473]D.[7-4V3.7+4V3]

6.（2024高三上?安徽安慶?階段練習(xí)）設(shè)。點(diǎn)在△ABC內(nèi)部，且有304+2OB+（53=6,則△A。。的面積與

△AOB的面積的比值為（）

A.2B.V3C.V2D.3

（2024?四川南充?三模）已知點(diǎn)P在△48。所在平面內(nèi)，若聞?

則點(diǎn)P是△AB。的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

8.（2024黑龍江牡丹江?階段練習(xí)）若。是所在平面上一定點(diǎn),H,N,Q在△A3。所在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P

滿足OP=OA++,4C（0,+8）,則直線AP一定經(jīng)過"BC的心,點(diǎn)〃滿足

\HA\^\HB\^\HC\,則H是△ABC的心,點(diǎn)N滿足凡彳+油+N蘇=6,則N是/\ABC的

心，點(diǎn)Q滿足信?循=福?比=煎5?福，則Q是△ABC的心，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.外心，內(nèi)心，重心，垂心B.內(nèi)心，外心，重心，垂心

C.內(nèi)心，外心，垂心，重心D.夕卜心，重心，垂心，內(nèi)心

9.（2024.江西.一模）如圖,正六邊形的邊長為2V2，半徑為1的圓。的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M在正六

邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)4B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對稱，則信?加的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

10.（2024全國?專題練習(xí)）。是平面上一定點(diǎn),A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP^OA

+4（4+回苕）”>0,則直線AP一定通過△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心???

n.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知點(diǎn)。是△ABC的重心,過點(diǎn)O的直線與邊AB,4。分別交于M,N兩點(diǎn)、,D為邊

BC的中點(diǎn).若AD=cAM+%4N（c,geR）,則；r+9=（）

A-1RB-f9C.2D.11

二、多選題

12.（23-24高三上?河北保定?階段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論,因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的

圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，

△BOC,/\AOC,44OB的面積分別為S4,SB,S。,貝U51+S1無+S。-正=6.設(shè)。是△ABC內(nèi)

一點(diǎn)，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為4B,。，ABOC,/\AOC,/\AOB的面積分別為SA，SB，若3OA+

4而+5己若=6,則以下命題正確的有（）

A

A.SA：SB：S0=3:4:5

B.。有可能是△ABC的重心

C.若O為/XABC的外心，貝！JsinAsinRsin。=3:4:5

D.若O為