一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列求和專題

數(shù)列的求和考綱要求掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式，能把某些不是等差和等比數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來解決；掌握裂項求和的思想方法，掌握錯位相減法求和的思想方法，并能靈活的運用這些方法解決相應(yīng)問題.一.公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式：②等比數(shù)列的前n項和公式③④⑤⑥2+4+6+…+2n=

；⑦1+3+5+…+（2n-1）=

；n2+nn2

例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)2.分組求和法：

若數(shù)列的通項可轉(zhuǎn)化為

的形式，且數(shù)列可求出前n項和例3.求下列數(shù)列的前n項和（1）

解（1）：該數(shù)列的通項公式為

錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法.既{anbn}型等差等比例4、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]這是一個等差數(shù)列{n}與一個等比數(shù)列{xn-1}的對應(yīng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？Sn=1+2x+3x2

+……+nxn-1①

xSn=x+2x2

+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-

nxnn項這時等式的右邊是一個等比數(shù)列的前n項和與一個式子的和，這樣我們就可以化簡求值。錯位相減法例4、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)

Sn=1+x+x2++xn-1-

nxn1-(1+n)xn+nxn+11-x=∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-

nxn…………………練習(xí)：求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n2.設(shè)數(shù)列滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項和Sn.變式探究2．設(shè)數(shù)列滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1兩式相減，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，列項求和法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為分裂通項法.（見到分式型的要往這種方法聯(lián)想）常見的拆項公式有：常見的裂項公式有：7n·n！=（n+1）！-n??；89例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：觀察數(shù)列的前幾項：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11這時我們就能把數(shù)列的每一項裂成兩項再求和，這種方法叫什么呢？拆項相消法11×3=（-213111）例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通項an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=

（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=評：裂項相消法的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每一項拆成二項或多項使數(shù)列中的項出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項，進而達到求和的目的?！病场痉治觥克o數(shù)列為倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列,故應(yīng)研究通項,看能否拆為兩項之差的形式,以便使用裂項相消法.【解析】求數(shù)列,…的前n項和.變式探究：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，)(n∈N*)均在函數(shù)y=3x-2的圖象上.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2），Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn＜對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.例4.

（1）依題意得=3n-2，即Sn=3n2-2n.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5；當n=1時，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5,∴an=6n-5(n∈N*).

（2）由(1)得bn=

故Tn=b1+b2+…+bn

因此，使得(n∈N*)成立的m必須滿足,即m≥10.

故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.〔〕

cn=an+bn({an}、{bn}為等差或等比數(shù)列。）項的特征反思與小結(jié)：要善于從通項公式中看本質(zhì)：一個等差{n}＋一個等比{2n}，另外要特別觀察通項公式，如果通項公式?jīng)]給出，則有時我們需求出通項公式，這樣才能找規(guī)律解題.分組求和法

,+n1練習(xí)1.求數(shù)列+23,+

的前n項和。,

222,

32

n2+

1

2

3

n

解：=(1+2+3+…+n)

Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+

)

2

2

3

2

ｎ

2

+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分組求和法2求數(shù)列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10，…，前n項和Sn.2∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)]∴Sn＝a1＋a2＋…＋an點評：運用分組求和法數(shù)列前n項和公式時，要注意先考慮通項公式．解析例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重組轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列并項求和練習(xí)：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37