2025屆高三數(shù)學(xué)秋季開學(xué)摸底考試(三)(學(xué)生版+解析)

2025屆高三秋季開學(xué)摸底考試（三）數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知向量，若，則（）A. B.0 C. D.13.已知，且，則（）A B. C. D.4.圖中的花盆可視作兩個圓臺的組合體，其上半部分的圓臺上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下半部分的圓臺上?下底面直徑分別為24cm和18cm，且兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角均相等，若上半部分的圓臺的高為8cm，則該花盆的總高度為（）A.16cm B.18cm C.20cm D.24cm5.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A.2 B.4 C.6 D.87.已知等差數(shù)列中，.記，其中表示不大于的最大整數(shù)，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A.4965 B.4964 C.1893 D.18928.已知三棱錐中，，其余各棱長均為是三棱錐外接球的球面上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為（）A. B. C. D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.年我國居民消費(fèi)價格月度漲跌幅度的數(shù)據(jù)如圖所示，對于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.極差 B.平均數(shù)約為C.中位數(shù)為 D.眾數(shù)只有和10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，最小正周期，若將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.在上的值域?yàn)镈.在上單調(diào)遞增11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且在上單調(diào)遞增，，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.13.設(shè)，則被7除余數(shù)為__________.14.已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，，若恒成立，則的離心率的最大值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在中，邊上一點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求.16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且不與軸重合的動直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時，.（1）求方程；（2）若，直線分別與直線交于點(diǎn)，證明：為定值.17.如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，平面平面，四邊形為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若關(guān)于的方程有兩個正根，證明：.19.在一個不透明的口袋中裝有2個黑球和2個白球，每次從口袋中隨機(jī)取出1個球，再往口袋中放入1個白球，取出的球不放回，像這樣取出1個球再放入1個白球稱為1次操作，重復(fù)操作至口袋中4個球均為白球后結(jié)束.假設(shè)所有球的大小?材質(zhì)均相同，記事件“次操作后結(jié)束”為，事件發(fā)生的概率為.（1）求第1次操作取出黑球且3次操作后結(jié)束的概率；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，證明：.

2025屆高三秋季開學(xué)摸底考試（三）數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式解法求得集合，再根據(jù)集合的描述法表示即可求得.【詳解】解不等式可得；又可知集合是所有整數(shù)的平方構(gòu)成的集合，在區(qū)間范圍內(nèi)只有是整數(shù)的平方，因此可得.故選：A2.已知向量，若，則（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及模長公式解方程即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，且，所以，解得.故選：B3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解即得.【詳解】由，得，由，得，而，則，因此，所以.故選：C4.圖中的花盆可視作兩個圓臺的組合體，其上半部分的圓臺上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下半部分的圓臺上?下底面直徑分別為24cm和18cm，且兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角均相等，若上半部分的圓臺的高為8cm，則該花盆的總高度為（）A16cm B.18cm C.20cm D.24cm【答案】C【解析】【分析】利用組合體的軸截面以及三角形相似即可得出該花盆的總高度.【詳解】截取組合體的軸截面，作，如下圖所示：易知，即為上半部分的圓臺的高，所以，又因?yàn)閮蓚€圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角均相等，所以；可得，易知，所以.因此該花盆的總高度為.故選：C5.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的判斷法則求得對應(yīng)的的取值范圍即可得出結(jié)論.【詳解】易知的定義域?yàn)椋液瘮?shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知若函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得；顯然是的真子集，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B6.已知過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)差即可得解.【詳解】顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，，由消去得，則，由，得，解得或，則，所以的面積為.故選：C7.已知等差數(shù)列中，.記，其中表示不大于的最大整數(shù)，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A.4965 B.4964 C.1893 D.1892【答案】A【解析】【分析】求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分析數(shù)列的各項(xiàng)取值，求其前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，解得，則，于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：A8.已知三棱錐中，，其余各棱長均為是三棱錐外接球的球面上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先給出鱷魚模型公式的證明，然后利用其求出外接球半徑，再結(jié)合球的截面性質(zhì)求解即可.【詳解】首先，我們來證明求解外接球半徑的鱷魚模型，我們給定三棱錐，設(shè)分別是的外心，設(shè)外接球球心為，是的中點(diǎn)，作，，所以是二面角的平面角，設(shè)，設(shè)，，作面，面，在四邊形中，可得，所以四點(diǎn)共圓，且設(shè)四邊形的半徑為，所以，連接，由正弦定理得，設(shè)，故，而在中，由余弦定理得，連接，所以，由三線合一性質(zhì)得，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，設(shè)，由勾股定理得，所以，即鱷魚模型得證，而在本題中，對于三棱錐，，找中心為，中心為，找中點(diǎn)為，作，，所以是二面角的平面角，設(shè)，因?yàn)?，三棱錐其余各棱長均為，所以，由勾股定理得，所以是等邊三角形，所以，設(shè)，，代入公式中得，所以，設(shè)外接球的球心為，而三棱錐其余各棱長均為，故是等邊三角形，由正弦定理得的外接圓半徑為，設(shè)球心到面的距離為，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離的最大值為，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是證明鱷魚模型的正確性，然后利用其求解外接球半徑，再利用球的截面性質(zhì)得到所要求的最值即可．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.年我國居民消費(fèi)價格月度漲跌幅度的數(shù)據(jù)如圖所示，對于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.極差為 B.平均數(shù)約為C.中位數(shù)為 D.眾數(shù)只有和【答案】AB【解析】【分析】利用平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，極差的定義逐個選項(xiàng)分析即可.【詳解】首先，我們把數(shù)據(jù)從小到大排列，得到，所以極差為，故A正確，平均數(shù)為，故B正確，中位數(shù)為，故C錯誤，眾數(shù)有，，，故D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，最小正周期，若將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.在上的值域?yàn)镈.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱軸和周期的取值范圍可求得函數(shù)的解析式，利用平移規(guī)則以及誘導(dǎo)公式可得出表達(dá)式，再根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性可求得其值域，利用整體代換可求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】依題意由可得，解得，又可知；將代入可得，又因?yàn)榭傻?因此可得，即A正確；對于B,將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)，因此B錯誤；對于C，當(dāng)時可得，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可得，可得C正確；對于D，令，解得；易知當(dāng)時，可得在上單調(diào)遞增，即D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且在上單調(diào)遞增，，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合賦值法計(jì)算判斷ABC；結(jié)合選項(xiàng)C的結(jié)論，分段探討的取值情況判斷D.【詳解】對于A，令，得，則，由在上單調(diào)遞增，得不恒為1，因此，A正確；對于B，令，得，則，而，因此，B正確；對于C，，取，則，即有，因此函數(shù)是偶函數(shù)，又時，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，C錯誤；對于D，，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，因此，當(dāng)時，，，所以，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】求出方程的復(fù)數(shù)根，再利用復(fù)數(shù)模的意義計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故答案為：13.設(shè)，則被7除的余數(shù)為__________.【答案】2【解析】【分析】依題意可將改寫成的形式，再由二項(xiàng)展開式可得被7除的余數(shù)為2.【詳解】易知，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開可得；所以，即可得被7除的余數(shù)與被7除的余數(shù)相同，所以，所以被7除的余數(shù)為2.故答案為：214.已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，，若恒成立，則的離心率的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的最小值并建立不等式，求解不等式即可得解.【詳解】設(shè)，雙曲線的半焦距為，離心率為，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，依題意，，整理得，解得，即，解得，因此，即所以的離心率的最大值為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）6；（2）3.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理列式解方程即得.（2）由（1）的信息，利用正弦定理、余弦定理求解即得.【小問1詳解】設(shè)，則，由余弦定理可得，即，得，所以.【小問2詳解】由，得，則.由正弦定可得，解得.由余弦定理得，即，而，所以.16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且不與軸重合的動直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時，.（1）求的方程；（2）若，直線分別與直線交于點(diǎn)，證明：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于的方程組求解即得.（2）設(shè)出直線的方程，與的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值即可.【小問1詳解】由焦點(diǎn)，得，由，得，則，聯(lián)立解得，所以的方程為.【小問2詳解】依題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，則，直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以，為定值.17.如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，平面平面，四邊形為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，又，則，四邊形為平行四邊形，于是，平面平面，平面平面，則平面，所以平面，而平面，因此，由四邊形為菱形，得，又平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，為等邊三角形，連接，，平面平面，平面平面，平面，則平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若關(guān)于的方程有兩個正根，證明：.【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及給定切線求出.（2）由（1），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（3）方程變形為，利用方程