陜西省西安市高新逸翠園初級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

西安市高新逸翠園初級(jí)中學(xué)2024——2025學(xué)年度第一學(xué)期九年級(jí)收心考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題，每題3分，共24分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識(shí)別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選B．2.若成立，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．詳解】解：A、∵，∴，∴，故A成立，符合題意；B、∵，∴，∴，故B不成立，不符合題意；C、∵，∴，故C不成立，不符合題意；D、∵，∴，故D不成立，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．3.當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程的根的情況為（）A.沒有實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得，根據(jù)一元二次方程根的判別式和配方法得，即可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，配方法，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．4.如圖，直線與（且a，b為常數(shù)）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），則關(guān)于x的不等式的解集為（）A.x≥﹣1 B.x≥3 C.x≤﹣1 D.x≤3【答案】D【解析】【詳解】解：從圖象得到，當(dāng)x≤3時(shí)，的圖象對應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖象上面，∴不等式的解集為x≤3．故選：D．5.用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中（）A.有一個(gè)角是直角 B.每一個(gè)角都是直角 C.有兩個(gè)角都不是直角 D.有兩個(gè)角是直角【答案】D【解析】【分析】反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立，據(jù)此判斷．【詳解】解：用反證法證明“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中有兩個(gè)角是直角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法和三角形內(nèi)角和定理，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．6.四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，要使它成為矩形，可添加條件（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定條件：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形進(jìn)行求解即可【詳解】解：添加條件，再由四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，無法證明四邊形ABCD是矩形，不符合題意；添加條件，再由四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，可以證明四邊形ABCD是矩形，符合題意；添加條件，再由四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，無法證明四邊形ABCD是矩形，不符合題意；添加條件，再由四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，無法證明四邊形ABCD是矩形，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定條件是解題的關(guān)鍵．7.已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】首先對原分式方程變形，其次解出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解是非負(fù)數(shù)，最簡公分母不為0，列不等式，求出公共的解集即可．本題考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)，，列不等式組是解題關(guān)鍵．【詳解】解：原分式方程可化為：，去分母，得，解得，分式方程解是非負(fù)數(shù)，，且，的取值范圍是：且，故選：B8.如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，且的面積為10，則的周長的最小值是（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、勾股定理，作，作點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，交于，連接，交于，由已知得出，由三角形面積得出，從而得出，表示出的周長，得出要使周長最小，則需點(diǎn)與重合，即點(diǎn)、、共線，由勾股定理得出，即可得解．【詳解】解：如圖，作，作點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，交于，連接，交于，，∵，∴，，∵的面積為10，∴，∴，∴，∴，∵的周長，∴要使周長最小，則需點(diǎn)與重合，即點(diǎn)、、共線，如圖所示，，由勾股定理得：，∴周長最小值為，故選：D．二、填空題（共6小題，每題3分，共18分）9.使分式有意義的的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．分式有意義，則分母，由此易求的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)分母，即時(shí)，分式有意義．故答案為：．10.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．11.順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是____．【答案】矩形【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)已知條件證明即可．【詳解】如圖：∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF是ΔABC的中位線，∴EF//AC，EF=AC，同理：GH//AC,GH=AC，∴EFGH，EFGH∴四邊形EFGH是平行四邊形，又EH//BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四邊形EFGH是矩形.12.若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為，則方程必有一根為______．【答案】【解析】【分析】把化為再結(jié)合題意得到解出即可．【詳解】解：，．令，則∵方程（）有一個(gè)根為，有一根為，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的含義，掌握利用整體未知數(shù)求解方程的根是解此題的關(guān)鍵．13.若關(guān)于的不等式有且只有四個(gè)整數(shù)解，且一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，則符合題意的整數(shù)的值為______．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解得出的取值范圍，再由一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限得出取值范圍，再找出其公共解集，取符合條件的整數(shù)即可；【詳解】解：解不等式組得：；∵關(guān)于的不等式有且只有四個(gè)整數(shù)解∴其整數(shù)解為：，，，；∴，即：∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限∴解得：由①②可得：∴符合題意的整數(shù)的值為，；故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．14.如圖，點(diǎn)P是邊長為6的等邊內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，則的面積是______．【答案】【解析】【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，，，得為等邊三角形，得出，證明，結(jié)合，能證明，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可得，解得x后，利用三角形面積公式計(jì)算即可．本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【詳解】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖所示：連接，則，，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，∴，解得（舍去），∴的面積是．

故答案為：．三、解答題（共11小題，共78分）15.解不等式組【答案】【解析】【分析】分別解出每個(gè)不等式，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則求出其公共解即可．【詳解】解不等式①，得，，解不等式②，去分母得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，故不等式組的解集為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組．掌握求不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”是解題關(guān)鍵．16.（1）解分式方程．（2）化簡，并在，，0，1，2中選取一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．【答案】（1）；（2），時(shí)，原式【解析】【分析】（1）去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，結(jié)果要檢驗(yàn)；（2）將分子因式分解，除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分，再代值計(jì)算，代值時(shí)，a的取值不能使原式的分母、除式為0．本題考查了解分式方程，分式的化簡求值．（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．【詳解】解：（1）方程兩邊都乘，得．解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根；（2），當(dāng)，0，1，2時(shí)，原分式無意義，∴當(dāng)時(shí)，原式．17.解一元二次方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）以移項(xiàng)，再配方，開方，最后求解即可；（2）先確定a、b、c的值，再求出根的判別式，最后將a、b、c的值代入求根公式即可求解．【小問1詳解】解：，移項(xiàng)，得：，配方，得：，即，開方，得：或，解得：，；【小問2詳解】解：，，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用配方法和公式法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式，以及求根公式．18.尺規(guī)作圖在內(nèi)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，并且點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離等于線段的長．【答案】見解析【解析】【分析】先作線段的垂直平分線，再以點(diǎn)C為圓心，以為半徑畫弧，與線段的垂直平分線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求，【點(diǎn)睛】此題主要考查線段垂直平分線的作圖，熟練掌握線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．（1）將沿著軸的方向平移得到，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，畫出的圖形．（2）將原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平移變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)即可求解．【小問1詳解】如圖，即為所求．【小問2詳解】如圖所示，點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平移變換的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，熟練掌握平移變換的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在四邊形中，，，，垂足分別為，，且．求證：四邊形為平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】【分析】先證明∠BEA＝∠DFC＝90°，再由平行線的性質(zhì)得∠BAC＝∠DCA，證明△BAE≌△DCF（ASA），得到AB＝CD，即可得出四邊形ABCD是平行四邊形．【詳解】證明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA＝∠DFC＝90°，∵，∴∠BAC＝∠DCA，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴AB＝CD，又∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．21.（1）已知可以被10到20之間的兩個(gè)整數(shù)整除，求這兩個(gè)整數(shù)．（2）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）15和17；（2）20【解析】【分析】（1）先對原式進(jìn)行因式分解，然后即可求出這兩個(gè)整數(shù)．（2）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開得出，得出方程，即可求出k值．【詳解】解：（1）原式=（216+1）（216-1）=（216+1）（28+1）（24+1）（24-1）=（216+1）（28+1）×17×15則這兩個(gè)數(shù)是15和17．（2）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），則，則，∴2n-5=3，-5n=-k，解得：n=4，k=20．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．22.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，點(diǎn)G，H為垂足，猜想與的大小關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】證明見解析【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．注意利用求解是解此題的關(guān)鍵．首先連接，，易得，又由，，，利用面積法，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：連接，，點(diǎn)，分別在的邊，上，與共底，與共底，，，，，，，，．23.近年來，市民交通安全意識(shí)逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，甲種頭盔的單價(jià)比乙種頭盔的單價(jià)高11元．（1）甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是多少元？（2）商店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方式如下：甲種頭盔按單價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費(fèi)用最小？最小費(fèi)用是多少元？【答案】（1）甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元，54元．（2）購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元．【解析】【分析】（1）設(shè)購買乙種頭盔的單價(jià)為x元，則甲種頭盔的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得，求解；（2）設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為w,則，解得，故最小整數(shù)解為，，根據(jù)一次函數(shù)增減性，求得最小值=．【小問1詳解】解:設(shè)購買乙種頭盔的單價(jià)為x元，則甲種頭盔的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得解得，，，答：甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元，54元．【小問2詳解】解：設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為w,則，解得，故最小整數(shù)解為，，∵，則w隨m的增大而增大，∴時(shí)，w取最小值，最小值．答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，確定自變量取值范圍是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、B，直線與直線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4．（1）求直線的函數(shù)解析式：（2）將沿x軸方向平移，在y軸上存在點(diǎn)E，使得以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并直接寫出平移方式．【答案】（1）（2）或向右平移3個(gè)單位或向左平移11個(gè)單位或向左平移5個(gè)單位【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)：（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)，使以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，再將點(diǎn)沿軸平移至點(diǎn)即可．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；設(shè)直線的函數(shù)解析式為y=kx將點(diǎn)，代入，得：，所以則直線函數(shù)解析式：；【小問2詳解】解：設(shè)存在一個(gè)點(diǎn)，使以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．若使以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，分三種情況討論：①當(dāng)為對角線時(shí)，記為點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，解得，所以的坐標(biāo)為；②當(dāng)為對角線時(shí)，記為點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（11，4）；③當(dāng)為對角線時(shí)，記為點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，存在點(diǎn)F，使以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或．把點(diǎn)沿軸移動(dòng)到軸，得到或，即將向右平移3個(gè)單位或向左平移11個(gè)單位或向左平移5個(gè)單位，得到點(diǎn)或，則：以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．25.

問題提出：(1)如圖1，在中，，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，則的