人教版中學七年級數(shù)學下冊期末解答題壓軸題附答案

人教版中學七年級數(shù)學下冊期末解答題壓軸題（附答案）

一、解答題

1.如圖，用兩個面積為200c＞的小正方形拼成一個大的正方形.

（1）則大正方形的邊長是—；

（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為

4:3,且面積為360°“2?

2.如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一個長方形紙

板的面積為162平方厘米，求正方形紙板的邊長.

3.動手試一試，如圖1,紙上有10個邊長為1的小正方形組成的圖形紙.我們可以按圖

2的虛線將它剪開后,重新拼成一個大正方形ABCD.

（1）基礎鞏固：拼成的大正方形ABCD的面積為,邊長AD為；

（2）知識運用：如圖3所示，將圖2水平放置在數(shù)軸上，使得頂點B與數(shù)軸上的-I重

合.以點B為圓心，邊為半徑畫圓弧，交數(shù)軸于點E,則點E表示的數(shù)是；

（3）變式拓展：

①如圖4,給定5x5的方格紙（每個小正方形邊長為1）,你能從中剪出一個面積為13的

正方形嗎？若能，請在圖中畫出示意圖；

②請你利用①中圖形在數(shù)軸上用直尺和圓規(guī)表示面積為13的正方形邊長所表示的數(shù).

圖4備用圖

4.如圖，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64.

（1）求出這個魔方的棱長；

（2）圖中陰影部分是一個正方形ABCD,求出陰影部分的邊長.

5.張華想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長

方形紙片，使它的長寬之比為3：2.他不知能否裁得出來，正在發(fā)愁.李明見了說："別

發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片."你同意李明的說法嗎？張華能

用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

二、解答題

6.已知，AE//BD,ZA=ZD.

（1）如圖1,求證：AB//CD-,

（2）如圖2,作44E的平分線交。于點/，點G為上一點，連接FG,若NC9G的

平分線交線段AG于點連接AC,ZACE=ABAC+ZBGM,過點H作HM_LFH交

FG的延長線于點且3/￡1-5/470=18°,求NE4F+NGMH的度數(shù).

7.如圖，直線尸Q//W,點C是尸。、肱V之間（不在直線尸Q,MN上）的一個動點.

（1）如圖1,若N1與N2都是銳角，請寫出NC與Nl,Z2之間的數(shù)量關系并說明理由；

（2）把直角三角形ABC如圖2擺放，直角頂點C在兩條平行線之間，CB與尸。交于點

D,CA與MN交于點E,54與PQ交于點尸，點G在線段CE上，連接。G,有

ZBDF=ZGDF,求彳/A黑FN的值；

（3）如圖3,若點。是下方一點，BC平分NPBD,AM平分NC4D,己知

NPBC=25°,求NACB+ZAD3的度數(shù).

8.已知，如圖1,射線PE分別與直線AB,C。相交于E、F兩點，NPF。的平分線與直線

AB相交于點M,射線PM交CD于點N,設NPF/W=a。，ZEMF=6°,且（40-2a）2+|6

-201=0

（1）a=,6=；直線AB與CD的位置關系是；

（2）如圖2,若點G、H分別在射線MA和線段MF上，且NMGH=NPNF,試找出NFMN

與NGHF之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結論；

（3）若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉（如圖3）,分別與AB、CD相交于

點Ml和點N1時，作NPM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點Q,問在旋轉的過程中

毀匕的值是否改變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

9.汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看

河水及兩岸河堤的情況.如圖1,燈A射出的光束自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈

B射出的光束自順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A射出的

光束轉動的速度是a°/秒，燈8射出的光束轉動的速度是6。/秒，且“、6滿足

|a—3b|+（a+b—4）2=0.假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即PQ〃跖V,且

ZBAN=45°.

(1)求。、6的值;

(2)如圖2,兩燈同時轉動，在燈A射出的光束到達AN之前，若兩燈射出的光束交于點

C,過C作CDJ_AC交尸Q于點。，若N3CD=20。，求ZBAC的度數(shù)；

(3)若燈8射線先轉動30秒，燈A射出的光束才開始轉動，在燈B射出的光束到達

之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

10.已知，AB//CD.點M在AB上，點N在C。上.

(1)如圖1中，NBME、NE、/END的數(shù)量關系為：；(不需要證明)；如圖2

中，ZBMF、N尸、NRVD的數(shù)量關系為：；(不需要證明)

(2)如圖3中，NE平令4FND,MB平分NFME,且2NE+NF=180,求/RWE的度

數(shù)；

(3)如圖4中，ZBME=60,EF平分ZMEN,NP平分ZEND,且EQ〃NP,貝ijN尸EQ

的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出么NFEQ的度數(shù).

三、解答題

11.為更好地理清平行線相關角的關系，小明爸爸為他準備了四根細直木條A3、BC、

CD、DE,做成折線ABCDE,如圖1,且在折點B、C、D處均可自由轉出.

(1)如圖2,小明將折線調節(jié)成ZB=50。，ZC=85°,ZD=35°,判斷A3是否平行于

ED,并說明理由；

(2)如圖3,若NC=ND=35。，調整線段AB、8C使得AB//CD求出此時D8的度數(shù)，

要求畫出圖形，并寫出計算過程.

(3)若NC=85。，ND=35。,ABI/DE,請直接寫出此時的度數(shù).

12.如圖1,點。在肱V上，ZAOB=90。,ZAOM=律/OCQ=,射線交尸。于點C,已

知m,"滿足：|機-20|+(〃-70)2=0.

(2)如圖2,平分NAON,C尸平分NOCQ,直線?！辏?、CF交于點E,貝|

NOEF=°；

(3)若將ZAO3繞點。逆時針旋轉口(0＜夕＜90。)，其余條件都不變，在旋轉過程中，

NOEF的度數(shù)是否發(fā)生變化？請說明你的結論.

13.已知：三角形ABC和三角形OEF位于直線MN的兩側中，直線MN經過點C,且

BCLMN,其中NABC=/ACB,ZDEF=ZDFE,ZABC+NDFE=90°,點、E、F均落

在直線MN上.

利用這條輔助線解決了問題.請你根據(jù)小麗的思考，寫出解決這一問題的過程.

(2)將三角形。EF沿著NM的方向平移，如圖2,求證：DE//AC；

(3)將三角形OEF沿著NM的方向平移，使得點E移動到點萬，畫出平移后的三角形

DEF,并回答問題，若NDFE=a,則NQtB=.(用含。的代數(shù)式表示)

14.(1)學習了平行線以后，香橙同學想出了過一點畫一條直線的平行線的新方法，她是

通過折紙做的，過程如(圖1).

b

圖2圖3

①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b,使直線b經過點P,且6〃a,要求保留

折紙痕跡，畫出所用到的直線，指明結果.無需寫畫法：

②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點P的直線a的一線.

（2）已知，如圖3,AB//CD,8E平分/ABC,CF平分/BCD.求證：BE//CF（寫出每

步的依據(jù)）.

15.如圖，己知A/WIIBN,Z71=64°.點P是射線A/W上一動點（與點A不重合），BC、

B。分別平分N4BP和NP8M分別交射線AM于點C,D.

（1）①NABN的度數(shù)是；（2）-/AMWBN,二NACB=N；

（2）求NCBD的度數(shù)；

（3）當點P運動時，N4PB與NADB之間的數(shù)量關系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫

出它們之間的關系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律；

（4）當點P運動到使NACB=NAB。時，NABC的度數(shù)是.

四、解答題

16.（1）如圖1,NBAD的平分線AE與NBCD的平分線CE交于點E,ABWCD,

NADC=50。，NABC=40°,求NAEC的度數(shù)；

圖3

（2）如圖2,NBAD的平分線AE與NBCD的平分線CE交于點E,NADC=a。，NABOB。，

求NAEC的度數(shù)；

（3）如圖3,PQ_LMN于點。，點八是平面內一點，AB,AC交MN于B、C兩點，A。平

NADP

分NBAC交PQ于點。，請問?/〃〃小的值是否發(fā)生變化?若不變，求出其值；若改

Z-/1C￡>—Z-AnC

變，請說明理由.

17.如圖，直線m與直線n互相垂直，垂足為0、A、B兩點同時從點。出發(fā)，點A沿直

線m向左運動，點B沿直線n向上運動.

⑴若NBA0和NAB0的平分線相交于點Q,在點A,B的運動過程中，ZAQB的大小是否

會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值，若發(fā)生變化，請說明理由.

⑵若AP是NBA0的鄰補角的平分線，BP是NAB0的鄰補角的平分線，AP、BP相交于點

P,AQ的延長線交PB的延長線于點C,在點A,B的運動過程中，NP和NC的大小是否

會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出NP和NC的度數(shù)；若發(fā)生變化，請說明理由.

18.【問題探究】如圖1,DFIICE,ZPCE=Za,ZPDF=Zd猜想NDPC與a、B之間有

何數(shù)量關系？并說明理由；

【問題遷移】

如圖2,DFIICE,點P在三角板AB邊上滑動，NPCE=Na,ZPDF=Zp.

（1）當點P在E、F兩點之間運動時，如果a=30。，*40。，則NDPC=°.

/r

D

（2）如果點P在E、F兩點外側運動時（點P與點A、B、E、F四點不重合），寫出NDPC

與a、B之間的數(shù)量關系，并說明理由.

19.直線MN與直線PQ垂直相交于。，點A在射線0P上運動，點B在射線0M上運

動/、B不與點。重合，如圖1,己知AC、BC分別是NBAP和NABM角的平分線，

（1）點4B在運動的過程中，NACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；

若不發(fā)生變化，試求出NACB的大小.

（2）如圖2,將△ABC沿直線折疊，若點C落在直線PQ上，貝此48。=,

如圖3,將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線/WN上，貝此ABO=

（3）如圖4,延長BA至G,已知NBA。、NOAG的角平分線與NBOQ的角平分線及其反

3

向延長線交于￡、F,則NEAF=_；在AAEF中，如果有一個角是另一個角的不倍，求NAB。

的度數(shù).

20.如圖，MNUGH,點A、B分別在直線MN、GH上,點。在直線MA/、G”之間，若

ZNAO=116°,ZOBH=144°.

（1）ZAOB=—°；

（2）如圖2,點C、D是ZNAO、NGBO角平分線上的兩點，且NCDB=35。，求NACD的

度數(shù)；

（3）如圖3,點F是平面上的一點，連結以、FB,E是射線供上的一點，若ZMAE=

nZOAE,NHBF=nZOBF,且ZAFB=60°,求n的值.

【參考答案】

一、解答題

1.（1）;（2）無法裁出這樣的長方形.

【分析】

（1）先計算兩個小正方形的面積之和，在根據(jù)算術平方根的定義，即可求解；

（2）設長方形長為cm,寬為cm,根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與20的大小

解析：（1）20；（2）無法裁出這樣的長方形.

【分析】

（1）先計算兩個小正方形的面積之和，在根據(jù)算術平方根的定義，即可求解；

（2）設長方形長為4xcm,寬為3xcm,根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與20的大小即

可.

【詳解】

解：（1）由題意得，大正方形的面積為200+200=400cm2,

「?邊長為：^400=20cm;

⑵根據(jù)題意設長方形長為4xcm,寬為3xcm,

由題:4x-3x=360

貝吐=30

x>0

/.x=y/30

長為4曲

4病>20

,無法裁出這樣的長方形.

【點睛】

本題考查了算術平方根，根據(jù)題意列出算式(方程)是解決此題的關鍵.

2.正方形紙板的邊長是18厘米

【分析】

根據(jù)正方形的面積公式進行解答.

【詳解】

解：設小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為厘米，即得正方形紙板的邊

長是厘米，根據(jù)題意得：

取正值，可得，

解析：正方形紙板的邊長是18厘米

【分析】

根據(jù)正方形的面積公式進行解答.

【詳解】

解：設小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為2x厘米，即得正方形紙板的邊長是2x

厘米，根據(jù)題意得：

2x-x-162,

,f=81,

取正值x=9,可得2x=18,

二答：正方形紙板的邊長是18厘米.

【點評】

本題考查了算術平方根的實際應用，解題的關鍵是熟悉正方形的面積公式.

3.(1)10,；(2)；(3)見解析；(4)見解析

【分析】

(1)易得10個小正方形的面積的和，那么就得到了大正方形的面積，求得面

積的算術平方根即可為大正方形的邊長；

（2）根據(jù)大正方形的邊長結合實

解析：（1）10,710;（2）V10-1；（3）見解析；（4）見解析

【分析】

（1）易得10個小正方形的面積的和，那么就得到了大正方形的面積，求得面積的算術平

方根即可為大正方形的邊長；

（2）根據(jù)大正方形的邊長結合實數(shù)與數(shù)軸的關系可得結果；

（3）以2x3的長方形的對角線為邊長即可畫出圖形；

（4）得到①中正方形的邊長，再利用實數(shù)與數(shù)軸的關系可畫出圖形.

【詳解】

解：（1）,圖1中有10個小正方形，

，面積為10,邊長AD為9；

（2）BC=7i0,點B表示的數(shù)為-1,

BE=7io,

???點E表示的數(shù)為JQ-1；

（3）①如圖所示：

圖4

②：正方形面積為13,

?邊長為年，

如圖，點E表示面積為13的正方形邊長.

谷川圖

【點睛】

本題考查了圖形的剪拼，正方形的面積，算術平方根，實數(shù)與數(shù)軸，巧妙地根據(jù)網格的特

點畫出正方形是解此題的關鍵.

4.（1）棱長為4；（2）邊長為：（或）

【分析】

（1）由立方體的體積為棱長的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接計算

得到答案.

【詳解】

解：（1）設正方體的棱長為，貝U，所以，即正方體的棱長為4.

解析：（1）棱長為4；（2）邊長為：瓜（或2立）

【分析】

（1）由立方體的體積為棱長的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接計算得到答案.

【詳解】

解：（1）設正方體的棱長為x,則丁=64,所以x=4,即正方體的棱長為4.

（2）因為正方體的棱長為4,所以AB=,22+22=曲=20.

【點睛】

本題考查的是立方根與算術平方根的理解與計算，由實際的情境去理解問題本身就是求一

個數(shù)的立方根與算術平方根是關鍵.

5.不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析：設面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則

3x?2x=300,x2=50,解得x=,而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20厘

米，由于

解析：不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析：設面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則3x?2x=300,

X2=50,解得x=5收,而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20厘米，由于150>20,

所以用一塊面積為400平方厘米的正方形紙片，沿著邊的方向裁不出一塊面積為300平方

厘米的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2.

試題解析：解:不同意李明的說法.設長方形紙片的長為3x（x>0）cm,則寬為2xcm,

依題意得：3x?2x=300,6x2=300,x2=50,<x>0,二乂=病=5五，二長方形紙片的長為

15A/2cm,50>49,,50>7,,15&>21,即長方形紙片的長大于20cm,由正方形

紙片的面積為400cm2,可知其邊長為20cm,.?.長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長.

答：李明不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

點睛：本題考查了算術平方根的定義：一個正數(shù)的正的平方根叫這個數(shù)的算術平方根；0

的算術平方根為0.也考查了估算無理數(shù)的大小.

二、解答題

6.（1）見解析；（2）

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即

可得證；

（2）過點E作，延長DC至Q,過點M作，根據(jù)平行線的性質及等量代換可得

出，再根據(jù)平角的

解析：（1）見解析；（2）72°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質得出Z4+ZB=180。，再根據(jù)等量代換可得/3+/D=180。，最后根

據(jù)平行線的判定即可得證；

（2）過點E作EP//CD,延長DC至Q,過點/W作肱V//AB,根據(jù)平行線的性質及等量

代換可得出"CQ=ZBGM=ZDFG,再根據(jù)平角的含義得出ZECF=ZCFG,然后根據(jù)

平行線的性質及角平分線的定義可推出NBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB；設

==〃，根據(jù)角的和差可得出=結合已知條件

3NA￡C-5"H=180。可求得乙”舊=18。，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質，即可

得出答案.

【詳解】

（1）證明：AEHBD

.-.ZA+ZB=180o

ZA=ZD

.-.ZB+ZD=180°

ABIICD-,

（2）過點E作EP//CD,延長DC至Q,過點M作

AB//CD

.ZQCA=ZCAB,ZBGM=ZDFG,NCFH=NBHF,ZCFA=FAG

ZACE=ABAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

.ZECQ=ZBGM=ZDFG

ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

:.ZECF=ZCFG

AB//CD

:.AB//EP

/PEA=/EAB,/PEC=ZECF

ZAEC=ZPEC-ZPEA

ZAEC=ZECF-ZEAB

ZECF=ZAECZEAB

4F平分44E

ZEAF=ZFAB=-ZEAB

2

FH平分NC尸G

/.ZCFH=ZHFG=-ZCFG

2

QCD//AB

ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB

設ZFAB=a,/CFH=J3

ZAFH=ZCFH-ZCFA=ZCFH-ZFAB

AAFH=f3-a,/BHF=/CFH=0

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAB+2ZAFH=ZAEC+2J3

ZECF+2ZAFH=ZE+2ZBHF

.\ZAEC=2ZAFH

3ZAEC-5ZAFH=1SO°

:.ZAFH=18°

FHLHM

:.ZFHM=90°

/GHM=90?！?。

ZCFM+ZNMF=180°

ZHMB=ZHMN=90。一4

ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=力—18。

ZEAF+ZGMH=/3-lS°+90o-/3=r72°

:.AEAF+Z.GMH^1T.

【點睛】

本題考查了平行線的判定及性質，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質和判定進行

推理是解此題的關鍵.

7.(1)見解析；(2)；(3)75°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質、余角和補角的性質即可求解.

（2）根據(jù)平行線的性質、對頂角的性質和平角的定義解答即可.

（3）根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義以

解析：（1）見解析；（2）|；（3）75°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質、余角和補角的性質即可求解.

（2）根據(jù)平行線的性質、對頂角的性質和平角的定義解答即可.

（3）根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義以及三角形內角和解答即可.

【詳解】

解：⑴NC=N1+N2,

證明：過C作/IIMN,如下圖所示，

/IIMN,

..Z4=Z2（兩直線平行，內錯角相等），

/IIMN,PQIIMN,

/IIPQ,

.N3=Z1（兩直線平行，內錯角相等），

Z3+Z4=N1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

（2）,,,ZBDF=NGDF,

'：ZBDF=NPDC,

：.ZGDF=ZPDC,

■：ZPDC+NCOG+NGDF=180°,

ZCOG+2NPDC=180",

ZPDC=90。-；/CDG,

由（1）可得，ZPDC+NCEM=NC=9Q°,

：.ZAEN=NCEM,

NAEN_NCEM_90。-/尸￡＞。_90。--5"DG）_工,

NCDG~ZCDG~-ZCDG~NCDG-2

（3）設BD交MN于J.

BO

：BC平分NPBD,AM平分NCAD,ZPBC=25°,

■.ZPBD=2NPBC=50°,ZCAM=AMAD,

：PQIIMN,

■.ZBJA=ZPBD=50°,

/.ZAOB=NAJB-NJAD=500-ZJ4D=50°-ZCAM,

由(1)可得，ZACB=ZPBC+ACAM,

：.ZACB+NADB=NPBC+NCA/W+50°-NCA/W=25°+50°=75°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質、余角和補角的性質，解題的關鍵是根據(jù)平行找出角度之間的關

系.

8.(1)20,20,；(2)；(3)的值不變，

【分析】

(1)根據(jù)，即可計算和的值，再根據(jù)內錯角相等可證；

(2)先根據(jù)內錯角相等證，再根據(jù)同旁內角互補和等量代換得出;

作的平分線交的延長線于

ZFPN

解析:(1)20,20,AB//CD；(2)NFMN+NGHF=180。；(3)四,的值不變,

NFPNJ2

NQ-

【分析】

(1)根據(jù)(40-24+1尸-20|=0,即可計算1和夕的值，再根據(jù)內錯角相等可證AB〃CD;

(2)先根據(jù)內錯角相等證GH//PN,再根據(jù)同旁內角互補和等量代換得出

ZFMN+ZGHF=180°；

(3)作/尸耳乩的平分線交加衛(wèi)的延長線于R,先根據(jù)同位角相等證應//尸。，得

ZFQMt=ZR,設NPER=NREB=x,ZPMtR=ZRM.B=y,得出NEPM=2NR,即可

得幺如=2

【詳解】

解：⑴(40-2?)2+|/?-20|=0,

.-.40-2?=0,>0-20=0,

:.a=0=20,

ZPFM=ZMFN=20°,/F.MF=20°,

:.ZEMF=ZMFN,

：.AB//CD；

故答案為：20、20,AB//CD；

(2)NFMN+NGHF=180。；

理由：由(1)得AB//CD,

:.ZMNF=ZPME9

ZMGH=ZMNF,

:.ZPME=ZMGH,

:.GH//PN,

.\ZGHM=ZFMN,

ZGHF+ZGHM=180°,

/.AFMN+AGHF=180。；

4FPN\ZFPN,「

（3）^^的值不變，一刀’=2;

理由：如圖3中，作NP￡M的平分線交的延長線于R,

AB//CD,

NPEM]=ZPFN,

NPER=|ZPEM,,ZPFQ=-ZPFN,

:.ZPER=ZPFQ,

圖3

ZFQMt=NR,

設NPER=NREB=x,ZPMXR=ARMXB=y,

[y=x+AR

則有：[2y=2x+ZEPM}'

可得=2NR,

NEPM\=2ZFQM,,

.NEPM、=2

"ZFQMt,

【點睛】

本題主要考查平行線的判定與性質，熟練掌握內錯角相等證平行，平行線同旁內角互補等

知識是解題的關鍵.

9.(1),；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可；

(2)根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式，求出

t的值，進而求出的度數(shù)；

(3)根據(jù)燈B的

解析：(1)a=3,6=1；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子|a-36|+(a+6-4)~=0即可；

(2)根據(jù)尸Q//MN,用含t的式子表示出NBC4,根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式

ZBCD=90°-ZBCA=90°-[180°-(2r)°]=(2?)°-90°=20°,求出t的值，進而求出ZBAC

的度數(shù)；

(3)根據(jù)燈B的要求，t<150,在這個時間段內八可以轉3次，分情況討論.

【詳解】

解：(1)\a-3b\+(a+b-4)2=0.

又\|。一3昨0,(a+Z>-4)2>0.

?.a=3,b=1；

(2)設A燈轉動時間為/秒，

MAN

如圖，作CEI/PQ,而PQ//MN,

/.PQ//CE//MN,

ZACE=ZCAN=180°-3/°,ZBCE=ZCBD=t0,

ZBCA=ZCBD+/CAN=產+180。一（3。。=180°—（2/）。,

NACD=90。，

/.ZBCD=90°-ZBCA=90°-[180°=（2°。-90°=20°,

:.t=55

「NCW=180。-⑶）。，

.?./胡。=45。-[180。-（3。。[=（3.）。-135。=165。-135。=30。

（3）設A燈轉動/秒，兩燈的光束互相平行.

依題意得。v%v150

①當0v,v60時，

B

21

兩河岸平行，所以N2=N3=(3t)°

兩光線平行，所以N2=N1=3O+/。

所以，Z1=Z3

即：3/=30+7,

解得?=15；

②當60</<120時,

兩光束平行，所以N2=N3=(30+/)。

兩河岸平行，所以/1+/2=180。

4=3180。

所以，37—180+30+1=180,

解得/=82.5；

③當120</<150時，圖大概如①所示

3t—360=/+30,

解得f=195>150(不合題意)

綜上所述，當/=15秒或82.5秒時，兩燈的光束互相平行.

【點睛】

這道題考察的是平行線的性質和一元一次方程的應用.根據(jù)平行線的性質找到對應角列出

方程是解題的關鍵.

10.(1)ZBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=ZMFN+zFND.(2)120°(3)

NFEQ的大小沒發(fā)生變化，ZFEQ=30°.

【分析】

(1)過E作EHAB,易得EHABCD,根據(jù)平行線的性質

解析：([)ZBME=ZMEN-NEND；NBMF=NMFN+NFND.(2)120°(3)NFEQ的

大小沒發(fā)生變化，ZFEQ=30。.

【分析】

(1)過E作EH〃AB,易得EM〃AB〃CD,根據(jù)平行線的性質可求解；過F作FH//AB,易

得FHHABUCD,根據(jù)平行線的性質可求解；

（2）根據(jù)（1）的結論及角平分線的定義可得2（NBME+NEND）+ZB/WF-ZFND

180°,可求解NBMF=60°,進而可求解；

（3）根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義可推知NFEQ=^NBME,進而可求解.

【詳解】

解：（1）過E作EH//AB,如圖1,

二ZBME=NMEH,

■：AB//CD,

：.HEUCD,

：.ZEND=ZHEN,

：.ZMEN=NMEH+AHEN=NBME+AEND,

即NBME=NMEN-NEND.

如圖2,過F作FM//AB,

ZBMF=AMFK,

-：AB//CD,

：.FH//CD,

：.ZFND=NKFN,

：.ZMFN=AMFK-NKFN=NBMF-ZFND,

即：NBMF=NMFN+NFND.

故答案為NBME=NMEN-NEND；ZBMF=ZMFN+zFND.

(2)由(1)得NBME=NMEN-ZEND；NBMF=ZMFN+zFND.

■：NE平分NFND,MB平分NFME,

：.ZFME=NB/WE+NBMF,ZFND=ZFNE+Z.END,

■：2ZMEN+A/WFN=180°,

2(ZB/WE+ZEND)4-ZBMF-ZFND=180°,

：.2ZBME+2NEND+NBMF-NFND=180°,

即2ZBMF+NFND+ZBMF-NFA/D=180°,

解得NBMF=60°,

ZFME=2NB/WF=120°；

(3)NFEQ的大小沒發(fā)生變化，ZFEQ=30°.

由（1）知：NMEN=4BME+NEND,

■：EF平分NMEN,NP平分NEND,

:.NFEN=^ZMEN=gQBME+zEND）,NENP=^NEND,

EQ//NP,

：.ZNEQ=NENP,

：.ZFEQ=NFEN-ZNEQ=g（ZB/WE+zEND）-yZEND=，BME,

ZBME=60°,

ZFEQ=gx60°=30°.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質及角平分線的定義，作輔助線是解題的關鍵.

三、解答題

11.（1）平行，理由見解析；（2）35。或145。，畫圖、過程見解析；（3）50°

或130°或60°或120°

【分析】

（1）過點C作CFIIAB,根據(jù)NB=50。，ZC=85°,ZD=35",即可得C

解析：（1）平行，理由見解析；（2）35。或145。，畫圖、過程見解析；（3）50?；?30?；?/p>

60?；?20°

【分析】

⑴過點C作CFIIAB,根據(jù)NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得CFIIED,進而可以判斷

AB平行于ED；

（2）根據(jù)題意作ABIICD,即可NB=NC=35。；

（3）分別畫圖，根據(jù)平行線的性質計算出NB的度數(shù).

【詳解】

解：（1）AB平行于ED,理由如下：

如圖2,過點C作CFWAB,

：.ZBCF=N8=50°,

ZBCD=8E>°,

：.ZFCO=85°-50°=35°,

ZD=35",

/.ZFCD=ND,

：.CFWED,

■：CFWAB,

：.ABWED；

（2）如圖，即為所求作的圖形.

/.ZABC=NC=35°,

??.NB的度數(shù)為:35°；

*/A'BWCD,

ZABC+AC=180°,

??.NB的度數(shù)為：145°；

「?NB的度數(shù)為：35。或145°；

（3）如圖2,過點C作CFWAB,

ABWDE,

/.CFIIDE,

/.ZFCD=ND=35°,

,/ZBCD=85°,

/.ZBCF=85o-35°=50°,

ZB=NBCF=50°.

答：N8的度數(shù)為50。.

如圖5,過C作CFIIAB,則ABIICFIICD,

BA

ZFCD=N0=35",

,,,ZBCD=85°,

：.ZBCF=85°-35°=50°,

■，-ABWCF,

：.ZB+ZBCF=180",

Z8=130°；

如圖6,???ZC=85°,N。=35。,

圖6

/.ZCro=180°-85o-35o=60°,

ABWDE,

：.ZB=ZCFD=60°,

如圖7,同理得：ZB=35°+85°=120°,

綜上所述，NB的度數(shù)為50?；?30。或60?；?20。.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是區(qū)分平行線的判定與性質，并熟練運

用.

12.(1)見解析；(2)45；(3)不變，見解析；

【分析】

(1)由可求得m及n,從而可求得NMOC=NOCQ,則可得結論；

(2)易得NAON的度數(shù)，由兩條角平分線，可得NDON,NOCF的度數(shù)，也

解析：(1)見解析；(2)45；(3)不變，見解析；

【分析】

(1)由|加-20什("70)2=0可求得m及o，從而可求得N/WOC=NOCQ,則可得結論；

(2)易得NAON的度數(shù)，由兩條角平分線，可得NOON,NOCF的度數(shù)，也易得NCOE的

度數(shù)，由三角形外角的性質即可求得NOEF的度數(shù)；

(3)不變，分三種情況討論即可.

【詳解】

(1)|/n-20|>0,(/I-70)2>0,且帆-20|+(〃-70)2=0

|ZM-20|=0,(“-70)2=0

/.m=20,n=70

ZMOC=90O-ZAOM=70°

/.ZMOC=NOCQ=70°

/.MNITPQ

(2)?/ZAON=180°-ZAOM=160°

又「0。平分NAON,C/平分NO。。

ZDON=^ZAON=80°fZOCF=^ZOCQ=35°

,/ZMOE=ZDON=SO°

：.ZCOE=ZMOE-ZMOC=10°

/.ZOEF=NOCF+NCOE=35°+10°=45°

故答案為：45.

(3)不變，理由如下：

如圖，當0°<a<20。時，

,/CF平分NOCQ

/.ZOCF=AQCF

設NOCF=NQCF=x

則NOCQ=2x

「MNWPQ

/.ZMOC=NOCQ=2x

,/ZAON=360°-90°-(180°-2x)=90°+2x,OD平分N

/.ZDON=45°+x

,/ZMOE=NDOA/=45°+x

；NCOE=NMOE—NMOC=45°+x-2x=45°-x

二NOEF=NCOE+NOCF=45°-x+x=45°

D

當a=20。時，OD與OB共線，則NOCQ=90°,由CF平分NOCQ知，NOEF=45

當20°<a<90。時，如圖

CF平分NOCQ

/.ZOCF=NQCF

設NOCF=ZQCF=X

則NOCQ=2x

■：MNWPQ

：.ZNOC=180°-ZOCQ=180°~2x

ZAON=90°+(180°-2x)=270°-lx,0。平分NAON

ZAOE=135°~x

：.ZCOE=90°-ZAOE=90°-(135x)=x—45°

/.ZOEF=NOCF-ZCOE=x-(x-45°)=45°

綜上所述，NEOF的度數(shù)不變.

【點睛】

本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質，角的和差關系，注意分類討論,

引入適當?shù)牧勘阌谶\算簡便.

13.（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；.

【分析】

（1）過點C作，得到，再根據(jù)，，得到，進而得到，最后證明；

（2）先證明，再證明，得到，問題得證；

（3）根據(jù)題意得到，根據(jù)（2）結論得到ND

解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；2a.

【分析】

（1）過點C作CG//DF,得到NDFE=ZFCG,再根據(jù)NBCF=90°,

ZABC+ZDFE=90°,得至ljZ4BC=N6CG,進而得到CG〃AB,最后證明。f7/AB；

（2）先證明NACB+ND￡F=90。，再證明NACS+NACE=90。，得到ND￡F=NACE,問

題得證；

（3）根據(jù)題意得到〃FE=ND￡F=a,根據(jù)（2）結論得到NDEF二NECZ二。，進而得到

ZABC=ZACB=90°-a,根據(jù)三角形內角和即可求解.

【詳解】

解：（1）過點。作CG〃。幾

:./DFE=/FCG,

BC工MN,

.\ZBCF=90°,

:.NBCG+NFCG=90。,

ZBCG+/DFE=90。,

ZABC+NO莊=90。，

:.ZABC=ZBCGf

:.CG//AB,

DF//AB；

（2）解：ZABC=ZACB,/DEF=/DFE,

又ZABC-^-ZDFE=90°f

.?.ZACB+N。砂=90。，

BC工MN,

:.ZBCM=90°,

ZACB+ZACE=90°,

:.NDEF=ZACE,

:.DE//AC；

（3）如圖三角形OEF即為所求作三角形.

/./DFE=/DEF=a,

由（2）得，DEWAC,

ZDEF=NEGA=。,

?/ZACB+ZACE=90°,

ZACB=90°-a,

ZABC=ZACB=9Q0-a,

ZA=lS0°-ZABC-ZACB=2a.

故答案為為：2a.

【點睛】

本題考查了平行線的判定，三角形的內角和等知識，綜合性較強，熟練掌握相關知識，根

據(jù)題意畫出圖形是解題關鍵.

14.（1）①見解析；②垂；（2）見解析

【分析】

（1）①過點折紙，使痕跡垂直直線，然后過點折紙使痕跡與前面的痕跡垂

直，從而得到直線；

②步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點的直線的垂線.

（2）先根據(jù)

解析：（1）①見解析；②垂；（2）見解析

【分析】

（1）①過戶點折紙，使痕跡垂直直線”，然后過尸點折紙使痕跡與前面的痕跡垂直，從而

得到直線匕；

②步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點尸的直線。的垂線.

（2）先根據(jù)平行線的性質得到=再利用角平分線的定義得到一2=-3,

然后根據(jù)平行線的判定得到結論.

【詳解】

（1）解：①如圖2所示：

圖2

②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點尸的直線。的垂線.

故答案為垂；

（2）證明：BE平分/ABC,CF平分/BCD（已知），

二/1=/2,Z3=Z3（角平分線的定義），

AB//CD（已知）,

:.ZABC=ZBCD（兩直線平行，內錯角相等），

,-.2Z2=2Z3（等量代換），

.-.Z2=Z3（等式性質），

：.BE//CF（內錯角相等，兩直線平行）.

【點睛】

本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合

了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結

合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行線的性質與

判定.

15.(1)①②；(2)；(3)不變，，理由見解析；(4)

【分析】

(1)①由平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補可直接求出；②由平行

線的性質，兩直線平行，內錯角相等可直接寫出；

(2)由角平分線的

解析：(1)①116。，②CBN；(2)58°；(3)不變，ZAPB:ZADB=2:1,理由見解析；

⑷29°.

【分析】

(1)①由平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補可直接求出；②由平行線的性質，

兩直線平行，內錯角相等可直接寫出；

(2)由角平分線的定義可以證明NCBD=：NABN,即可求出結果；

(3)不變，ZAPB：NADB=2：1,證NAPB=NPBN,NPBN=2NDBN,即可推出結論；

(4)可先證明NABC=NDBN,由(1)ZABN=116°,可推出NCBD=58。，所以

NABC+NDBN=58。，則可求出NABC的度數(shù).

【詳解】

解：(1)①,；AM〃BN,NA=64。，

ZABN=180°-ZA=116°,

故答案為：116。；

②AM//BN,

ZACB=ZCBN,

故答案為：CBN；

(2)AM//BN,

ZABN+ZA=180",

ZABN=180°-64°=116°,

/.ZABP+ZPBN=116",

,JBC平分NABP,BD平分ZPBN,

NABP=2NCBP,NPBN=2NDBP,

2ZCBP+2ZDBP=116°,

ZCBD=NCBP+ZDBP=58°；

(3)不變,

ZAPB：NADB=2：1,

AM//BN,

ZAPB=ZPBN,NADB=NDBN,

BD平分ZPBN,

ZPBN=2NDBN,

NAPB：ZADB=2：1；

(4)AM//BN,

ZACB=ZCBN,

當NACB=ZABD時，

則有NCBN=ZABD,

ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN

/.ZABC=ZDBN,

由(1)ZABN=116°,

ZCBD=58",

ZABC+ZDBN=58°,

/.ZABC=29°,

故答案為：29。.

【點睛】

本題考查了角平分線的定義，平行線的性質等，解題關鍵是能熟練運用平行線的性質并能

靈活運用角平分線的定義等.

四、解答題

16.(1)ZE=45°；(2)NE=；(3)不變化，

【分析】

(1)由三角形內角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

NB+NEAB=NE+NECB,由角平分線的性質，可得NECD=NECB=N

解析：(1)NE=45。；(2)NE=2j；(3)不變化，!

22

【分析】

(1)由三角形內角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,NB+NEAB=NE+NECB,由角平

分線的性質，可得NECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,則可得NE=-

222

(zD+NB),繼而求得答案；

(2)首先延長BC交AD于點F,由三角形外角的性質，可得NBCD=NB+NBAD+ND,又

由角平分線的性質，即可求得答案.

(3)由三角形內角和定理，可得

ZADP+90°=ZACB+ADACZADP+ZDFO=ZABC+NOEB,利用角平分線的性質與三

角形的外角的性質可得答案.

【詳解】

解：(1)CE平分ZBCD,AE平分NBAD

11

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

ZD+NECD=ZE+NEAD,ZB+NEAB=ZE+NECB,

/.ZD+NECD+ZB+NEAB=ZE+NEAD+ZE+NECB

/.ZD+NB=2ZE,

1,、

ZE=-(zD+ZB),

2

,/ZADC=50°,NABC=40°,

/.ZAEC=-x(50°+40°)=45°；

2

圖1

(2)延長BC交AD于點F,

,/ZBFD=ZB+NBAD,

:ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+NBAD+ZD,

,/CE平分NBCD,AE平分NBAD

11

/.ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEA