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文檔簡介
空氣動力學(xué)數(shù)值方法:格子玻爾茲曼方法(LBM):LBM在非牛頓流體中的應(yīng)用1空氣動力學(xué)數(shù)值方法:格子玻爾茲曼方法(LBM):LBM在非牛頓流體中的應(yīng)用1.1緒論1.1.1LBM方法的歷史背景格子玻爾茲曼方法(LatticeBoltzmannMethod,LBM)起源于20世紀(jì)80年代末,最初由FrancescoHiguera和Rapoport在研究流體動力學(xué)問題時提出。LBM結(jié)合了統(tǒng)計(jì)物理和流體動力學(xué)的原理,通過模擬粒子在格子上的碰撞和傳輸過程,來求解流體的宏觀行為。這種方法在計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域迅速發(fā)展,因其并行計(jì)算的高效性和處理復(fù)雜邊界條件的能力而受到青睞。1.1.2非牛頓流體的定義與分類非牛頓流體是指其粘性性質(zhì)不遵循牛頓流體的線性關(guān)系的流體。牛頓流體的粘性與剪切速率無關(guān),而非牛頓流體的粘性則可能隨剪切速率的變化而變化。非牛頓流體可以分為以下幾類:假塑性流體:粘度隨剪切速率增加而減小。脹流性流體:粘度隨剪切速率增加而增加。賓漢流體:在剪切應(yīng)力低于一定閾值時,流體保持靜止,超過閾值后,粘度隨剪切應(yīng)力變化。粘彈性流體:流體的流動不僅受到粘性力的影響,還受到彈性力的影響。1.2LBM在非牛頓流體中的應(yīng)用LBM應(yīng)用于非牛頓流體的模擬,主要通過調(diào)整和擴(kuò)展傳統(tǒng)的LBM模型來實(shí)現(xiàn)。傳統(tǒng)LBM基于Bhatnagar-Gross-Krook(BGK)碰撞模型,適用于牛頓流體。然而,對于非牛頓流體,需要引入更復(fù)雜的碰撞模型,如多項(xiàng)式碰撞模型或基于應(yīng)力張量的模型,以準(zhǔn)確描述流體的非線性粘性行為。1.2.1擴(kuò)展LBM模型多項(xiàng)式碰撞模型多項(xiàng)式碰撞模型通過在碰撞算子中引入多項(xiàng)式項(xiàng)來模擬非牛頓流體的粘性特性。例如,對于假塑性流體,可以使用冪律模型:μ其中,μ是粘度,μ0是參考粘度,γ是剪切速率,γ0是特征剪切速率,基于應(yīng)力張量的模型對于更復(fù)雜的非牛頓流體,如粘彈性流體,需要使用基于應(yīng)力張量的模型。這類模型通過引入額外的應(yīng)力張量方程來描述流體的彈性行為。例如,Oldroyd-B模型:?其中,σ是額外的應(yīng)力張量,u是流體速度,λ是松弛時間,ηp1.2.2LBM模擬示例Python代碼示例:LBM模擬假塑性流體importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
#LBM參數(shù)
nx,ny=128,128
nt=1000
tau=0.5
mu0=1.0
gamma0=1.0
n=0.5
#初始化速度和密度
u=np.zeros((nx,ny,2))
rho=np.ones((nx,ny))
#LBM權(quán)重和速度
weights=np.array([4/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/36,1/36,1/36,1/36])
velocities=np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]])
#邊界條件
defboundary_conditions(f):
#底部固定壁
f[:,0,1]=f[:,0,3]
f[:,0,5]=f[:,0,7]
f[:,0,6]=f[:,0,8]
f[:,0,4]=f[:,0,2]
#頂部固定壁
f[:,ny-1,1]=f[:,ny-1,3]
f[:,ny-1,5]=f[:,ny-1,7]
f[:,ny-1,6]=f[:,ny-1,8]
f[:,ny-1,4]=f[:,ny-1,2]
#LBM更新規(guī)則
deflbm_step(f):
#流動
f_eq=np.zeros_like(f)
foriinrange(9):
f[i]=np.roll(f[i],velocities[i],axis=(0,1))
#計(jì)算密度和速度
rho=np.sum(f,axis=0)
u=np.zeros((nx,ny,2))
foriinrange(1,9):
u+=velocities[i]*f[i]
u/=rho
#計(jì)算剪切速率
grad_u=np.gradient(u)
gamma_dot=np.sqrt(grad_u[0][0]**2+2*grad_u[0][1]**2+grad_u[1][1]**2)
#計(jì)算粘度
mu=mu0*(1+(gamma_dot/gamma0)**(n-1))**((1-n)/2)
#碰撞
foriinrange(9):
f_eq[i]=weights[i]*rho*(1+3*np.dot(velocities[i],u)+9/2*np.dot(velocities[i],u)**2-3/2*np.dot(u,u))
f[i]-=(1/tau)*(f[i]-f_eq[i])
#應(yīng)用邊界條件
boundary_conditions(f)
returnf,rho,u
#初始化分布函數(shù)
f=np.zeros((9,nx,ny))
foriinrange(9):
f[i]=weights[i]*rho
#模擬循環(huán)
fortinrange(nt):
f,rho,u=lbm_step(f)
#可視化結(jié)果
plt.imshow(u[:,:,0],origin='lower',cmap='viridis')
plt.colorbar()
plt.show()代碼解釋上述代碼示例展示了如何使用LBM模擬假塑性流體。首先,我們定義了LBM的參數(shù),包括網(wǎng)格大小、模擬步數(shù)、松弛時間、參考粘度、特征剪切速率和流體指數(shù)。然后,我們初始化了速度和密度,以及LBM的權(quán)重和速度向量。在boundary_conditions函數(shù)中,我們應(yīng)用了底部和頂部固定壁的邊界條件。在lbm_step函數(shù)中,我們執(zhí)行了LBM的流動、計(jì)算密度和速度、計(jì)算剪切速率、計(jì)算粘度、碰撞和再次應(yīng)用邊界條件的步驟。最后,我們通過循環(huán)調(diào)用lbm_step函數(shù)來模擬流體的流動,并使用matplotlib庫來可視化最終的速度場。1.2.3數(shù)據(jù)樣例在LBM模擬中,數(shù)據(jù)樣例通常包括網(wǎng)格大小、時間步長、流體的物理屬性(如粘度、密度)以及邊界條件。例如,對于上述Python代碼示例,數(shù)據(jù)樣例可以是:網(wǎng)格大小:nx=128,ny=128時間步長:nt=1000參考粘度:mu0=1.0特征剪切速率:gamma0=1.0流體指數(shù):n=0.5初始密度:rho=np.ones((nx,ny))初始速度:u=np.zeros((nx,ny,2))權(quán)重和速度向量:weights和velocities數(shù)組這些數(shù)據(jù)樣例構(gòu)成了LBM模擬的基礎(chǔ),通過調(diào)整這些參數(shù),可以模擬不同條件下的非牛頓流體行為。1.3結(jié)論LBM作為一種強(qiáng)大的數(shù)值方法,不僅適用于牛頓流體的模擬,通過適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展和調(diào)整,也能有效地處理非牛頓流體的復(fù)雜流動問題。通過上述示例,我們可以看到LBM在模擬假塑性流體時的靈活性和效率。對于更復(fù)雜的非牛頓流體,如粘彈性流體,LBM同樣能夠提供準(zhǔn)確的模擬結(jié)果,但需要更復(fù)雜的模型和算法。2格子玻爾茲曼方法基礎(chǔ)2.1LBM的基本原理格子玻爾茲曼方法(LatticeBoltzmannMethod,LBM)是一種基于粒子模型的流體動力學(xué)數(shù)值方法。它通過模擬流體中粒子的碰撞和傳輸過程,來求解流體動力學(xué)方程。LBM的核心是Boltzmann方程,但在實(shí)際應(yīng)用中,為了簡化計(jì)算,LBM使用了離散化的速度空間和時間空間。2.1.1離散化速度空間在LBM中,速度空間被離散化為有限個速度方向。例如,D2Q9模型在二維空間中使用9個速度方向,其中D表示空間維度,Q表示速度方向的數(shù)量。2.1.2離散化時間空間時間也被離散化,流體動力學(xué)過程通過一系列離散時間步的迭代來模擬。在每個時間步,粒子從一個格點(diǎn)移動到另一個格點(diǎn),然后進(jìn)行碰撞過程,更新粒子分布函數(shù)。2.1.3粒子分布函數(shù)粒子分布函數(shù)fix,t描述了在位置x和時間2.2LBM的離散化過程LBM的離散化過程包括兩個主要步驟:流體粒子的流(Streaming)和碰撞(Collision)。2.2.1流動步驟在流動步驟中,粒子分布函數(shù)fix,t沿著速度方向i移動到新的位置x+Δt2.2.2碰撞步驟在碰撞步驟中,粒子分布函數(shù)通過碰撞算子進(jìn)行更新,通常使用的是Bhatnagar-Gross-Krook(BGK)碰撞算子。更新公式為:f其中,τ是松弛時間,fi2.2.3示例代碼下面是一個使用Python實(shí)現(xiàn)的LBM基本流動和碰撞步驟的示例代碼:importnumpyasnp
#定義速度方向
e=np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]])
#初始化粒子分布函數(shù)
f=np.zeros((9,100,100))
#初始化流體密度和速度
rho=np.ones((100,100))
u=np.zeros((2,100,100))
#定義松弛時間
tau=0.7
#計(jì)算平衡態(tài)分布函數(shù)
deffeq(f,rho,u):
c_s2=1.0/3.0
u=u.reshape(2,-1,1)
cu=np.sum(u*e,axis=0)
u2=np.sum(np.square(u),axis=0)
feq=np.zeros_like(f)
foriinrange(9):
feq[i]=rho*(w[i]+w[i]*(3*cu[i]+9*c_s2*cu[i]*cu[i]-3*u2))
returnfeq
#定義權(quán)重
w=np.array([4/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/36,1/36,1/36,1/36])
#更新粒子分布函數(shù)
deflbm_step(f,rho,u):
f_eq=feq(f,rho,u)
f_prime=np.zeros_like(f)
foriinrange(9):
f_prime[i]=f[i,np.mod(e[i,0]+np.arange(100),100),np.mod(e[i,1]+np.arange(100),100)]
f[i]=f_prime[i]-1/tau*(f_prime[i]-f_eq[i])
rho=np.sum(f,axis=0)
u=np.sum(f[:,None,:,:]*e[None,:,:,None],axis=2)/rho[:,:,None]
returnf,rho,u
#進(jìn)行迭代
fortinrange(100):
f,rho,u=lbm_step(f,rho,u)2.3LBM的邊界條件處理在LBM中,邊界條件的處理至關(guān)重要,它直接影響到流體動力學(xué)模擬的準(zhǔn)確性。常見的邊界條件處理方法包括:2.3.1反彈邊界條件在固體邊界上,粒子沿著入射方向反彈,這種處理方式稱為反彈邊界條件。它適用于無滑移邊界條件,即流體在固體邊界上的速度為零。2.3.2入口和出口邊界條件在入口,通常設(shè)定一個固定的流體分布函數(shù),以模擬流體的流入。在出口,可以使用自由流出邊界條件,即允許流體自由流出,不施加額外的力。2.3.3示例代碼下面是一個使用Python實(shí)現(xiàn)的LBM反彈邊界條件的示例代碼:defbounce_back(f,u,boundary):
f_prime=np.zeros_like(f)
foriinrange(9):
ifboundary[i]:
f_prime[i]=f[8-i,np.mod(e[i,0]+np.arange(100),100),np.mod(e[i,1]+np.arange(100),100)]
else:
f_prime[i]=f[i,np.mod(e[i,0]+np.arange(100),100),np.mod(e[i,1]+np.arange(100),100)]
returnf_prime
#假設(shè)boundary是一個布爾數(shù)組,表示哪些速度方向的粒子在邊界上反彈
boundary=np.array([False,True,False,True,False,True,False,True,False])
#更新粒子分布函數(shù),包括邊界條件處理
deflbm_step_with_boundary(f,rho,u,boundary):
f_eq=feq(f,rho,u)
f_prime=bounce_back(f,u,boundary)
f=f_prime-1/tau*(f_prime-f_eq)
rho=np.sum(f,axis=0)
u=np.sum(f[:,None,:,:]*e[None,:,:,None],axis=2)/rho[:,:,None]
returnf,rho,u
#進(jìn)行迭代,包括邊界條件處理
fortinrange(100):
f,rho,u=lbm_step_with_boundary(f,rho,u,boundary)通過以上介紹和示例代碼,我們可以看到LBM在處理流體動力學(xué)問題時的靈活性和效率。它通過粒子的流和碰撞過程,能夠有效地模擬流體的復(fù)雜行為,特別是在處理非牛頓流體時,LBM能夠提供更準(zhǔn)確的模擬結(jié)果。3非牛頓流體模型3.1賓漢流體模型3.1.1原理賓漢流體模型適用于描述那些在一定剪切應(yīng)力下才開始流動的流體,如牙膏、油漆等。在賓漢模型中,流體在剪切應(yīng)力低于屈服應(yīng)力時表現(xiàn)為固體,不發(fā)生流動;當(dāng)剪切應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時,流體開始流動,其粘度與剪切速率無關(guān),表現(xiàn)為牛頓流體。3.1.2內(nèi)容賓漢流體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表示為:τ其中,τ是剪切應(yīng)力,γ是剪切速率,γ0是臨界剪切速率,τ0是屈服應(yīng)力,3.1.3示例在格子玻爾茲曼方法中,賓漢流體的模擬可以通過引入額外的力項(xiàng)來實(shí)現(xiàn),該力項(xiàng)在剪切應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時生效。以下是一個使用Python和LBM模擬賓漢流體的簡化示例:importnumpyasnp
fromlbmpyimportLBMConfig,BGKCollision,create_lb_method,create_lb_boundary_condition
#定義流體參數(shù)
yield_stress=1.0#屈服應(yīng)力
viscosity=0.01#粘度
critical_shear_rate=0.1#臨界剪切速率
#創(chuàng)建LBM配置
lbm_config=LBMConfig(stencil='D2Q9',collision=BGKCollision(viscosity=viscosity))
lb_method=create_lb_method(lbm_config)
#定義賓漢流體的額外力項(xiàng)
defbingham_force(u,tau):
shear_rate=np.sqrt(0.5*((np.gradient(u[0])**2+np.gradient(u[1])**2).sum(axis=0)))
ifshear_rate<critical_shear_rate:
return0
else:
return(shear_rate-critical_shear_rate)*yield_stress
#創(chuàng)建邊界條件
boundary_condition=create_lb_boundary_condition(lb_method,bingham_force)
#初始化流場
u=np.zeros((100,100,2))#流速場
rho=np.ones((100,100))#密度場
#進(jìn)行LBM迭代
for_inrange(1000):
f=lb_method.equilibrium(rho,u)
f=lb_method.stream_and_collide(f)
u,rho=lb_method.velocity_and_density(f)
u=boundary_condition.apply(u)3.2冪律流體模型3.2.1原理冪律流體模型適用于描述剪切稀化或剪切稠化流體,如油漆、血液等。冪律模型的剪切應(yīng)力與剪切速率的關(guān)系為:τ其中,K是流體的一致性系數(shù),n是流體的流動指數(shù)。3.2.2內(nèi)容當(dāng)n<1時,流體表現(xiàn)為剪切稀化;當(dāng)n>3.2.3示例在LBM中,冪律流體的模擬可以通過調(diào)整碰撞算子的松弛時間來實(shí)現(xiàn),松弛時間與流體的粘度有關(guān)。以下是一個使用Python和LBM模擬冪律流體的簡化示例:importnumpyasnp
fromlbmpyimportLBMConfig,BGKCollision,create_lb_method
#定義流體參數(shù)
k=1.0#一致性系數(shù)
n=0.5#流動指數(shù)
viscosity=k*(1-n)/(3*n)
#創(chuàng)建LBM配置
lbm_config=LBMConfig(stencil='D2Q9',collision=BGKCollision(viscosity=viscosity))
lb_method=create_lb_method(lbm_config)
#初始化流場
u=np.zeros((100,100,2))#流速場
rho=np.ones((100,100))#密度場
#進(jìn)行LBM迭代
for_inrange(1000):
f=lb_method.equilibrium(rho,u)
f=lb_method.stream_and_collide(f)
u,rho=lb_method.velocity_and_density(f)3.3Carreau流體模型3.3.1原理Carreau流體模型是一種更復(fù)雜的非牛頓流體模型,它考慮了流體的剪切稀化和恢復(fù)粘度的特性。Carreau模型的剪切應(yīng)力與剪切速率的關(guān)系為:τ其中,μ0是零剪切速率下的粘度,μ∞是無限剪切速率下的粘度,λ是時間常數(shù),3.3.2內(nèi)容Carreau模型能夠更準(zhǔn)確地描述流體在不同剪切速率下的行為,特別是在剪切稀化后粘度恢復(fù)的過程。3.3.3示例在LBM中,Carreau流體的模擬可以通過引入非線性的粘度關(guān)系來實(shí)現(xiàn)。以下是一個使用Python和LBM模擬Carreau流體的簡化示例:importnumpyasnp
fromlbmpyimportLBMConfig,BGKCollision,create_lb_method
#定義流體參數(shù)
mu_0=0.1#零剪切速率下的粘度
mu_inf=0.01#無限剪切速率下的粘度
lambda_=1.0#時間常數(shù)
n=0.5#流動指數(shù)
#定義Carreau粘度函數(shù)
defcarreau_viscosity(shear_rate):
returnmu_inf+(mu_0-mu_inf)*(1+(lambda_*shear_rate)**2)**((n-1)/2)
#創(chuàng)建LBM配置
lbm_config=LBMConfig(stencil='D2Q9',collision=BGKCollision(viscosity=carreau_viscosity))
lb_method=create_lb_method(lbm_config)
#初始化流場
u=np.zeros((100,100,2))#流速場
rho=np.ones((100,100))#密度場
#進(jìn)行LBM迭代
for_inrange(1000):
f=lb_method.equilibrium(rho,u)
f=lb_method.stream_and_collide(f)
u,rho=lb_method.velocity_and_density(f)
shear_rate=np.sqrt(0.5*((np.gradient(u[0])**2+np.gradient(u[1])**2).sum(axis=0)))
lb_method.collision.viscosity=carreau_viscosity(shear_rate)請注意,上述示例代碼是高度簡化的,實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的邊界條件和流場初始化。此外,Carreau粘度函數(shù)的計(jì)算需要在每次迭代中更新,以反映流體的非線性行為。4LBM在非牛頓流體中的應(yīng)用4.1LBM模擬賓漢流體的步驟4.1.1賓漢流體簡介賓漢流體(Binghamfluid)是一種典型的非牛頓流體,其流動特性在靜止或低剪切速率下表現(xiàn)為塑性,即需要一定的剪切應(yīng)力才能開始流動,而一旦開始流動,其行為類似于粘性流體。4.1.2LBM模擬步驟在使用LBM模擬賓漢流體時,主要步驟包括:初始化參數(shù):設(shè)定流體的物理參數(shù),如密度、粘度、屈服應(yīng)力等。流體動力學(xué)方程的離散化:將連續(xù)的流體動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為LBM的離散形式。碰撞與流步:執(zhí)行LBM的碰撞和流步,更新流體的速度和壓力分布。非牛頓流體效應(yīng)的引入:通過修改碰撞算子或引入額外的力項(xiàng)來模擬賓漢流體的非線性流動行為。邊界條件處理:應(yīng)用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件,如無滑移邊界條件或壓力邊界條件。結(jié)果分析:分析模擬結(jié)果,如速度場、壓力場和剪切應(yīng)力分布。4.1.3示例代碼以下是一個使用Python和LBM模擬賓漢流體的簡化示例:importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
#定義LBM參數(shù)
nx,ny=100,100
rho=np.ones((nx,ny))
u=np.zeros((2,nx,ny))
tau=0.5
yield_stress=0.1
#定義LBM速度分布函數(shù)
deff_eq(i,u,rho):
c=np.array([[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0]])
cu=np.dot(c[i],u)
returnrho*(1/20)*(1+3*cu+4.5*cu**2-1.5*np.sum(u**2))
#定義LBM碰撞算子
defcollide(f,u,rho):
f_eq_=np.array([f_eq(i,u,rho)foriinrange(5)])
returnf-(1/tau)*(f-f_eq_)
#定義LBM流步
defstream(f):
c=np.array([[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0]])
f_new=np.zeros_like(f)
foriinrange(5):
f_new[(i+1)%4]=f[i]
f_new[i]=np.roll(f[i],c[i],axis=(0,1))
returnf_new
#定義賓漢流體的非線性效應(yīng)
defbingham_force(u,yield_stress):
mu=1.0
du=np.gradient(u)
tau=mu*(du[0]**2+du[1]**2)**0.5
returnnp.where(tau>yield_stress,(tau-yield_stress)*u/tau,0)
#主循環(huán)
f=np.array([np.zeros((nx,ny))for_inrange(5)])
fortinrange(1000):
#碰撞
f=collide(f,u,rho)
#流步
f=stream(f)
#更新速度和密度
u=np.sum(f*np.array([[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0]]),axis=0)/rho
rho=np.sum(f,axis=0)
#引入賓漢流體效應(yīng)
f+=bingham_force(u,yield_stress)
#可視化結(jié)果
plt.imshow(np.sqrt(u[0]**2+u[1]**2),cmap='hot',interpolation='nearest')
plt.colorbar()
plt.show()4.1.4代碼解釋此代碼示例展示了如何使用LBM模擬賓漢流體的基本框架。首先,初始化了流體的密度和速度分布,然后定義了LBM的速度分布函數(shù)、碰撞算子和流步。特別地,bingham_force函數(shù)用于引入賓漢流體的非線性效應(yīng),通過計(jì)算剪切應(yīng)力并根據(jù)屈服應(yīng)力調(diào)整流體的內(nèi)部力。最后,通過主循環(huán)執(zhí)行碰撞和流步,更新流體狀態(tài),并使用matplotlib可視化最終的速度分布。4.2LBM模擬冪律流體的案例分析4.2.1冪律流體簡介冪律流體(Power-lawfluid)是另一類非牛頓流體,其粘度與剪切速率的關(guān)系遵循冪律關(guān)系,即粘度隨剪切速率的增加而變化。冪律流體的流動行為可以用以下方程描述:τ其中,τ是剪切應(yīng)力,K是流體的一致性系數(shù),n是流體的流動指數(shù)。4.2.2案例分析假設(shè)我們正在模擬一個冪律流體在管道中的流動,流體的一致性系數(shù)K=0.5,流動指數(shù)4.2.3示例代碼以下是一個使用Python和LBM模擬冪律流體的簡化示例:importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
#定義LBM參數(shù)
nx,ny=100,100
rho=np.ones((nx,ny))
u=np.zeros((2,nx,ny))
tau=0.5
K=0.5
n=0.7
#定義LBM速度分布函數(shù)
deff_eq(i,u,rho):
c=np.array([[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0]])
cu=np.dot(c[i],u)
returnrho*(1/20)*(1+3*cu+4.5*cu**2-1.5*np.sum(u**2))
#定義LBM碰撞算子
defcollide(f,u,rho):
f_eq_=np.array([f_eq(i,u,rho)foriinrange(5)])
returnf-(1/tau)*(f-f_eq_)
#定義LBM流步
defstream(f):
c=np.array([[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0]])
f_new=np.zeros_like(f)
foriinrange(5):
f_new[(i+1)%4]=f[i]
f_new[i]=np.roll(f[i],c[i],axis=(0,1))
returnf_new
#定義冪律流體的非線性效應(yīng)
defpower_law_force(u,K,n):
mu=1.0
du=np.gradient(u)
tau=mu*(du[0]**2+du[1]**2)**0.5
returnK*(tau**(n-1))*u
#主循環(huán)
f=np.array([np.zeros((nx,ny))for_inrange(5)])
fortinrange(1000):
#碰撞
f=collide(f,u,rho)
#流步
f=stream(f)
#更新速度和密度
u=np.sum(f*np.array([[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0]]),axis=0)/rho
rho=np.sum(f,axis=0)
#引入冪律流體效應(yīng)
f+=power_law_force(u,K,n)
#可視化結(jié)果
plt.imshow(np.sqrt(u[0]**2+u[1]**2),cmap='hot',interpolation='nearest')
plt.colorbar()
plt.show()4.2.4代碼解釋此代碼示例展示了如何使用LBM模擬冪律流體。與賓漢流體的模擬類似,我們首先初始化了流體的密度和速度分布,然后定義了LBM的速度分布函數(shù)、碰撞算子和流步。power_law_force函數(shù)用于計(jì)算冪律流體的內(nèi)部力,根據(jù)剪切應(yīng)力和流動指數(shù)調(diào)整流體的粘度。通過主循環(huán)執(zhí)行碰撞和流步,更新流體狀態(tài),并使用matplotlib可視化最終的速度分布。4.3LBM在Carreau流體中的應(yīng)用與挑戰(zhàn)4.3.1Carreau流體簡介Carreau流體是一種復(fù)雜的非牛頓流體,其粘度隨剪切速率的變化而變化,但與冪律流體不同,Carreau流體的粘度變化更為平滑,通常用于描述聚合物溶液的流動行為。4.3.2LBM應(yīng)用在LBM中模擬Carreau流體,需要對碰撞算子進(jìn)行修改,以反映流體粘度隨剪切速率變化的特性。這通常涉及到在碰撞算子中引入額外的項(xiàng),以模擬流體的非線性流動行為。4.3.3挑戰(zhàn)模擬Carreau流體的主要挑戰(zhàn)在于準(zhǔn)確地描述其復(fù)雜的粘度變化特性。這可能需要更復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和更精細(xì)的網(wǎng)格劃分,以捕捉流體在不同剪切速率下的行為。4.3.4示例代碼由于Carreau流體的復(fù)雜性,其LBM模擬通常需要更高級的數(shù)學(xué)處理和更復(fù)雜的代碼實(shí)現(xiàn),這里不提供具體的代碼示例,但可以概述其主要步驟:初始化參數(shù):設(shè)定流體的物理參數(shù),如密度、初始粘度、剪切速率指數(shù)等。定義Carreau流體的粘度模型:根據(jù)Carreau流體的數(shù)學(xué)模型,定義一個函數(shù)來計(jì)算流體的粘度。修改LBM碰撞算子:在碰撞算子中引入Carreau流體的粘度模型,以反映流體的非線性流動行為。執(zhí)行LBM模擬:使用修改后的碰撞算子執(zhí)行LBM的碰撞和流步,更新流體狀態(tài)。結(jié)果分析:分析模擬結(jié)果,如速度場、壓力場和粘度分布。4.3.5結(jié)論LBM在模擬非牛頓流體,如賓漢流體、冪律流體和Carreau流體時,提供了一種有效且直觀的方法。通過適當(dāng)修改碰撞算子和引入非線性效應(yīng),可以準(zhǔn)確地模擬這些流體的復(fù)雜流動行為。然而,對于更復(fù)雜的流體模型,如Carreau流體,LBM的模擬可能需要更高級的數(shù)學(xué)處理和更精細(xì)的網(wǎng)格劃分,以確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。5數(shù)值模擬與結(jié)果分析5.1非牛頓流體LBM模擬的設(shè)置與運(yùn)行在格子玻爾茲曼方法(LBM)中模擬非牛頓流體,首先需要理解非牛頓流體的特性,即其粘度不是常數(shù),而是隨剪切速率變化的。LBM通過離散化連續(xù)的玻爾茲曼方程,使用粒子分布函數(shù)在格子上進(jìn)行更新,來模擬流體動力學(xué)行為。對于非牛頓流體,LBM需要引入額外的模型來描述粘度的變化。5.1.1設(shè)置LBM模擬定義流體模型:選擇合適的非牛頓流體模型,如賓漢模型、冪律模型或卡森模型。以冪律模型為例,其粘度與剪切速率的關(guān)系為:μ其中,μ0是參考粘度,γ是剪切速率,γ0是參考剪切速率,初始化參數(shù):設(shè)定模擬區(qū)域的大小、邊界條件、初始流體分布、參考粘度、參考剪切速率和流體指數(shù)。編寫LBM更新規(guī)則:在Python中,可以使用NumPy庫來高效處理數(shù)組操作。下面是一個簡單的LBM更新規(guī)則的示例代碼:importnumpyasnp
#定義流體參數(shù)
mu_0=0.01#參考粘度
gamma_0=1.0#參考剪切速率
n=0.7#流體指數(shù)
#初始化粒子分布函數(shù)
f=np.zeros((9,N,N))
#LBM更新規(guī)則
deflbm_update(f,u,rho,dt):
#計(jì)算流體速度和密度
u=np.sum(f*np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]],dtype=float),axis=0)/rho
rho=np.sum(f,axis=0)
#更新粒子分布函數(shù)
foriinrange(9):
f[i]=f[i]-dt*(f[i]*(np.array([0,1,0,-1,0,1,-1,-1,1])[i]-u[0])*(np.array([0,0,1,0,-1,1,1,-1,-1])[i]-u[1]))+dt*(1-rho)*(np.array([1,1,1,1,1,2,2,2,2])[i]-rho)
#應(yīng)用非牛頓流體粘度模型
mu=mu_0*(np.sqrt(np.sum(np.square(u)))/gamma_0)**(n-1)
#應(yīng)用邊界條件
#...
returnf,u,rho,mu
#運(yùn)行模擬
fortinrange(T):
f,u,rho,mu=lbm_update(f,u,rho,dt)這段代碼展示了如何在LBM框架下更新粒子分布函數(shù),并計(jì)算流體速度、密度和粘度。注意,實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)具體問題調(diào)整邊界條件和流體模型。5.1.2運(yùn)行LBM模擬運(yùn)行LBM模擬涉及迭代更新粒子分布函數(shù),直到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)或完成預(yù)定的迭代次數(shù)。在每次迭代中,都需要計(jì)算流體速度、密度和粘度,并應(yīng)用邊界條件。5.2結(jié)果分析與后處理技術(shù)LBM模擬完成后,需要對結(jié)果進(jìn)行分析,以提取流體動力學(xué)信息,如速度場、壓力場和剪切應(yīng)力分布。此外,后處理技術(shù)可以幫助可視化這些數(shù)據(jù),以便于理解和解釋。5.2.1分析速度場速度場是LBM模擬中最基本的輸出之一。可以使用以下代碼來分析和可視化速度場:importmatplotlib.pyplotasplt
frommatplotlibimportcm
#可視化速度場
defplot_velocity_field(u):
plt.figure()
plt.quiver(u[0],u[1],scale=10)
plt.colorbar()
plt.title('速度場')
plt.show()
plot_velocity_field(u)5.2.2分析壓力場壓力場的分析通常涉及求解連續(xù)性方程和動量方程。在LBM中,壓力可以通過密度計(jì)算得出,因?yàn)閮烧咧g存在直接關(guān)系。下面是一個分析壓力場的示例代碼:#計(jì)算壓力場
p=c_s**2*rho
#可視化壓力場
defplot_pressure_field(p):
plt.figure()
plt.imshow(p,cmap=cm.viridis)
plt.colorbar()
plt.title('壓力場')
plt.show()
plot_pressure_field(p)5.2.3分析剪切應(yīng)力分布剪切應(yīng)力是流體動力學(xué)中的重要參數(shù),特別是在非牛頓流體中??梢酝ㄟ^計(jì)算速度梯度來間接獲得剪切應(yīng)力。下面是一個分析剪切應(yīng)力分布的示例代碼:#計(jì)算剪切應(yīng)力分布
defcalculate_shear_stress(u):
du_dx=np.gradient(u[0],axis=1)
du_dy=np.gradient(u[0],axis=0)
dv_dx=np.gradient(u[1],axis=1)
dv_dy=np.gradient(u[1],axis=0)
shear_stress=mu*(du_dy+dv_dx)
returnshear_stress
shear_stress=calculate_shear_stress(u)
#可視化剪切應(yīng)力分布
defplot_shear_stress(shear_stress):
plt.figure()
plt.imshow(shear_stress,cmap=cm.viridis)
plt.colorbar()
plt.title('剪切應(yīng)力分布')
plt.show()
plot_shear_stress(shear_stress)5.3模擬結(jié)果的驗(yàn)證與校準(zhǔn)驗(yàn)證LBM模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性是至關(guān)重要的。這通常涉及將模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論預(yù)測進(jìn)行比較。校準(zhǔn)過程則可能需要調(diào)整模擬參數(shù),以確保模擬結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)一致。5.3.1驗(yàn)證模擬結(jié)果驗(yàn)證模擬結(jié)果可以通過以下步驟進(jìn)行:選擇驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn):確定要驗(yàn)證的物理量,如速度、壓力或剪切應(yīng)力。獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論預(yù)測:收集與模擬條件相匹配的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論預(yù)測。比較模擬結(jié)果與數(shù)據(jù):使用統(tǒng)計(jì)指標(biāo)(如均方根誤差或相關(guān)系數(shù))來量化模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論預(yù)測之間的差異。5.3.2校準(zhǔn)模擬參數(shù)如果模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論預(yù)測不一致,可能需要調(diào)整模擬參數(shù)。這通常是一個迭代過程,涉及以下步驟:識別參數(shù):確定哪些參數(shù)可能影響模擬結(jié)果。調(diào)整參數(shù):根據(jù)驗(yàn)證結(jié)果,調(diào)整參數(shù)值。重新運(yùn)行模擬:使用調(diào)整后的參數(shù)重新運(yùn)行模擬。重復(fù)驗(yàn)證:再次驗(yàn)證模擬結(jié)果,直到達(dá)到滿意的精度。通過遵循上述步驟,可以有效地設(shè)置和運(yùn)行LBM模擬,分析模擬結(jié)果,并驗(yàn)證其準(zhǔn)確性,從而在非牛頓流體動力學(xué)研究中獲得有價值的見解。6高級主題與研究進(jìn)展6.1LBM在復(fù)雜幾何中的應(yīng)用6.1.1原理格子玻爾茲曼方法(LBM)在處理復(fù)雜幾何形狀的流體動力學(xué)問題時展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢。傳統(tǒng)數(shù)值方法如有限元或有限體積法在處理復(fù)雜邊界條件時需要精細(xì)的網(wǎng)格劃分,這不僅增加了計(jì)算成本,還可能引入網(wǎng)格依賴性誤差。相比之下,LBM基于格子點(diǎn)的離散化,能夠更自然地適應(yīng)復(fù)雜幾何,通過邊界條件的特殊處理,如“半格子”(half-way)邊界條件,實(shí)現(xiàn)對流體流動的準(zhǔn)確模擬。6.1.2內(nèi)容在復(fù)雜幾何中應(yīng)用LBM,關(guān)鍵在于如何處理邊界。邊界條件的設(shè)定直接影響模擬的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。例如,對于固體壁面,通常采用“反彈”(bounce-back)邊界條件,即流體粒子在遇到壁面時,沿著入射方向反彈回去,以此來模擬無滑移邊界條件。示例假設(shè)我們有一個二維LBM模擬,其中包含一個復(fù)雜的幾何形狀,如一個繞流的圓柱體。下面是一個簡化版的LBM代碼示例,用于處理圓柱體邊界:#導(dǎo)入必要的庫
importnumpyasnp
#定義LBM參數(shù)
nx,ny=100,100#網(wǎng)格大小
omega=1.5#放松時間
rho=np.ones((nx,ny))#密度分布
u=np.zeros((2,nx,ny))#速度分布
#初始化流體分布函數(shù)
f=np.zeros((9,nx,ny))
#圓柱體邊界
cylinder=np.zeros((nx,ny),dtype=bool)
radius=10
center=(50,50)
foriinrange(nx):
forjinrange(ny):
if(i-center[0])**2+(j-center[1])**2<radius**2:
cylinder[i,j]=True
#LBM主循環(huán)
fortinrange(1000):
#流體粒子流
foriinrange(9):
f[i,1:nx-1,1:ny-1]=np.roll(f[i,1:nx-1,1:ny-1],lattice[i],axis=(0,1))
#處理邊界
foriinrange(9):
iflattice[i][0]==0andlattice[i][1]==0:continue
f[i,cylinder]=f[i,cylinder]-(f[i,cylinder]-equilibrium[i](rho[cylinder],u[:,cylinder]))
#碰撞
f_eq=equilibrium(f)
f-=(1.0/omega)*(f-f_eq)
#更新密度和速度
rho=np.sum(f,axis=0)
u=np.zeros((2,nx,ny))
foriinrange(9):
u+=lattice[i]*f[i]
u/=rho
#注意:上述代碼僅為示例,未包含完整的LBM實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)。6.1.3描述在上述示例中,我們首先定義了LBM的基本參數(shù),包括網(wǎng)格大小、放松時間、密度和速度分布。接著,我們初始化了流體分布函數(shù)f。然后,我們定義了圓柱體的邊界,通過一個布爾數(shù)組cylinder來標(biāo)記圓柱體的位置。在LBM的主循環(huán)中,我們首先執(zhí)行流體粒子的流過程,然后處理圓柱體邊界上的反彈條件,最后進(jìn)行碰撞步驟和更新密度與速度。6.2多相非牛頓流體的LBM模擬6.2.1原理非牛頓流體,如血液、油漆或聚合物溶液,其粘度不是常數(shù),而是依賴于剪切速率。在LBM中,通過引入額外的分布函數(shù)或修改碰撞算子,可以模擬非牛頓流體的特性。對于多相流,LBM通過相場方法或顏色格子模型來區(qū)分不同流體相,從而實(shí)現(xiàn)對界面的追蹤和流體動力學(xué)的模擬。6.2.2內(nèi)容在多相非牛頓流體的LBM模擬中,關(guān)鍵在于如何準(zhǔn)確地描述界面和流體的非線性行為。相場方法通過引入一個連續(xù)的標(biāo)量場來表示不同相,而顏色格子模型則使用二進(jìn)制變量來區(qū)分相。非牛頓流體的粘度可以通過引入剪切速率依賴的粘度模型來模擬,如Carreau或Cross模型。示例下面是一個使用相場方法模擬兩相非牛頓流體的簡化LBM代碼示例:#導(dǎo)入必要的庫
importnumpyasnp
#定義LBM參數(shù)
nx,ny=100,100#網(wǎng)格大小
omega=1.5#放松時間
rho=np.ones((2,nx,ny))#兩相密度分布
u=np.zeros((2,2,nx,ny))#兩相速度分布
phi=np.zeros((nx,ny))#相場
#初始化流體分布函數(shù)
f=np.zeros((9,2,nx,ny))
#非牛頓流體粘度模型
defviscosity(phi):
#假設(shè)phi=0表示第一相,phi=1表示第二相
#第一相為牛頓流體,第二相為非牛頓流體
mu1=1.0
mu2=1.0+0.5*np.sqrt(np.sum(u[1]**2,axis=0))#簡化非牛頓粘度模型
returnmu1*(1-phi)+mu2*phi
#LBM主循環(huán)
fortinrange(1000):
#流體粒子流
foriinrange(9):
forphaseinrange(2):
f[i,phase,1:nx-1,1:ny-1]=np.roll(f[i,phase,1:nx-1,1:ny-1],lattice[i],axis=(1,2))
#處理邊界和相場
#...
#碰撞
f_eq=equilibrium(f)
f-=(1.0/omega)*(f-f_eq)
#更新密度、速度和相場
forphaseinrange(2):
rho[phase]=np.sum(f[:,phase],axis=0)
u[phase]=np.zeros((2,nx,ny))
foriinrange(9):
u[phase]+=lattice[i]*f[i,phase]
u[phase]/=rho[phase]
#更新相場
phi=update_phi(phi,u)
#注意:上述代碼僅為示例,未包含完整的LBM實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié),尤其是相場的更新和邊界條件的處理。6.2.3描述在上述示例中,我們模擬了兩相流體,其中第二相為非牛頓流體。我們首先定義了LBM的基本參數(shù),包括網(wǎng)格大小、放松時間、兩相的密度和速度分布,以及相場phi。然后,我們初始化了流體分布函數(shù)f。在LBM的主循環(huán)中,我們執(zhí)行了流體粒子的流過程,處理了邊界條件和相場,進(jìn)行了碰撞步驟,并更新了密度、速度和相場。非牛頓流體的粘度通過viscosity函數(shù)來計(jì)算,該函數(shù)根據(jù)相場phi和速度u來確定局部粘度。6.3LBM與機(jī)器學(xué)習(xí)的結(jié)合6.3.1原理將機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)與LBM結(jié)合,可以用于預(yù)測流體動力學(xué)行為,特別是在非線性或復(fù)雜流體系統(tǒng)中。機(jī)器學(xué)習(xí)模型,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),可以學(xué)習(xí)從流體分布函數(shù)到流體動力學(xué)屬性的映射,從而加速模擬過程或提高預(yù)測精度。此外,機(jī)器學(xué)習(xí)還可以用于優(yōu)化LBM的參數(shù),如放松時間或粘度模型,以適應(yīng)特定的流體或幾何條件。6.3.2內(nèi)容結(jié)合LBM與機(jī)器學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于如何構(gòu)建和訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型。通常,模型需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)可以通過運(yùn)行LBM模擬在不同條件下的流體動力學(xué)行為來獲得。一旦模型訓(xùn)練完成,它就可以用于預(yù)測新的流體動力學(xué)行為,而無需運(yùn)行完整的LBM模擬。示例下面是一個使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測LBM中流體速度的簡化代碼示例:#導(dǎo)入必要的庫
importnumpyasnp
fromtensorflow.keras.modelsimportSequential
fromtensorflow.keras.layersimportDense
#定義LBM參數(shù)
nx,ny=100,100#網(wǎng)格大小
omeg
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