人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-等腰三角形（原卷版）

第03講等腰三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握等腰三角形的性質(zhì)并能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。

①等腰三角形的性質(zhì)

2.掌握等腰三角形的判定方法，能夠運(yùn)用已知條件熟

②等腰三角形的判定

練判定等腰三角形。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)

i.等腰三角形的概念:

有兩條邊的三角形是等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的，所對(duì)的角

叫做等腰三角形的,另一邊是三角形的底，所對(duì)的角是等腰三角形的。

2.等腰三角形的性質(zhì)：如圖

①等腰三角形的兩腰-即AB/C。

②等腰三角形的兩個(gè)底角0即48/C?！竞?jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互?！竞?jiǎn)

稱底邊上三線合一】即//8DACAD,BDCD,ADBC.""

題型考點(diǎn)：①熟練性質(zhì)。②利用性質(zhì)計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合

B.三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等

C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等

D.等腰三角形頂角的外角是底角的二倍

【即學(xué)即練2】

2.已知等腰三角形的一個(gè)頂角為120°,則這個(gè)等腰三角形的底角為（)

A.30°B.60°C.80°D.120°

【即學(xué)即練3】

3.如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2c冽和5°加，那么它的周長(zhǎng)是（)

A.9cmB.12cm

C.9cm或12。冽D.以上答案都不對(duì)

【即學(xué)即練4】

4.如圖，在△45C中，AB=AC,BD平分NABC,BD=BE,ZA=100°,則NQ￡C=()

C.105°D.110°

【即學(xué)即練5】

5.在等腰△45C中，AB=AC,其周長(zhǎng)為16c冽，則力5邊的取值范圍是（)

A.lcm<AB<4cmB.3cm<AB<6cm

C.4cm<AB<8cmD.5cm<AB<10cm

知識(shí)點(diǎn)02等腰三角形的判定

1.利用等角對(duì)等邊判定：

一個(gè)三角形中如有兩個(gè)角，則這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也O（等角對(duì)等邊）則這個(gè)

三角形是等邊三角形。

2.利用三線合一性質(zhì)判定：

若三角形有一邊上的中線、高線以及它對(duì)角的角平分線,則這個(gè)三角形是等腰三角形。

題型考點(diǎn)：①利用內(nèi)角和公式求內(nèi)角和或求多邊形的邊數(shù)。

②利用多邊形的內(nèi)外角關(guān)系計(jì)算。

【即學(xué)即練11

6.在△/BC中，與//相鄰的外角是130°,要使△/BC為等腰三角形，則的度數(shù)是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

【即學(xué)即練2】

7.下列能確定△NBC為等腰三角形的是（)

A.//=50°、48=80°B.N/=42°、ZB=48°

C./A=2/B=10°D.AB=4,BC=5,周長(zhǎng)為15

【即學(xué)即練3】

8.如圖，在△NBC中，AB=AC,ZBAC=36°,8。平分交/C于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)/作/￡〃8C,交,BD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求/ADB的度數(shù)；

（2）求證：△/￡>￡是等腰三角形.

【即學(xué)即練4】

9.如圖，在△/3C中，點(diǎn)。為N/2C的平分線AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作斯〃交AB于點(diǎn)E,交/C于

點(diǎn)、F,連接CD,若BE+CF=EF.求證：△□明是等腰三角形.

B

題型精講

題型01等腰三角形與周長(zhǎng)

【典例1】

若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,則它的周長(zhǎng)為（）

A.9B.7C.12D.9或12

【典例2】

一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為8和10,則它的周長(zhǎng)m的取值為（）

A.26或28B.26C.28D.26cm<28

【典例3】

已知等腰三角形的兩邊a,6滿足心工+|b-8|=0,則等腰三角形的周長(zhǎng)為（）

A.12B.16C.20D.16或20

【典例4】

已知實(shí)數(shù)x,>滿足歸-3|+^/?7=0,則以x,y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（

A.10B.11

C.10或11D.以上答案均不對(duì)

題型02等腰三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度

【典例1】

如圖，△/8C中，4B=AC,ZA=45,/C的垂直平分線分別交/2、/C于。、E,若CD=1,則AD等

典例1典例2

A.1B.V3C.&D.V2-1

【典例2】

如圖，在△48C中，AB=AC=6,點(diǎn)￡在NC上，M垂直平分/C,交AB于F,BF=1,則EF的長(zhǎng)為

()

A.4B.3C.AlD.西

34

【典例3】

如圖，在△/2C中，AB=AC,/O_L3C于點(diǎn)。，于點(diǎn)E,AF_L/C于點(diǎn)尸，DE=5cm,則B/

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

【典例4】

如圖，在△NBC中，AC=1Scm,8c=20cm,點(diǎn)"從點(diǎn)/出發(fā)以每秒2c〃z的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C

出發(fā)以每秒1.6cm的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)叢CMN

是以為底的等腰三角形時(shí)，則這時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)是（）

C.7cmD.8cm

題型03等腰三角形的性質(zhì)求角度

【典例1】

等腰三角形的一個(gè)底角是/,它的頂角是（）

A.aB.90°-aC.180°-la

【典例2】

如圖，直線a〃6,點(diǎn)/和點(diǎn)8分別在直線a和6上，點(diǎn)C在直線a、6之間，且3c=/C,ZACB=120°,

【典例3】

如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則/A4c的度數(shù)為（）

【典例4】

如圖，在等腰△E3C中，EB=EC,AB=BC,Z￡=40°,N/CD的度數(shù)為（）

【典例5】

定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值人稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”.若在等腰△N3C

中，ZA=50°,則它的特征值人等于（）

A.」旦B.?C.空或旦D.也■或?yàn)?/p>

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題型04等腰三角形的判定

【典例1】

如圖，在△NBC中，AD平分/BAC,CE〃4D交R4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證：是等腰三角形.

【典例2】

如圖，//CD是△/BC的一個(gè)外角，CE平分//CD,且CE1〃/2,求證：△/2C為等腰三角形.

【典例3】

如圖，已知在△48C中，D、E是8c上兩點(diǎn)，且N4DE=NAED,ZBAD=ZEAC,求證：4B=AC.

【典例4】

如圖，在△/BC中，尸是8C邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作8c的垂線，交N3于點(diǎn)Q,交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡若

AQ=AR,求證：△NBC是等腰三角形.

【典例5】

如圖，在△/BC中，AB^AC,過(guò)點(diǎn)/作的平行線交N4BC的角平分線于點(diǎn)。，連接CD.求證：4ACD

為等腰三角形.

題型05等腰三角形的判定與性質(zhì)

【典例1】

如圖，在四邊形48。中，AD//BC,4c平分/BCD.

(1)求證：AD=CD；

(2)若AC=BC,ZJD=120°,求的度數(shù).

【典例2】A

如圖,在△/BC中,/2=/C,48的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,交.AB于點(diǎn)￡.(1)/\

N

BC

求證：△/3D是等腰三角形；

(2)若/￡=6,△C3D的周長(zhǎng)為20,求△/8C的周長(zhǎng).

【典例3】

如圖，已知點(diǎn)。，E分別是△43C的邊R4和3c延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，作/D4C的平分線/R若AF〃BC.

(1)求證：△NBC是等腰三角形；D

(2)作的平分線交/斤于點(diǎn)G,若/8=40°,求NNGC的度數(shù).

B乙------------CE

【典例4】

已知在△4SC中，AB=AC,點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)，ZBCD=ZA.

(1)如圖1,試說(shuō)明CD=CB的理由；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)3作垂足為點(diǎn)E,8E與CD相交于點(diǎn)尸.

①試說(shuō)明的理由；

②如果△2DP是等腰三角形，求//的度數(shù).

【典例5】

(1)如圖1,己知：在△A5C中，4B=/C=10,BD平分/ABC,CD平分NACB,過(guò)點(diǎn)。作E尸〃3C,分

別交于￡、/兩點(diǎn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、C尸之間的數(shù)量關(guān)系是

△/￡尸的周長(zhǎng)是

(2)如圖2,若將(1)中“△4BC中，/2=/。=10”改為“若△/8C為不等邊三角形，48=8,AC

=10”其余條件不變，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、C尸之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明

你的結(jié)論，并求出的周長(zhǎng)

(3)己知：如圖3,。在△43C外，AB>AC,且AD平分//5C,CD平分△/8C的外角N/CG,過(guò)點(diǎn)

D作DEI/BC,分別交48、4c于E、下兩點(diǎn)，則即與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論

不證明.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等，頂角的度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°,則這個(gè)底角的度數(shù)是()

A.30°B.40°C.50°D.60°

2.已知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4,一邊長(zhǎng)等于9,它的周長(zhǎng)是()

A.17或22B.22C.17D.13

3.如圖，在等腰△E8C中，EB=EC,AB=BC,48=70°,//CD的度數(shù)為()

4.“廊橋凌水，樓閣傲天，狀元故里狀元橋，綬溪橋上看綬溪”.莆田綬溪公園開放“狀元橋”和“狀元閣”

游覽觀光，其中“狀元閣”的建筑風(fēng)格堪稱“咫尺之內(nèi)再造乾坤”.如圖，“狀元閣”的頂端可看作等腰

三角形4BC,4B=AC,。是邊2。上的一點(diǎn).下列條件不能說(shuō)明4D是△/2C的角平分線的是()

5.如圖，△/8C中，AB=AC,于。點(diǎn)，DELAB于點(diǎn)、E,由〈L/C于點(diǎn)/，DE=6,則3尸=()

A.8B.9C.12D.18

6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(3,-3),在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)瓦使為等腰三角形，則符合條

件的點(diǎn)2共有()個(gè).

A.5B.6C.7D.8

7.如圖，在△/BC中，已知。和//C5的平分線相交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作。E〃8C,交4B于D,交NC

于￡,若/8+/C=8,則△/￡)￡的周長(zhǎng)為()

A

A.6B.8C.10D.12

8.如圖，△A8C中，AB^AC,/B=40°,。為線段3C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合），連接4D,作/

ADE=40°,交線段/C于E,以下四個(gè)結(jié)論：①NCDE=NB4D；②當(dāng)。為BC中點(diǎn)時(shí)，DELAC-,

③當(dāng)△/￡>￡為等腰三角形時(shí)，/BAD=20。；④當(dāng)/24D=30°時(shí)，BD=CE.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)

是（）

9.在△/BC中，AB=AC,且過(guò)△/8C某一頂點(diǎn)的直線可將△NBC分成兩個(gè)等腰三角形，則/A4c的度數(shù)

為.

10.定義：如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊長(zhǎng)度的兩倍，則稱這個(gè)三角形為倍長(zhǎng)三角形.若等腰△N3C

是倍長(zhǎng)三角形，且一邊長(zhǎng)為6,則的底邊長(zhǎng)為.

11.如圖，在△/BC中，。為邊/C上一點(diǎn)，且8。平分//8C,過(guò)/作于點(diǎn)￡.若//8C=64°,

ZC=29°,AB=4,BC=1Q,貝1]/￡=.