備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章考點(diǎn)測試20

第四章三角函數(shù)與解三角形考點(diǎn)測試20任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)高考概覽高考在本考點(diǎn)的?？碱}型為選擇題、填空題，分值為5分，低等難度考點(diǎn)研讀1.了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義一、基礎(chǔ)小題1.扇子具有悠久的歷史，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．小明制作了一把如圖所示的扇子，其半徑為16cm，圓心角為eq\f(3π,4)，則這把扇子的弧長為()A．6πcm B．12πcmC．18πcm D．24πcm答案B解析因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?6cm，圓心角為eq\f(3π,4)，所以弧長為eq\f(3π,4)×16＝12πcm.故選B.2．已知鈍角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(π,6)))，則α＝()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(7π,8)答案B解析由題意得，鈍角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以tanα＝－1，所以α＝eq\f(3π,4).3．若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則()A．α＋β＝π＋kπ(k∈Z)B．α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)C．α＋β＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)D．α＋β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)答案B解析∵π－α是與α關(guān)于y軸對(duì)稱的一個(gè)角，∴β與π－α的終邊相同，即β＝2kπ＋(π－α)(k∈Z)，∴α＋β＝α＋2kπ＋(π－α)＝(2k＋1)π(k∈Z)．故選B.4．已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則x的值為()A.eq\r(3) B．±eq\r(3)C．－eq\r(2) D．－eq\r(3)答案D解析∵cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x，∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3.∵α是第二象限角，∴x＝－eq\r(3).故選D.5．一個(gè)鐘表的分針長為10，經(jīng)過35分鐘，分針掃過圖形的面積是()A.eq\f(35π,3) B.eq\f(175π,3)C．105π D.eq\f(175π,6)答案B解析經(jīng)過35分鐘，分針走了7個(gè)大格，每個(gè)大格30°，則分針走過的度數(shù)為7×30°＝210°，因?yàn)殓姳淼姆轴橀L為10，所以分針掃過圖形的面積是eq\f(210,360)×π×102＝eq\f(175π,3).故選B.6．若角α滿足sinαcosα<0，cosα－sinα<0，則α在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析∵sinαcosα<0，∴α是第二或第四象限角．當(dāng)α是第二象限角時(shí)，cosα<0，sinα>0，滿足cosα－sinα<0；當(dāng)α是第四象限角時(shí)，cosα>0，sinα<0，則cosα－sinα>0，不符合題意．綜上所述，α是第二象限角．7．圓心角相同的兩個(gè)扇形的面積之比為1∶2，則兩個(gè)扇形的周長之比為()A．1∶2 B．1∶4C．1∶eq\r(2) D．1∶8答案C解析設(shè)兩扇形的半徑分別為r1，r2，面積分別為S1，S2，由扇形面積公式S＝eq\f(1,2)αr2得eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)αreq\o\al(2,1),\f(1,2)αreq\o\al(2,2))＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))＝eq\f(1,2)，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,\r(2))，則兩個(gè)扇形的周長之比為eq\f(2r1＋αr1,2r2＋αr2)＝eq\f(1,\r(2)).故選C.8．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3答案B解析由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同的角的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.9．(多選)下列結(jié)論中正確的是()A．若0<α<eq\f(π,2)，則sinα<tanαB．若α是第二象限角，則eq\f(α,2)為第一象限或第三象限角C．若角α的終邊過點(diǎn)P(3k，4k)(k≠0)，則sinα＝eq\f(4,5)D．若扇形的周長為6，半徑為2，則其圓心角的大小為1弧度答案ABD解析若0<α<eq\f(π,2)，則sinα<eq\f(sinα,cosα)＝tanα，A正確；若α是第二象限角，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))，k∈Z，則eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，eq\f(α,2)為第一象限或第三象限角，B正確；若角α的終邊過點(diǎn)P(3k，4k)(k≠0)，則sinα＝eq\f(4k,\r(9k2＋16k2))＝eq\f(4k,5|k|)，不一定等于eq\f(4,5)，C錯(cuò)誤；若扇形的周長為6，半徑為2，則弧長為6－2×2＝2，其圓心角的大小為eq\f(2,2)＝1弧度，D正確．故選ABD.10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝________．答案eq\f(1,3)解析由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝eq\f(1,3)，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝eq\f(1,3)(k∈Z)．11．角α是第四象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第________象限角．答案二解析由角α是第四象限角，可得2kπ－eq\f(π,2)＜α＜2kπ，k∈Z，∴kπ－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜kπ，k∈Z，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，∴coseq\f(α,2)＜0，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，∴2kπ＋eq\f(3π,4)＜eq\f(α,2)＜2kπ＋π，k∈Z，∴eq\f(α,2)是第二象限角．12．已知扇形AOB的周長為8，在這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)，其對(duì)應(yīng)的圓心角的大小為________，弦長AB為________．答案24sin1解析設(shè)半徑為r，弧AB的長為l，圓心角為α，則l＝8－2r，扇形面積S＝eq\f(1,2)lr＝(4－r)r＝－r2＋4r，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2時(shí)S取得最大值，此時(shí)l＝4，所以α＝eq\f(l,r)＝2，由垂徑定理得AB＝2rsineq\f(α,2)＝4sin1.二、高考小題13．(2020·全國Ⅱ卷)若α為第四象限角，則()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0答案D解析當(dāng)α＝－eq\f(π,3)時(shí)，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＜0，A錯(cuò)誤；當(dāng)α＝－eq\f(π,6)時(shí)，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＞0，B錯(cuò)誤；由α為第四象限角可得sinα＜0，cosα＞0，則sin2α＝2sinαcosα＜0，C錯(cuò)誤，D正確．故選D.14．(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日(πDay)．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)式是()A．3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))B．6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))C．3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))D．6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))答案A解析單位圓內(nèi)接正6n邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角為eq\f(360°,6n)＝eq\f(60°,n)，每條邊長為2sineq\f(30°,n)，所以單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長為12nsineq\f(30°,n).單位圓的外切正6n邊形的每條邊長為2taneq\f(30°,n)，其周長為12ntaneq\f(30°,n)，所以2π＝eq\f(12nsin\f(30°,n)＋12ntan\f(30°,n),2)＝6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))，則π＝3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n))).故選A.三、模擬小題15．(2023·福建泉州月考)若A＝{θ|θ＝k·360°，k∈Z}，B＝{θ|θ＝k·180°，k∈Z}，C＝{θ|θ＝k·90°，k∈Z}，則下列關(guān)系中正確的是()A．A＝B＝C B．A?B?CC．A?B＝C D．C?B?A答案B解析集合A的元素表示終邊落在x軸非負(fù)半軸上的所有角，集合B的元素表示終邊落在x軸上的所有角，集合C的元素表示終邊落在x軸和y軸上的所有角．故選B.16．(2023·安徽滁州金陽光高級(jí)中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，則角α的最小正值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(11π,6)答案D解析因?yàn)閟ineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，所以角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，所以角α是第四象限角，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(3),3)，所以α＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，則角α的最小正值為eq\f(11π,6).故選D.17．(2023·河南部分學(xué)校高三仿真適應(yīng)測試)已知α是第二象限角，則點(diǎn)(cos(sinα)，sin(cosα))所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所?<sinα<1，－1<cosα<0，所以cos(sinα)>0，sin(cosα)<0，所以點(diǎn)(cos(sinα)，sin(cosα))在第四象限．故選D.18．(2023·福州一中高三三模)為解決皮尺長度不夠的問題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來測量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離．如圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)(車身始終保持與地面垂直)，直到前輪與點(diǎn)B接觸．經(jīng)觀測，在前進(jìn)過程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方(以如圖為觀察視角)，且到地面的垂直高度為0.45m．已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為(參考數(shù)值：π≈3.14)()A．20.10m B．19.94mC．19.63m D．19.47m答案D解析由題意知，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(1,3)))圈，所以A，B兩點(diǎn)之間的距離為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(1,3)))×2π×0.3＝6.2π≈6.2×3.14≈19.47m.19.(202