高二第二學期期末模擬卷02（范圍集合與邏輯用語函數性質選擇性）

高二第二學期期末模擬卷02（范圍：集合與邏輯用語+函數性質+選擇性必修第二冊）題號一二三四總分得分練習建議用時：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集，集合，，那么集合（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，，，所以.故選：B.2．已知“正項數列滿足”，則“”是“數列為等比數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【詳解】因為，所以，兩式相除可得：，所以，所以當，則，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以當，則，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，當，則，，所以數列為公比為的等比數列，所以“”能推出“數列為等比數列”，若數列為等比數列，則公比為2，故，所以“數列為等比數列”能推出“”.故“”是“數列為等比數列”的充要條件.故選：C.3．已知向量不共面，則使向量共面的實數x的值是（

）A． B． C． D．4【答案】A【詳解】因為共面，所以存在實數，使得，所以，解得.故選：A.4．已知函數則下列說法正確的是（

）A．是上的增函數B．的值域為C．“”是“”的充要條件D．若關于的方程恰有一個實根，則【答案】D【詳解】A:因為和都是增函數，但是當時，,,可知,故A是錯誤的；B:由,故B是錯誤的；C:因為時，,解得：，則反向必要性不成立，故C是錯誤的；D:方程可化為：,構造函數與,由數形結合可得：當時，它們有兩個交點，所以當,它們只有一個交點，故D是符合題意的；故選：D.5．如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，所以，所以，即.故選：C6．某校5名同學到A、B、C三家公司實習，每名同學只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學.若同學甲去A公司，則不同的安排方法共有（

）A．18種 B．30種 C．42種 D．60種【答案】B【詳解】若只有同學甲去A公司，則共有種可能，若除同學甲外還有一名同學去A公司，則共有種可能，故共有種可能.故選：B.7．已知定義在上的函數滿足，且函數為奇函數，則下列說法正確的是（

）A．的一個周期是2B．是奇函數C．不一定是偶函數D．的圖象關于點中心對稱【答案】D【詳解】對于A，因為定義在上的函數滿足，所以，所以，所以，所以的一個周期是4，所以A錯誤，對于BC，因為，所以，因為函數為奇函數，所以，所以，所以的圖象關于點對稱，所以，所以，所以是偶函數，不是奇函數，所以BC錯誤，對于D，因為為偶函數，的圖象關于點對稱，所以的圖象關于點對稱，因為的一個周期是4，所以的圖象關于點對稱，即的圖象關于點中心對稱，所以D正確，故選：D8．連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，分別標記兩次骰子正面朝上的點數，表示事件“第一次正面朝上的點數為1”，表示事件“第二次正面朝上的點數為3”，表示事件“兩次正面朝上的點數之和為8”，表示事件“兩次正面朝上的點數之和為7”，則下列說法錯誤的是（

）A．與相互獨立 B．與互斥C． D．【答案】D【詳解】連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次的結果用有序數對表示，其中第一次在前，第二次在后，不同結果如下：，共36個．依題意，易得，事件包括，共5個，，事件包括，共6個，，對于A，事件只有結果，則，A與D相互獨立，故A正確；對于B，由事件的基本事件可知，其中不包含“第一次正面朝上的點數為1”的事件，故與互斥，故B正確；對于C，事件表示“第二次正面朝上的點數不為3”，事件同時發(fā)生的有，共4件，所以，，故C正確；對于D，事件同時發(fā)生的有，共1件，所以，，故D錯誤.故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用古典概型的概率公式求得各事件的概率，從而得解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分9．“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌.為了解學生對“天宮課堂”的喜愛程度，某學校從全校學生中隨機抽取200名進行問卷調查，得到以下數據，則（

）喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂男生8020女生7030參考公式及數據：①，②當時，.A．從這200名學生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為B．用樣本的頻率估計概率，從全校學生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為C．對抽取的喜歡天宮課堂的學生進行天文知識測試；男生的平均成績?yōu)?0，女生的平均成績?yōu)?0，則參加測試的學生成績的均值為85D．根據小概率值的獨立性檢驗，沒有90%的把握認為喜歡天宮課堂與性別有關【答案】BD【詳解】對于A：從這200名學生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率，故A錯誤；對于B：樣本中喜歡天宮課堂的頻率，從全校學生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率，故B正確；對于C：抽取的喜歡天宮課堂的學生男、女生人數分別為、，又男生的平均成績?yōu)?，女生的平均成績?yōu)?，所以參加測試的學生成績的均值為，故C錯誤；對于D：因為，所以根據小概率值的獨立性檢驗，沒有90%的把握認為喜歡天宮課堂與性別有關，故D正確；故選：BD.10．已知展開式的二項式系數和為，，下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】由已知有，故，.所以.對于A，取得，取得，所以，A錯誤；對于B，對求導得，取得，B正確；對于C，在中用替換，得.所以，特別地對有，C錯誤；對于D，由有.在中取得，所以，D正確.故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于在恒等式中取特殊值，以得到相應的結果.11．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則下列結論正確的是（

）

A．B．直線到平面的距離為2C．平面截正方體的截面的面積為D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】ABC【詳解】依題意，建立空間直角坐標系，如圖，

，對于A，，則，故A正確；對于B，易得平面的法向量為，而，所以，又平面，所以平面，所以點到平面的距離即直線到平面的距離，即，故B正確；對于C，記的中點為，連接，則，所以，顯然，即，所以四點共面，即平行四邊形為平面截正方體的截面，由勾股定理易得，故平行四邊形是菱形，又，所以，，所以，故C正確；對于D，設的法向量為，，，所以，令，則，即，因為，所以，設直線與平面所成角為，則，所以，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12．兩個連續(xù)隨機變量X，Y滿足，且，若，則．【答案】0.86/【詳解】因為，所以，因為，所以，即又，所以，，所以，所以.故答案為：0.8613．為了反映城市的人口數量x與就業(yè)壓力指數y之間的變量關系，研究人員選擇使用非線性回歸模型對所測數據進行擬合，并設，得到的數據如表所示，則.x46810z2c56【答案】3【詳解】，，依題意，，而回歸直線方程過點，故，解得.故答案為：314．已知，，則．【答案】【詳解】令，，則，，由題可得，，所以，.因為函數在上單調遞減，所以.由，得，得，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共計77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知在二項式的展開式中，前三項系數的和是97．(1)求的值；(2)求展開式中二項式系數最大的項；(3)求展開式中所有的有理項．【答案】(1)(2)(3)，，，，【詳解】（1）解：由二項式展開式的通項為，可得展開式的前3項的系數分別為，因為前3項的系數和為，可得，且，解得或（舍去），即的值為.（2）解：由，當時，二項式系數最大，即二項式系數最大項為．（3）解：由，可得，所以展開式的有理項為．16．某機構為了了解某地區(qū)中學生的性別和喜愛游泳是否有關，隨機抽取了100名中學生進行了問卷調查，得到如下列聯表：喜歡游泳不喜歡游泳合計男生25女生35合計已知在這100人中隨機抽取1人，抽到不喜歡游泳的學生的概率為．(1)請將上述列聯表補充完整，并依據獨立性檢驗，判斷能否有認為喜歡游泳與性別有關聯；(2)將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學生中隨機抽取3人，計抽取的3人中喜歡游泳的人數為，求隨機變量的分布列和期望．附：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯表見解析，沒有(2)分布列見解析，【詳解】（1）根據100人中隨機抽取1人，抽到不喜歡游泳的學生的概率為,得不喜歡游泳的學生人數為40人，喜歡游泳的學生人數為60人，則喜歡游泳不喜歡游泳合計男生252550女生351550合計6040100根據獨立性檢驗卡方計算公式得，故沒有的把握認為喜歡游泳與性別有關聯．（2）的可能取值為0，1，2，3，．,,,.所以的分布列為0123數學期望為．17．如圖，在菱形中，，是的中點，將沿直線翻折使點到達點的位置，為線段的中點.(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）取線段的中點為，連接，因為為線段的中點，所以，且；又是的中點，所以，且；所以，且，故四邊形為平行四邊形；所以，因為平面，平面，所以直線平面；（2）因為是的中點，所以，所以；因為平面平面，平面平面，所以平面.以為原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，則，，，設平面的法向量為，則即，取，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角為.18．某學校為了解本學期學生參加公益勞動的情況，從學校內隨機抽取了500名高中學生進行在線調查，收集了他們參加公益勞動時間（單位:小時）分配情況等數據，并將樣本數據分成，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記參加公益勞動時間在內的學生人數為，求的分布列和期望；(2)以調查結果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“”表示這20名學生中恰有名學生參加公益勞動時間在]（單位:小時）內的概率，其中.當最大時，寫出的值.【答案】(1)分布列見解析，期望為(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖得:解得這500名學生中參加公益勞動時間在三組內的學生人數分別為:人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從參加公益勞動時間在14，16內的學生中抽取:人，現從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，的分布列為:0123則其期望為（2）由（1）可知參加公益勞動時間在的概率所以依題意，即，即，解得因為為非負整數，所以，即當最大時，19．如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點，點在棱上，且.(1)當時，