2021-2022學(xué)年山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2021-2022學(xué)年山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．在正方體中，底面的對(duì)角線交于點(diǎn)，且，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的減法可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：.故選：A.2．如果直線與直線垂直，那么的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A3．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于(

)A． B．0 C．3 D．0或3【答案】D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，構(gòu)成等比數(shù)列，∴，解得d＝0或3.故選：D.4．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得出漸近線方程.【詳解】因?yàn)?，所以雙曲線的漸近線方程是故選：C5．若動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且恒過定點(diǎn)，則此動(dòng)圓與直線（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)題意得定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義判斷即可.【詳解】解：由題知，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線上，且恒過定點(diǎn)，所以根據(jù)拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心到直線的距離等于圓心到定點(diǎn)，即圓心到直線的距離等于動(dòng)圓的半徑，所以動(dòng)圓與直線相切.故選：B6．正三棱柱各棱長(zhǎng)均為為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)面距公式求得正確答案.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C7．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，排除C選項(xiàng)；求導(dǎo)，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減，故選：B8．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A9．下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算即可.【詳解】，故A求導(dǎo)正確；，則，故B求導(dǎo)錯(cuò)誤.，故C求導(dǎo)正確；，故D求導(dǎo)正確.故選：B.10．中國(guó)明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)也頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作直指算法統(tǒng)宗，這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三個(gè)人來(lái)分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”請(qǐng)你計(jì)算甲應(yīng)該分得A．78石 B．76石 C．75石 D．74石【答案】A【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的，能求出甲應(yīng)該分得78石，得到答案．【詳解】由題意，今有百米一百八十石，甲乙丙三個(gè)人來(lái)分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，所以，所以，解得石．甲應(yīng)該分得78石．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且公差為，滿足，前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為【答案】C【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合等差數(shù)列的定義可判斷A選項(xiàng)；利用可得出、的等量關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；求出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；解不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞增數(shù)列，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，即，可得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，當(dāng)或時(shí)，最小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，因?yàn)椋獾?，故時(shí)的最小值為，D對(duì).故選：C.12．將正方形沿對(duì)角線翻折，使平面與平面的夾角為，如下四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．B．是等邊三角形C．直線與平面所成的角為D．與所成的角為【答案】C【分析】證明線面垂直，得到線線垂直判斷①；求解三角形可得的形狀判定②；求解線面角判斷③；求解三角形，可得是等邊三角形判斷④．【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，平面AEC，平面，∴，故A正確；設(shè)折疊前正方形的邊長(zhǎng)為2，則，，平面平面，且平面平面，AE⊥BD，平面ABD，平面，∴，＝AD＝CD，即是等邊三角形，故B正確；∵面，與平面所成的線面角的平面角是，故C錯(cuò)誤；取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，則，，為異面直線，所成的角，∵，，，是等邊三角形，則，故D正確．故選：C．二、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為__________.【答案】【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，所以，所以故答案為?4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為__________.【答案】【分析】直線與橢圓相交，求交點(diǎn)，利用列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程得，因?yàn)?，所?即，所以，.故答案為：.15．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：16．?dāng)?shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)是方程的根，選取作為的初始近似值，在點(diǎn)處作曲線的切線，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為的一次近似值，在點(diǎn)處作曲線的切線.則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為的二次近似值.重復(fù)上述過程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.【答案】【分析】根據(jù)牛頓迭代法的知識(shí)求得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，切線的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.，所以切線的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知.(1)求直線的方程；(2)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，到點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方和為24，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得的軌跡方程.【詳解】(1)，于是直線的方程為，即(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，于是，代入坐標(biāo)得，化簡(jiǎn)得，于是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為18．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）若選①：根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；若選②：構(gòu)造利用等比數(shù)列的定義求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】(1)解:若選①：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故若選②：易得于是數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，(2)若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是19．蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于游牧生活.其結(jié)構(gòu)如圖所示，上部分是側(cè)棱長(zhǎng)為3的正六棱錐，下部分是高為1的正六棱柱，分別為正六棱柱上底面與下底面的中心.(1)若長(zhǎng)為，把蒙古包的體積表示為的函數(shù)；(2)求蒙古包體積的最大值.【答案】(1)，其中.(2).【分析】（1）利用柱體和椎體體積公式求得的函數(shù)表達(dá)式.（2）利用導(dǎo)數(shù)求得體積的最大值.【詳解】(1)正六邊形的邊長(zhǎng)（0），底面積，于是，其中.(2)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，蒙古包體積最大，且最大體積為.20．在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別在上，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【詳解】(1)證明：長(zhǎng)方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面(2)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.從而，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，，則，從而，令，則，得平面的一個(gè)法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角，平面與平面所成的角的余弦值為21．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為,斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可得出中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計(jì)算，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求高，即可計(jì)算出面積．【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由得，①設(shè)、的坐標(biāo)分別為，（），中點(diǎn)為，則，，因?yàn)槭堑妊鞯牡走?，所以．所以的斜率為，解得，此時(shí)方程①為．解得，，所以，，所以，此時(shí)，點(diǎn)到直線：的距離，所以△的面積．【解析】1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、點(diǎn)到直線的距離.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，屬于難題．解決本類問題時(shí)，注意使用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解過程中要充分利用三角形是等腰三角形，進(jìn)而知道定點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線垂直，這是解決問題的關(guān)鍵．22．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.（1）求f(x)的極值點(diǎn)；（2）若關(guān)于x的方程f(x)＝a有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；（2）；（3）.【分析】（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得其極值點(diǎn)；（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析可得的范圍；（3）由題意分離參數(shù)即在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得到答案.【詳解】（1），令，得，當(dāng)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)，f′(x)<0，所以函數(shù)在上單