廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共213題）

廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共213題）廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、函數(shù)y=(2/3)x-的駐點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是()A、1個(gè)駐點(diǎn)，2個(gè)極值點(diǎn)B、2個(gè)駐點(diǎn)，1個(gè)極值點(diǎn)C、1個(gè)駐點(diǎn)，1個(gè)極值點(diǎn)D、2個(gè)駐點(diǎn)，2個(gè)極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y=(2/3)x-，x∈R，y’=(2/3)(1-)，令y’=0，得駐點(diǎn)x=1，且y在x=0處不可導(dǎo)。當(dāng)x＜0時(shí)，y’＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y’＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，y’＞0，所以x=0和x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)。因此y=(2/3)x-有1個(gè)駐點(diǎn)，2個(gè)極值點(diǎn)。2、設(shè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y’=f’(x)的圖形如圖2-1所示，則下列結(jié)論正確的是()。A、x=-1是f(x)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)B、x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)C、x=0是f(x)的極小值點(diǎn)D、x=-1為f(x)的極小值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：從圖形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1為f(x)的駐點(diǎn)。當(dāng)x＜-1時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x＞-1時(shí)，f’(x)＞0。所以x=-1是y=f(x)的極小值點(diǎn)，故選D。3、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f”(x)+[f’(x)]2=-2，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(x)的極值，點(diǎn)(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(0)=0及f”(x)4+[f’(x)]2=-2知f(0)=-2＜0，所以x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，且(0，f(0))不是f(x)的拐點(diǎn)。4、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(x0)為f(x)的一個(gè)極大值，則[(x0+8h)-f(x0)]/4h()A、-2B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且取得極大值，于是f’(x0)=0，故5、設(shè)兩個(gè)函數(shù)f(x)及g(x)都在點(diǎn)x=a處取得極大值，則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在點(diǎn)x=a處()A、必取極大值B、必取極小值C、不可能取極值D、是否取極值不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A、B項(xiàng)反例：f(x)=1-x2和g(x)=-1/(1-x2)都在點(diǎn)x=0處取得極大值，但f(x)·g(x)=-1在點(diǎn)x=0處不取極值；C項(xiàng)反例：f(x)=-x2和g(x)=-x4都在點(diǎn)x=0處取得極大值，但f(x)g(x)=x6在點(diǎn)x=0處取極小值。針對(duì)不同情形，F(xiàn)(x)在點(diǎn)x=a處是否取極佰不能確定，故選D。6、設(shè)x=x0為y=f(x)的駐點(diǎn)，則y=f(x)在x0處不一定()A、連續(xù)B、可導(dǎo)C、取得極值D、有平行于x軸的切線標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：駐點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，所以A、B項(xiàng)一定成立，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知D項(xiàng)成立。駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，故選C。7、若x=x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0)比任何點(diǎn)的函數(shù)值都大B、不可能存在比f(x0)大的極小值C、x0也可能是區(qū)間的端點(diǎn)D、以上說法都不對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，有f(x)＜f(x0)．極值是局部概念，可能存在比f(x0)大的極小值。但極值點(diǎn)不可能在區(qū)間端點(diǎn)取到，故選D。8、設(shè)f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且xf’(x)-f(x)＜0，則f(x)/x在區(qū)間(0，a)內(nèi)()A、單調(diào)遞減B、單調(diào)遞增C、有增有減D、不增不減標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)間(0，a)內(nèi)，(f(x)/x)’=[xf’(x)-f(x)]/x2＜0，故f(x)/x在區(qū)間(0，a)內(nèi)單調(diào)遞減。9、設(shè)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若存在唯一點(diǎn)x0∈(a，b)，使f’(x0)=0，且在x0左右兩側(cè)f’(x)異號(hào)，則點(diǎn)x=x0必為f(x)的()A、極值點(diǎn)且為最值點(diǎn)B、極值點(diǎn)但不是最值點(diǎn)C、最值點(diǎn)但非極值點(diǎn)D、以上都不對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意知，x=x0為極值點(diǎn)，又f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且存在唯一極值點(diǎn)，所以x0也為f(x)的最值點(diǎn)。10、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且二階可導(dǎo)，f″(0)≠0，則下列結(jié)論正確的是()A、x=0不是f(x)的駐點(diǎn)B、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)C、x=0是f(x)的極值點(diǎn)D、(0，f(0))是f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)為偶函數(shù)，因此有f(x)=f(-x)，則f’(x)=-f’(-x)，f’(0)=-f’(0)，得f’(0)=0。故x=0為f(x)的駐點(diǎn)，又f(0)≠0，所以x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，f(0))不是f(x)的拐點(diǎn)。11、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意的x1，x2，當(dāng)x1＞x1時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對(duì)任意的x，f’(x)＞0B、對(duì)任意的x，f’(-x)≤0C、函數(shù)f(-x)單調(diào)遞增D、函數(shù)-f(-x)單調(diào)遞增標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：取f(x)=x3，有f’(x)=3x2，f’(0)=0，f’(-x)=3x2≥0，f(-x)=-x3單調(diào)遞減，排除A，B，C，故選D。D項(xiàng)證明如下：令F(x)=-f(-x)，當(dāng)xi＞x2，則-x1＜-x2，f(-x1)＜f(-x2)。所以F(x1)=-f(-xi)＞-f(-x2)=F(x2)，故-f(-x)單調(diào)遞增。12、函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c為實(shí)數(shù)，當(dāng)a2-3b＜0時(shí)，f(x)是()A、增函數(shù)B、減函數(shù)C、常數(shù)函數(shù)D、單調(diào)性與a、b取值有關(guān)的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈R，f’(x)=3x2+2ax+b。當(dāng)a2-3b＜0時(shí)，對(duì)于f’(x)=0，由判別式△=4(a2-3b)＜0，可知該方程無解，因此f’(x)＞0恒成立，所以f(x)為增函數(shù)。13、已知f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0，f(x)/(1-cosx)=1，則f(x)在點(diǎn)x=0處()A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)且f’(0)≠0C、取得極大值D、取得極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閇f(x)/(1-cosx)]＞0，在點(diǎn)x=0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有1-cosx＞0，則f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在點(diǎn)x=0處取極小值，故選D。14、設(shè)函數(shù)y=f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，又△y=f(x+△x)-f(x)，dy=f″(x)△x，則當(dāng)△x＞0時(shí)，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Ax＜0。因此應(yīng)排除A、C項(xiàng)。由于f”(x)＜0，f’(x)＜0，因此曲線弧f(x)單調(diào)下降且為凸的，由曲線弧f(x)的圖形可知△y＜dy，故選B。15、曲線y=x3-6x2+3x+4的拐點(diǎn)為()A、(2，-6)B、(-2，-34)C、(2，6)D、(1，2)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y’=3x2-12x+3，y”=6x-12，令y”=0，得x=2，此時(shí)y=-6。當(dāng)x＞2時(shí)，y”＞0；當(dāng)x＜2時(shí)，y”＜0，故曲線的拐點(diǎn)為(2，-6)。16、曲線y=ex/(1+x)()A、有一個(gè)拐點(diǎn)B、有兩個(gè)拐點(diǎn)C、有三個(gè)拐點(diǎn)D、無拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y的定義域?yàn)閤≠-1。因?yàn)閥’=xe/(1+x)2，y”=[ex(1+x2)]/(1+x)3，所以y”在定義域內(nèi)恒不等于0，且無二階不可導(dǎo)點(diǎn)，所以曲線無拐點(diǎn)。17、曲線y=(x+3)5+3的凸區(qū)間為()A、(-∞，-3)B、(-3，+∞)C、(-∞，3)D、(3，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y’=5(x+3)4，y”=20(x+3)3，令y”＜0，得x＜-3，所以曲線的凸區(qū)間為(-∞，-3)，故選A。18、曲線y=(2-x)-1/3在(2，+∞)內(nèi)()A、單調(diào)遞增且為凸的B、單調(diào)遞增且為凹的C、單調(diào)遞減且為凸的D、單調(diào)遞減且為凹的標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y’=(1/3)(2-x)-4/3，y”=(4/9)(2-x)-7/3，在(2，+∞)上，y’＞0，y”＜0，故曲線在(2，+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增且為凸的。19、函數(shù)y=2+cos(x/2)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)的圖形是()A、凹的B、凸的C、既有凹的又有凸的D、直線標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y=2+cos(x/2)，y’=(-1/2)sin(x/2)，y”=(-1/4)cos(x/2)，當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，y”＞0，從而函數(shù)y的圖形在(π，2π)內(nèi)為凹的。故選A。20、若曲線f(x)在(a，b)內(nèi)任意一點(diǎn)的切線總位于曲線弧上方，則該曲線在(a，b)內(nèi)是()A、凹的B、凸的C、單調(diào)上升D、單調(diào)下降標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由凹凸性的定義可知答案選B。21、若點(diǎn)(0，1)是曲線y=ax3+bx2+c的拐點(diǎn)，則有()A、a=1，b=-3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c為任意實(shí)數(shù)D、a、b為任意實(shí)數(shù)，c=1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?0，1)在曲線上，所以c=1；又y’=3ax2+2bx，y”=6ax+2b，(0，1)為拐點(diǎn)，所以y”(0)=2b=0，得b=0；當(dāng)a=0時(shí)，y=c=1無拐點(diǎn)，所以a≠0，故選B。22、曲線y=1+[ln(1+x)/(x+1)]()A、有水平漸近線，無垂直漸近線B、無水平漸近線，有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，也無垂直漸近線標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于y=1+[ln(1+x)/(x+1)]，因?yàn)閇1+ln(1+x)/(x+1)]=1+/(1+x)=1，故曲線有水平漸近線y=1；又[1+ln(1+x)/(x+1)]=-∞，故曲線有垂直漸近線x=-1。23、曲線y=xsin(1/x)()A、僅有水平漸近線B、僅有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，又無垂直漸近線標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于xsin(1/x)=[sin(1/x)/(1/x)]=1，xsin(1/x)=0，因此曲線y=xsin(1/x)只有水平漸近線。24、曲線y=[(x+xsinx)/(x2-1)]的水平漸近線是()A、y=2B、y=-2C、y=1D、y=-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：[(x+xsinx)/(x2-1)]=[(1/x+sinx/x)/(1-1/x2)-1]=-1，所以曲線的水平漸近線為y=-1。廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、證明題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)。證明：若f(x)不恒為常數(shù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(a)=f(b)，且f’(x)不恒為常數(shù)，所以至少存在一點(diǎn)x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，則f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)。不妨設(shè)f(x0)＜f(a)，則對(duì)函數(shù)f(x)在[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得至少存在ξ∈(x0，b)(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(x0)]/(b-x0)=[f(a)-f(x0)/(b-x0)]＞0。同理可證對(duì)于f(x0)＞f(a)的情形結(jié)論也成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)在[a，b]上有連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，b-a≥4，求證：存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(＜)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=arctanf(x)，根據(jù)條件b-a≥4可知b-a＞π，且arctanf(b)-arctanf(a)≤｜arctanf(b)｜+｜arctanf(a)｜＜π，對(duì)函數(shù)arctanf(x)在區(qū)間[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在ξ∈(a，b)，使得[arctanf(x)]’｜x=ξ=f’(ξ)/[1+f2(ξ)]=[arctanf(b)-arctanf(a)]/(b-a)＜1。故存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(ξ)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)/x=1，又f(1)=1，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f″(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)二階可導(dǎo)，[f(x)/x]=1得f(0)=0，f’(0)=1，故由拉格朗日中值定理得存在c∈(0，1)，使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1，又f’(0)=f’(c)=1，所以由羅爾中值定理得存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得f(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、已知F(x)=arctanx-arcsin，x∈(-∞，+∞)，證明：F(x)=0恒成立。標(biāo)準(zhǔn)答案：則f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、證明：當(dāng)x＞1時(shí)，2＞3-1/x。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，(1+x)ln(1+x)＞arctanx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，則f(x)在[0，+∞]上連續(xù)，且x＞0時(shí)，f’(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x2)=ln(1+x)+x2/(1+x2)＞0，則f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，f(0)=0，f″(x)在(0，+∞)內(nèi)恒大于零，證明g(x)=f(x)/x在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。標(biāo)準(zhǔn)答案：g’(x)=[f’(x)-f(x)]/x2，令φ(x)=f’(x)x-f(x)，因?yàn)棣铡?x)=f″(x)x+f’(x)-f’(x)=f″(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0時(shí)φ(x)單調(diào)遞增，即φ(x)＞φ(0)=0，所以g’(x)＞0，故當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、證明：當(dāng)0＜x＜π/2時(shí)，sinx+tanx＞2x。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則f(x)在[0，π/2)上連續(xù)，f’(x)=cosx+sec2x-2，f″(x)=sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x-1)＞0x∈(0，π/2)，因此f’(x)在(0，π/2)內(nèi)單調(diào)遞增，故f’(x)＞f’(0)=0，因此f(x)在(0，π/2)內(nèi)單調(diào)遞增，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x，x∈(0，π/2)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、已知函數(shù)f(x)=(alnx-xlna)/x，x∈(e，+∞)，證明：當(dāng)a＞b＞e時(shí)，ab＜ba。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=[(a/x-lna)x-(alnx-xlna)]/x2=[a(1-lnx)]/x2。因?yàn)閤＞e，所以1-lnx＜0，且由題意知a＞0，故f’(x)＜0，故f(x)在(e，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，又e＜b＜a，則f(a)＜f(b)。而f(a)=0，則f(b)＞0，即alnb-blna＞0。即alnb＞blna，故ab＜ba。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、當(dāng)x＞0時(shí)，證明：。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、當(dāng)0＜x＜π時(shí)，證明sinx/2＞x/π。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=sin(x/2)-x/π，則F(0)=F(π)=0。而F’(0)=1/2-1/π＞0，F(xiàn)’(π)=-1/π＜0，判斷不出F’(x)的正負(fù)。注意到F″(x)＜0，則F(x)在0＜x＜π時(shí)是凸的。由于F(0)=F(π)-0，故F(x)＞0，即sin(x/2)＞x/π，得證。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、當(dāng)x＞0時(shí)，證明：x-x/2＜ln(1+x)＜x。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=ln(1+x)-x+x2/2，則f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，f’(x)=1/(1+x)-1+x=x2/(1+x)，x＞0時(shí)，f’(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，f(x)＞f(0)=0。所以x＞0時(shí)，ln(1+x)＞x-x2/2。令g(x)=x-ln(1+x)，則g(x)在[0，+∞)上連續(xù)，g’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)。x＞0時(shí)，g’(x＞0，g(x)為增函數(shù)，g(x)＞g(0)=0，所以x＞0時(shí)，x＞ln(1+x)。綜上所述，當(dāng)x＞0時(shí)，x-x2/2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、證明：方程x3-3x+1=0有且僅有三個(gè)實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x3-3x+1，則f’(x)=3(x+1)(x-1)。當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1或x＜-1時(shí)，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增。因?yàn)閒(-2)=-1＜0，f(-1)=3＞0，f(1)=1＜0，f(2)=3＞0，所以由零點(diǎn)定理及f(x)的單調(diào)性知，在(-2，-1)，(-1，1)及(1，2)內(nèi)，函數(shù)f(x)各只存在一個(gè)零點(diǎn)。故方程x3-3x+1=0有且僅有三個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、證明：方程5x+arctanx+4sinx-1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=5x+arctanx+4sinx-1，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=-1＜0，f(1)=4+4sin1+arctan1＞0，即f(0)·f(1)＜0，所以由零點(diǎn)定理可知，存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0。又f’(x)=5+1/(1+x2)+4cosx＞0，則f(x)是單凋遞增的，故存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，即方程5x+arctanx+4sinx-1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、證明：方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=lnx-x/e+1/2，f(x)=-∞，f(e2)=5/2-e＜0，而f(e)=1/2>＞0，所以f(x)在(0，e)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，在(e，e2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。又f’(x)=1/x-1/e，令f’(x)=0，得x=e。當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)增加；當(dāng)x＞e時(shí)，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少。所以f(x)在(0，e)，(e，e2)內(nèi)各僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，arctanx+1/x＞π/2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx+1/x，則f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，且f’(x)=1/(1+x2)-1/x2，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)閇*]91f(x)=π/2，所以f(x)＞π/2，即arctanx+1/x＞π/2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)17、已知曲線y=1/x2+2x2，則曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A、(-1/2，0)B、(1，3)C、(1，0)D、(0，0)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y’=-2/x3+4x，y’(1)=2，所以曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程為y-3=2(x-1)，即y=2x+1，令y=0，得x=-1/2，所以曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1/2，0)。18、若函數(shù)y=f(x)滿足f’(x0)=1/6，則當(dāng)△x→0時(shí)，該函數(shù)在點(diǎn)x=x0處的微分dy是()A、與△x等價(jià)的無窮小B、與△x同階非等價(jià)的無窮小C、與△x低價(jià)的無窮小D、比△x高階的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：按照微分定義可知在點(diǎn)x=x0處，dy=f’(x0)dx=f’(x0)△x=(1/6)△x，當(dāng)△x→0時(shí)，dy與△x為同階非等價(jià)的無窮小，故選B。三、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)19、設(shè)y=ecos2x，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-2sin2xecos2xB21知識(shí)點(diǎn)解析：y’=ecos2x(cos2x)’=ecos2x(-sin2x)·(2x)’=-2sin2xecos2x。20、設(shè)函數(shù)y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定的函數(shù)，則dy/dx｜x=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：把x=0代入方程ln(x2+y)=x3y+sinx，得lny=0，則y=1。方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得1/(x2+y)(2x+dy/dx)=3x2y+x3(dy/dx)+cosx，把x=0，y=1代入上式，得(dy/dx)｜x=0=1。四、解答題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)21、a，b為何值時(shí)，函數(shù)f(x)=在x=1處可導(dǎo)?標(biāo)準(zhǔn)答案：欲使f(x)在x=1處可導(dǎo)，首先應(yīng)使f(x)在x=1處連續(xù)．因?yàn)閒(1)=1，且故當(dāng)a=-1，b=2時(shí)，f(x)在x=1處可導(dǎo)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)x=x(y)由方程x=cos(xy)確定，求dx/dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊同時(shí)微分，可得dx=-[sin(xy)]·d(xy)=-[sin(xy)]·(ydx+xdy)，整理后得xsin(xy)dy=[-1-ysin(xy)]dx，從而(dx/dy)=-[xsin(xy)/(1+ysin(xy))]。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、曲線y=2lnx+x2+5的凸區(qū)間是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，1)知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y的定義域?yàn)?0，+∞)，y’=2/x+2x，y”=-2/x2+2=2(x2-1)/x2，當(dāng)y”＜0時(shí)，0＜x＜1，所以曲線y的凸區(qū)間為(0，1)。2、已知點(diǎn)(1，1)是曲線y=x2+alnx的拐點(diǎn)，則a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y的定義域?yàn)?0，+∞)，由y=x2+alnx得y2=2x+a/x，y”=2-a/x2。由于點(diǎn)(1，1)是曲線的拐點(diǎn)，且函數(shù)在定義域內(nèi)二階可導(dǎo)，因此y”｜t=0=2-a=0，解得a=2。3、設(shè)f(x)=ax3-6ax2+b在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2，最小值為-30，又知a＞0，則a=__________，b=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2，2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=3ax2-12ax，令f’(x)=0，則x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]上，故舍去。f(-1)=-a-6a+6=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因?yàn)閍＞0，故當(dāng)x=0時(shí)，f(x)最大，即b=2；當(dāng)x=2時(shí)，f(x)最小，所以b-16a=-30，即16a=2+30=32，故a=2。4、設(shè)曲線y=x3+ax2-6x+1的拐點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，則其拐點(diǎn)是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，-7)知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，y’=3x2+2ax-6，y”=6x+2a，由于曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，因此y”｜x=1=6+2a=0，解得a=-3。此時(shí)y”=6x-6。當(dāng)x＜1時(shí)，y″＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y”＞0。且當(dāng)x=1時(shí)，y=-7，因此點(diǎn)(1，-7)是曲線的拐點(diǎn)。已知函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)函數(shù)f’(x)的圖形如圖2-2所示，則5、函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=-2，x=0，x=2知識(shí)點(diǎn)解析：由圖形可知f’(-2)=f’(0)=f’(2)=0，所以駐點(diǎn)為x=-2，x=0，x=2。6、f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(-∞，-2)，(2，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樵?-∞，-2)，(2，+∞)內(nèi)f’(x)＞0，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-2)，(2，+∞)。7、f(x)的極大值點(diǎn)為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤＜-2時(shí)f’(x)＞0；-2＜x＜0時(shí)f’(x)＜0，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是x=-2。8、f(x)的極小值點(diǎn)為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?＜x＜2時(shí)，f(x)＜0；x＞2時(shí)f’(x)＞0，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)是x=2。9、曲線y=f(x)的凸區(qū)間為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(5)(-∞，-1)，(0，1)知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f’(x)在(-∞，-1)，(0，1)內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以在(-∞，-1)，(0，1)內(nèi)f″(x)＜0，所以曲線的凸區(qū)間為(-∞，-1)，(0，1)。10、曲線y=f(x)的凹區(qū)間為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(6)(-1，0)，(1，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f’(x)在(-1，0)，(1，+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以在(-1，0)，(1，+∞)內(nèi)f″(x)＞0，所以曲線的凹區(qū)間為(-1，0)，(1，+∞)。11、曲線y=(2x2-5)/(x-9)的垂直漸近線為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=9知識(shí)點(diǎn)解析：[(2x2-5)/(x-9)]=∞，故x=9為曲線的垂直漸近線。12、設(shè)曲線y=(x3+2x+3)/(1-2x3)，則該曲線的水平漸近線為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-1/2知識(shí)點(diǎn)解析：y=[(x3+2x+3)/(1-2x3)]，故曲線的水平漸近線為y=-1/2。二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)用洛必達(dá)法則求下列極限：13、(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)標(biāo)準(zhǔn)答案：[(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)]=[(2x-4)/(3x2-6x)]=[2/(6x-6)]=1/3；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、(ex-1)/(x2-x)標(biāo)準(zhǔn)答案：(ex-1)/(x2-x)=[ex/(2x-1)]=-1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、[1/x-(1/x2)ln(1+x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：[1/x-(1/x)ln(1+x)]=[x-ln(1+x)]/x2=[1-1/(1+x)]/2x=[1/2(1+x)]=1/2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、[x/(x-1)-1/lnx]標(biāo)準(zhǔn)答案：[x/(x-1)-1/lnx]=[xlnx-x+1]/[(x-1)lnx]=[(lnx+1-1)/(lnx+1-1/x)]=[(1/x)/(1/x+1/x2)]=1/2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、[ln(ex+x)/x]標(biāo)準(zhǔn)答案：[ln(ex+x)/x]=[(ex+1)/(ex+x)]=[ex/(ex+1)]=ex/ex=1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、xcot2x標(biāo)準(zhǔn)答案：xcot2x=(x/tan2x)=(1/2sec22x)=1/2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、(lnx)1/lnx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、[(π/2-x)tanx]標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、[(xcotx-1)/x2]標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、(x+ex)1/x標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所確定，求dy/dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得cos(x2+y2)·(2x+2y·(dy/dx))+ex-y2-x·2y·(dy/dx)=0。整理得dy/dx=[y2-ex-2xcos(x2+y2)]/[2ycos(x2+y2)-2xy]。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)s=s(t)是由方程sin(ts)+ln(s-t)=t確定的函數(shù)，求(ds/dt)｜t=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：sin(ts)+ln(s-t)=t兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得cos(ts)·(s+f·ds/dt)+[1/(s-t)]·(ds/dt-1)=1。而當(dāng)t=0時(shí)，s=1，代入上式得(ds/dt)｜t=0=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、已知由方程x2+xy+y2=4所確定的隱函數(shù)為y=y(x)，求dy/dx與d2y/dx2。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得2x+y+x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0，解得dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)，從而d2y/dx2=[(2+dy/dx)(x+2y)-(2x+y)(1+2(dy/dx))]/(x+2y)2=-[6(x2+xy+y2)]/(x+2y)3=-24/(x+2y)3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)y=xx+xa+ax+aa(x＞0，a＞0且a≠1)，求dy/dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(xx)’=(exlnx)’=exlnx(xlnx)’=exlnx(1+lnx)=(1+lnx)xx，(xa)’=axa-1，(ax)’=axlna，(aa)’=0，故dy/dx=(1+lnx)xx+axa-1+axlna。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、求冪指函數(shù)y=(lnx)x的導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：b=(lnx)x兩端取對(duì)數(shù)得lny=xln(lnx)，上式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得(1/y)y’=ln(lnx)+[x(1/lnx)]·(1/x)=ln(lnx)+1/lnx，于是y’=(lnx)x[ln(lnx)+1/lnx]。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)y=(1+x)1/cosx，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥=(1+x)1/cosx=e[ln(1+x)/cosx]，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、已知y=，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：等式兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=2ln(x+2)+(1/2)ln(x-3)-3ln(1-x)-x，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)y=y(x)由所確定，求dy/dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)y=y(x)由所確定，求dy/dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：dx/dt=5t4，dy/dt=lnt+t·(1/t)=lnt+1，故dy/dx=(1+lnt)/5t4。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)y=y(x)由所確定，求dy/dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：dx/dt=3cost,dy/dt=-2sintcostdy/dx=-2sintcost/3cost=(-2/3)sint。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)y=y(x)由方程所確定，求(dy/dx)｜x=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：dx/dt=2et+2tet=2(t+1)et，dy/dt=3t2-3，dy/dx=(3t2-3)/[2(t+1)et]=3(t-1)/2et。當(dāng)x=1時(shí)，t=0，所以(dy/dx)｜x=1=[3(t-1)/2et]｜t=0=-3/2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)y=y(x)參數(shù)方程所確定，求d2y/dx2。標(biāo)準(zhǔn)答案：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(3t2+2t)/[1-1/(1+t)]=(t+1)(3t+2)=3t2+5t+2，d2y/dx2=[(d/dt)(dy/dx)]/(dx/dt)=(6t+5)/[1-1/(1+t)]=[(6t+5)(t+1)]/t。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求曲線在t=0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：將t=0代入方程，得切點(diǎn)(2，1)。又dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-e-t/2et=-1/2e2t，故曲線在t=0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率k切=(-1/2e2t)｜t=0=-1/2，法線斜率k法=2，所以所求切線方程為y-1=(-1/2)(x-2)，即x+2y-4=0，法線方程y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求曲線y+2exy=2在點(diǎn)(0，0)處的切線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得y’+2(y+xy’)exy=0，所以y’=-2yexy/(1+2xexy)，因?yàn)閥’｜(0，0)=0，所以曲線在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)y=cosx/(3+sinx)(0＜x＜π)，求其反函數(shù)x=φ(y)在y=0處的導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=[-sinx(3+sinx)-cos2x]/(3+sinx)2=[(-3sinx-1)/(3+sinx)2](0＜x＜π)，令y=0得x=π/2，y’(π/2)=-1/4，所以x=φ(y)在y=0處的導(dǎo)數(shù)為1/[y’(π/2)]=-4。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)f(x)=求f(x)的導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)=cosx；當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)=2x。當(dāng)x=0時(shí)，f(0)在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在。所以f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知函數(shù)y=y(x)由方程ey=sin(x+y)確定，求dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：將ey=sin(x+y)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得ex·y’=cos(x+y)·(1+y’)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)確定的隱函數(shù)，求dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：利用一階微分形式的不變性得2dy-dx=(dx-dy)ln(x-y)+(x-y)·[1/(x-y)](dx-dy)，所以[3+ln(x-y)]dy=[2+ln(x-y)]dx，因此dy=[(2+ln(x-y))/(3+ln(x-y))]dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析求下列函數(shù)的微分：20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、y=log2(1+x2)標(biāo)準(zhǔn)答案：dy=[1/(1+x2)ln2](1+x2)’dx=[2x/(1+x2)ln2]dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、曲線y=的垂直漸近線為()A、x=1B、y=0C、y=1D、x=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以x=0為曲線的垂直漸近線。2、曲線y=(1/x)+ln(1+ex)的水平和垂直漸近線的總條數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥=[1/x+ln(1+ex)]=+∞，y=+ln[(1/x)+ln(1+ex)]=0，所以y=0是曲線的水平漸近線。因?yàn)閥=[1/x+ln(1+ex)]=∞，所以x=0是曲線的垂直漸近線。綜上所述，曲線y=1/x+ln(1+ex)有水平與垂直漸近線共2條。3、要制作一個(gè)圓柱形有蓋鐵桶，其容積為V，要想所用鐵皮最省，則底面半徑和高的比例為()A、1：2B、1：1C、2：1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)圓柱形鐵桶的底面半徑為r，高為h，則有V=πr2h，鐵皮的表面積S=2πrh+2πr2=2V/r+2πr2，S’(r)=-2V/r2+4πr=(4πr3-2V)/r2，令S’(r)=0，得r=，由于駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題最值一定存在，所以r=必是最小值點(diǎn)，此時(shí)h=，則r：h=1:2。二、填空題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)4、函數(shù)f(x)=x3-(3/2)x2在區(qū)間[0，3/2]上滿足羅爾中值定理結(jié)論的ξ__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=3x2-3x=3x(x-1)，因?yàn)閒(x)在[0，3/2]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點(diǎn)ξ∈(0，3/2)，使得3ξ(ξ-1)=0，解得ξ=1。5、函數(shù)f(x)=sin2x在區(qū)間[-π/4，π/4]上滿足羅爾中值定理結(jié)論的ξ=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=sin2x，因?yàn)楹瘮?shù)在[-π/4，π/4]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點(diǎn)ξ∈(-π/4，π/4)，使得sin2ξ=0，所以ξ=0。6、函數(shù)f(x)=e2x在區(qū)間[0，1]上滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的ξ=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1/2)ln[(e2-1)/2]知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=2e2x，f(x)在[0，1]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，所以ξ=(1/2)ln[(e2-1)/2]。7、函數(shù)f(x)=(x-1)/x在[1，2]上滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的ξ=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=1/x2，f(x)在[1，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，2)，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)(2-1)，即1/ξ2=1/2-0，解得ξ=。8、設(shè)函數(shù)f(x)=x2+px+q，則函數(shù)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的ξ=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(a+b)/2知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=2x+p，由拉格朗日中值定理得存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(b2+pb+q-a2-pa-q)/(b-a)=b+a+p，即有2ξ+p=b+a+p，故ξ=(a+b)/2。9、如果f(x)=c2+kx+3在區(qū)間[-1，3]上滿足羅爾中值定理的條件，則k=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=x2+kx+3在[-1，3]上連續(xù)，在(-1，3)內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)在[-1，3]上滿足羅爾中值定理的條件，則f(-1)=f(3)，即4-k=12+3k，解得k=-2。10、已知當(dāng)x→0時(shí)，sinx-x是atanx3的等價(jià)無窮小，則a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1/6知識(shí)點(diǎn)解析：11、(x2-1)/e2x=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：[(x2-1)/e2x]=(2x/2e2x)=(2/4e2x)=0。12、ln(cosx)/x2=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1/2知識(shí)點(diǎn)解析：13、f(x)=ln(1+x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=ln(1+x2)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x2)，令f’(x)＞0得x＞0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)。14、f(x)=arctanx2的單調(diào)遞減區(qū)間為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(-∞，0)知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x4)，令f’(x)<0得x＜0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)。15、f(x)=x2-3x2+6x-2在[-1，1]上的最大值為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]＞0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故f(x)在[-1，1]上的最大值為f(1)=1-3+6-2=2。16、點(diǎn)(1，3)是曲線y=ax3+bx2+1的拐點(diǎn)，則a=__________，b=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1，3知識(shí)點(diǎn)解析：由已知得y’=3ax2+2bx，y″=6ax+2b，因?yàn)辄c(diǎn)(1，3)是曲線y=ax3+bx2+1的拐點(diǎn)，則有y(1)=a+b+1=3，y″(1)=6a+2b=0，解得a=-1，b=3。17、已知函數(shù)f(x)=e-xln(ax)在x=1/2處取得極值，則正數(shù)a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=e-xln(ax)，a＞0，x＞0，f’(x)=-e-xln(ax)+e-x·(1/x)，又x=1/2為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以f(1/2)=0，從而得a=2e2，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=2e2時(shí)，在x=1/2兩側(cè)鄰域內(nèi)f’(x)異號(hào)，即x=1/2是函數(shù)的極值點(diǎn)。18、當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數(shù))，則p=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=3x2+3p，f(x)在點(diǎn)x=1處取得極值，則f’(1)=3+3p=0，所以P=-1。19、若f(x)=xex，則f(n)(x)的極小值點(diǎn)為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=-(n+1)知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f″(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f?(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，令(f(n)(x))’=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0，則x=-(n+1)，顯然當(dāng)x＞-(n+1)時(shí)，f(n+1)(x)＞0；當(dāng)x＜-(n+1)時(shí)，f(n+1)(x)＜0，因此f(n)(x)的極小值點(diǎn)為x=-(n+1)。20、函數(shù)y=x3-12x在區(qū)間[-3，33上的最小值為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-16知識(shí)點(diǎn)解析：令y’=3x2-12=0，解得x=2或x=-2。又y(-3)=9，y(-2)=16，y(2)=-16，y(3)=9，比較可得y在[-3，3]上的最小值為-16。21、函數(shù)y=(x-2)2(x+1)2/3在區(qū)間[-2，2]上的最大值是__________，最小值是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：16，0知識(shí)點(diǎn)解析：由于y’=[2(x-2)(4x+1)]/[3(x+1)1/3]，因此函數(shù)y在區(qū)間(-2，2)內(nèi)有駐點(diǎn)x=-1/4、不可導(dǎo)點(diǎn)x=-1，依次求出函數(shù)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的值為y(-1/4)=(-9/4)2(3/4)2/3，y(-1)=0，y(-2)=16，y(2)=0，通過比較這些值的大小可知，函數(shù)y在[-2，2]上的最大值為y(-2)=16，最小值為y(-1)=y(2)=0。22、若函數(shù)f(x)在[0，1]上滿足f”(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小順序?yàn)開_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)知識(shí)點(diǎn)解析：f″(x)＞0，則f’(x)在[0，1]上單調(diào)遞增。又由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)，故有f’(1)＞f’(ξ)>f’(0)，即f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)。23、曲線f(x)=arctanx+2x+3，則其拐點(diǎn)坐標(biāo)為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，3)知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，f’(x)=[1/(1+x2)]+2，f″(x)=-2x/(1+x2)2，令f″(x)=0，得x=0，f(0)=3，又當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，故點(diǎn)(0，3)是其拐點(diǎn)。24、設(shè)點(diǎn)(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，且函數(shù)f(x)存在二階導(dǎo)數(shù)，則f”(x0)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：拐點(diǎn)為二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或是二階不可導(dǎo)點(diǎn)，又由題意可知函數(shù)在x=x0處二階可導(dǎo)，故f″(x0)=0。廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則y=f{f[f(x)]}的導(dǎo)數(shù)為()A、f’[f(x)]B、f’{f’[f’(x)]}C、f’{f[f(x)]}f’(x)D、f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y’={f{f[f(x)])}’=f’{f[f(x)])f’[f(x)]f’(x)，故選D。2、若函數(shù)f(x)=5x，則f’(x)=()A、5x-1B、x5x-1C、5xln5D、5x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=(5n)’=5xln5。3、設(shè)f(x)=e2+，則f’(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=(e2)’+()’=1/2。4、設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x，則f’(π/2)=()A、0B、-2C、π/2D、2π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(x)=2sinxcosx+2cos2x，所以f’(π/2)=2sin(π/2)cos(π/2)+2cosπ=-2。5、若f(x-1)=x2-1，則f’(x)=()A、2x+2B、x(x+1)C、x(x-1)D、2x-1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x-1)=x2-1=(x-1)(x-1+2)，故f(x)=x2+2x，則f’(x)=2x+2。6、已知f(x)在其定義域內(nèi)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且f’(-3)=-7，則f’(3)=()A、-7B、7C、3D、-3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)，則f’(x)=f’(-x)，故f’(3)=-f’(-3)=7。7、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則y=f(2/π)的導(dǎo)數(shù)y’=()A、(2/x2)f’(2/x)B、(x/2)f’(2/x)C、(-1/x2)f’(2/x)D、(-2/x2)f’(2/x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y=f(2/x)，則y’=f’(2/x)·(2/x)’=(-2/x2)f’(2/x)。8、設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)=e3+2g(x)，h’(2)=4，g’(2)=2，則g(2)=()A、ln2-1B、-ln2-1C、-3/2D、3/2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件h(x)=e3+2g(x)可得h’(x)=2e3+2g(x)g’(x)。令x=2，并將h’(2)=4，g’(2)=2代入得4=4e3+2g(2)，從而g(2)=-3/2。9、設(shè)函數(shù)y=x2+3x+5，則y”=()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：y’=2x+3，y”=2。10、設(shè)y=，則y”=()A、2/xB、1/2x2C、-1/2xD、-1/2x2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y″=-1/2x2。11、已知函數(shù)．y=ln(1+2x)，則y?=()A、8/(1+2x)3B、-8/(1+2x)3C、16/(1+2x)3D、-16/(1+2x)3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：y’=2/(1+2x)，y”=[2(1+2x)-1]’=-2(1+2x)-2·2=-4(1+2x)-2，y?=(-4)·(-2)·(1+2x)-3·2=16(1+2x)-3=16/(1+2x)3。12、已知函數(shù)y=cos2x，則y(n)=()A、sin2xB、2nsin[2x+(2/2)π]C、cos2xD、2ncos[2x+(n/2)π]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(cos2x)’=-2sin2x=2cos(2x+π/2)，(cos2x)”=-2·2sin2(2x+π/2)=22cos(2x+2π/2)，…，(cos2x)(n)=2ncos(2x+nπ/2)。13、已知函數(shù)f(x)=x212+3x210-2x120-5x110+x10-1，則f(211)(2)=()A、2212B、2211C、2．211!D、2．212!標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?xn)(m)=，故f(211)(x)=[212!/(212-211)!]·x+0=212!·x，因此f(211)(2)=2·212!。14、設(shè)y=ex+e-x，則y(100)=()A、ex+e-xB、ex-e-xC、-ex+e-xD、-ex-e-x標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?ex)(n)=ex，(e-x)(n)=(-1)ne-x，所以(ex)(100)=(-1)100e-x=e-x，故y(100)=ex+e-x。15、設(shè)y=f(x2+a)，其中f二階可導(dǎo)，a為常數(shù)，則y”=()A、2f’(x2+a)+4x2f″(x2+a)B、2xf’(x2+a)C、2f(x2+a)+4x2f’(x2+a)D、4xf”(x2+a)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y’=f’(x2+a)·(x2+a)’=2xf’(x2+a)，y”=2f’(x2+a)+2xf(x2+a)·(x2+a)’=2f’(x2+a)+4x2f(x2+a)。16、已知y=y(x)是由方程y2-x-y+9=0確定的函數(shù)，則dy/dx=()A、1-2yB、2y-1C、1/(1-2y)D、1/(1-2y)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2y(dy/dx)-1-dy/dx=0，整理得dy/dx=1/(2y-1)。17、設(shè)y=f(x)是由方程ex-ey=xy確定的隱函數(shù)，則y’｜x=0=()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=0。方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得ex-eyy’=y+xy’，所以y’｜x=0=1。18、已知y=f(x)由方程cos(xy)-lny+x=1確定，則[*]91n[f(2/n)-f(0)]=()A、2B、1C、-1D、-2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：19、已知y=x1/x，則dy/dx=()A、(1-lnx)/x2B、x1/x-2(1-lnx)C、x1/x-1(1-lnx)D、x1/x-2(lnx-1)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：y=x1/x聯(lián)對(duì)lny=(1/x)lnx，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得(1/y)·(dy/dx)=(1-lnx)/x2，整理得dy/dx=y[(1-lnx)/x2]=x1/x-2(1-lnx)。20、已知函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則dy/dx｜t=π/3=()A、0B、C、D、-2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：dy/dx=[(dy/dt)/(dx/dt)]=-3sin3t/2cos2t，則(dy/dx)｜t=π/3=(-3sin3t/2cos2t)｜t=π/3=0。21、已知y=y(x)是由參數(shù)方程確定的函數(shù)，則dy/dx｜(4，27)=()A、27/4B、-27/4C、4、27D、-4/27標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：22、設(shè)則d2y/dx2=()A、1B、1/(1+t)C、1/(-1+t)D、-1/(1+t)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：23、設(shè)y=+1，則其反函數(shù)x=φ(y)在點(diǎn)y=2處的導(dǎo)數(shù)是()A、3B、1/3C、-1/3D、-3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第7套一、填空題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設(shè)y=[ln(1+x)]/(1+x)，則y’｜x=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)y=1/x3-2+0．2x5+e5，則y’__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-3/x4-1/+x4知識(shí)點(diǎn)解析：y’=-3/x4-2/2+0．2·54+0=-3/x4-1/+x4。3、設(shè)y=，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、已知y=ln(cos4x)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-4tan4x知識(shí)點(diǎn)解析：y’=(1/cos4x)·(cos4x)’=(-sin4x/cos4x)·4=-4tan4x。5、已知y=arccos(2x+3)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、已知y=e-x/2cos3x，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)知識(shí)點(diǎn)解析：y’=(e-x/2)’cos3x+e-x/2(cos3x)’=(-1/2)e-x/2cos3x-3e-x/2sin3x=(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)。7、已知f(x)=1/(1+x)滿足f(x0)=2，則f’(x0)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-4知識(shí)點(diǎn)解析：f(B5x0)=1/(1+x0)=2，所以x0=-1/2。又f’(x)=-1/(1+x)2，所以f’(x0)=f’(-1/2)=4。8、設(shè)f’(x)=g(x)，則(d/dx)[f(sin2x)]=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：g(sin2x)sin2x知識(shí)點(diǎn)解析：(d/dx)[f(sin2x)]=f’(sin2x)·(sin2x)’=2sinxcosx·f’(sin2x)=g(sin2x)sin2x。9、設(shè)f(x)=x2e1/x，而h(t)滿足條件h(0)=3，h’(t)=sin2(t+π/4)，則(d/dt)[h(t)]｜t=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(5/2)e1/3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(x)=2xe1/x-e1/x，所以(d/dt)f[h(t)]｜t=0={f’[h(t)]·h’(t)}｜t=0=f’[h(0)]·sin2(0+π/4)=f’(3)·(1/2)=(5/2)e1/3。10、設(shè)y=f(3x)，其中f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3f’(3x)知識(shí)點(diǎn)解析：y’=f’(3x)·(3x)’=3f’(3x)。11、已知(d/dx)[f(1/x2)]=1/x，則f’(1/2)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?d/dx)[f(1/x2)]=-f’(1/x2)(2/x3)=1/x，所以f’(1/x2)=(-x2/2)。令x2=2，則f’(1/2)=-1。12、設(shè)f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且y=ef(2sinx)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx知識(shí)點(diǎn)解析：y’=[ef(2sinx)]’=ef(2sinx)·[f(2sinx)]’·ef(2sinx)·f’(2sinx)·(2sinx)’=ef(2sinx)·f’(2sinx)·2cosx=2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx。13、若f(t)=(1+1/x)2tx，則f’(t)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(2t+1)e2t知識(shí)點(diǎn)解析：f(t)=t(1+1/x)2tx=t[(1+1/x)x]=te2t，f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t。14、設(shè)函數(shù)y=cos(3+2x)，則y?=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：8sin(3+2x)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥=cos(3+2x)，所以y’=-2sin(3+2x)，y”=-4cos(3+2x)，y?=8sin(3+2x)。15、已知y=，則y”=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：[-a2/(a2-x2)]3/2知識(shí)點(diǎn)解析：y’==[-a2/(a2-x2)]3/216、已知y=(1+x2)arccotx，則y”=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2arccotx-2x/(1+x2)知識(shí)點(diǎn)解析：y’=2xarccotx+(1+x2)[-1/(1+x2)]2xarccotx-1，y”=2arccotx-2x/(1+x2)。17、設(shè)y=cos2x·lnx，則y”=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-2cos2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2，y’=-2cosx·sinx·lnx·lnx+cos2x·(1/x)=-sin2x·lnx+cos2x·(1/x)知識(shí)點(diǎn)解析：y”=-2cos2x·lnx-sin2x·(1/x)-2cosx·sinx·(1/x)-2cosx·-cos2x·(1/x2)=-2sin2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2。18、已知y=x2ex，則y(10)｜x=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：90知識(shí)點(diǎn)解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2-1]，y”=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex(x2+4x+2)=ex[(x+2)2-2]，y?=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2-3]，y(10)=ex[(x+10)2-10]，所以y(10)｜x=0=90。19、設(shè)y=(x2+x+1)66，則y(168)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y=(x2+x+1)66中x的最高次項(xiàng)為x132，所以y(168)=0。20、設(shè)y=x3+sinx，則y(10)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-sinx知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?x3)’=3x2，(x3)”=6x，(x3)?=6，…，(x3)k=0(k≥4)，(sinx)(n)=sin(x+nπ/x)，所以y(10)=(x3+sinx)(10)=0+sin(x+5π)=-sinx。21、已知y(n-2)=f(3x)，其中f任意階可導(dǎo)，則y(n)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]知識(shí)點(diǎn)解析：y(n-1)=f’(3x)·(3x)’=3xln3·f’(3x)，y(n)=[3xln3·f’(3x)]’=3xln23f’(3x)+32xln23f”(3x)=3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]。22、設(shè)y=y(x)是由方程y2+2lny=x2所確定的函數(shù)，則dy/dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xy/[y2+1]知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2y(dy/dx)+(2/y)(dy/dx)=2x，整理得dy/dx=xy/(y2+1)。23、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程exy+y2=cosx確定，則dy/dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-(yexy+sinx)/(xexy+2y)知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得exy[y+x(dy/dx)]+2y(dy/dx)=-sinx，整理得dy/dx=-(yexy+sinx)/(xexy+2y)。廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第8套一、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、討論函數(shù)f(x)=max{x，x4}在(-∞，+∞)內(nèi)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：故f(x)在x=1處也不可導(dǎo)。故函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、求曲線y=3x2-4x+5在點(diǎn)(1，4)處的切線方程和法線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=3x2-4x+5得y’=6x-4。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在點(diǎn)(1，4)處的切線斜率為y’(1)=2。又切線過點(diǎn)(1，4)，所以切線方程為y=4=2(x-1)，即2x-y+2=0。又知法線的斜率為-1/y’(1)=-1/2，從而可得法線方程為y-4=-1/2(x-1)，即x+2y-9=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、求經(jīng)過點(diǎn)(0，4)，且與曲線y=2/x相切的直線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為(x0，2/x0)，因?yàn)?=-2/x02，所以曲線在點(diǎn)(x0，2/x0)處的切線方程為y-2/x0=-2/x02(x-x0)。把(0，4)代入上式，解得x0=1，故所求直線方程為y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、求曲線y=e-x上通過原點(diǎn)的切線方程及與直線x+y=2垂直的法線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=-e-x，曲線y=e-x上任一點(diǎn)(x0，)處的切線方程為y-=-(x-x0)。因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，則將x=0，y=0代入得x0=-1，則切點(diǎn)為(-1，e)，故過原點(diǎn)的切線方程為y=-ex。又曲線y=e-x上任一點(diǎn)(x0，)處的法線方程為y-=(x-x0)，因?yàn)樗蠓ň€與x+y=2垂直，故有·(-1)=-1，得x0=0，則y0=1，從而所求法線方程為y=x+1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、已知曲線y=ax4+bx3+x2+3在點(diǎn)(1，6)處與直線y=11x-5相切，求a，b。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線過點(diǎn)(1，6)，即點(diǎn)(1，6)滿足曲線方程，所以6=a+b+4，①又y’=4ax3+3bx2+2x，且曲線在點(diǎn)(1，6)處與y=11x-5相切，所以y’｜x=1=ta+3b+2=11②聯(lián)立①②解得a=3，b=-1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)y=x3+ln3x+ln5，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=3x2log3x+x3·1/xln3+0=3x2log3x+x2/ln3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)y=cos/(x2-1)，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=[(x2-1)·(cosx)’-cosx·(x2-1)’]/(x2-1)=[-(x2-1)sinx-2xcosx]/(x2-1)2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)y=arctanx+5sinx，求y’標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=(arctanx+5sinx)’=1/(1+x2)+5sinxln5·(sinx)’=1/(1+x2)+5sinxcosx·ln5。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)y=cos3(1-2x)，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=3cos2(1-2x)·[cos(1-2x)]’=3cos2(1-2x)[-sin(1-2x)]·(-2)=6sin(1-2x)cos2(1-2x)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、已知f(x)=(1/4)ln[(x2-1)/(x2+1)]，求f’(2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=(1/4)·[(x2+1)/(x2-1)]·[2x(x2+1)-(x2-1)2x]/(x2+1)2=x/[(x2-1)(x2+1)]=x/(x4-1)，f’(2)=2/15。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)函數(shù)f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2，求f’(π)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2可得f’(x)=[(1-sinx+xcosx)/(1-sinx)2]+x，則f’(π)=(1-sinπ+πcosπ)/(1-sinπ)2+π=1-π+π=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、已知y=arccos，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)=x2，g(x)=ln(1/x)，求f’[g’(x)]。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)=2x，g’(x)=[1/(1/x)]·(-1/x2)=-1/x，所以f’[g’(x)]=f’(-1/x)=-2/x。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(1/x)=x2+1/x+1，求f’(-1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令1/x=t，則x=1/t，f(t)=1/t2+t+1，f’(t)=-2/t3+1，f’(-1)=(-2)/(-1)3+1=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=(x985-1)g(x)，其中g(shù)(x)可導(dǎo)，且g(1)=1，求f’(1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)=(x985-1)g(x)可得f’(x)=985x984g(x)+(x985-1)g’(x)。又g(1)=1，且g’(1)存在，因此f’(1)=985g(1)+(1-1)g’(1)=985。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、已知y=，其中f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、已知y=f(2x)，f’(x)=arctanx2，計(jì)算(dy/dx)｜x=1/2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令y=f(u)，u=2x，則dy/dx=f’(u)·(du/dx)=arctanu2·2=2arctan(2x)2，所以(dy/dx)｜x=1/2=2arctan1=π/2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)y=+ex+(1-x)/(1+x)，求y″。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=+ex+(1-x)/(1+x)=x1/2+ex+2/(1+x)-1，y’=(1/2)x-1/2+ex-2/(1+x)2，y″=(-1/4)x-3/2+ex+4/(1+x)3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求函數(shù)y=ln(x+)的二階導(dǎo)數(shù)y”(1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求函數(shù)y=excosx的n階導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，求y(6)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，x的最高次項(xiàng)為2233x6，故y(6)=22336!=77760。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)n階可導(dǎo)，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計(jì)算f(n)(2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)f’(x)=ef(x)兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得f″(x)=ef(x)·f’(x)=e2f(x)，上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得f’’’(x)=e2f(x)·2f’(x)=2e3f(x)，上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得f(4)(x)=2e3f(x)·3f’(x)=3!e4f(x)。由以上求導(dǎo)規(guī)律可得fn(x)=(n-1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n-1)!en。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)y=y(x)是由方程y3=x+arccosy所確定的函數(shù)，求dy/dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得3y2(dy/dx)=1-(dy/dx)，整理可得dy/dx=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析廣東專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第9套一、證明題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、證明：若f(x)為可導(dǎo)的奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f’(x)為偶函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，則f(x)=-f(-x)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、已知g(x)=且f’(x)=1/[lna·f(x)]，其中a＞0且a≠1，證明：g’(x)=2g(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、選擇題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)3、在區(qū)間[-1，1]上，下列函數(shù)不滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的是()A、B、f(x)=ln(1+x2)C、f(x)=D、f(x)=1/(1+x2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=在[-1，0)上無意義，所以f(x)=在[-1，1]上不滿足羅爾中值定理的條件。4、下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的是()A、y=(1-x2)/(1+x2)，[-1，1]B、y=xe-x，[-1，1]C、y=1/(1+x)，[-1，1]D、y=lnx2，[-1，1]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：B選項(xiàng)中，y(-1)≠y(1)。C選項(xiàng)中，函數(shù)在x=-1處無定義。D選項(xiàng)中，函數(shù)在x=0處無定義。A選項(xiàng)中，函數(shù)在[-1，1]上連續(xù)，在(-1，1)內(nèi)可導(dǎo)，y(-1)=y(1)，符合羅爾中值定理的