【高考專項(xiàng)】2020年高考數(shù)學(xué)-數(shù)列-解答題專項(xiàng)練習(xí)40題(含答案詳解)

第第頁(yè)2020年高考數(shù)學(xué)數(shù)列解答題專項(xiàng)練習(xí)40題

1、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，,且成等差數(shù)列.

(1)求a1的值，并證明為等比數(shù)列;

(2)設(shè)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，{bn}是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.3、已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.4、已知數(shù)列{an}滿足，.（1）證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和5、已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列；求數(shù)列的前n項(xiàng)和。6、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若．(1)求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)已知，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為，證明：．7、已知等差數(shù)列{an}滿足，，數(shù)列{bn}滿足.（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.8、正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且．（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求{bn}的前n項(xiàng)和為.（3）在（2）的條件下，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.9、已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若，且a2，a6，a18成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求證：．10、等差數(shù)列{an}中，已知，且為遞增的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式（），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.11、已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且是Sn與2的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列中，，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)和；（2）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．12、已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為，求.13、記為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前Sn項(xiàng)和，已知.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（2）令，求的前n項(xiàng)和.14、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知3Sn=4－4，．（1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.15、已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意，它的前n項(xiàng)和Sn滿足，并且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求．16、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．17、已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：．18、已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且，，；求：（1）{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．19、已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)．20、等差數(shù)列{an}中，，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值．21、已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)(3)設(shè)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求{cn}的前1000項(xiàng)的和

22、Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知，.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和.23、已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2Sn+1，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*．（1）求an；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=，{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且對(duì)任意的正整數(shù)n都有Tn＜m，求m的最小值．24、已知數(shù)列{an}，a=1，=a-n2-n-

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明++…+＜（n∈N）.25、已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a（a>0），其前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)（）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列，求S2n；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn=n2．①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②若對(duì)且n≥2，不等式恒成立，求a的取值范圍．26、設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等的正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，我們稱滿足條件“對(duì)任意的m,n∈N*.均有”的數(shù)列{an}為“好”數(shù)列．（1）試分別判斷數(shù)列{an}，{bn}是否為“好”數(shù)列，其中，，n∈N*，并給出證明；（2）已知數(shù)列{cn}為“好”數(shù)列．

①若c2017=2018，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；②若c1=p，且對(duì)任意給定正整數(shù)p,s（s>1），有c1,c2,c3成等比數(shù)列，求證：t≥s2．27、已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，，前n項(xiàng)和為Sn，且，為正常數(shù)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，（）．求證：①；②．

28、已知數(shù)列{an}滿足…．（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明．

29、等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，，其前n項(xiàng)和為Sn；數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，，且．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．30、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，（）．（1）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}滿足：，．

①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②是否存在正整數(shù)n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．31、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（1）若數(shù)列{an+bn}是等差數(shù)列，求該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an+n+bn}的前項(xiàng)和.32、已知等比數(shù)列{an}中，.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.33、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，.數(shù)列為等比數(shù)列且.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記，其前n項(xiàng)和為，求證：.34、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足（1）求證：數(shù)列{an+2}為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；（3）若數(shù)列{bn}滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.35、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an},滿足且.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè),若的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn；(3)在（2）的條件下,求使成立的正整數(shù)n的最小值．36、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．37、已知數(shù)列{an}滿足，且．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn38、已知{an}是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為，求正整數(shù)k的值，使得對(duì)任意n≥2均有g(shù)（k）≥g（n）39、已知二次函數(shù)f(x)=3x2－2x.，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立最小正整數(shù)m；40、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.參考答案2、（1）解：根據(jù)題意知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，，即，可解得，所以.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，又，得，兩式作差，得所以.4、題：（Ⅰ）證明：由題則又故是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，故（2）由（1）知

5、解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，

當(dāng)n≥=2時(shí)，

此時(shí)n=1也滿足上式（2）

6、解：（1）因?yàn)?，所以兩式相減可得，即在中，令可得：所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（2）所以：所以是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以7、解：（1）依題意，，即，所以，則，故.因?yàn)?，所以①，?dāng)時(shí)，②，①②得，即.當(dāng)時(shí)，滿足上式.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，則，，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.8、(1)；(2)；（3）9、解：（1）S3=12，即3a1+3d=12，①a2，a6，a18成等比數(shù)列，可得a62=a2a18，即有（a1+5d）2=（a1+d）（a1+17d），②由①②解得a1=d=2，則an=2n：（2）證明：==2（﹣），則前n項(xiàng)和為Tn=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣），由{Tn}為遞增數(shù)列，可得Tn≥T1=1，Tn＜2，即有1≤Tn＜2．10、解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，即，解之得或（舍去），所以，即，為所求（2）當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，綜上，，（11、解：（1）由┅①得┅②；（）將兩式相減得：；；（）所以：當(dāng)時(shí)：；故：；又由：等差數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上．得：，且，所以：；（2）；利用錯(cuò)位相減法得：；12、解：(1)設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等?shù)列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.13、解：（1）=，，=或-4（舍去）故,，

．（2），故.14、解：（1）∵①當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，②由①-②得：∴∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列∴（2）∵∴15、解：(1)∵對(duì)任意，有，①∴當(dāng)時(shí)，有，解得或2．當(dāng)時(shí)，有．②①－②并整理得．而數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，舍去．∴．（2）．16、解：（1）解由已知，得．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．又，∴．∴．（2）證明．∴．∴．17、解：（1）解設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，，得，則．所以，即．（2）證明因?yàn)?，∴?8、解：（1）設(shè)的公比為，的公差為．由題意，由已知，有，消去，得．又因?yàn)?，解得，．所以的通?xiàng)公式為，，的通項(xiàng)公式為，．（2）由（1）有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減，得．所以，．19、解：（1）為等差數(shù)列，∵，又，∴，是方程的兩個(gè)根．又公差，∴，∴，．∴，∴，∴．（2）由（1）知，，∴，∴，，，∵是等差數(shù)列，∴，∴，∴(舍去)．20、解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（2）由（1）可得．∴．21、解：（1），

（2）（3）22、解：（1）當(dāng)時(shí)，有，即.因?yàn)?，所?從而，即.由，知.兩式相減，得.即，即，即.因?yàn)?，所以，?所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以.（2）由（1）知.數(shù)列的前項(xiàng)和為.23、解：（1）數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2Sn+1，n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+1，相減可得：an+1﹣an=2an，即an+1=3an，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為1．a(chǎn)n=3n﹣1．（2）數(shù)列{bn}滿足bn====，∴{bn}的前n項(xiàng)和為Tn=+…+==﹣．對(duì)任意的正整數(shù)n都有Tn＜m，∴﹣＜m．∴m≥，∴m的最小值為．24、解：（1）∵=a-n2-n-=a-（n2+3n+2）=a-（n+2）（n+1）∴2=na-n（n+2）（n+1）∴2=（n-1）a-n（n-1）（n+1）(n>1)兩式相減再除2，有a=n（a-a）-n（n+1）∴

∴∵=4

∴=1成立

∴=n

∴=n2（n∈N）（2）∵=n2（n∈N）∴原式=1+++…＜1++++…+=1++-…+-=-＜成立∴原式得證25、解：（1）由條件知，即，

所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，且公差均為3．

由，，所以，即，

所以，．

所以．（2）①由，得（），

由于符合上式，所以（），

所以．

所以，即，

所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，

因?yàn)椋裕ǎ诓坏仁郊礊椋?/p>

由于，所以不等式即為．

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，，

所以，

即對(duì)且恒成立，

所以，解得．

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，

由，得對(duì)且恒成立，

所以，解得，

因?yàn)?，所以a的取值范圍是．26、解：而，所以對(duì)任意的均成立，即數(shù)列是“好”數(shù)列；若，取，則，，此時(shí)，即數(shù)列不是“好”數(shù)列．（2）因?yàn)閿?shù)列為“好”數(shù)列，取，則，即恒成立．當(dāng)，有，兩式相減，得（），即（），所以（），所以，即，即（），當(dāng)時(shí)，有，即，所以對(duì)任意，恒成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列的公差為，①若，則，即，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為不等的正整數(shù)，所以，所以，，所以．②若，則，由成等比數(shù)列，得，所以，即化簡(jiǎn)得，，即．因?yàn)槭侨我饨o定正整數(shù)，要使，必須，不妨設(shè)，由于是任意給定正整數(shù)，所以．27、解：（1）由，得，兩式相減得，也即．又，所以．當(dāng)時(shí)，，則，所以（），所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以．（2）①由（1）知，所以，則，所以得證．②，因?yàn)?，所以，．由，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以得證．28、解：（1），，．（2）猜想：．證明：①當(dāng)，2，3時(shí)，由上知結(jié)論成立；②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則有．則時(shí)，．由得

，

．又，于是．所以，故時(shí)結(jié)論也成立．由①②得，．29、解：30、解：（1）由，得（），兩式相減，得，即（）．因?yàn)?，由，得，所以，所以?duì)任意都成立，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．（2）①由（1）知，，由，得，即，即，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．所以，所以．②設(shè)，則，所以，兩式相減，得，所以．由，得，即．顯然當(dāng)時(shí)，上式成立，設(shè)（），即．因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞減，所以只有唯一解，所以存在唯一正整數(shù)，使得成立．31、解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故；