高考數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)專(zhuān)題2.10直線(xiàn)和圓的方程全章十類(lèi)必考?jí)狠S題(原卷版+解析)

專(zhuān)題2.10直線(xiàn)和圓的方程全章十類(lèi)必考?jí)狠S題【人教A版（2019）】【考點(diǎn)1直線(xiàn)與線(xiàn)段的相交關(guān)系求斜率范圍】1．（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀┙?jīng)過(guò)點(diǎn)P0,?1作直線(xiàn)l，且直線(xiàn)l與連接點(diǎn)A1,?2，B2,1的線(xiàn)段總有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的傾斜角α的取值范圍是（

）A．[π4,C．[0,π2)∪[2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A(?2,3)，B(3,2)，若直線(xiàn)ax+y+2=0與線(xiàn)段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．?∞,?52∪43,+∞3．（2023春·天津武清·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)kx?y?k?1=0和以M?3,1,N3,2為端點(diǎn)的線(xiàn)段相交，則實(shí)數(shù)k4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知兩點(diǎn)A?2,?3,B3,0，過(guò)點(diǎn)P?1,2的直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB始終有公共點(diǎn)，求直線(xiàn)

5．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知A3,3(1)求直線(xiàn)AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求直線(xiàn)AD的斜率的變化范圍．【考點(diǎn)2兩直線(xiàn)平行、垂直的判定及應(yīng)用】1．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）如果直線(xiàn)l1：x+ty+1=0與直線(xiàn)l2：tx+16y?4=0平行，那么實(shí)數(shù)t的值為（

A．4 B．?4C．4或?4 D．1或?42．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:2mx?m+1y+5=0,l2:A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）過(guò)點(diǎn)P1,?3與直線(xiàn)x+3y+1=04．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知直線(xiàn)l1：m?1x+2y?m=0與直線(xiàn)l2(1)若l1與l2垂直，求實(shí)數(shù)(2)若l1與l2平行，求實(shí)數(shù)5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)l:3x+4y+5=0，求：(1)過(guò)點(diǎn)A1,1且與直線(xiàn)l(2)過(guò)點(diǎn)A1,1且與直線(xiàn)l【考點(diǎn)3三線(xiàn)能?chē)扇切蔚膯?wèn)題】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線(xiàn)l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．6個(gè)2．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線(xiàn)l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,A．a(chǎn)=1或a=?2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠1且a≠?2 D．a(chǎn)≠±1且a≠?23．（2023秋·浙江寧波·高二期末）若三條直線(xiàn)3x?y+1=0,x+y+3=0與kx?y+2=0能?chē)梢粋€(gè)直角三角形，則k=．4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線(xiàn)l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，

5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:3x+my?1=0，l2(1)若這三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若三條直線(xiàn)能構(gòu)成三角形，求m滿(mǎn)足的條件.【考點(diǎn)4與距離有關(guān)的最值問(wèn)題】1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知兩點(diǎn)A（?2，3），B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，則CA+CB的最小值為（A．26 B．52 C．25 D．132．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條直線(xiàn)l1:λ+2x+1?λy+2λ?5=0，l2A．3 B．4 C．5 D．63．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)Ma,b在直線(xiàn)3x+4y+10=0上，則a2+4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l：x+2y=2(1)求線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)求PA+5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P(2,?1)，求：（1）過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離為2的直線(xiàn)l的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)l的方程，最大距離是多少？（3）是否存在過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離為6的直線(xiàn)？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)5點(diǎn)、線(xiàn)間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系】1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A(?2,1)關(guān)于直線(xiàn)x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．(1,?2) B．(2,1)C．(2,?1) D．(?1,2)2．（2023秋·上海奉賢·高二?？计谀┨拼?shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀(guān)望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B?1,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)O0,0處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程是（A．2 B．3 C．4 D．53．（2023·高二單元測(cè)試）直線(xiàn)2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)A5,3的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程是4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,4，直線(xiàn)l的方程為3x+y?2=0，求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(2)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l′5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的兩點(diǎn)A5,?3，B(1)求線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；(2)一束光線(xiàn)從點(diǎn)A射向y軸，反射后的光線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，求反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程.【考點(diǎn)6圓的切線(xiàn)長(zhǎng)及切線(xiàn)方程的求解】1．（2023春·重慶永川·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)l：x+ay?1=0a∈R是圓C：x?2+y?2?4x?2y+1=0的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)A(?4，a)作圓CA．2 B．42 C．6 D．2．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)P1,1作圓E:x2A．x+y?2=0 B．2x?y?1=0C．x?2y+1=0 D．x?2y+1=0或2x?y?1=03．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓O：x2+y2=3，l為過(guò)M1,2的圓的切線(xiàn)，A為l上任一點(diǎn)，過(guò)A4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P(2＋1,2－2)，點(diǎn)M(3,1），圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.（1）求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程，并求出切線(xiàn)長(zhǎng)．5．（2023秋·吉林·高二校考期末）已知圓C的圓心在第一象限且在直線(xiàn)3x?y=0上，點(diǎn)A1，6、點(diǎn)B(1)求圓C的方程；(2)由直線(xiàn)x+y+4=0上一點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值.【考點(diǎn)7圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題】1．（2023·云南·統(tǒng)考二模）若直線(xiàn)3x?4y?13=0與圓x?22+y+32=36交于A、BA．237 B．12 C．235 2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)y=kx+2?3k與圓x2+y2+4y?57=0相交于不同兩點(diǎn)A，BA．10 B．12 C．14 D．163．（2023·天津·三模）已知直線(xiàn)ax+y?1=0平分圓C:(x?1)2+(y+2)2=4，則圓4．（2023春·河南安陽(yáng)·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C過(guò)A1,0,B0,1兩點(diǎn)且圓心C(1)求圓C的方程；(2)已知直線(xiàn)l:y=kx?1被圓C截得的弦長(zhǎng)為4305，求實(shí)數(shù)5．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓x2+y2=9，AB(1)當(dāng)α=120°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(2)若弦AB被點(diǎn)P平分，求直線(xiàn)AB的方程．【考點(diǎn)8直線(xiàn)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)l:mx?y+m+1=0(m≠0)與圓C:x2+y2?4x+2y+4=0，過(guò)直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A,B，若線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值為3A．?125 B．125 C．72．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)l:x+y?3=0上的兩點(diǎn)A,B，且AB=1，點(diǎn)P為圓D:x2+yA．2+1 B．22+2 C．23．（2023·寧夏石嘴山·校考模擬預(yù)測(cè)）直線(xiàn)l:mx?y+2?3m=0m∈R與圓C:x2+y24．（2023春·福建福州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)A(0,5)，圓C：x2（1）若直線(xiàn)l過(guò)A(0,5)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為43，求直線(xiàn)l（2）點(diǎn)M(?1,0)，N(0,1)，點(diǎn)Q是圓C上的任一點(diǎn)，求Q點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離的最小值．5．（2023秋·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A(1,2)，圓C：x2(1)若過(guò)點(diǎn).A可以作兩條圓的切線(xiàn)，求m的取值范圍；(2)當(dāng)m=?2時(shí)，過(guò)直線(xiàn)2x?y+3=0上一點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)PM?PN，求四邊形PMCN面積的最小值.【考點(diǎn)9兩圓的公切線(xiàn)問(wèn)題】1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列方程中，圓C1:x2?2x+A．x+3y+3=0 C．3x+y+3=0 D．2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)l與圓C1:x+12+y2=1，圓C2A．1 B．2 C．3 D．23．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二校考期末）已知圓C1:x2+y2?4x?2y+3=0與圓4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）求圓C1:x5．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓O1:x2+y2=r12(1)求r1(2)若直線(xiàn)l與圓O1?圓O2分別切于P,Q兩點(diǎn)，求【考點(diǎn)10兩圓的公共弦問(wèn)題】1．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知兩圓x2+y2=10和x?12+y?32A．25 B．410 C．10 2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C1:x2+y2?kx+2y=0與圓A．1,?1 B．?1,?1 C．?1,1 D．1,13．（2023春·全國(guó)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C1：(x+1)2+y2=r4．（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）已知兩圓C1:x(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)當(dāng)m=2時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線(xiàn)l的方程和公共弦的長(zhǎng)．5．（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1：x2+y2(1)求公共弦AB所在直線(xiàn)的方程.(2)求△ABC2專(zhuān)題2.10直線(xiàn)和圓的方程全章十類(lèi)必考?jí)狠S題【人教A版（2019）】【考點(diǎn)1直線(xiàn)與線(xiàn)段的相交關(guān)系求斜率范圍】1．（2023秋·江蘇連云港·高二校考期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,?1作直線(xiàn)l，且直線(xiàn)l與連接點(diǎn)A1,?2，B2,1的線(xiàn)段總有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的傾斜角αA．[π4,C．[0,π2)∪[【解題思路】畫(huà)出坐標(biāo)系，連接PA，PB，AB，結(jié)合斜率變化可知，kPA【解答過(guò)程】由題知，直線(xiàn)l的傾斜角為α，則α∈0,∵kPA=且直線(xiàn)l與連接點(diǎn)A1,?2，B如下圖所示，則kPA≤tan∴α∈[0,π故選：B.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A(?2,3)，B(3,2)，若直線(xiàn)ax+y+2=0與線(xiàn)段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．?∞,?52∪43,+∞【解題思路】求出直線(xiàn)ax+y+2=0經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，作出圖象，利用圖象求得斜率滿(mǎn)足的條件，由此解出答案．【解答過(guò)程】∵直線(xiàn)ax+y+2=0過(guò)定點(diǎn)C(0,?2)，且kAC=?5由圖可知直線(xiàn)與線(xiàn)段AB有交點(diǎn)時(shí)，斜率?a滿(mǎn)足43≤?a或解得a∈?故選：D.3．（2023春·天津武清·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)kx?y?k?1=0和以M?3,1,N3,2為端點(diǎn)的線(xiàn)段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為【解題思路】求出kx?y?k?1=0所過(guò)定點(diǎn)A1,?1，然后畫(huà)出圖形，求出kAN,【解答過(guò)程】kx?y?k?1=0變形為y+1=kx?1，恒過(guò)點(diǎn)A畫(huà)圖如下：則kAN=2+1則要想直線(xiàn)kx?y?k?1=0和以M?3,1則k≥kAN或即k≥32或故答案為：?∞4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知兩點(diǎn)A?2,?3,B3,0，過(guò)點(diǎn)P?1,2的直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB始終有公共點(diǎn)，求直線(xiàn)

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合圖形求出直線(xiàn)AP的斜率kAP，直線(xiàn)BP的斜率kBP，即得直線(xiàn)【解答過(guò)程】根據(jù)圖形，∵直線(xiàn)AP的斜率是kAP直線(xiàn)BP的斜率是kBP∴過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是?∞,?5．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知A3,3(1)求直線(xiàn)AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求直線(xiàn)AD的斜率的變化范圍．【解題思路】（1）根據(jù)斜率公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)傾斜角和斜率之間的關(guān)系分析求解.【解答過(guò)程】（1）由斜率公式可得直線(xiàn)AB的斜率kAB直線(xiàn)AC的斜率kAC故直線(xiàn)AB的斜率為17，直線(xiàn)AC的斜率為5（2）如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線(xiàn)AD的傾斜角增大且為銳角，直線(xiàn)AD的斜率由kAB增大到k所以直線(xiàn)AD的斜率的變化范圍是17【考點(diǎn)2兩直線(xiàn)平行、垂直的判定及應(yīng)用】1．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）如果直線(xiàn)l1：x+ty+1=0與直線(xiàn)l2：tx+16y?4=0平行，那么實(shí)數(shù)t的值為（A．4 B．?4C．4或?4 D．1或?4【解題思路】根據(jù)兩直線(xiàn)平行的充要條件得到方程（不等式）組，解得即可.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€(xiàn)l1：x+ty+1=0與直線(xiàn)l2：所以1×16=t21×故選：A.2．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:2mx?m+1y+5=0,l2:A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用必要不充分條件判斷.【解答過(guò)程】由l1⊥l即m2?3m?4=0，解得m=4或所以充分性不成立，當(dāng)m=4時(shí)，l1所以l1所以“l(fā)1⊥l故選：B.3．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）過(guò)點(diǎn)P1,?3與直線(xiàn)x+3y+1=0垂直的直線(xiàn)方程為【解題思路】設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x?y+c=0，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入所求直線(xiàn)方程，求出c【解答過(guò)程】設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x?y+c=0，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入所求直線(xiàn)方程可得3解得c=?3?3故所求直線(xiàn)方程為3x?y?3?故答案為：3x?y?3?4．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知直線(xiàn)l1：m?1x+2y?m=0與直線(xiàn)l2(1)若l1與l2垂直，求實(shí)數(shù)(2)若l1與l2平行，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）利用直線(xiàn)垂直的充要條件計(jì)算即可；（2）利用直線(xiàn)平行的充要條件計(jì)算即可.【解答過(guò)程】（1）由兩直線(xiàn)垂直的充要條件可知：m?1×1+2m=0?m=（2）由兩直線(xiàn)平行的充要條件可知：m?1×m=2且m?1解方程得m=?1或m=2.5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)l:3x+4y+5=0，求：(1)過(guò)點(diǎn)A1,1且與直線(xiàn)l(2)過(guò)點(diǎn)A1,1且與直線(xiàn)l【解題思路】（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行得到斜率，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；（2）根據(jù)兩直線(xiàn)垂直得到斜率，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)l:3x+4y+5=0的斜率為?3所以與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)的斜率為?3又所求直線(xiàn)過(guò)A1,1所以所求直線(xiàn)方程為y?1=?34x?1（2）因?yàn)橹本€(xiàn)l:3x+4y+5=0的斜率為?3所以與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)的斜率為43又所求直線(xiàn)過(guò)A1,1所以所求直線(xiàn)方程為y?1=43x?1【考點(diǎn)3三線(xiàn)能?chē)扇切蔚膯?wèn)題】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線(xiàn)l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．6個(gè)【解題思路】分析可知至少有兩條直線(xiàn)平行或三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn)，則三條直線(xiàn)不能構(gòu)成三角形.【解答過(guò)程】∵三條直線(xiàn)不能構(gòu)成三角形∴至少有兩條直線(xiàn)平行或三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn).若l1∥l2，則m=4；若l1∥l3，則若l2∥l3，則?m若三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn)，直線(xiàn)l1和l2聯(lián)立：4x+y=3mx+y=0∴x=34?my=3mm?4直線(xiàn)l1和l3聯(lián)立：4x+y=3x?my=2∴x=3m+21+4my=?51+4m∵三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn)∴P、Q兩點(diǎn)重合∴34?m=3m+21+4m故實(shí)數(shù)m的取值最多有4個(gè).故選:C.2．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線(xiàn)l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,A．a(chǎn)=1或a=?2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠1且a≠?2 D．a(chǎn)≠±1且a≠?2【解題思路】先排除平行與重合情況a≠±1，再排除交于一點(diǎn)的情況a=?2，最后給出答案.【解答過(guò)程】為使三條直線(xiàn)能構(gòu)成三角形，需三條直線(xiàn)兩兩相交且不共點(diǎn).①若l1//l2，則由②若l2//l3，則由③若l1//l3，則由當(dāng)a=1時(shí)，l1,l2與l3④若三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，由x+ay+1=0,x+y+a=0,解得將l2,l3的交點(diǎn)解得a=1（舍去）或a=?2.所以要使三條直線(xiàn)能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠?2.故選：D.3．（2023秋·浙江寧波·高二期末）若三條直線(xiàn)3x?y+1=0,x+y+3=0與kx?y+2=0能?chē)梢粋€(gè)直角三角形，則k=?13或1【解題思路】由三條直線(xiàn)兩兩垂直，即兩直線(xiàn)的斜率之積為?1，求解即可.【解答過(guò)程】顯然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交點(diǎn)，若3x?y+1=0與kx?y+2=0垂直，則3k=?1?k=?1若x+y+3=0與kx?y+2=0垂直，則?k=?1?k=1．所以k=?1故答案為：?134．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線(xiàn)l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，

【解題思路】由題意可分直線(xiàn)l1//l2、l2//l【解答過(guò)程】為使三條直線(xiàn)能構(gòu)成三角形，需三條直線(xiàn)兩兩相交且不共點(diǎn)．①若l1//l2，則由②若l2//l3，則由③若l1//l3，則由當(dāng)a=1時(shí)，l1,l2與l3④若三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，由x+ay+1=0x+y+a=0，解得x=?a?1將l2,l3的交點(diǎn)解得a=1(舍去)，或a=?2，所以要使三條直線(xiàn)能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠?2．5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:3x+my?1=0，l2(1)若這三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若三條直線(xiàn)能構(gòu)成三角形，求m滿(mǎn)足的條件.【解題思路】(1)聯(lián)立l2和l3的方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，將此交點(diǎn)坐標(biāo)代入l1(2)由題意得到三條直線(xiàn)不能構(gòu)成三角形的情況，求出每一種情況下的m值，則答案可求．【解答過(guò)程】（1）由3x?2y?5=06x+y?5=0解得x=1y=?1，代入l1（2）當(dāng)三條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)或其中兩直線(xiàn)平行時(shí)三條直線(xiàn)不能構(gòu)成三角形．①聯(lián)立3x?2y?5=06x+y?5=0，解得x=1y=?1，代入3x+my?1=0，得②當(dāng)l1:3x+my?1=0與l2當(dāng)l1:3x+my?1=0與l3綜上所述，當(dāng)m≠±2且m≠1【考點(diǎn)4與距離有關(guān)的最值問(wèn)題】1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知兩點(diǎn)A（?2，3），B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，則CA+CB的最小值為（A．26 B．52 C．25 D．13【解題思路】點(diǎn)B3,2關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′3,?2，則CA【解答過(guò)程】點(diǎn)B3,2關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′3,?2所以CA+CA+CB的最小值為故選：B.2．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條直線(xiàn)l1:λ+2x+1?λy+2λ?5=0，l2A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】求出l1,l2恒過(guò)的定點(diǎn)A,B，故l1，l【解答過(guò)程】l1:λx?y+2解得x=1y=3，故l1過(guò)定點(diǎn)l2:kx?2y+1解得x=3y=2，故l2過(guò)定點(diǎn)故l1，l2距離的最大值為此時(shí)，?λ+21?λ=?1k解得k=1，故λ+k=5．故選：C．3．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)Ma,b在直線(xiàn)3x+4y+10=0上，則a2+b2【解題思路】根據(jù)題意可知a2+b2表示動(dòng)點(diǎn)【解答過(guò)程】因?yàn)閍2+b2表示動(dòng)點(diǎn)所以a2+b2的最小值為O0,0故答案為：2.4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l：x+2y=2(1)求線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)求PA+【解題思路】(1)先由點(diǎn)斜式求線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)方程，聯(lián)立方程組求其與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再求A【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳?2,0，B0,?1，所以直線(xiàn)AB的方程為y=?12x?1則線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)方程為y+12=2聯(lián)立y=2x+32x+2y=2所以線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)為?1（2）設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l：x+2y=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為則AA′的中點(diǎn)坐標(biāo)為x?22x?22+y=2①，又直線(xiàn)AA聯(lián)立①②解得：A′?2所以PA+PB的最小值為

5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P(2,?1)，求：（1）過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離為2的直線(xiàn)l的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)l的方程，最大距離是多少？（3）是否存在過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)距離為6的直線(xiàn)？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）設(shè)直線(xiàn)l:a(x?2)+b(y+1)=0，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得參數(shù)的值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線(xiàn)是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線(xiàn)，求出斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出距離即可；（3）只需比較“過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)l中最大距離”與6的大小，即可判斷是否存在.【解答過(guò)程】（1）設(shè)直線(xiàn)l:a(x?2)+b(y+1)=0，則|?2a+b|a2+b2=2．化簡(jiǎn)，得b=0或b=?4（2）過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線(xiàn)是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線(xiàn)，由l⊥OP，得kl?k由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得y+1=2x?2，即2x?y?5=0即直線(xiàn)2x?y?5=0是過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線(xiàn)，最大距離為|?5|5（3）由（2）知，過(guò)點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)距離超過(guò)5的直線(xiàn)，所以不存在過(guò)點(diǎn)P且到原點(diǎn)距離為6的直線(xiàn).【考點(diǎn)5點(diǎn)、線(xiàn)間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系】1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A(?2,1)關(guān)于直線(xiàn)x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．(1,?2) B．(2,1)C．(2,?1) D．(?1,2)【解題思路】根據(jù)題意設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為a,b，從而可得b?1a+2【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)A(?2,1)關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為a,b，則b?1a+2=1a?22+故選：D.2．（2023秋·上海奉賢·高二?？计谀┨拼?shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀(guān)望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B?1,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)O0,0處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程是（A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】利用點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．【解答過(guò)程】如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)x+y=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ax0,y0由題知，點(diǎn)Axx02+y02=3因?yàn)镺C+所以“將軍飲馬”的最短總路程為AB=故選：D.3．（2023·高二單元測(cè)試）直線(xiàn)2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)A5,3的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程是2x?y?17=0【解題思路】由直線(xiàn)2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)A5,3對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，設(shè)出所求直線(xiàn)方程，再根據(jù)點(diǎn)A【解答過(guò)程】設(shè)對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為l′則有2×5?3+C0解這個(gè)方程得C0=3（舍）或所以對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l′的方程中2x?y?17=0故答案為：2x?y?17=0.4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,4，直線(xiàn)l的方程為3x+y?2=0，求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(2)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l′【解題思路】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法分析運(yùn)算即可.【解答過(guò)程】（1）設(shè)A′m,n，由題意可得n?4m+4所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為2,6（2）在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)Px,y，設(shè)Px,y關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為則x0+x2由于P′?8?x,8?y在直線(xiàn)3x+y?2=0上，則3?8?x故直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l′的方程為3x+y+18=05．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的兩點(diǎn)A5,?3，B(1)求線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；(2)一束光線(xiàn)從點(diǎn)A射向y軸，反射后的光線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，求反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程.【解題思路】（1）求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及AB中垂線(xiàn)的斜率，進(jìn)而求出方程；（2）求出A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程．【解答過(guò)程】（1）∵A5,?3，∴中點(diǎn)為3,?1.且kAB∴線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)的斜率為1，∴由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式可得線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為y??1=x?3即（2）∵A5,?3關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A∴k所以直線(xiàn)A′B的方程為：即反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為2x?3y+1=0.【考點(diǎn)6圓的切線(xiàn)長(zhǎng)及切線(xiàn)方程的求解】1．（2023春·重慶永川·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)l：x+ay?1=0a∈R是圓C：x?2+y?2?4x?2y+1=0的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)A(?4，a)作圓CA．2 B．42 C．6 D．【解題思路】先計(jì)算得圓心2，1，r=2，再利用【解答過(guò)程】圓C：x?2+y則圓心2，1，由題知直線(xiàn)x+ay?1=0過(guò)圓心2，則2+a?1=0，a=?1，則A?4,?1AB=故選：C．2．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)P1,1作圓E:x2A．x+y?2=0 B．2x?y?1=0C．x?2y+1=0 D．x?2y+1=0或2x?y?1=0【解題思路】由題意可得點(diǎn)P在圓E上，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)求切線(xiàn)斜率，進(jìn)而求切線(xiàn)方程.【解答過(guò)程】由題意可知：圓E:x2+y2∵12∴點(diǎn)P在圓E上，又∵kPE=?1?1∴切線(xiàn)方程為y?1=12x?1故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓O：x2+y2=3，l為過(guò)M1,2的圓的切線(xiàn)，A為l上任一點(diǎn)，過(guò)A作圓N【解題思路】先求得l的方程，再根據(jù)圓心到切線(xiàn)的距離，半徑和切線(xiàn)長(zhǎng)的勾股定理求最小值即可【解答過(guò)程】由題，直線(xiàn)OM的斜率為2，故直線(xiàn)l的斜率為?22，故l的方程為y?2=?22x?1，即x+2y?3=0故答案為：3934．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P(2＋1,2－2)，點(diǎn)M(3,1），圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.（1）求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程，并求出切線(xiàn)長(zhǎng)．【解題思路】（1）確定點(diǎn)P在圓上，P為切點(diǎn)，由切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直求出切線(xiàn)斜率，得切線(xiàn)方程；（2）確定點(diǎn)M在圓外，先考慮斜率不存在的直線(xiàn)是切線(xiàn)，在斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，寫(xiě)出切線(xiàn)方程，由圓心到切線(xiàn)距離等于半徑求得k值，得切線(xiàn)方程．切線(xiàn)長(zhǎng)用勾股定理求解．【解答過(guò)程】由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.（1）∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝2?2∴切線(xiàn)的斜率k＝－1k∴過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.（2）∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線(xiàn)x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時(shí)滿(mǎn)足題意，所以直線(xiàn)x＝3是圓的切線(xiàn)．當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線(xiàn)的距離d＝k?2+1?3kk2+1＝r＝2，解得k∴切線(xiàn)方程為y－1＝34(x－3），即3x－4y綜上可得，過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝(3?1)2∴過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)長(zhǎng)為MC25．（2023秋·吉林·高二?？计谀┮阎獔AC的圓心在第一象限且在直線(xiàn)3x?y=0上，點(diǎn)A1，6、點(diǎn)B(1)求圓C的方程；(2)由直線(xiàn)x+y+4=0上一點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值.【解題思路】（1）由題可得AB的垂直平分線(xiàn)方程，進(jìn)而可得圓心坐標(biāo)，即得；（2）先求得SPACB=PA?r=PC【解答過(guò)程】（1）由A1，6，B1，又點(diǎn)A1，6、點(diǎn)B1，0均在圓由y=33x?y=0，可得x=1,y=3，即圓心C又AC=3所以圓C的方程為x?12（2）由（1）得，圓C的圓心為C1,3，半徑r所以四邊形PACB的面積為SPACB所以當(dāng)PC最小時(shí)，SPACB又C1,3到直線(xiàn)x+y+4=0的距離為1+3+4即PC的最小值為42所以四邊形PACB面積的最小值為42【考點(diǎn)7圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題】1．（2023·云南·統(tǒng)考二模）若直線(xiàn)3x?4y?13=0與圓x?22+y+32=36交于A、BA．237 B．12 C．235 【解題思路】由圓的方程可得圓心為2,?3，半徑r=6，可求得圓心到直線(xiàn)的距離，再由圓的弦長(zhǎng)公式即可得AB=2【解答過(guò)程】由圓的方程為x?22+y+32=36則圓心到直線(xiàn)3x?4y?13=0的距離d=6+12?13根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式可得AB=2故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)y=kx+2?3k與圓x2+y2+4y?57=0相交于不同兩點(diǎn)A，BA．10 B．12 C．14 D．16【解題思路】先求出直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)M(3,2)，且M在圓內(nèi)，然后求出圓心C和半徑，根據(jù)圓的性質(zhì)得，弦AB過(guò)M且AB⊥CM時(shí)弦長(zhǎng)最短，從而可以求解．【解答過(guò)程】由直線(xiàn)y=kx+2?3k=k(x?3)+2，令x=3，解得y=2，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)M(3,2)，又32+2由x2+y2+4y?57=0?所以CM=根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)弦AB過(guò)M且AB⊥CM時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)AB=2故選：B.3．（2023·天津·三模）已知直線(xiàn)ax+y?1=0平分圓C:(x?1)2+(y+2)2=4，則圓C中以點(diǎn)【解題思路】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，由題意可知該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，求出a，利用幾何法求弦長(zhǎng)即可求解.【解答過(guò)程】由(x?1)2+(y+2)因?yàn)橹本€(xiàn)ax+y?1=0平分圓C，所以該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心C，得a?2?1=0，解得a=3.則(a當(dāng)圓心C與該點(diǎn)(1,?1)的連線(xiàn)與弦垂直時(shí)，滿(mǎn)足題意，所以圓C以點(diǎn)(1,?1)為中點(diǎn)的弦弦長(zhǎng)為22故答案為：234．（2023春·河南安陽(yáng)·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C過(guò)A1,0,B0,1兩點(diǎn)且圓心C(1)求圓C的方程；(2)已知直線(xiàn)l:y=kx?1被圓C截得的弦長(zhǎng)為4305，求實(shí)數(shù)【解題思路】(1)先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，帶入點(diǎn)A1,0(2)先求點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求距離，再根據(jù)垂徑定理列式求k即可.【解答過(guò)程】（1）設(shè)Ca,4?a，半徑為r所以圓C的方程為x?a2所以0?a解得a=2所以圓C的方程為x?22（2）圓心C2,2到直線(xiàn)l:y=kx?1的距離由垂徑定理得2k?3k解得k=2或k=225．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓x2+y2=9，AB(1)當(dāng)α=120°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(2)若弦AB被點(diǎn)P平分，求直線(xiàn)AB的方程．【解題思路】（1）本小題先根據(jù)傾斜角求直線(xiàn)斜率，再求直線(xiàn)方程，求圓心到直線(xiàn)AB的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求弦AB的長(zhǎng)；；（2）本小題借圓的弦的幾何意義先求直線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)α=120°時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為因?yàn)橹本€(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)P(2,3所以直線(xiàn)AB的方程為：y?3=?3圓x2+y2=9圓心O0,0到直線(xiàn)3x+y?33所以AB=2所以弦AB的長(zhǎng)為3；（2）因?yàn)镻(2,3)，所以kOP因?yàn)橄褹B被點(diǎn)P平分，所以kAB所以kAB所以直線(xiàn)AB的方程：y?3所以直線(xiàn)AB的方程：2x+3【考點(diǎn)8直線(xiàn)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)l:mx?y+m+1=0(m≠0)與圓C:x2+y2?4x+2y+4=0，過(guò)直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A,B，若線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值為3A．?125 B．125 C．7【解題思路】設(shè)∠ACP=θ0<θ<π2，則|AB|=2sinθ，可得|PC【解答過(guò)程】圓C:(x?2)2+(y+1)則AB=2sinθ≥3，則則PC=1cosθ≥2，所以圓心C∴2m+1+m+1m2+1=2，得5故選：A．2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)l:x+y?3=0上的兩點(diǎn)A,B，且AB=1，點(diǎn)P為圓D:x2+yA．2+1 B．22+2 C．2【解題思路】找到圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值作為△PAB的高，再由面積公式求解即可.【解答過(guò)程】把圓D:x2+則圓心D?1,0，半徑r=2圓心D到直線(xiàn)l:x+y?3=0的距離d=1+3則圓D上的點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離的最大值為d+r=22+2，又∴△PAB的面積的最大值為12故選：A．3．（2023·寧夏石嘴山·?？寄M預(yù)測(cè)）直線(xiàn)l:mx?y+2?3m=0m∈R與圓C:x2+y2?2y?15=0交于兩點(diǎn)【解題思路】先把圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得出圓心坐標(biāo)和半徑，再通過(guò)直線(xiàn)方程得出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，從而根據(jù)圓的有關(guān)知識(shí)知：當(dāng)定點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，從而求出弦長(zhǎng)的最小值.【解答過(guò)程】圓C:x2+圓心C0,1，半徑r=4直線(xiàn)l:mx?y+2?3m=0?mx?3?y+2=0過(guò)定點(diǎn)M3,2∴PQ最短時(shí)，點(diǎn)M3,2為弦PQ的中點(diǎn)，即CM⊥PQ所以PQ=2故答案為：264．（2023春·福建福州·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)A(0,5)，圓C：x2（1）若直線(xiàn)l過(guò)A(0,5)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為43，求直線(xiàn)l（2）點(diǎn)M(?1,0)，N(0,1)，點(diǎn)Q是圓C上的任一點(diǎn)，求Q點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離的最小值．【解題思路】（1）求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑，直線(xiàn)斜率不存在時(shí)直線(xiàn)方程為：x=0，利用勾股定理驗(yàn)證是否符合題意；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程并利用弦長(zhǎng)及勾股定理求出斜率即可得解；（2）求出直線(xiàn)MN的方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離d，圓上點(diǎn)距直線(xiàn)的距離的最大值為d+r，最小值為d?r.【解答過(guò)程】（1）圓C：x2+y其圓心坐標(biāo)為?2，6，半徑為r=4，點(diǎn)A0，5①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為：x=0，此時(shí)圓心?2，6到y(tǒng)軸的距離d=2，由勾股定理可得，弦長(zhǎng)為43②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)A的直線(xiàn)方程為：y=kx+5，化為一般方程：kx?y+5=0，圓心到直線(xiàn)的距離d=?2k?6+5又(23)2+d所以3x?4y+20=0，綜上可得直線(xiàn)l：x=0或3x?4y+20=0；（2）直線(xiàn)MN的方程為?x+y=1，即x?y+1=0．圓C：x2+y2+4x?12y+24=0可得圓心?2，6到直線(xiàn)MN的距離為d=?2?6+1圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為725．（2023秋·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A(1,2)，圓C：x2(1)若過(guò)點(diǎn).A可以作兩條圓的切線(xiàn)，求m的取值范圍；(2)當(dāng)m=?2時(shí)，過(guò)直線(xiàn)2x?y+3=0上一點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)PM?PN，求四邊形PMCN面積的最小值.【解題思路】（1）利用點(diǎn)在圓外代入得到不等式，結(jié)合曲線(xiàn)方程表示圓即可解答；（2）首先得到S四邊形PMCN=【解答過(guò)程】（1）由題意得A1,2在圓外，則1+4+2m+6>0，即又4m2+4?8>0，即所以?112<m<?1（2）m=?2時(shí)，圓方程為(x?2)2+(y+1)2=3S直線(xiàn)方程為2x?y+3=0，設(shè)圓心2,?1到直線(xiàn)2x?y+3=0的距離為d，|PC|∴【考點(diǎn)9兩圓的公切線(xiàn)問(wèn)題】1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列方程中，圓C1:x2?2x+A．x+3y+3=0 C．3x+y+3=0 D．【解題思路】設(shè)公切線(xiàn)l與圓C1，圓C2分別相切于第一象限的A，B兩點(diǎn)，由幾何關(guān)系求出P3,0【解答過(guò)程】根據(jù)題意可知C1:x?1如圖，設(shè)公切線(xiàn)l與圓C1，圓C2分別相切于第一象限的A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)由幾何關(guān)系可知C1A=1，OB=3所以O(shè)P=3，P3,0，sin∠OPB=12，∠OPB=則l的方程為y=?33x?3根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得出另一條公切線(xiàn)方程為x?3故選：B．2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)l與圓C1:x+12+y2=1，圓C2A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】設(shè)直線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)M，推導(dǎo)出C1為MC2的中點(diǎn)，A為BM【解答過(guò)程】如下圖所示，設(shè)直線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)M，由于直線(xiàn)l與圓C1:x+12+y2則AC1⊥l，B∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股