河南省九師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C.28 D.844.已知雙曲線(xiàn)：（，），若圓：與的漸近線(xiàn)相切，則的離心率為（）A. B.2 C. D.35.已知，，若：與的夾角是鈍角，：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在銳角中，記角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，且，則的面積為（）A. B. C. D.7.已知圓錐的高與底面半徑之和為3，則當(dāng)該圓錐的體積取得最大值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，，則（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，，則（）A.與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)中心B.與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C.與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D.的解集為（）11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.若，則B.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.若直線(xiàn)與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的一部分D.若直線(xiàn)與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知樣本數(shù)據(jù)：11，12，14，，18（）的標(biāo)準(zhǔn)差為，則______.13.，，，共4位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校組織的暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，這次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)共有：交通安全宣傳，防火知識(shí)宣傳，防水安全教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國(guó)情宣傳教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國(guó)情宣傳教育，年項(xiàng)目，每人報(bào)目?jī)H報(bào)其中一個(gè)項(xiàng)目.記事件為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目互不相同”，事件為“僅有報(bào)了防火知識(shí)宣傳”，則______.14.如圖，已知拋物線(xiàn)：，點(diǎn)是的準(zhǔn)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，在點(diǎn)作的切線(xiàn)與，分別交于點(diǎn)，，，的面積分別記為，，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿(mǎn)分13分）某公司在員工招聘面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了4道面試題，面試者按順序提問(wèn)，若每位被面試者答對(duì)兩道題則通過(guò)面試，面試結(jié)束；若每位被面試者前三道題均答錯(cuò)，則不通過(guò)面試，面試結(jié)束。已知李明答對(duì)每道題的概率均為，且每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立.（1）求李明沒(méi)通過(guò)面試的概率；（2）記李明所答題目的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.（本小題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù)（）在處取得極值.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求整數(shù)的最小值.參考數(shù)據(jù)：，.17.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，四棱錐中，底面四邊形為凸四邊形，且，，.（1）證明：；（2）已知平面與平面夾角的余弦值為，求四棱錐的體積.18.（本小題滿(mǎn)分17分）已知橢圓：，點(diǎn)（）與上的點(diǎn)之間的距離的最大值為6.（1）求點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最小值；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.①證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；②已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.19.（本小題滿(mǎn)分17分）若數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系由函數(shù)確定，則稱(chēng)為的遞歸函數(shù).設(shè)的遞歸函數(shù)為.（1）若，（），證明：為遞減數(shù)列；（2）若，且，的前項(xiàng)和記為.①求；②我們稱(chēng)為取整函數(shù)，亦稱(chēng)高斯函數(shù)，它表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，.若，求.高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.C由，得，所以，其虛部為.故選C.2.B因?yàn)?，又，故，易?yàn)證0，1，2均是的解，所以，所以.故選B.3.D，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選D.4.B法1：設(shè)漸近線(xiàn)與的一個(gè)切點(diǎn)為，連接，則（如圖所示），不妨設(shè)第一象限的漸近線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以，所以的斜率為，所以，設(shè)的半焦距為，則的離心率.故選B.法2：由題意知的漸近線(xiàn)方程為，的圓心為，半徑為2，則，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，設(shè)的半焦距為，則離心率.故選B.5.A與的夾角是鈍角且與不能方向相反.由，得，所以.若與共線(xiàn)，有，所以，此時(shí)與方向相反，所以與的夾角是鈍角的充要條件為且.故是的充分不必要條件.故選A.6.D因?yàn)?，所以，所以，又為銳角三角形，所以，所以，所以，又，所以為等邊三角形，所以的面積為.故選D.7.A設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為（），則圓錐的體積為，所以，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)圓錐的高為1，母線(xiàn)，故圓錐的側(cè)面積.故選A.8.C關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即與的圖象有2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)，直線(xiàn)與的圖象交于點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，故直線(xiàn)與（）的圖象無(wú)公共點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)（）相切時(shí)，此時(shí)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)，則，又過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，若，則，由，得，所以當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與的圖象相切，由圖得當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C.9.BC因?yàn)椋?，所以，，的符?hào)不確定，當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；由，，得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B，C均正確；由，得，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選BC.10.ABD令（），得（），所以圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（）；令（），得（），所以圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（），所以與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)中心，故A正確；，所以與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故B正確；，故C不正確；由，得，即，所以，，解得（），故D正確.故選ABD.11.ABC連接，，則，作，交于點(diǎn)，易證，由，得，，所以，，所以，同理，所以，所以，故A正確；由，，所以，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，，設(shè)該圓交棱于點(diǎn)，交棱于點(diǎn)，則，又，為銳角，所以，所以，故所求軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，易得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成的角為，所以，所以，化簡(jiǎn)得，故C正確，D錯(cuò)誤.故選ABC.12.20，設(shè)，易求該樣本平均數(shù)，所以該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，解得，或（舍），所以.13.由題意知，，所以.14.由題意知：，設(shè)，，，由，得，所以，故，所以的方程為，即.又過(guò)點(diǎn)，所以，同理，所以直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由消去并化簡(jiǎn)得，所以，，所以，所以.直線(xiàn)的方程為，所以，即，因?yàn)椋渣c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以，且為的中位線(xiàn)，所以.15.解：（1）李明沒(méi)通過(guò)面試包含前3題有1題答對(duì)，第4題答錯(cuò)和前3題均答錯(cuò)兩種情況，故所求概率為.………………4分（2）由題意得的取值為2，3，4，則，，………………8分.………………10分故所求分布列為：234………………11分所以.………………13分16.解：（1）由題意得的定義域?yàn)?，（），因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得，………………2分此時(shí)，，………………4分其中恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，并且在處取得極大值.……6分（2）即，令，則，………………7分，令，則，所以在上單調(diào)遞減，………………8分又，，所以存在唯一的，使得，即，所以.……………10分當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，……………12分所以，又，所以，又在上單調(diào)遞增，故，……………14分又，所以整數(shù)的最小值為1.……………15分17.（1）證明：因?yàn)?，，所以，所以，…………?分同理，又，，平面，所以平面，……………2分因?yàn)槠矫?，所以，…………?分連接，因?yàn)?，，，所以，所?又，由等腰三角形三線(xiàn)合一，得.……………4分因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所?……………6分（2）解：因?yàn)椋?，所以，所以，又，，故，，兩兩垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，……………8分由（1）知平分，設(shè)，所以.……………9分設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，所以，……………11分設(shè)平面與平面夾角的大小為，則，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得或.……………12分因?yàn)?，，所以點(diǎn)到的距離為，因?yàn)樗倪呅螢橥顾倪呅?，所以，所以不合題意，所以，所以，……………13分所以，所以.……………15分18.（1）解：設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，所以，所以（），因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，解得或（舍去），……………3分所以，所以當(dāng)時(shí)，.……………4分（2）①證明：由題意可知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為（），，，，聯(lián)立直線(xiàn)和的方程，得消去并化簡(jiǎn)，得，……………5分所以，解得，且.……………6分又點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，則，且，，……………7分所以直線(xiàn)的方程為，所以，……………8分因?yàn)?，所以，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).……………10分②解：由①知直線(xiàn)的方程為，設(shè)，則，，將，代入，可得，由，且，得的取值范圍為.……………11分消去并化簡(jiǎn)得，則，，.……………13分，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，……………15分令，由的取值范圍為，得的取值范圍為.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，的值域?yàn)?所以的取值范圍是，所以面積的取值范