2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第2章 一元二次方程（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第2章一元二次方程（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過(guò)配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點(diǎn)：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0，看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法．要點(diǎn)：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即.（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點(diǎn)：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問(wèn)題：

(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱(chēng)式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）；

答(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).

4.常見(jiàn)應(yīng)用題型

數(shù)字問(wèn)題、平均變化率問(wèn)題、利息問(wèn)題、利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題、形積問(wèn)題等.要點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.題型一一元二次方程的相關(guān)概念【例1】下面關(guān)于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5鞏固訓(xùn)練：1．已知一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是3，它的一個(gè)根是2，則這個(gè)方程為．2．將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，3．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值是．4．若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是(

)A．1 B． C． D．25．若是關(guān)x的方程的解，則的值為．6．若實(shí)數(shù)，分別滿(mǎn)足，，且，則的值為．7．設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則．題型二一元二次方程的解法【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?）4（x-1）2-36=0（直接開(kāi)平方法）（2）x2+2x-3=0（配方法）（3）x（x-4）=8-2x（因式分解法）（4）（x+1）（x-2）=4（公式法）鞏固訓(xùn)練：1．用適當(dāng)方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2．用配方法解方程，則方程可變形為（

）A． B． C． D．3．x＝是用公式法解一元二次方程得到的一個(gè)根，則滿(mǎn)足要求的方程是（

）A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝04．解下列方程：①

②

③

④．較簡(jiǎn)便的方法依次是（

）A．直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法B．因式分解法，公式法，配方法，直接開(kāi)平方法C．直接開(kāi)平方法，公式法，公式法，因式分解法D．直接開(kāi)平方法，公式法，因式分解法，因式分解法5．若，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．3或4題型三一元二次方程根的判別式【例3】關(guān)于x的方程（m-2）x2-4x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A．m≤6 B．m<6 C．m≤6且m≠2 D．m<6且m≠2鞏固訓(xùn)練：1．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（）A． B．且 C．且 D．2．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是．3．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，斜邊，求的周長(zhǎng)．4．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍：（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值及該方程的根．題型四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例4】．20．已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．若，是一元二次方程的兩根，則的值為(

)A．2020 B．2019 C．2018 D．20172．已知，是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．3．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是、，且，則值是（

）A． B． C． D．4．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，求的值．題型五配方法的應(yīng)用【例5】．已知，(m為任意實(shí)數(shù))，則M、N的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定鞏固訓(xùn)練：1．若，則p的最小值是（

）A．2021 B．2015 C．2016 D．沒(méi)有最小值2．已知實(shí)數(shù)的最大值為.3．已知，則的值是．4．閱讀如下材料，完成下列問(wèn)題：材料一：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問(wèn)題，有如下示例：．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，若，則．完成問(wèn)題：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足．求的最大值．題型六一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【例6】．某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為3萬(wàn)元，第一季度的營(yíng)業(yè)額共為15萬(wàn)元，如果每個(gè)月的平均增長(zhǎng)率為，則由題意可列方程為（

）A． B． C．D．鞏固訓(xùn)練：1．有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人2．在“文博會(huì)”期間，某公司展銷(xiāo)如圖所示的長(zhǎng)方形工藝品，該工藝品長(zhǎng)，寬．中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊．若絲綢花邊的面積為，設(shè)絲綢花邊的寬為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．3．如圖，王師傅要建一個(gè)矩形羊圈，羊圈的一邊利用長(zhǎng)為的住房墻，另外三邊用長(zhǎng)的彩鋼圍成，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊要留出安裝木門(mén)．若要使羊圈的面積為，則所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為．4．某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衣，平均每天可售出30件，每件襯衣盈利50元．為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價(jià)10元，商場(chǎng)平均每天可多售出20件．若商場(chǎng)平均每天盈利2000元．每件襯衣應(yīng)降價(jià)（）元．A．10 B．15 C．20 D．255．《田畝比類(lèi)乘除捷法》是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中記載了一道題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步，”意思是：一個(gè)矩形的面積為平方步，寬比長(zhǎng)少步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各多少步？如果設(shè)矩形的長(zhǎng)為步，由題意，可列方程為．6．一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是5，把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原來(lái)兩位數(shù)的乘積為736，求原來(lái)的兩位數(shù)．7．2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個(gè)數(shù)（如圖所示），圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．8．全球疫情爆發(fā)時(shí)，口罩極度匱乏，中國(guó)許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對(duì)疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線(xiàn)最大產(chǎn)能是78000個(gè)/天，每增加1條生產(chǎn)線(xiàn)，每條生產(chǎn)線(xiàn)減少1625個(gè)/天，工廠的產(chǎn)線(xiàn)共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個(gè)/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線(xiàn)每天恰好能生產(chǎn)口702000個(gè)，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線(xiàn)？題型七一元二次方程的幾何應(yīng)用【例7】．將一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形分割成如圖所示的9部分，其中全等，也全等，中間小正方形的面積與面積相等，且是以為底的等腰三角形，則的面積為（

）

A．2 B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，如果、分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最小？最小值是多少？2．如圖1，在平面直?坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，連接，，的面積為32．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，，求度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，2∠EFB=∠ODE+∠DOE，OF=OE+OA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．3．已知正方形，為上動(dòng)點(diǎn)，，于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，；(2)如圖2，，求；(3)如圖3，若，直線(xiàn)寫(xiě)出的值______．題型八材料信息題【例8】．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類(lèi)方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為t，則另一個(gè)根為2t，因此，所以有；我們記“”即時(shí)，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題：(1)若是倍根方程，求的值；(2)關(guān)于x的一元二次方程是倍根方程，且點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，求此倍根方程的表達(dá)式．鞏固訓(xùn)練：1．已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實(shí)數(shù)．(1)若時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)p的值．(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且，求實(shí)數(shù)p和q的值．(3)是否同時(shí)存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的p，q．若不存在，說(shuō)明理由．2．相傳，大禹治水時(shí)，洛水中出現(xiàn)了一個(gè)“神龜背上有妙的圖案，史稱(chēng)“洛書(shū)”，用現(xiàn)在的數(shù)字翻譯出來(lái)，就是三級(jí)幻方．三階幻方是最簡(jiǎn)單的幻方，又叫九宮格，它是由九個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)三行三列的矩陣其對(duì)角線(xiàn)、橫行、縱向的數(shù)字之和均相等，這個(gè)和叫做幻和，正中間那個(gè)數(shù)叫中心數(shù)．如圖1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所組成的一個(gè)三階幻方，其幻和為15，中心數(shù)為5．(1)如圖2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所組成的一個(gè)三階幻方，則x的值為_(kāi)_____．(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方稱(chēng)為基本三階幻方，在此基礎(chǔ)上各數(shù)再加或減一個(gè)相同的數(shù)，可組成新三階幻方，新三階幻方的幻和也隨之變化，如圖3，是由基本三階幻方中各數(shù)加上m后生成的新三階幻方，該新三階幻方的幻和為的4倍，且，求的值．(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三階幻方中每個(gè)數(shù)都乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)也可