人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題5.8平行線中的拐點(diǎn)問題的三大題型(學(xué)生版+解析)

專題5.8平行線中的拐點(diǎn)問題的三大題型【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平行線中的拐點(diǎn)問題的三大題型的理解！【題型1平行線中的單拐點(diǎn)問題】1．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥DE，BC⊥CD，設(shè)∠ABF=α，∠CDE=β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（A．α?β=90° C．α+β=180° D．α與2．（2023下·云南玉溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如圖擺放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，則∠1的度數(shù)是（

）

A．75° B．90° C．100° D．105°3．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23

4．（2023下·山東泰安·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PD．則∠A、∠D、∠APD之間的等量關(guān)系為

5．（2023上·陜西漢中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖1，已知兩直線a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在圖1中，∠1=46°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，說明理由；(3)競(jìng)賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，當(dāng)AC平分∠BAM時(shí)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并證明．6．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次空間與圖形的學(xué)習(xí)中，小明遇到了下面的問題：如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，探究∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系．小明只完成了（1）的部分證明．(1)請(qǐng)你繼續(xù)完成的證明并在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碚撘罁?jù)同時(shí)完成過點(diǎn)P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴____∥____（

）∴∠D=____（

）又∵PE∥AB∴∠B=∠BPE∴∠BPD=________．(2)小明猜想：是不是類似的問題都可以過點(diǎn)P作PE∥AB來實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移從而推導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論呢？．如圖2，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并證明；若沒有發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．(3)探究：若AB∥CD，如圖3，圖4，請(qǐng)直接寫出小于平角的∠ABP，∠CDP，∠BPD之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線AD，BC，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接CE，DE后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住點(diǎn)E，拖動(dòng)后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時(shí)他突然一想，∠C，∠D與∠DEC之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計(jì)算”功能，找到了這三個(gè)角之間的關(guān)系．(1)請(qǐng)直接寫出圖①到圖④各圖中的∠C，∠D與∠DEC之間的關(guān)系嗎？(2)請(qǐng)從圖③④中，選一個(gè)說明它成立的理由．8．（2023下·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB，CD兩平行線之間．

【閱讀探究】(1)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠AEM和∠CFM通過轉(zhuǎn)化“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系．如圖1，若∠AEM=45°，∠CFM=25°時(shí)，則∠EMF=___________．【方法運(yùn)用】(2)如圖2，試說明∠EMF=360°?∠AEM?∠CFM；【應(yīng)用拓展】(3)如圖3，作∠AEM和∠CFM的平分線EP，F(xiàn)P，交于點(diǎn)P（交點(diǎn)P在兩平行線AB，CD之間）若∠EMF=60°，求∠EPF的度數(shù)．9．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）在綜合與實(shí)踐課上，老師以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)如圖①，若直角三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在CD上，∠2=∠1，求∠1的度數(shù)；(2)如圖②，小穎把直角三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E，G分別放在AB和CD上，請(qǐng)你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，小亮把直角三角尺的直角頂點(diǎn)F放在CD上，30°角的頂點(diǎn)E放在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，則∠AEG與∠CFG的數(shù)量關(guān)系是什么（用含α，β的式子表示）？請(qǐng)說明理由．10．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知l1∥l2，李想同學(xué)將△ABC放置在這兩條平行線上展開探究，其中△ABC三邊與兩條平行線分別交于點(diǎn)D、E、

(1)【特例探究】如圖1，∠C=90°．①∠CED+∠CGF=______度；②若∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P，則∠EPG=______度；(2)【一般探索】如圖2，∠C=α，∠EPG=β．①若∠DEP=13∠CED，∠FGP=13②若∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF（n≥2且(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P1，∠P1ED與∠P1GF的角平分線相交于點(diǎn)P2，11．（2023下·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用一個(gè)含有60°角的直角三角板和兩條平行線展開探究．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，EF

(1)如圖1，點(diǎn)C在EF上，點(diǎn)A在GH上，AB與EF交于點(diǎn)D，若∠1=20°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)C在EF上，點(diǎn)A在EF上方，點(diǎn)B在GH下方，BC與GH交于點(diǎn)Q，作∠ACE的角平分線并反向延長(zhǎng)與∠CQH的角平分線交于點(diǎn)O，求∠O的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)C在EF上，點(diǎn)A在直線EF，GH之間（不含在EF，GH上），點(diǎn)B在GH下方，AB，BC分別與GH交于點(diǎn)P，Q．設(shè)∠FCB=n°，是否存在正整數(shù)m和n，使得∠APH=m∠FCB．若存在，請(qǐng)求出m和n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型2平行線中兩點(diǎn)或多拐點(diǎn)問題】1．（2023下·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM=2∠MCD，2∠M?∠P=10°，則∠PCD=．2．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知直線l1∥l2，l3和l1，l2分別交于C，D點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在線l1，l2上，且位于l(1)如圖1，點(diǎn)P在線段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線l3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷∠APB，∠1，∠23．（2023下·北京西城·七年級(jí)北京師大附中?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到求證：∠AEC=∠A+∠C小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點(diǎn)E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E=60(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+274．（2023下·廣東汕頭·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，直線AB、CD被直線MN所截，∠1=∠2．(1)如圖①，MN分別與AB、CD交于點(diǎn)O1、O2，O1H平分∠BO1N，O(2)如圖②，點(diǎn)E在AB與CD之間的直線MN上，P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD．（Ⅰ）若∠PEQ=60°，求∠PFQ的度數(shù)；（Ⅱ）請(qǐng)猜想∠PEQ和∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線PQ分別與直線AB,CD交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，AB⊥PQ，CD⊥PQ．

(1)求證：AB∥CD；(2)如圖2，P，Q兩點(diǎn)分別沿直線AB和CD向左平移相同的單位長(zhǎng)度得到E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)G在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，EM平分∠AEG，點(diǎn)H在直線EM上，連接FH,GF的延長(zhǎng)線交EM于點(diǎn)N，F(xiàn)N平分∠CFH．①若∠CFH<90°，2∠EHF+∠EGF=255°，求∠CFH的大?。虎诋?dāng)點(diǎn)G在AB,CD之間時(shí)，直接寫出∠ENF，∠EGF，∠EHF之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023下·湖北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)A是直線HD上一點(diǎn)，C是直線GE上一點(diǎn)，B是直線HD、GE之間的一點(diǎn)，

(1)求證：AD∥(2)如圖2，作∠BCF=∠BCG，CF與∠BAH的角平分線交于點(diǎn)F．若α+β=40°，求∠B+∠F的度數(shù)；(3)如圖3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=50°，則∠NBM=______（直接寫出結(jié)果）．7．（2023下·湖北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥

(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦，∠E，∠C三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)已知∠A=16°．①如圖2．若∠F=100°，求∠C+∠E的度數(shù)；②如圖3．若∠AEF和∠DCF的平分線交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出∠EGC與∠F的數(shù)量關(guān)系．8．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)O在直線AB、CD之間，且

(1)如圖1，若∠AEO＝150°，求(2)如圖2，射線EG平分∠AEO，連接FG，若∠EGF＝135°，∠GFO與(3)如圖3，EG在∠AEO內(nèi)，∠AEG=23∠OEG，F(xiàn)H在∠OFD內(nèi)，∠OFH=35∠OFD，點(diǎn)M、N分別為射線EG、FH上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M、N在直線AB、CD之間，其中∠EMN＝9．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B=30°(1)若∠E=50°，則∠F=________；(2)請(qǐng)判斷∠BEF與∠EFD之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由．(3)如圖2，若EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于P，求∠P的度數(shù)；10．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.如圖，已知EM∥BN，點(diǎn)A在EM、BN內(nèi)部，我們過點(diǎn)A作EM或BN的平行線AP，則有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．(1)現(xiàn)將點(diǎn)A移至如圖2的位置，以上結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠E、∠A、∠B之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(2)如圖3，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)F；①若∠A=120°，∠AEM=140°，則∠EFD=______．②試探究∠EFD與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．(3)如圖4，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥EF交BN于點(diǎn)G，若∠A=∠BFG，則∠EFB=______．11．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）(1)探究：如圖1，AB∥CD，點(diǎn)G、H分別在直線AB、CD上，連接PG、PH，當(dāng)點(diǎn)P在直線GH的左側(cè)時(shí)，試說明(2)變式：如圖2，將點(diǎn)P移動(dòng)到直線GH的右側(cè)，其他條件不變，試探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之間的關(guān)系，并說明理由；(3)(問題遷移)如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠GPH、∠AGP、(4)(聯(lián)想拓展)如圖4所示，在(2)的條件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分線和∠PHD的平分線交于點(diǎn)Q，用含有α的式子表示∠GQH的度數(shù)．【題型3平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】1．（2023下·廣西百色·七年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀以下“預(yù)防近視”知識(shí)卡讀書、寫字、看書姿勢(shì)要端正．一般人正常的閱讀角度約為俯角（如圖視線BC與水平線BA的夾角∠ABC)40度．在學(xué)習(xí)和工作中，要保持讀寫姿勢(shì)端正，可概括為“三個(gè)一”，包括：眼與書本的距離1尺；身體與桌子距離1拳；握筆時(shí)，手指離筆尖1寸．書本與課桌的角度要保持在30度至45度．已知如圖，桌面和水平面平行，CD與書本所在平面重合，根據(jù)卡片內(nèi)容，請(qǐng)判斷正常情況下，坐姿正確且座椅高度適合時(shí)，視線BC和書本所在平面所成角度∠BCD不可能為以下哪個(gè)角度（）

A．74° B．78° C．84° D．88°2．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校﹫D1中所示是學(xué)校操場(chǎng)邊的路燈，圖2為路燈的示意圖，支架AB、BC為固定支撐桿，燈體是CD，其中AB垂直地面于點(diǎn)A，過點(diǎn)C作射線CE與地面平行（即CE∥l），已知兩個(gè)支撐桿之間的夾角∠ABC=140°，燈體CD與支撐桿BC之間的夾角∠DCB=80°，則∠DCE的度數(shù)為

3．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架AB、BC為固定支撐桿，支架OC可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角∠DOE=52°，頂角平分線OP始終與OC垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架OC旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，OD恰好與BC平行，求支架BC與水平方向的夾角∠θ的度數(shù)；(2)若將圖2中的OC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°到如圖3的位置，求此時(shí)OD與水平方向的夾角∠OQM的度數(shù)．4．（2023下·湖南常德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，5．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，政府規(guī)劃由西向東修一條公路．從A修至B后為了繞開村莊，改為沿南偏東25°方向修建BC段，在C處又改變方向修建CD段，測(cè)得∠BCD＝70°，在D處繼續(xù)改變方向，朝與出發(fā)時(shí)相同的方向修至E．（1）補(bǔ)全施工路線示意圖，求∠CDE的度數(shù)；（2）原計(jì)劃在AB的延長(zhǎng)線上依次修建兩個(gè)公交站M，N（均在CD右側(cè)），連結(jié)DM和MN，求∠CDM與∠DMN的數(shù)量關(guān)系．6．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)期末）（1）若組成∠1和∠2的兩條邊互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,EF與上拉桿CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)∠CDB=25°時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線上，求∠H的度數(shù)．7．（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）小刀，是我們生活中經(jīng)常接觸的工具，由刀片和刀柄組成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成∠1、∠2，試判斷∠1與∠2的度數(shù)和是一個(gè)定值嗎？若是，請(qǐng)求出∠1與∠2的度數(shù)和；若不是，請(qǐng)說明理由．8．（2023上·河北邯鄲·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路的走向?yàn)楸逼珫|60°，如果A、B兩地同時(shí)開工，直接寫出∠α為多少度時(shí)，才能使公路準(zhǔn)確接通？（2）如圖2，經(jīng)測(cè)量，B處在A處的南偏西56°的方向，C處在A處的南偏東17°的方向，C處在B處的北偏東85°的方向，求∠C的度數(shù)．

專題5.8平行線中的拐點(diǎn)問題的三大題型【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平行線中的拐點(diǎn)問題的三大題型的理解！【題型1平行線中的單拐點(diǎn)問題】1．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥DE，BC⊥CD，設(shè)∠ABF=α，∠CDE=β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（A．α?β=90° C．α+β=180° D．α與【答案】A【分析】過C作CM∥AB，得到CM∥DE，因此∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，由垂直的定義得到∠ABC=90°?β，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：過C作CM∥AB，∵AB∥DE，∴CM∥∴∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，∵BC⊥CD，∴∠BCM=90°?∠MCD=90°?β，∴∠ABC=90°?β，∵∠ABC+∠ABF=180°，∴90°?β+α=180°，∴α?β=90°

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C作CM//AB，得到CM//DE，由平行線的性質(zhì)來解決問題．2．（2023下·云南玉溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如圖擺放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，則∠1的度數(shù)是（

）

A．75° B．90° C．100° D．105°【答案】D【分析】AC于DF交于G，作GH∥AB，可得AB∥DE∥【詳解】解：如圖，AC于DF交于G，作GH∥

因?yàn)锳B∥DE，所以AB∥所以∠AGH=∠A=45°，∠DGH=∠D=60°，所以∠AGD=∠AGH+∠DGH=45°+60°=105°；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23

【答案】5【分析】過點(diǎn)F作FG∥AB，則GF∥CD，依據(jù)平行線的性質(zhì)可證明∠AFG=∠BAF、∠GFC=∠FCD，同理可證明∠AEC=∠BAE+∠DCE，然后結(jié)合已知條件可得到問題的答案．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)F作FG∥AB．∵FG∥AB，∴∠AFG=∠BAF．∵FG∥AB，∴GF∥CD，∴∠GFC=∠FCD．∴∠AFC=∠BAF+∠DCF．同理：∠AEC=∠BAE+∠DCE．∴∠AEC=∵∠AEC=m∠AFC，∴m=5故答案為：53

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線的判定和性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·山東泰安·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PD．則∠A、∠D、∠APD之間的等量關(guān)系為

【答案】∠APD=180°+∠A?∠D【分析】過點(diǎn)P作PM∥AB，從而可得∠A=∠APM，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得PM∥【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PM∥

∴∠A=∠APM，∵AB∥∴PM∥∴∠D+∠DPM=180°，∴∠DPM=180°?∠D，∵∠APD=∠APM+∠DPM，∴∠APD=∠A+180°?∠D，則∠A、∠D、∠APD之間的等量關(guān)系為∠APD=180°+∠A?∠D，故答案為：∠APD=180°+∠A?∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·陜西漢中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖1，已知兩直線a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在圖1中，∠1=46°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，說明理由；(3)競(jìng)賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，當(dāng)AC平分∠BAM時(shí)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)44°(2)理由見解析(3)∠1=∠2，理由見解析【分析】本題主要考查了平行的線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）由∠BCA=90°可得∠1+∠3=90°，從而得出∠3=90°?∠1=44°，最后再由兩直線平行，同位角相等即可得出∠2的度數(shù)；（2）過點(diǎn)B作BD∥a，則∠ABD=180°?∠2，BD∥b，由平行線的性質(zhì)可得∠CBD=∠1，結(jié)合∠ABC=60°可得180°?∠2+∠1=60°，即可得解；（3）過點(diǎn)C作CE∥a，則∠2=∠BCE，BD∥b，由角平分線的定義可得∠BAC=∠CAM=30°，從而得到∠MAB=60°，由平行線的性質(zhì)可得∠1=∠MAB=60°，∠ACE=∠MAC=30°，計(jì)算出∠2=∠BCE=60°，即可得證．【詳解】（1）解：如圖，，∵∠ACB=90°，∠1+∠ACB+∠3=180°，∴∠1+∠3=180°?∠ACB=90°，∵∠1=46°，∴∠3=90°?∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°；（2）解：如圖，過點(diǎn)B作BD∥a，則∠ABD=180°?∠2，，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠CBD=∠1，∵∠ABC=60°，∴180°?∠2+∠1=60°，∴∠2?∠1=120°；（3）解：∠1=∠2，理由如下：如圖，過點(diǎn)C作CE∥a，則∠2=∠BCE，，∵AC平分∠BAM，∴∠BAC=∠CAM=30°，∴∠MAB=60°，∵a∥b，∴CE∥b，∴∠1=∠MAB=60°，∠ACE=∠MAC=30°，∴∠BCE=90°?∠ACE=60°，∴∠2=∠BCE=60°，∴∠1=∠2=60°．6．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次空間與圖形的學(xué)習(xí)中，小明遇到了下面的問題：如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，探究∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系．小明只完成了（1）的部分證明．(1)請(qǐng)你繼續(xù)完成的證明并在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碚撘罁?jù)同時(shí)完成過點(diǎn)P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴____∥____（

）∴∠D=____（

）又∵PE∥AB∴∠B=∠BPE∴∠BPD=________．(2)小明猜想：是不是類似的問題都可以過點(diǎn)P作PE∥AB來實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移從而推導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論呢？．如圖2，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并證明；若沒有發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．(3)探究：若AB∥CD，如圖3，圖4，請(qǐng)直接寫出小于平角的∠ABP，∠CDP，∠BPD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)PE；CD；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠EPD；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；∠B+∠D(2)∠BPD=∠B?∠D(3)∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°；∠BPD=∠CDP?∠ABP【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定；（1）首先過點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠D=∠EPD，∠B=∠BPE，從而證得∠BPD=∠B+∠D；（2）同（1）的方法可得，∠D+∠EPD=180°，∠B+∠BPE=180°，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法分別結(jié)合圖3，圖4，得出∠ABP，∠CDP，∠BPD的關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∥∴∠D=∠EPD（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵PE∥AB∴∠B=∠BPE∴∠BPD=∠B+∠D．故答案為：PE；CD；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠EPD；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；∠B+∠D．（2）發(fā)生變化，應(yīng)是∠BPD=∠B?∠D．證明：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∥∴∠D+∠EPD=180°又∵PE∥AB∴∠B+∠BPE=180°∴∠BPD=∠EPD?∠BPE=180°?∠D即∠BPD=∠B?∠D（3）如圖3，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵PE∥AB，AB∥CD，∴PE∴∠D+∠EPD=180°又∵PE∥AB∴∠B+∠BPE=180°∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=180°?∠D即∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°如圖4，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∴∠D+∠EPD=180°又∵PE∥AB∴∠B+∠BPE=180°∴∠BPD=∠BPE?∠DPE=180°?∠B即∠BPD=∠CDP?∠ABP7．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線AD，BC，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接CE，DE后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住點(diǎn)E，拖動(dòng)后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時(shí)他突然一想，∠C，∠D與∠DEC之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計(jì)算”功能，找到了這三個(gè)角之間的關(guān)系．(1)請(qǐng)直接寫出圖①到圖④各圖中的∠C，∠D與∠DEC之間的關(guān)系嗎？(2)請(qǐng)從圖③④中，選一個(gè)說明它成立的理由．【答案】(1)圖①：∠DEC=∠C+∠D；圖②：∠DEC=360°?∠C?∠D；圖③：∠DEC=∠C?∠D；圖④：∠DEC=∠D?∠C(2)以圖③為例說明理由見解析【分析】（1）分別過E作EF∥（2）選擇③，過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根據(jù)∠BED=∠DEF?∠BEF整理即可得證．【詳解】（1）圖①：∠DEC=∠C+∠D；如圖，過點(diǎn)E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF，∴∠D+∠C=∠DEF+∠CEF，∴∠DEC=∠C+∠D圖②：∠DEC=360°?∠C?∠D；如圖，過點(diǎn)E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D+∠DEF=180°，∠C+∠CEF=180∴∠D+∠C+∠DEF+∠CEF=360°∴∠DEC=360°?∠C?∠D；圖③：∠DEC=∠C?∠D；證明見小問2詳解；圖④：∠DEC=∠D?∠C；如圖，過點(diǎn)E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF，∴∠D?∠C=∠DEF?∠CEF，∴∠DEC=∠D?∠C（2）以圖③為例：如圖，過點(diǎn)E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF．∵∠CED=∠CEF?∠DEF，∴∠CED=∠C?∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目解題關(guān)鍵在于過拐點(diǎn)作平行線，然后借助平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明．8．（2023下·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB，CD兩平行線之間．

【閱讀探究】(1)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠AEM和∠CFM通過轉(zhuǎn)化“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系．如圖1，若∠AEM=45°，∠CFM=25°時(shí)，則∠EMF=___________．【方法運(yùn)用】(2)如圖2，試說明∠EMF=360°?∠AEM?∠CFM；【應(yīng)用拓展】(3)如圖3，作∠AEM和∠CFM的平分線EP，F(xiàn)P，交于點(diǎn)P（交點(diǎn)P在兩平行線AB，CD之間）若∠EMF=60°，求∠EPF的度數(shù)．【答案】(1)70°(2)見解析(3)150°【分析】（1）過點(diǎn)M作MN∥AB，根據(jù)平行可得∠EMF=∠AEM+∠CFM即可求解；（2）由平角定義得∠BEM=180°?∠AEM，∠DFM=180°?∠CFM，再由（1）的結(jié)論即可得出答案；（3）先由角平分線的定義得∠AEP=12∠AEM【詳解】（1）解：過點(diǎn)M作MN∥AB，如圖，

∵AB∥CD∴AB∥MN∥CD，∴∠EMN=∠AEM，∠NMF=∠CFM，∴∠EMN+∠NMF=∠AEM+∠CFM，即∠EMF=∠AEM+∠CFM，∵∠AEM=45°，∠CFM=25°，∴∠EMF=70°；（2）解：過點(diǎn)M作MN∥AB，如圖2所示：

∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM，∵∠BEM=180°?∠AEM，∠DFM=180°?∠CFM，∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=180°?∠AEM+180°?∠CFM=360°?∠AEM?∠CFM，∴∠EMF=360°?∠AEM?∠CFM；（3）解：∵EP、FP分別是∠AEM和∠CFM的平分線，∴∠AEP=12∠AEM過點(diǎn)P作PH∥AB，如圖3所示：

∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠EPH=∠AEP，∠FPH=∠CFP，∴∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP=1由第（2）得：∠EMF=360°?∠AEM?∠CFM，∴∠AEM+∠CFM=360°?∠EMF=360°?60°=300°，∴12∴∠EPF=150°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行于同一條直線的兩條直線平行．9．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）在綜合與實(shí)踐課上，老師以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)如圖①，若直角三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在CD上，∠2=∠1，求∠1的度數(shù)；(2)如圖②，小穎把直角三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E，G分別放在AB和CD上，請(qǐng)你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，小亮把直角三角尺的直角頂點(diǎn)F放在CD上，30°角的頂點(diǎn)E放在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，則∠AEG與∠CFG的數(shù)量關(guān)系是什么（用含α，β的式子表示）？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)∠1=60°(2)∠AEF+∠FGC=90°，理由見解析(3)α+β=300°．理由見解析【詳解】解：（1）因?yàn)锳B∥所以∠1=∠EGD．因?yàn)椤?+∠EGF+∠EGD=180°，∠2=∠1，所以∠1+60°+∠1=180°，解得∠1=60°．（2）如圖，過點(diǎn)F作FP∥因?yàn)镃D∥所以FP∥所以∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP，所以∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG．因?yàn)椤螮FG=90°，所以∠AEF+∠FGC=90°．（3）α+β=300°．理由如下：因?yàn)锳B∥所以∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG?30°+∠CFG?90°=α?30°+β?90°=180°，整理可得α+β=180°+120°=300°．10．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知l1∥l2，李想同學(xué)將△ABC放置在這兩條平行線上展開探究，其中△ABC三邊與兩條平行線分別交于點(diǎn)D、E、

(1)【特例探究】如圖1，∠C=90°．①∠CED+∠CGF=______度；②若∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P，則∠EPG=______度；(2)【一般探索】如圖2，∠C=α，∠EPG=β．①若∠DEP=13∠CED，∠FGP=13②若∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF（n≥2且(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P1，∠P1ED與∠P1GF的角平分線相交于點(diǎn)P2，【答案】(1)①270°，②135°(2)①α+3β=360°；②α+nβ=360°(3)2【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)證明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°即可；②證明∠EPG=∠PED+∠PGF=1（2）①利用平行線的性質(zhì)證明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=1②利用平行線的性質(zhì)證明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=1（3）利用（2）中的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】（1）①過點(diǎn)C作CM平行于l1，過點(diǎn)P作PN平行于

∵l1∴CM∥l2，∴∠DEC+∠ECM=180°，∠MCG+∠FGC=180°，∠DEP=∠EPN，∠NPG=∠FGP，∴∠DEC+∠ECM+∠MCG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPN+∠NPG，∵∠ECG=∠ECM+∠MCG=90°，∠EPN+∠NPG=∠EPG∴∠DEC+∠ECG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPG，∴∠CED+∠CGF=270°，②∵∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P，則∠EPG=______度；∴∠DEP=12∠CED∴∠EPG=∠PED+∠PGF=故答案為：①270°，②135°；（2）①α+3β=360°過點(diǎn)C作CM平行于l1，過點(diǎn)P作PN平行于

∵l1∴CM∥l2，∴∠DEC+∠ECM=180°，∠MCG+∠FGC=180°，∠DEP=∠EPN，∠NPG=∠FGP，∴∠DEC+∠ECM+∠MCG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPN+∠NPG，即∠DEC+∠ECG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPG，∴∠DEC+∠FGC=360°?∠ECG=360°?α，∵∠DEP=13∠CED∴∠EPG=∠DEP+∠FGP=1∴β=13360°?α②α+nβ=360°同①可得∠DEC+∠FGC=360°?∠ECG=360°?α，∵∠DEP=1n∠CED∴∠EPG=∠DEP+∠FGP=1∴β=1n360°?α（3）∵∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P1，∠P1ED與∠P1GF的角平分線相交于點(diǎn)P∴∠DEP2023∴由（2）得∠C+∴360°?∠C∠E【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，利用平行線的性質(zhì)證明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=111．（2023下·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用一個(gè)含有60°角的直角三角板和兩條平行線展開探究．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，EF

(1)如圖1，點(diǎn)C在EF上，點(diǎn)A在GH上，AB與EF交于點(diǎn)D，若∠1=20°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)C在EF上，點(diǎn)A在EF上方，點(diǎn)B在GH下方，BC與GH交于點(diǎn)Q，作∠ACE的角平分線并反向延長(zhǎng)與∠CQH的角平分線交于點(diǎn)O，求∠O的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)C在EF上，點(diǎn)A在直線EF，GH之間（不含在EF，GH上），點(diǎn)B在GH下方，AB，BC分別與GH交于點(diǎn)P，Q．設(shè)∠FCB=n°，是否存在正整數(shù)m和n，使得∠APH=m∠FCB．若存在，請(qǐng)求出m和n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)50°(2)45°(3)存在，m=2，n=70；m=4，n=42；m=5，n=35【分析】（1）先求出∠ACD=70°，再利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠CAH的度數(shù)，根據(jù)∠2=∠CAH?∠CAB即可得出結(jié)果；（2）利用平行線性質(zhì)得到∠DCE=∠COP，∠POQ=∠OQH，∠ECQ=∠CQH，CD平分∠ACE，QO平分∠CQH，得到∠POQ=12∠ECQ，∠COP=（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和360°及平行線的性質(zhì)得出關(guān)于m和n的關(guān)系式，根據(jù)題意得出m的范圍，在范圍內(nèi)找到m和n都是正整數(shù)的所有可能的情況．【詳解】（1）解：∠ACD=∠ACB?∠1=90°?20°=70°，∵EF∥∴∠ACD+∠CAH=180°，∴∠CAH=180°?∠ACD=110°，∴∠2=∠CAH?∠CAB=110°?60°=50°；（2）如圖，過點(diǎn)O作OP∥

∵EF∥∴EF∥∴∠DCE=∠COP，∠POQ=∠OQH，∠ECQ=∠CQH，∵CD平分∠ACE，QO平分∠CQH，∴∠DCE=12∠ACE∴∠POQ=12∠ECQ∴∠COQ=∠COP+∠POQ====45°；（3）∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠APQ+∠CQP=360°?∠CB?∠A=210°，∵EF∥∴∠FCB=∠CQP=n°，∴∠APQ+∠CQP=∠APQ+n°=210°，∵∠APH=m∠FCB，∴∠APH=mn°，∴mn°+n°=210°，∴n°=210°∵∠APH<180°，∴30°<n°<90°，∴30<n<90，又∵m，n是正整數(shù)，∴存在符合要求的正整數(shù)m和n，分別為：當(dāng)m=1時(shí)，n=210當(dāng)m=2時(shí)，n=210當(dāng)m=3時(shí)，n=210當(dāng)m=4時(shí)，n=210當(dāng)m=5時(shí)，n=210當(dāng)m=6時(shí)，n=210【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)把問題解決，其中作平行線、分類討論是解決本題的關(guān)鍵．【題型2平行線中兩點(diǎn)或多拐點(diǎn)問題】1．（2023下·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM=2∠MCD，2∠M?∠P=10°，則∠PCD=．【答案】30°/30度【分析】作PQ∥AB于Q，作MN∥AB于N，則AB∥PQ∥MN∥CD，設(shè)∠MCD=x，則∠PCM=2x，∠PCD=3x，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAM=12∠BAP，設(shè)∠BAM=y，則∠BAP=2y，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APQ=∠BAP=2y，∠AMN=∠BAM=y，∠CPQ=∠PCD=3x，∠CMN=∠MCD=x，從而可得∠APC=2y?3x,∠AMC=y?x，代入2∠AMC?∠APC=10°【詳解】解：如圖，作PQ∥AB于Q，作MN∥AB于N，則AB∥PQ∥MN∥CD，設(shè)∠MCD=x，則∠PCM=2x，∠PCD=∠MCD+∠PCM=3x，∵AM平分∠BAP，∴∠BAM=1設(shè)∠BAM=y，則∠BAP=2y，∵AB∥PQ，∴∠APQ=∠BAP=2y，∠AMN=∠BAM=y，∵PQ∥MN∥CD，∴∠CPQ=∠PCD=3x，∠CMN=∠MCD=x，∴∠APC=∠APQ?∠CPQ=2y?3x，∠AMC=∠AMN?∠CMN=y?x，又∵2∠AMC?∠APC=10°，∴2y?x解得x=10°，則∠PCD=3x=3×10°=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．2．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知直線l1∥l2，l3和l1，l2分別交于C，D點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在線l1，l2上，且位于l(1)如圖1，點(diǎn)P在線段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線l3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷∠APB，∠1，∠2【答案】(1)65°(2)當(dāng)P在l1的上方時(shí)，∠2＝∠1+∠APB，當(dāng)P在線段CD上時(shí)，∠APB=∠1+∠2；當(dāng)P在l2【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥l1，根據(jù)l1∥l2可知PE（2）分三種情況討論：當(dāng)P在l1的上方時(shí)，當(dāng)P在線段CD上時(shí)，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；當(dāng)P在l2的下方時(shí)，過P作PE∥AC，依據(jù)【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)P作PE∥∵l1∴PE∥∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE．又∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠1+∠2∵∠1=25°，∠2=40°，∴∠APB=20°+45°=65°；（2）解：∠2=∠1+∠APB．理由如下：當(dāng)P在l1的上方時(shí)，如圖2，過P作PE∵l1∴PE∥∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，∵∠BPE=∠APE+∠APB，∴∠2=∠1+∠APB．當(dāng)P在線段CD上時(shí)，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；當(dāng)P在l2的下方時(shí)，如圖2，過P作PE∵l1∴PE∥∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，∵∠APE=∠BPE+∠APB，∴∠1=∠2+∠APB．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023下·北京西城·七年級(jí)北京師大附中校考階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到求證：∠AEC=∠A+∠C小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點(diǎn)E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E=60(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+27【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得EM∥AB∥FN∥（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H=51【詳解】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∴EM∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∵∠BEF=60∴∠B+∠CFE+∠C=60（2）如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABE=12∠ABG∵AB∴AB∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∴∠BHC=180∠BGC=∴∠BGC=360∵∠BGC=∠BHC+27∴180°∴∠BHC=51【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．4．（2023下·廣東汕頭·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，直線AB、CD被直線MN所截，∠1=∠2．(1)如圖①，MN分別與AB、CD交于點(diǎn)O1、O2，O1H平分∠BO1N，O(2)如圖②，點(diǎn)E在AB與CD之間的直線MN上，P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD．（Ⅰ）若∠PEQ=60°，求∠PFQ的度數(shù)；（Ⅱ）請(qǐng)猜想∠PEQ和∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)O1(2)（I）150°；（II）∠PEQ+2∠PFQ=360°，證明見解析【分析】（1）等量代換得到∠1=∠O1O2D，推出AB∥CD，可得∠BO（2）（I）過E作l1∥AB，過F作l2∥AB，得到內(nèi)錯(cuò)角相等，即∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，可得∠8+∠10=∠4+∠5=∠PEQ=60°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠BPE=2∠9，∠EQD=2∠11，進(jìn)一步推出∠6+∠7=150°，即可得解；（II）同理推出∠BPE=2∠9=2∠6，【詳解】（1）解：O1∵∠1=∠2，∠2=∠O∴∠1=∠O∴AB∥∴∠BO∵O1H平分∠BO1N∴∠O2O∴∠O2O∴∠O∴O1（2）（Ⅰ）過E作l1∥AB，則l1∥CD，過

∴∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，∴∠8+∠10=∠4+∠5=∠PEQ=60°，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPE=2∠9，∠EQD=2∠11，∵2∠9=180°?∠8，2∠11=180°?∠10，∴2∠9+2∠11=360°?(∠8+∠10)=300°，∴∠9+∠11=150°，∴∠6+∠7=150°，∴∠PFQ=150°．（Ⅱ）∠PEQ+2∠PFQ=360°，理由如下：同（Ⅰ）可得∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPE=2∠9=2∠6，∠EQD=2∠11=2∠7，∵∠8+2∠9=180°，∠10+2∠11=180°，∴∠4+2∠6+∠5+2∠7=360°，即(∠4+∠5)+2(∠6+∠7)=360°，∴∠PEQ+2∠PFQ=360°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，（2）比較復(fù)雜，需要添加輔助線，產(chǎn)生較多的角，要能理清角之間的關(guān)系．5．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線PQ分別與直線AB,CD交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，AB⊥PQ，CD⊥PQ．

(1)求證：AB∥CD；(2)如圖2，P，Q兩點(diǎn)分別沿直線AB和CD向左平移相同的單位長(zhǎng)度得到E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)G在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，EM平分∠AEG，點(diǎn)H在直線EM上，連接FH,GF的延長(zhǎng)線交EM于點(diǎn)N，F(xiàn)N平分∠CFH．①若∠CFH<90°，2∠EHF+∠EGF=255°，求∠CFH的大??；②當(dāng)點(diǎn)G在AB,CD之間時(shí)，直接寫出∠ENF，∠EGF，∠EHF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①50°；②∠EGF?∠EHF+3∠ENF=180°【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證明；（2）①過點(diǎn)H作HK∥AB，過點(diǎn)G作GI∥AB，設(shè)∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，根據(jù)平行可表示出∠EHF和∠EGF，即可求出；②過點(diǎn)H作HK∥AB，過點(diǎn)G作GI∥AB，過點(diǎn)N作NJ∥AB，設(shè)∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，由①得：∠EGF=∠EGI+∠FGI=180°?2x+y，分別表示出∠ENF，∠EGF，∠EHF即可【詳解】（1）證明：∵AB⊥PQ，CD⊥PQ，∴∠APQ=∠PQD=90°，

∴AB∥CD.（2）解：①∵EM平分∠AEG，F(xiàn)N平分∠CFH，∴設(shè)∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y

過點(diǎn)H作HK∥AB，如圖，

∴∠EHK=∠AEM=x，∵AB∥CD，∴HK∥CD，∴∠KHF=∠CFH=2y，∴∠EHF=∠EHK+∠KHF=x+2y

過點(diǎn)G作GI∥AB，∴∠EGI=180°?∠AEG=180°?2x，∵AB∥CD，GI∥CD，∴∠FGI=∠CFN=y，∴∠EGF=∠EGI?∠FGI=180°?2x?y.

∵2∠EHF+∠EGF=255°，∴2x+2y解得：y=25°，

∴∠CFH=2y=50°.

②∠EGF?∠EHF+3∠ENF=180°

過點(diǎn)H作HK∥AB，過點(diǎn)G作GI∥AB，過點(diǎn)N作NJ∥AB，設(shè)∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，由①得：∠EGF=∠EGI+∠FGI=180°?2x+y∴∠ENF=180°?∠EGF?∠GEM=x?y，∴∠HNF=180°?∠ENF=180°?(x?y)，∴∠EHF=180°?∠HNF?∠HFN=x?2y，∴∠EGF?∠EHF+3∠ENF=180°.【點(diǎn)睛】本題考查了相交線與平行線，題目較為復(fù)雜，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．6．（2023下·湖北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)A是直線HD上一點(diǎn)，C是直線GE上一點(diǎn)，B是直線HD、GE之間的一點(diǎn)，

(1)求證：AD∥(2)如圖2，作∠BCF=∠BCG，CF與∠BAH的角平分線交于點(diǎn)F．若α+β=40°，求∠B+∠F的度數(shù)；(3)如圖3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=50°，則∠NBM=______（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)見解析(2)120°(3)25°【分析】（1）過B點(diǎn)作BM∥HD，可求得∠CBM=∠BCG，從而可證BM∥GE，即可證明AD∥CE；（2）過B點(diǎn)作BM∥GE，過F點(diǎn)作FN∥HD，先證明∠GCF=2α=∠NFC，∠HAB=2β=∠ABM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)已知條件可導(dǎo)出∠BAH=∠ABC?∠BCG=2∠NBC?∠MBC=2∠NBM，變形即可求得【詳解】（1）證明：如圖所示，過B點(diǎn)作BM∥HD，

∴∠HAB=∠ABM，∵∠ABM+∠CBM=∠ABC，∠HAB+∠BCG=∠ABC，∠HAB=∠ABM，∴∠CBM=∠BCG，∴BM∥GE，∴BM∥HD∥GE，∴AD∥（2）解：如圖，過B點(diǎn)作BM∥GE，過F點(diǎn)作FN∥HD，

則HD∥FN∥BM∥GE，∴∠NFC=∠GCF，∠ABM=∠HAB，∵∠BCF=∠BCG，AF是∠BAH的角平分線，∴∠HAF=∠BAF=β，∠CBM=∠BCG=α，∠GCF=2α=∠NFC，∠HAB=2β=∠ABM∴∠AFN=∠HAF=β，∠CBM=∠BCG=α，∵∠AFC=∠AFN+NFC，∠ABC=∠ABM+∠CBM，∴∠AFC=β+2α，∠ABC=α+2β，∴∠ABC+∠AFC=β+2α+α+2β=3β+α即∠B+∠F的度數(shù)為120°；（3）解：∵∠HAB+∠BCG=∠ABC，∴∠HAB=∠ABC?∠BCG，∵BM∥CR，∴∠BCR=∠MBC，∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，∠BCR=∠MBC，∴∠BAH=∠ABC?∠BCG=2∠NBC?∠MBC∴∠NBM=1故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·湖北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥

(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦，∠E，∠C三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)已知∠A=16°．①如圖2．若∠F=100°，求∠C+∠E的度數(shù)；②如圖3．若∠AEF和∠DCF的平分線交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出∠EGC與∠F的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠AEC=180°?∠C+∠A，理由見解析；(2)①276°；②12【分析】（1）過點(diǎn)E作EF∥（2）①分別過點(diǎn)E、F作EM∥AB,FN∥AB，利用平行線的性質(zhì)求解即可；分別過點(diǎn)E、F作EM∥【詳解】（1）解：∠E=180°?∠C+∠A，理由如下：過點(diǎn)E作EF∥

則AB∴∠A=∠AEF，∠C+∠CEF=180°又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，∴∠AEC=180°?∠C+∠A；（2）解：①分別過點(diǎn)E、F作EM∥

則AB∥∴∠A=∠AEM，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠DCF=180°又∵∠AEF=∠AEM+∠MEF，∠EFC=∠EFN+∠CFN∴∠AEF+∠C=∠A+180°?∠EFN+180°?∠NFC=∠A+360°?∠EFC=276°∴∠AEF+∠C=276°；②分別過點(diǎn)E、F作EM∥AB,FN∥AB，過點(diǎn)

則GH∥∴∠EGH=∠MEG，∠HGC=∠DCG，∴∠MEG=∠AEG?∠AEM=∠AEG?∠A，由①可得：∠AEF+∠C=∠A+360°?∠EFC；∵∠AEF和∠DCF的平分線交于點(diǎn)G，∴∠AEG=∠GEF=12∴∠AEG+∠DCG=由題意可得：∠EGC=∠EGH+∠HGC=∠AEG?∠A+∠DCG=180°?1∴12【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的有關(guān)性質(zhì)．8．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)O在直線AB、CD之間，且

(1)如圖1，若∠AEO＝150°，求(2)如圖2，射線EG平分∠AEO，連接FG，若∠EGF＝135°，∠GFO與(3)如圖3，EG在∠AEO內(nèi)，∠AEG=23∠OEG，F(xiàn)H在∠OFD內(nèi)，∠OFH=35∠OFD，點(diǎn)M、N分別為射線EG、FH上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M、N在直線AB、CD之間，其中∠EMN＝【答案】(1)∠OFD=60°(2)見解析(3)27<n<60【分析】（1）過點(diǎn)O作AB∥OH，易得AB∥（2）延長(zhǎng)EG交CD于Z,由于EG平分∠AEO，所以∠AEG=∠OEG，根據(jù)此條件表示∠GFO與∠CFG，可求出兩角的關(guān)系；（3）過點(diǎn)O作AB∥OK∥MP∥NQ，設(shè)∠AEG=2x，∠OFH=3y，借助∠MNF=∠MNG+∠FNG，求出n，m之間的關(guān)系，利用已知條件n＞m，求出【詳解】（1）解：證明：過點(diǎn)O作AB∥OH，

∵AB∥∴AB∥∴∠AEO+∠EOH＝180°,又∵∠AEO＝150°，∴∠EOH＝30°,∴∠OFD=∠HOF＝（2）解：∠GFO與∠CFG相等，理由如下：延長(zhǎng)EG交CD于Z，如下圖所示：

∵AB∥CD，∴∵∠EGF＝135°，且∴∠CFG=∠CZG?∠ZGF=135°?∠AEG，又∵∠EOF＝∴在四邊形EOFG中，∠GFO=360°?∠EGF?∠EOF?∠OEG=135°?∠OEG，∵EG平分∠AEO，∴∠AEG=∠OEG,∴∠CFG=∠GFO．（3）解：設(shè)∠AEG=2x，由于∠AEG=23∠OEG∴∠BEO=180°?5x，設(shè)∠OFH=3y，由于∠OFH=35∠OFD過點(diǎn)O作AB∥OK∥MP∥NQ，如下圖所示：

∵AB∥∴AB∥∴∠KOF=∠OFD，∠EOK=∠BEO，∴∠EOF=∠BEO+∠OFD=90°，即180°?5x+5y=90°，∴x?y=18°，又∵∠EMN＝3n°，∴∠MNF=∠MNQ+∠FNQ，∠MNQ=∠PMN=∠EMN?∠EMP，∴∠MNF=∠MNQ+∠FNQ=3n°?2x+2y=180°?5m°，即m=216°?3n又∵n＞m，則n>216°?3n∵∠EMN=3n°<180°，∴n<60，綜上，27<n<60．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解體的關(guān)鍵．9．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B=30°(1)若∠E=50°，則∠F=________；(2)請(qǐng)判斷∠BEF與∠EFD之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由．(3)如圖2，若EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于P，求∠P的度數(shù)；【答案】(1)80°(2)∠EFD=∠BEF+30°，理由見解析(3)∠P=15°【分析】（1）如圖，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，證明EM∥AB∥FN，可得∠EFN=∠MEF=50°?30°=20°，證明∠DFN=60°，從而可得答案；（2）如圖，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，證明EM∥AB∥FN，可得∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，證明∠DFN=60°，可得∠EFD=∠MEF+60°，從而可得結(jié)論；（3）如圖，過點(diǎn)F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=2x+30°，證明∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12【詳解】（1）如圖，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∵∠MEF=50°，∴∠EFN=∠MEF=50°?30°=20°，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠EFD=20°+60°=80°；（2）數(shù)量關(guān)系為∠EFD=∠BEF+30°，證明：如圖，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）如圖，過點(diǎn)F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=2x+30∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°∵FH∥EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∴∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°，∴∠P=15°．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質(zhì)探究角度的大小關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.10．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.如圖，已知EM∥BN，點(diǎn)A在EM、BN內(nèi)部，我們過點(diǎn)A作EM或BN的平行線AP，則有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．(1)現(xiàn)將點(diǎn)A移至如圖2的位置，以上結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠E、∠A、∠B之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(2)如圖3，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)F；①若∠A=120°，∠AEM=140°，則∠EFD=______．②試探究∠EFD與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．(3)如圖4，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥EF交BN于點(diǎn)G，若∠A=∠BFG，則∠EFB=______．【答案】(1)結(jié)論不成立，應(yīng)該是∠BAE+∠E+∠B=360°，理由見解析(2)①60°；②∠EFD=(3)30°【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠E+∠EAP=180°，∠B+∠BAP=180°，即可求解；（2）①由角平分線的性質(zhì)可得∠DEF=12∠AEM=70°，∠DBC=12∠ABC=50°，由平行線的性質(zhì)可得∠PFE=∠DEF=70°，∠PFB=∠FBC=50°，即可求解，②由角平分線的性質(zhì)可得∠DEF=1（3）由角平分線的性質(zhì)可得∠HAE=∠AEM，∠HAB=∠ABN，∠PFE=∠FEM，∠PFB=∠FBG，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】（1）解：結(jié)論不成立，應(yīng)該是∠BAE+∠E+∠B=360°，理由如下：如圖2，過點(diǎn)A作AP∥EM，∵AP∥EM，EM∥BN，∴EM∥AP∥BN，∴∠E+∠EAP=180°，∠B+∠BAP=180°，∴∠E+∠EAB+∠B=360°；（2）①如圖3，過點(diǎn)F作PF∥EM，∵∠A=120°，∠AEM=140°，∠AEM+∠EAB+∠ABC=360°，∴∠ABC=100°，∵∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)F，∴∠DEF=12∠AEM=70°∵PF∥EM，EM∥BN，∴PF∥EM∥BN，∴∠PFE=∠DEF=70°，∠PFB=∠FBC=50°，∴∠BFE=120°，∴∠EFD=60°；②∵∠AEM+∠EAB+∠ABC=360°∴∠AEM+∠ABC=360°?∠EAB，∵∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)F，∴∠DEF=12∠AEM∵PF∥EM，EM∥BN，∴PF∥EM∥BN，∴∠PFE=∠DEF，∠PFB=∠FBC，∴∠EFD=180°?∠EFP?∠PFB=180°?1（3）如圖4，過點(diǎn)F作PF∥EM，過點(diǎn)A作AH∥EM，∵∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點(diǎn)F，∴∠FEM=12∠AEM∵PF∥EM，AH∥EM，EM∥BN，∴PF∥EM∥AH∥BN，∴∠HAE=∠AEM，∠HAB=∠ABN，∠PFE=∠FEM，∠PFB=∠FBG，∴∠BAE=∠ABG?∠AEM，∠BFE=∠FBG?∠FEM，∵∠BAE=∠BFG，∵EF⊥FG，∴∠BFE+∠BFG=90°，∴∠ABG?∠AEM+∠FBG?∠FEM=90°，∴3∠FBG?3∠FEM=90°，

∴∠FBG?∠FEM=30°，∴∠EFB=30°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線．11．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）(1)探究：如圖1，AB∥CD，點(diǎn)G、H分別在直線AB、CD上，連接PG、PH，當(dāng)點(diǎn)P在直線GH的左側(cè)時(shí)，試說明(2)變式：如圖2，將點(diǎn)P移動(dòng)到直線GH的右側(cè)，其他條件不變，試探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之間的關(guān)系，并說明理由；(3)(問題遷移)如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠GPH、∠AGP、(4)(聯(lián)想拓展)如圖4所示，在(2)的條件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分線和∠PHD的平分線交于點(diǎn)Q，用含有α的式子表示∠GQH的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°，理由見解析；(3)∠GPH=∠AGP?∠CHP，理由見解析；(4)∠GQH=12【分析】（1）如圖所示：過點(diǎn)P作PE∥AB，則PE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出（2）過點(diǎn)P作PF∥AB，∠AGP+∠GPF=180°，根據(jù)（1）的方法得出∠GPH=∠GPF+∠FPH，繼而得出（3）過點(diǎn)P作PM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠GPH=∠MPG?∠MPH，即可得出（4）過點(diǎn)P作PN∥AB，過點(diǎn)Q作OQ∥AB，則PN∥CD，OQ∥CD，得出∠NPH=∠PHD，∠OQH=∠QHD，根據(jù)∠GPH=∠NPH?∠NPG，∠GQH=∠OQH?∠OQD，根據(jù)角平分線的定義得出∠QGB=12∠PGB，∠QHD=【詳解】解：（1）如圖所示：過點(diǎn)P作PE∥∴∠AGP=∠GPE，∵AB∥∴PE∥∴∠CHP=∠HPE，∵∠GPH=∠GPE+∠HPE，∴∠GPH=∠AGP+∠CHP；（2）∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°，理由如下：如圖所示：過點(diǎn)P作PF∥∴∠AGP+∠GPF=180°，∵AB∥∴PF∥∴∠FPH+∠CHP=180°，∴∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP=360°，∵∠GPH=∠GPF+∠FPH，∴∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°；（3）∠GPH=∠AGP?∠CHP，理由如下：如圖所示：過點(diǎn)P作PM∥∴∠AGP=∠MPG，∵AB∥∴PM∥∴∠CHP=∠MPH，∵∠GPH=∠MPG?∠MPH，∴∠GPH=∠AGP?∠CHP；（4）如圖所示：過點(diǎn)P作PN∥AB，過點(diǎn)Q作∴∠NPG=∠PGB，∠OQG=∠QGB，∵AB∥∴PN∥∴∠NPH=∠PHD，∠OQH=∠QHD，∵∠GPH=∠NPH?∠NPG，∠GQH=∠OQH?∠OQD，∴∠GPH=∠PHD?∠PGB，∠GQH=∠QHD?∠QGB，∵∠PGB的平分線和∠PHD的平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QGB=12∠PGB，∠QHD=12∴∠GQH=∠QHD?∠QGB=12∠PHD?12∠PGB=12(∠PHD?∠PGB)=1∴∠GQH=12α【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【題型3平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】1．（2023下·廣西百色·七年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀以下“預(yù)防近視”知識(shí)卡讀書、寫字、看書姿勢(shì)要端正．一般人正常的閱讀角度約為俯角（如圖視線BC與水平線BA的夾角∠ABC)40度．在學(xué)習(xí)和工作中，要保持讀寫姿勢(shì)端正，可概括為“三個(gè)一”，包括：眼與書本的距離1尺；身體與桌子距離1拳；握筆時(shí)，手指離筆尖1寸．書本與課桌的角度要保持在30度至45度．已知如圖，桌面和水平面平行，CD與書本所在平面重合，根據(jù)卡片內(nèi)容，請(qǐng)判斷正常情況下，坐姿正確且座椅高度適合時(shí)，視線BC和書本所在平面所成角度∠BCD不可能為以下哪個(gè)角度（）

A．74° B．78° C．84° D．88°【答案】D【分析】過C作CF∥AB，由平行線的性質(zhì)得∠DCF=∠EDC，∠BCF=∠ABC=40°，由30°<∠DCF<45°，可得70°<∠BCD<85°，即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意得AB∥CD，∠ABC=40°，30°<∠EDC<45°，

∴∠BCF=∠ABC=40°，過C作CF∥AB，∴CF∥ED，∴∠DCF=∠EDC，∴30°<∠DCF<45°，∴30°+40°<∠DCF+∠BCF<45°+40°，∴70°<∠BCD<85°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校﹫D1中所示是學(xué)校操場(chǎng)邊的路燈，圖2為路燈的示意圖，支架AB、BC為固定支撐桿，燈體是CD，其中AB垂直地面于點(diǎn)A，過點(diǎn)C作射線CE與地面平行（即CE∥l），已知兩個(gè)支撐桿之間的夾角∠ABC=140°，燈體CD與支撐桿BC之間的夾角∠DCB=80°，則∠DCE的度數(shù)為

【答案】30°/30度【分析】過點(diǎn)B作BF∥CE．先利用平行線的性質(zhì)和垂直的定義、角的和差關(guān)系求出【詳解】解：過點(diǎn)B作BF∥∵CE∥∴BF∥∴∠ABF=∠1=90°．∵∠ABC=140°，∴∠CBF=140°?90°=50°．∵BF∥∴∠ECB=∠CBF=50°．∴∠DCE=∠DCB?∠BCE=80°?50°=30°．故答案為：30°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架AB、BC為固定支撐桿，支架OC可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角∠DOE=52°，頂角平分線OP始終與OC垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架OC旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，OD恰好與BC平行，求支架BC與水平方向的夾角∠θ的度數(shù)；(2)若將圖2中的OC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°到如圖3的位置，求此時(shí)OD與水平方向的夾角∠OQM的度數(shù)．【答案】(1)64°(2)49°【分析】（1）利用角平分線定義可得∠DOP=12∠DOE=26°，由垂直定義可得∠COP=90°（2）過點(diǎn)C作CG∥MN，過點(diǎn)O作【詳解】（1）解：如圖2，