貴州省黔東南苗族侗族自治州2025屆高三上學期開學考試 數(shù)學

高三數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.函數(shù)的最小正周期為（）A B. C.2 D.14.已知，，，則（）A. B. C. D.5.如圖，在直角梯形中，，，且，，.將直角梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）A. B. C. D.6.已知，且，則（）A. B. C. D.7.已知點關(guān)于直線對稱的點在圓：上，則（）A.4 B. C. D.8.已知函數(shù)，.當時，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若隨機變量，且，則（）A. B.C. D.10.已知，橢圓：，：的離心率分別為，.若，則的值可能為（）A B. C. D.11.如圖，平行六面體的所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點，分別在棱，上，且，，則（）A.，，，四點共面B.在方向上的投影向量為C.D.直線與所成角的余弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則______.13.的展開式中的系數(shù)為______.14.對于任意的，函數(shù)滿足，函數(shù)滿足.若，，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的取值范圍；（2）若，且，求值.16.已知奇函數(shù)在處取得極大值16.（1）求解析式；（2）求經(jīng)過坐標原點并與曲線相切的切線方程.17.如圖，在四面體中，.若從直線，，，中任選兩條，則它們互相垂直概率為.（1）證明：平面；（2）若四面體的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.18.已知雙曲線：的一個焦點與拋物線：的焦點重合，且被的準線截得的弦長為.（1）求的方程；（2）若過的直線與的上支交于，兩點，設(shè)為坐標原點，求的取值范圍.19.已知數(shù)列an的前項和為，若存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，均有，則稱an為“型”數(shù)列.（1）若，且an為“型”數(shù)列，求的最小值；（2）若an為“3型”數(shù)列，且，設(shè)的所有可能值個數(shù)為，證明：.關(guān)注公眾號《品數(shù)學》，獲取更多精品資料！高三數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共軛復數(shù)的定義計算即可.【詳解】因為，所以.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性可求得集合A，再結(jié)合交集的概念即可得答案.【詳解】因為，所以.故選：C.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)與正切的函數(shù)的周期即可直接判斷.【詳解】因為函數(shù)與的最小正周期分別為，，所以的最小正周期為.故選：A.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定大小即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得，所以，，故.故選：D5.如圖，在直角梯形中，，，且，，.將直角梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓臺的表面積公式求解即可.【詳解】由題可知，該旋轉(zhuǎn)體為上底面半徑，下底面半徑，母線長的圓臺，則該圓臺的表面積.故選：C.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式結(jié)合角的余弦值確定角的范圍計算即可.【詳解】因為，，所以，則，則.故選：A7.已知點關(guān)于直線對稱的點在圓：上，則（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)利用點關(guān)于線對稱列方程求得Q坐標，代入圓方程計算即可.【詳解】設(shè)，則，解得，.因為在上，所以，解得.故選：B8.已知函數(shù)，.當時，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用導數(shù)含參討論該函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】令，則.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則當時，，單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，即，符合題意.故的取值范圍為.故選：D【點睛】思路點睛：通過構(gòu)造函數(shù)，直接求導含參討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合端點值，排除的情況即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若隨機變量，且，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用二項分布的性質(zhì)及期望、方差公式計算一一判定選項即可.【詳解】因為，所以，整理得，解得，則，，.故選：AC10.已知，橢圓：，：的離心率分別為，.若，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】分別根據(jù)橢圓方程，結(jié)合分類討論思想得出，，再由得出的等量關(guān)系式，求解即可得出答案.【詳解】若，則，，則，解得.若，則，，則，解得或（舍去）.若，則，，，方程無解.故選：AB.11.如圖，平行六面體的所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點，分別在棱，上，且，，則（）A.，，，四點共面B.在方向上的投影向量為C.D.直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】在上取點，使得，可得四邊形、四邊形為平行四邊形，求出，可判斷A；對兩邊平方求出，再由投影向量的定義可判斷B；由的線性運算后再平方可判斷C；由向量的夾角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，在上取點，使得，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，可得，，，四點共面，故A正確；對于B，因為平行六面體棱長均為2，、、兩兩所成夾角均為，所以，則，則，，故B正確；對于C，，，則，故C不正確；對于D，故，故直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求向量模長解題的關(guān)鍵點是先對所求向量進行線性運算，再平方計算.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則______.【答案】3【解析】【分析】利用平面向量平行的坐標表示計算即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：313.的展開式中的系數(shù)為______.【答案】8【解析】【分析】由題意利用二項式展開式的通項公式可得答案.【詳解】由二項式定理可得，該展開式中系數(shù)為，的系數(shù)為，故的展開式中的系數(shù)為：.故答案：8.14.對于任意的，函數(shù)滿足，函數(shù)滿足.若，，則______.【答案】2【解析】【分析】利用賦值法先判定的周期性，化，再利用賦值法計算即可.【詳解】令，得，則或（與矛盾舍去）.令，得，則，則，則，則.又因為，所以，則，從而.故答案為：2【點睛】思路點睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)問題通常用賦值法，通過巧妙賦值先判定的周期性，再利用賦值法計算函數(shù)值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的取值范圍；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可求出可得答案；（2）由兩角和的正弦展開式化簡，再由及的范圍求出可得答案.【小問1詳解】由余弦定理可知.因為，所以，則的取值范圍為；【小問2詳解】.由，得，由（1）可知，所以，則，解得，則.16.已知奇函數(shù)在處取得極大值16.（1）求的解析式；（2）求經(jīng)過坐標原點并與曲線相切的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由是奇函數(shù)求得，再結(jié)合在處取得極大值16構(gòu)成方程組即可求得a和c，則解析式可求；（2）先設(shè)切點坐標為，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【小問1詳解】因為是奇函數(shù)，所以f?x=?f即，則，從而，.因為在處取得極大值16，所以解得經(jīng)檢驗知此時在處取得極大值，故.【小問2詳解】由（1）可設(shè)切點坐標為，則，切線方程為.因為切線經(jīng)過坐標原點，所以，解得，故經(jīng)過坐標原點并與曲線y=fx相切的切線方程為.17.如圖，在四面體中，.若從直線，，，中任選兩條，則它們互相垂直的概率為.（1）證明：平面；（2）若四面體的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由直線，，，中任選兩條，它們互相垂直的概率為可得，，，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）由四面體的體積為可得，過點作，垂足為，證明為直線與平面所成的角即可求得答案.【小問1詳解】證明：從直線，，，中任選兩條，不同的選法共有種，因為它們互相垂直的概率為，所以互相垂直的直線有3對.又，所以與，均不垂直.若，則恰與，，的其中兩條垂直，不妨設(shè)，，則平面，則，不符合題意.若與不垂直，則，，，，平面，則平面，符合題意，故平面.【小問2詳解】解：設(shè)，則，解得，則或.若，則為正三角形，則，不符合題意.若，則，符合題意.如圖，過點作，垂足為.因為平面，平面，所以，，平面，所以平面.連接，則為直線與平面所成的角.，則，故直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線：的一個焦點與拋物線：的焦點重合，且被的準線截得的弦長為.（1）求的方程；（2）若過的直線與的上支交于，兩點，設(shè)為坐標原點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，求解焦點的坐標和準線方程，進而得到雙曲線的焦點坐標，又由雙曲線被拋物線準線截得的弦長為，可得雙曲線的方程；（2）設(shè)：，代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及韋達定理的應用，化簡即可得關(guān)于k的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．【小問1詳解】由題可知，的坐標為0,2，則.易知的方程為，不妨設(shè)與相交于點，，則，整理得，則，可得故的方程為.【小問2詳解】由題可知，直線的斜率一定存在，設(shè)：，Ax1,y1，Bx2聯(lián)立方程組整理得，則，,.由，在軸的上方，所以，，可得.，則.由，得，則，故的取值范圍為.【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值和范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法.本題（2）就是用的這種思路，利用函數(shù)的性質(zhì)求的范圍.19.已知數(shù)列an的前項和為，若存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，均有，則稱an為“型”數(shù)列.（1）若，且an為“型”數(shù)列，求的最小值；（2）若an為“3型”數(shù)列，且，設(shè)的所有可能值個數(shù)為，證明：.【答案】（1）3（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可先得出，取得出，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)適當放縮可證明滿足條件，從而得出結(jié)果；（2）先根據(jù)條件得出，再設(shè)an的前項中有項為1，其余項為0，利用適當放縮得出對任意，均有an“3型”數(shù)列，最后利用等比數(shù)列求和公式即可