第四講、第二章彈性力學(xué)平面問題(1、2)

第四講、第二章彈性力學(xué)平面問題(1、2)緒論??§1.3彈性力學(xué)的基本假設(shè)（5個）§1.4彈性力學(xué)的發(fā)展（名人的故事）§1.5彈性力學(xué)的研究方法（解析、數(shù)值

§1.6彈性力學(xué)的建模方法（工程問題簡

化）上講回顧（引言）22024/9/13第二章平面問題

基本理論8學(xué)時平面問題關(guān)鍵點(diǎn)：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等。第二章平面問題的基本理論

2024/9/13ZS主要內(nèi)容§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的應(yīng)力主應(yīng)力§2-4幾何方程剛體位移§2-5物理方程§2-6邊界條件§2-7圣維南原理§2-8按位移求解平面問題§2-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程§2-10常體力情況下的簡化斜方向的應(yīng)變及位移§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題§2-2平衡微分方程本講主要內(nèi)容62024/9/13平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題72024/9/13xyyztba(1)平面應(yīng)力問題如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy

平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個薄板的各點(diǎn)都有：由剪應(yīng)力互等定理，有平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。2、平面應(yīng)變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。——近似認(rèn)為無限長(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。約束——沿長度z方向不變化。2.、

平面應(yīng)變問題水壩滾柱厚壁圓筒(3)變形特征

如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。

設(shè)z方向為無限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面水壩因為任一橫截面均可視為對稱面，則有所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于xy平面?！矫嫖灰茊栴}——平面應(yīng)變問題注：(1)平面應(yīng)變問題中但是，(2)平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：——僅為xy的函數(shù)。可近似為平面應(yīng)變問題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。

如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？非平面問題3、平面問題的求解問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數(shù)需建立三個方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；形變與位移間的關(guān)系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；兩類平面問題：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題幾何特征受力特征應(yīng)力特征幾何特征;受力特征;應(yīng)變特征。微元體平衡方程§2-2平衡微分方程162024/9/13BACPxyO取微元體PABC（P點(diǎn)附近），DfxfyZ方向取單位長度。設(shè)P點(diǎn)應(yīng)力已知：體力：fx，fyPPPBACxyO取微元體PABC（P點(diǎn)附近），DfxfyZ方向取單位長度。設(shè)P點(diǎn)應(yīng)力已知：體力：fx，fyAC面：BC面：

注：

這里兩次用了小變形假定，以變形前的尺寸代替變形后尺寸，并且？？？PBACxyODfxfy由微元體PABC平衡，得整理得：當(dāng)時，有——剪應(yīng)力互等定理兩邊同除以dxdy，并整理得：兩邊同除以dxdy，并整理得：PBACxyODfxfy平面問題的平衡微分方程：（2-2）說明：（1）兩個平衡微分方程，三個未知量：——超靜定問題，需找補(bǔ)充方程才能求解。（2）對于平面應(yīng)變問題，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程與材料性質(zhì)無關(guān)（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對整個彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。PBACxyODfxfy比較平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的平衡微分方程。課堂練習(xí)與討論2024/9/13ZS平面問題平衡微分方程小結(jié)202