蘇科版九年級數(shù)學下冊舉一反三專題5.5實際問題與二次函數(shù)【十大題型】同步練習(學生版+解析)

專題5.5實際問題與二次函數(shù)【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用二次函數(shù)求最大利潤】 1【題型2利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】 2【題型3利用二次函數(shù)求最大面積】 4【題型4利用二次函數(shù)求最小周長】 5【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋問題】 6【題型6利用二次函數(shù)解決隧道問題】 8【題型7利用二次函數(shù)解決圖形運動問題】 10【題型8利用二次函數(shù)解決運動員空中跳躍軌跡問題】 12【題型9利用二次函數(shù)解決球類運行的軌跡問題】 15【題型10利用二次函數(shù)解決噴頭噴出的球的軌跡問題】 17【題型1利用二次函數(shù)求最大利潤】【例1】（2023春·廣東茂名·九年級?？奸_學考試）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元．設生產(chǎn)并銷售B型車床x臺．(1)當x>4時，若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產(chǎn)并銷售B型車床多少臺？(2)當0<x≤14時，設生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床的數(shù)量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤．【變式1-1】（2023春·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯足球賽開戰(zhàn)，很多商家都緊緊把握這一商機，賽場內(nèi)外隨處可見“中國制造”的身影，某商家銷售一批“中國制造”的吉祥物“拉伊卜”毛絨玩具，已知每個毛絨玩具“拉伊卜”的成本為40元，銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的1.8倍，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，毛絨玩具“拉伊卜”每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每個毛絨玩具“拉伊卜”的售價為多少元時，該商家每天的銷售利潤為2400元？(3)當毛絨玩具“拉伊卜”的銷售單價為多少元時，該商家每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【變式1-2】（2023春·廣東汕頭·九年級?？计谥校┠撑l(fā)商以24元/箱的進價購進某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標價為45元/箱，實際售價不低于標價的八折．批發(fā)商通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的銷售量y（箱）與當天的售價x（元/箱）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的兩組對應值．售價x（元/箱）…3538…銷售量y（箱）…130124…(1)若某天這種蔬菜的售價為42元/箱，則當天這種蔬菜的銷售最為________箱；(2)該批發(fā)商銷售這種蔬菜能否在某天獲利1320元？若能，請求出當天的銷售價；若不能，請說明理由．(3)批發(fā)商搞優(yōu)惠活動，購買一箱這種蔬菜，贈送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價定為多少時，可獲得日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少元？【變式1-3】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）一企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品（假設銷量與產(chǎn)量相等），已知該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本為40元，售價y（元）與產(chǎn)量xkg之間的函數(shù)關(guān)系為y=?(1)當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？(2)若企業(yè)每銷售該產(chǎn)品1kg需支出其他費用a元a>0，當70≤x≤80時該企業(yè)獲得的最大利潤為2450元，求a【題型2利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】【例2】（2023春·湖南郴州·九年級統(tǒng)考期末）2022年秋天，某地發(fā)生旱情，為抗旱保豐收，當?shù)卣贫ㄞr(nóng)戶投資購買抗旱設備的補貼方法：購買A型設備，政府補貼金額（y1：萬元）與投資的金額（x：萬元）的函數(shù)對應關(guān)系為：y1=kx(k≠0)，當x=5時y1=4；購買B型設備，政府補貼金額（y2：萬元）與投資的金額（x：萬元）的函數(shù)對應關(guān)系為y2=ax(1)分別求出y1(2)有一農(nóng)戶投資10萬元同時購買A型和B型兩種設備，獲得的政府補貼為y萬元．請你設計一個能獲得最大補貼的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼．【變式2-1】（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）某班計劃購買A，B兩種花苗，根據(jù)市場調(diào)查整理出表：A種花苗盆數(shù)B種花苗盆數(shù)花費（元）35220410380(1)求A，B兩種花苗的單價；(2)經(jīng)過班級學生商討，決定購買A，B兩種花苗12盆（A，B兩種花苗都必須有），同時得到了優(yōu)惠方式：購買幾盆A種花，A種花苗每盆就降價幾元．請設計花費最少的購買方案．【變式2-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級期末）2011年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情．為抗旱保豐收，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設備的補貼辦法，其中購買Ⅰ型、Ⅱ型抗旱設備投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應關(guān)系．型號金額投資金額x（萬元）Ⅰ型設備Ⅱ型設備x5x24補貼金額y（萬元）y1=kx（2y2=ax2.43.2(1)分別求y1和y(2)有一農(nóng)戶同時對Ⅰ型、Ⅱ型兩種設備共投資10萬元購買，請你設計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼金額．【變式2-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）某公司經(jīng)銷甲、乙兩種產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：①銷售甲產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的關(guān)系為y=0.6x；②銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的關(guān)系為y=ax2+bx；當x＝1時y＝1.3；當x（1）求銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司計劃購進甲、乙兩種產(chǎn)品共20萬件，要想使銷售總利潤最大，應如何安排經(jīng)銷方案？總利潤最大為多少？【題型3利用二次函數(shù)求最大面積】【例3】（2023春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學?？计谥校┤鐖D，一塊矩形區(qū)域ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開．已知籬笆的總長為18米（籬笆的厚度忽略不計），求當矩形ABCD的面積最大時AB的長．

【變式3-1】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AG、AH為固定墻且∠GAH=135°，現(xiàn)利用固定墻和總長為40米的竹籬笆修建一個四邊形ABCD的儲料場，其中AD∥BC，∠C=90°．已知固定墻AG長為12米，(1)當CD長為18米時，求此時儲料場的面積；(2)怎樣修建才能使儲料場的面積最大．【變式3-2】（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）春回大地，萬物復蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．(1)設育苗區(qū)的邊長為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，【變式3-3】（2023春·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）問題探究：（1）如圖1，已知線段AB＝2，AC＝4，連接BC，則三角形ABC面積最大值是；（2）如圖2，矩形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面積最大值；問題解決：（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，則四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【題型4利用二次函數(shù)求最小周長】【例4】（2023春·九年級課時練習）甲船從A處起以15nmile/h的速度向正北方向航行，這時乙船從A的正東方向20nmile的B處起以20nmile/h的速度向西航行，多長時間后，兩船的距離最??？最小距離是多少？【變式4-1】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，以直線x=1為對稱軸的拋物線y=?x2+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，其中點B(1)點A的坐標為______；(2)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設拋物線的頂點為D，若將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過原點O，且與x軸的另一個交點為E，若在y軸上存在一點F，連接DE，DF，EF，使得△DEF的周長最小，求F點的坐標．【變式4-2】（2023春·江西贛州·九年級?？计谥校W以致用：問題1：怎樣用長為12cm的鐵絲圍成一個面積最大的矩形？小學時我們就知道結(jié)論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為3cm的正方形時面積最大為9cm思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為9m小明猜測：圍成正方形時周長最?。疄榱苏f明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b?2p，當且僅當a=b時，a+ba+b?2ab(a,b對于任意正實數(shù)a、b，∵(a?b)2∴a+b?2ab，當且僅當a=b解決問題：（1）若x>0，則x+4x?（當且僅當x=時取“=（2）運用上述結(jié)論證明小明對問題2的猜測；（3）當x>?1時，求y=x【變式4-3】（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A、B，CD是線段OB上的一動線段，且CD=2，過點C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F、E，連接EF．（1）點A的坐標為，線段OB的長=；（2）設點C的橫坐標為m．①當四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋問題】【例5】（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）某拋物線形拱橋的截面圖如圖所示．某數(shù)學小組對這座拱橋很感興趣，他們利用測量工具測出水面的寬AB為8米．AB上的點E到點A的距離AE=1米，點E到拱橋頂面的垂直距離EF=74米．他們以點A為坐標原點，以AB所在直線為(1)求該拋物線所對應的函數(shù)表達式．(2)求拱橋頂面離水面AB的最大高度．(3)現(xiàn)有一游船（截面為矩形）寬度為4米，船頂?shù)剿娴母叨葹?米．要求游船從拱橋下面正中間通過時，船頂?shù)焦皹蝽斆娴木嚯x應大于0.5米．請通過計算說明該游船是否能安全通過．【變式5-1】（2023春·河南商丘·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個拋物線形拱橋的截面圖，在正常水位時，水位線AB與拱橋最高點的距離為9m，水面寬AB=30(1)請你建立合適的平面直角坐標系xOy，并根據(jù)建立的平面直角坐標系求出該拋物線的解析式．(2)已知一艘船（可近似看成長方體）在此航行時露出水面的高度為4m，若這艘船的寬度為18m，當水位線比正常水位線高出【變式5-2】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖，水面寬AB與橋長CD均為12m，在距離D點3m的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．如圖2，橋面上方有3根高度均為5m的支柱CG、OH、DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為2m，下面結(jié)論正確的是①圖1拋物線型拱橋的函數(shù)表達式y(tǒng)=?1②圖2右邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=1③圖2左邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=1④圖2在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，彩帶長度的最小值是3m【變式5-3】（2023春·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期末）某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系（以AB中點為原點，拋物線對稱軸所在直線為y軸）中，拱橋高度OC=5m，跨度AB=20(1)求拋物線的解析式．(2)拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形EFGH（H，G分別在拋物線的左右側(cè)上），已知搭建“腳手架”EFGH的三邊所用鋼材長度為18.4m（EF在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點E與拱橋端點A(3)已知公園要進行改造，在原位置上將拱橋ACB改造為圓弧AC'B，跨度AB不變，且（2）中“腳手架”矩形EFGH仍然適用（E，F(xiàn)打樁位置不變，H，G依然在拱橋上），求改造后拱橋的高度OC'【題型6利用二次函數(shù)解決隧道問題】【例6】（2023·北京海淀·九年級期末）如圖1是某條公路的一個具有兩條車道的隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻AD和BC與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB=8米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點E，測量點E到墻面AD的距離AE，點E到隧道頂面的距離EF．設AE=x米，EF=y米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出隧道頂面到路面AB的最大距離為___________米，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax??(2)請你幫助工程人員建立平面直角坐標系．描出上表中各對對應值為坐標的點，畫出可以表示隧道頂面的函數(shù)的圖像．(3)若如圖2的汽車在隧道內(nèi)正常通過時，汽車的任何部位需到左側(cè)墻及右側(cè)墻的距離不小于1米且到隧道頂面的距離不小于0.35米．按照這個要求，隧道需標注的限高應為多少米（精確到0.1米）？【變式6-1】（2023春·山東青島·九年級校聯(lián)考期末）如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長方形構(gòu)成，已知OA=12米，OB=4米，拋物線頂點D到地面OA的垂直距離為10米，以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸建立直角坐標系．（1）求拋物線的解析式；（2）由于隧道較長，需要在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們到地面的高度相同，如果燈離地面的高度不超過8米，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？（3）一輛特殊貨運汽車載著一個長方體集裝箱，集裝箱寬為4m，最高處與地面距離為6m，隧道內(nèi)設雙向行車道，雙向行車道間隔距離為0.5m，交通部門規(guī)定，車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5m，才能安全通行，問這輛特殊貨車能否安全通過隧道？【變式6-2】（2023春·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)要修建一條公路隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O為坐標原點，以OE所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設計要求OE=12m，隧道上距點O水平方向2米及豎直方向6米的A(1)求滿足設計要求的拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)需在這個隧道中間位置設置雙向通行車道，加中間隔離帶合計寬度9米，隧道入口對車輛要求限高，請通過計算說明高度不超過4.5米的車輛能否安全通過該隧道？【變式6-3】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）為促進經(jīng)濟發(fā)展，方便居民出行．某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道．拋物線的最高點P離路面OM的距離為6m，寬度OM為12m．（1）按如圖所示的平面直角坐標系，求表示該拋物線的函數(shù)表達式；（2）一貨運汽車裝載某大型設備后高為4m，寬為3.5m．如果該隧道內(nèi)設雙向行車道（正中間是一條寬1m的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？（3）施工隊計劃在隧道口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A，D點在拋物線上．B，C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿AB，AD，DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．【題型7利用二次函數(shù)解決圖形運動問題】【例7】（2023春·新疆烏魯木齊·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AD=8,BD=45．點P是線段AD上一個動點，將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°到線段A'P，連接A'C、PC(1)求線段AB的長度；(2)求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍．【變式7-1】（2023春·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點P，Q同時從點A處出發(fā)，以2cm/s小的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點C運動．設運動時間為x（單位：s），以P、B、D、Q為頂點的圖形面積的為y（單位：cm2），則下列圖像中可表示y與x（0≤x≤4且x≠2）之間的函數(shù)關(guān)系的是（B．C． D．【變式7-2】（2023春·河南許昌·九年級?？计谀┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，P點沿邊AC向C以每秒3個單位長度的速度運動，Q點沿邊BC向B以每秒4個單位長度的速度運動，當P，Q到達終點C，B時，運動停止，設運動時間為t(1)當運動停止時，t的值為____________；(2)設△PCQ的面積為S．①求S的表達式（用含t的式子表示，并注明t的取值范圍）；②求當t為何值時，S取得最大值，這個最大值是多少？【變式7-3】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點M是BC邊上的動點，點M從點B出發(fā)，運動到點C停止，N是CD邊上一動點，在運動過程中，始終保持AM⊥MN，設BM=x，CN=y．(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍______；(2)先完善表格，然后在平面直角坐標系中利用描點法畫出此拋物線．直接寫出m=______，x...2345678...y2213m3212...(3)結(jié)合圖象，指出M、N在運動過程中，當CN達到最大值時，BM的值是______；并寫出在整個運動過程中，點N運動的總路程______．【題型8利用二次函數(shù)解決運動員空中跳躍軌跡問題】【例8】（2023春·安徽六安·九年級?？计谀┨_滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高，2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，基準點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y=ax(1)①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a=?150，b=910，求基準點②若a=?150時，運動員落地點要超過K點，則(2)若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好起跳點達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．【變式8-1】（2023春·北京東城·九年級北京二中校聯(lián)考期末）第二十四屆冬季奧林匹克運動會已于2022年在北京成功舉辦，跳臺滑雪是北京冬奧會的比賽項目之一，近些年來冰雪運動也得到了蓬勃發(fā)展．如圖是某跳臺滑雪場地的截面示意圖．平臺AB長1米（即AB=1），平臺AB距地面18米．以地面所在直線為x軸，過點B垂直于地面的直線為y軸，取1米為單位長度，建立平面直角坐標系，已知滑道對應的函數(shù)為y=0.4x2?4x+cx≥1．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落過程中的某位置（忽略空氣阻力）．設運動員飛出時間為t秒，運動員與點A的豎直距離為h米，運動員與點A的水平距離為l米，經(jīng)實驗表明：(1)求滑道對應的函數(shù)表達式；(2)當v=5，t=1時，通過計算判斷運動員此時是否已落在滑道上；(3)在試跳中，運動員從A處飛出，運動員甲飛出的路徑近似看做函數(shù)y=?16x2+13x+1076圖像的一部分，著陸時水平距離為【變式8-2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x??)某運動員進行了兩次訓練．(1)第一次訓練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x??)(2)第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.04(x?9)2+23.24.記該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為d2【變式8-3】（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）北方的冬天，人們酷愛冰雪運動，在這項運動里面，我們可以用數(shù)學知識解決一些實際問題．如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，圖中的拋物線C1:y=?1480x2+40近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O(1)求小山坡最高點到水平線的距離．(2)求拋物線C2(3)當運動員滑出點A后，直接寫出運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡C1【題型9利用二次函數(shù)解決球類運行的軌跡問題】【例9】（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）籃球運動員投籃后，球運動的路線為拋物線的一部分（如圖），拋物線的對稱軸為直線x=2.5．（1）求籃球運動路線的拋物線表達式和籃球在運動中離地面的最大高度．（2）若籃筐離地面3.05m，離運動員投籃處水平距離為4.2【變式9-1】（2023春·浙江·九年級期末）如圖，在一次足球比賽中，守門員在地面O處將球踢出，一運動員在離守門員8米的A處發(fā)現(xiàn)球在自己頭上的正上方4米處達到最高點M，球落地后又一次彈起．據(jù)實驗測算，足球在空中運行的路線是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．（1）求足球第一次落地之前的運動路線的函數(shù)表達式及第一次落地點B和守門員（點O）的距離；（2）運動員（點A）要搶到第二個落點C，他應再向前跑多少米？（假設點O、A、B、C在同一條直線上，結(jié)果保留根號）【變式9-2】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a(x－6)2＋h.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m.（1）當h＝2.6時，求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)（2）當h＝2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由．【變式9-3】（2023春·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）在卡塔爾世界杯期間，圖1是某足球運動員在比賽期間的進球瞬間，足球在抽射過程中恰好碰到防守隊員的身體，改變足球線路，彈射入網(wǎng)．小沖在訓練過程中也嘗試這樣的射門，如圖2是小沖在訓練時的示意圖，足球在空中的運動軌跡可以抽象成一條拋物線，假設足球在碰到障礙平臺后的運動軌跡，與末碰到障礙平臺前的軌跡的形狀完全相同，且達到最高點時離地高度也相同，并且兩條軌跡在同一平面內(nèi)，射門時的起腳點O與障礙平臺A之間的距離OA為9m，障礙平臺高為1.08m，若小沖此次訓練時足球正好在前方5m的點C處達到最高點，離地面最高距離為3m，以地面OA所在直線為x軸，過點O且垂直于(1)求過O，C，B三點的拋物線表達式；(2)此時障礙平臺與球門之間的距離AD為6m，已知球門高為2.44【題型10利用二次函數(shù)解決噴頭噴出的球的軌跡問題】【例10】（2023春·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，為美化校園，學校要建造一個圓形噴水池，計劃在噴水池周邊安裝一圈可移動的噴水頭向中央噴水，使水流沿形狀相同的拋物線落下．以噴水池中心為原點，水平方向為x軸、中心線為y軸建立平面直角坐標系，則水柱高度y（單位：m）與水柱距離噴水池中心的水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系如圖2所示．當水流與中心線的水平距離為2m時，達到最大高度3.61m，此時水柱剛好經(jīng)過中心線上的點A，已知點A距水面高2.61m．(1)求如圖2所示拋物線的解析式．(2)為形成錯落有致的噴水景觀，現(xiàn)讓噴水頭向中心線沿直線滑動，在保持水流形狀不變的情況下，要求噴水柱最高點不能超過中心線，若噴水頭的位置用p,0表示．（僅考慮y軸右側(cè)的情況）．①求p的取值范圍；②若水剛好噴到中心線上，且距水面高3.25m處，直接寫出此時p的值______．【變式10-1】（2023春·河北保定·九年級校考期末）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系．(1)求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達式；(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？(2)結(jié)合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出噴出水的最大射程OM為______m，并求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，結(jié)合函數(shù)圖像，估計灌溉車到綠化帶的距離OA的取值范圍為______．

專題5.5實際問題與二次函數(shù)【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用二次函數(shù)求最大利潤】 1【題型2利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】 7【題型3利用二次函數(shù)求最大面積】 11【題型4利用二次函數(shù)求最小周長】 18【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋問題】 24【題型6利用二次函數(shù)解決隧道問題】 30【題型7利用二次函數(shù)解決圖形運動問題】 36【題型8利用二次函數(shù)解決運動員空中跳躍軌跡問題】 42【題型9利用二次函數(shù)解決球類運行的軌跡問題】 49【題型10利用二次函數(shù)解決噴頭噴出的球的軌跡問題】 53【題型1利用二次函數(shù)求最大利潤】【例1】（2023春·廣東茂名·九年級?？奸_學考試）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元．設生產(chǎn)并銷售B型車床x臺．(1)當x>4時，若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產(chǎn)并銷售B型車床多少臺？(2)當0<x≤14時，設生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床的數(shù)量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤．【答案】(1)生產(chǎn)并銷售B型車床10臺(2)當生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床各為9臺、5臺或8臺、6臺時，使獲得的總利潤W最大；最大利潤為170萬元【分析】（1）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）當0<x≤4時，總利潤W=10(14?x)+17x，當x>4時，總利潤W=10(14?x)+[17?(x?4)]x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得方程10(14?x)+70=[17?(x?4)]x，解得x1=10，x2答：生產(chǎn)并銷售B型車床10臺；（2）當0<x≤4時，總利潤W=10(14?x)+17x，整理得，W=7x+140，∵7>0，∴當x=4時總利潤W最大為7×4+140=168(萬元)；當x>4時，總利潤W=10(14?x)+[17?(x?4)]x，整理得W=?x∵?1<0，∴當x=?11?2=5.5又由題意x只能取整數(shù)，∴當x=5或x=6時，∴當x=5時，總利潤W最大為?52又∵168<170，∴當x=5或x=6時，總利潤W最大為170萬元，而14?5=9，14?6=8，答：當生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床各為9臺、5臺或8臺、6臺時，使獲得的總利潤W最大；最大利潤為170萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程和二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯足球賽開戰(zhàn)，很多商家都緊緊把握這一商機，賽場內(nèi)外隨處可見“中國制造”的身影，某商家銷售一批“中國制造”的吉祥物“拉伊卜”毛絨玩具，已知每個毛絨玩具“拉伊卜”的成本為40元，銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的1.8倍，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，毛絨玩具“拉伊卜”每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每個毛絨玩具“拉伊卜”的售價為多少元時，該商家每天的銷售利潤為2400元？(3)當毛絨玩具“拉伊卜”的銷售單價為多少元時，該商家每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)y=?2x+220，40≤x≤72(2)70元(3)當吉祥物“拉伊卜”的銷售單價為72元時，該商家每天獲得的利潤最大，最大利潤為2432元【分析】(1)設y=kx+b(k≠0)，利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的1.8倍，即可求得x的取值范圍；(2)根據(jù)題意即可列出一元二次方程，解方程即可求解；(3)設每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意即可求得二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：設y=kx+b(k≠0)，把點50,120，60,100分別代入解析式，得50k+b=12060k+b=100解得：k=?2∴y=?2x+220，∵銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的1.8倍，∴自變量x的取值范圍是：40≤x≤72；（2）解：根據(jù)題意得：?2x+220x?40整理得：x2解得：x1=70，∵40≤x≤72，∴x2答：每個吉祥物“拉伊卜”的售價為70元時，該商家每天的銷售利潤為2400元；（3）解：設每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w=∵?2<0，∴拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為x=75，銷售單價不得高于72元，∴當40≤x≤72時，w隨x的增大而增大，∴當x=72時，w有最大值，w最大值答：當吉祥物“拉伊卜”的銷售單價為72元時，該商家每天獲得的利潤最大，最大利潤為2432元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，理解題意，正確求得函數(shù)解析式及方程是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·廣東汕頭·九年級?？计谥校┠撑l(fā)商以24元/箱的進價購進某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標價為45元/箱，實際售價不低于標價的八折．批發(fā)商通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的銷售量y（箱）與當天的售價x（元/箱）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的兩組對應值．售價x（元/箱）…3538…銷售量y（箱）…130124…(1)若某天這種蔬菜的售價為42元/箱，則當天這種蔬菜的銷售最為________箱；(2)該批發(fā)商銷售這種蔬菜能否在某天獲利1320元？若能，請求出當天的銷售價；若不能，請說明理由．(3)批發(fā)商搞優(yōu)惠活動，購買一箱這種蔬菜，贈送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價定為多少時，可獲得日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少元？【答案】(1)116(2)不能，理由見詳解(3)這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大日利潤為1650元【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根據(jù)這種蔬菜的標價為45元/箱，實際售價不低于標價的八折得出x的取值范圍為36≤x≤45，從而確定方程的解；（3）根據(jù)每天的利潤=單箱的利潤×銷量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值．【詳解】（1）解：設y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，根據(jù)題意得：35k+b=13038k+b=124解得：k=?2b=200∴y=?2x+200，∴當x=42時，y=?2×42+200=116，∴當天這種蔬菜的銷售量為116箱；故答案為116；（2）解：根據(jù)題意得：(?2x+200)(x?24)=1320，解得x1=34，∵這種蔬菜售價不低于45×0.8=36，且不高于45，∴36≤x≤45，∴34，90都不滿足題意，所以該批發(fā)商銷售這種蔬菜不能在某天獲利1320元；（3）解：設日獲得利潤為w元，則w=(?2x+200)(x?24?6)=?2(x?65)∵a=?2<0，∴拋物線開口向下，∴當x<65時，w的值隨x值的增大而增大，∵這種蔬菜售價不低于45×0.8=36，∴36≤x≤45，∴當x=45時，W最大=?2×(45?65)答：這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大日利潤為1650元．【點睛】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系在解決實際問題是的運用，一次函數(shù)的解析式的運用和二次函數(shù)的解析式的運用，解答時根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系是解答本題的難點和關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）一企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品（假設銷量與產(chǎn)量相等），已知該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本為40元，售價y（元）與產(chǎn)量xkg之間的函數(shù)關(guān)系為y=?(1)當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？(2)若企業(yè)每銷售該產(chǎn)品1kg需支出其他費用a元a>0，當70≤x≤80時該企業(yè)獲得的最大利潤為2450元，求a【答案】(1)當產(chǎn)品產(chǎn)量為80kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為3200(2)10【分析】（1）設當該產(chǎn)品產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W（2）設當產(chǎn)品產(chǎn)量為x千克時，獲得的利潤為P元，得出P=?12x2+【詳解】（1）解：設當該產(chǎn)品產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W根據(jù)題意，得W=x?12x+120?40∵a=?1∴當x=80時，W有最大值，最大值為3200元．答：當產(chǎn)品產(chǎn)量為80kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為3200（2）解：設當產(chǎn)品產(chǎn)量為x千克時，獲得的利潤為P元．根據(jù)題意，得P=x?即P=?1其中70≤x≤80．該函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=80?a．①若a>10，則當x=70時，P有最大值，即P=3150?70a<2450．（不合題意，舍去）②若0<a≤10，則當x=80?a時，P有最大值，將x=80?a代入，得P=1當P=2450時，2450=1解得a1=10，綜上所述，a的值為10．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【題型2利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】【例2】（2023春·湖南郴州·九年級統(tǒng)考期末）2022年秋天，某地發(fā)生旱情，為抗旱保豐收，當?shù)卣贫ㄞr(nóng)戶投資購買抗旱設備的補貼方法：購買A型設備，政府補貼金額（y1：萬元）與投資的金額（x：萬元）的函數(shù)對應關(guān)系為：y1=kx(k≠0)，當x=5時y1=4；購買B型設備，政府補貼金額（y2：萬元）與投資的金額（x：萬元）的函數(shù)對應關(guān)系為y2=ax(1)分別求出y1(2)有一農(nóng)戶投資10萬元同時購買A型和B型兩種設備，獲得的政府補貼為y萬元．請你設計一個能獲得最大補貼的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼．【答案】(1)y1=0.8x(2)當購買A型設備的金額為8萬元、B型設備的金額為2萬元時能獲得最大補貼金額，最大補貼金額為9萬元．【分析】（1）由題意可將5,4代入y1=kx進行求解，然后將(2,2.6),(4,3.2)代入（2）設投資購買B型設備的金額為x萬元，則A型設備的金額為(10?x)萬元，獲得的政府補貼為y萬元，由題意可得y=?0.25x【詳解】（1）解：將5,4代入y1=kx得：解得：k=0.8．故：y1將(2,2.6),(4,3.2)代入y22.6=4a+2b3.2=16a+4b解得a=?0.25,b=1.8，∴y2（2）解：設投資購買B型設備的金額為x萬元，則A型設備的金額為(10?x)萬元，獲得的政府補貼為y萬元，依題意得：y=y∴a=?0.25<0，即該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x=?b∴當x=2時，有最大補貼為y=4ac?∴當購買A型設備的金額為8萬元、B型設備的金額為2萬元時能獲得最大補貼金額，最大補貼金額為9萬元．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）某班計劃購買A，B兩種花苗，根據(jù)市場調(diào)查整理出表：A種花苗盆數(shù)B種花苗盆數(shù)花費（元）35220410380(1)求A，B兩種花苗的單價；(2)經(jīng)過班級學生商討，決定購買A，B兩種花苗12盆（A，B兩種花苗都必須有），同時得到了優(yōu)惠方式：購買幾盆A種花，A種花苗每盆就降價幾元．請設計花費最少的購買方案．【答案】(1)A種花苗的單價為30元，B種花苗的單價為26元；(2)購買A種花苗11盆，購買B種花苗1盆花費最少．【分析】（1）設A種花苗的單價為x元，B種花苗的單價為y元，根據(jù)“購買A種花苗3盆，B種花苗5盆，則需220元；購買A種花苗4盆，B種花苗10盆，則需380元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總費用等于購買A，B兩種花苗費用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】（1）解：設A種花苗的單價為x元，B種花苗的單價為y元，依題意得：3x+5y=2204x+10y=380解得：x=30y=26答：A種花苗的單價為30元，B種花苗的單價為26元；（2）設購買兩種花的總費用為w元，購買A種花苗m盆，則購買B種花苗（12-m）盆，根據(jù)題意得：w=（30-m）m+26（12-m）=-m2+4m+312=-（m-2）2+316，∵-1＜0，0＜m＜12（m為整數(shù)），∴當m=11時，w最小，最小值為235，∴購買A種花苗11盆，購買B種花苗1盆花費最少．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和二元一次方程組的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二次函數(shù)解析式．【變式2-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級期末）2011年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情．為抗旱保豐收，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設備的補貼辦法，其中購買Ⅰ型、Ⅱ型抗旱設備投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應關(guān)系．型號金額投資金額x（萬元）Ⅰ型設備Ⅱ型設備x5x24補貼金額y（萬元）y1=kx（2y2=ax2.43.2(1)分別求y1和y(2)有一農(nóng)戶同時對Ⅰ型、Ⅱ型兩種設備共投資10萬元購買，請你設計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼金額．【答案】(1)y1=0.4x(2)當購買Ⅰ型用7萬元、Ⅱ型為3萬元時能獲得的最大補貼金額，最大補貼金額為5.8萬元【分析】（1）根據(jù)圖表得出函數(shù)上點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)y=y1+【詳解】（1）解：設y1=kx，將（5,2解得：k=0.4，故y1設y2將（2,2.4），（4解得：a=?0.2，b=1.6，∴y2（2）解：假設投資購買Ⅰ型用x萬元、Ⅱ型為10?x萬元，則：y=y=?0.2x∵a=-0.2>0，當x=?b2a=7時，y此時10-x=3，∴當購買Ⅰ型用7萬元、Ⅱ型為3萬元時能獲得的最大補貼金額，最大補貼金額為5.8萬元．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)解決實際問題是考試的中熱點問題，同學們應重點掌握．【變式2-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）某公司經(jīng)銷甲、乙兩種產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：①銷售甲產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的關(guān)系為y=0.6x；②銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的關(guān)系為y=ax2+bx；當x＝1時y＝1.3；當x（1）求銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司計劃購進甲、乙兩種產(chǎn)品共20萬件，要想使銷售總利潤最大，應如何安排經(jīng)銷方案？總利潤最大為多少？【答案】（1）y=?0.1x【分析】（1）將當x＝1時y＝1.3；當x＝2時，y＝2.4代入y=ax（2）設購進甲的數(shù)量為m(0<m<20)萬件，總利潤為w萬元，則購進乙的數(shù)量為(20?m)萬件，將甲乙的數(shù)量代入各自的利潤表達式得，w=?0.1m【詳解】（1）將當x＝1時y＝1.3；當x＝2時，y＝2.4代入y=axa+b=1.34a+2b=2.4解得：a=?0.1b=1.4∴y=?0.1x（2）設購進甲的數(shù)量為m(0<m<20)萬件，總利潤為w萬元，則購進乙的數(shù)量為(20?m)萬件，由題意得：w=0.6m?0.1(20?m)=?0.1m當m=?b最大利潤w=?0.1×16答：購進甲16萬件，購進乙4萬件，利潤最大為13.6萬元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，解題關(guān)鍵是利用基本數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)表達式．【題型3利用二次函數(shù)求最大面積】【例3】（2023春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學?？计谥校┤鐖D，一塊矩形區(qū)域ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開．已知籬笆的總長為18米（籬笆的厚度忽略不計），求當矩形ABCD的面積最大時AB的長．

【答案】當AB=3米，矩形ABCD的面積最大．【分析】設AB=x米，矩形的面積為y平方米，根據(jù)題意可以用相應的代數(shù)式表示出矩形的面積，從而建立x和y的二次函數(shù)關(guān)系式，即可解答本題．【詳解】解：設AB=x米，矩形ABCD的面積設為y（平方米），則AB+EF+CD=3x，∴AD=BC=18?3x∴y=x?18?3x由于二次項系數(shù)小于0，所以y有最大值，∴當AB=x=?b2a=?∴當AB=3米，矩形ABCD的面積最大．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用以及矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的頂點式求函數(shù)的最值．【變式3-1】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AG、AH為固定墻且∠GAH=135°，現(xiàn)利用固定墻和總長為40米的竹籬笆修建一個四邊形ABCD的儲料場，其中AD∥BC，∠C=90°．已知固定墻AG長為12米，(1)當CD長為18米時，求此時儲料場的面積；(2)怎樣修建才能使儲料場的面積最大．【答案】(1)270米(2)當x=15時，儲料場的面積最大，最大面積為S'=292.5【分析】（1）過點A作AE⊥BC于點E，證明四邊形AECD為矩形，△ABE為等腰直角三角形，結(jié)合題意易得CD=18米，BC=24米，AD=6米，即可求得此時儲料場的面積；（2）設CD=x米，則BC=(42?x)米，AD=(42?2x)米，根據(jù)題意可列不等式組42?2x≤1242?2x>0，求解可知15≤x<21，再由儲料場的面積S'=12【詳解】（1）解：如下圖，過點A作AE⊥BC于點E，∴∠AEB=∠AEC=90°，又∵AD∥BC，∴∠CDA=180°?∠C=90°，∴∠AEC=∠C=∠CDA=90°，∴四邊形AECD為矩形，∴∠EAD=90°，EA=CD，AD=CE，∵∠GAH=135°，∴∠BAE=∠GAH?∠EAD=45°，∴∠ABE=180°?∠AEB?∠BAE=45°，即∠BAE=∠ABE，∴EA=EB，當CD長為18米時，可有CD=EA=EB=18米，此時BC=40+2?CD=40+2?18=24米，AD=CE=BC?EB=24?18=6米，∴儲料場的面積為S=12(AD+BC)×CD=（2）設CD=x米，則BE=AE=CD=x米，BC=(42?x)米，AD=CE=BC?BE=(42?2x)米，由題意可知，42?2x≤1242?2x>0解不等式組，可得15≤x<21，∵儲料場的面積為S==?=?3∴該二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為x=14，又∵15≤x<21，∴當x=15時，儲料場的面積最大，最大面積為S'=?3【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一元一次不等式組的應用以及利用二次函數(shù)解決實際問題等知識，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）春回大地，萬物復蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．(1)設育苗區(qū)的邊長為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，【答案】(1)(x2?60x+800)；(2)32m或10m(3)168000元【分析】（1）根據(jù)正方形和長方形的面積計算公式可直接得到答案；（2）根據(jù)A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根據(jù)花卉A與B的種植面積之和不超過560m2建立不等式，得到x≥8，再設A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，得到y(tǒng)關(guān)于【詳解】（1）解：∵育苗區(qū)的邊長為xm，活動區(qū)的邊長為10m，∴花卉A的面積為：40?x20?x=(x花卉B的面積為：x40?x?10=(?x花卉C的面積為：x20?x=(?x故答案為：(x2?60x+800)；(?（2）解：∵A，B花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元，∴A，B兩種花卉的總產(chǎn)值分別為2×x2?60x+800∵A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等，∴200×x∴x2解方程得x=32或x=10，∴當育苗區(qū)的邊長為32m或10m時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等；（3）解：∵花卉A與B的種植面積之和為：x2?60x+800+?∴?30x+800≤560，∴x≥8，∵設A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，∴y=2x∴y=?5x∴y=?5(x?5)∴當x≥8時，y隨x的增加而減小，∴當x=8時，y最大，且y=?5(8?5)故A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值168000元．【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達式．【變式3-3】（2023春·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）問題探究：（1）如圖1，已知線段AB＝2，AC＝4，連接BC，則三角形ABC面積最大值是；（2）如圖2，矩形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面積最大值；問題解決：（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，則四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）4；（2）32；（3）存在，253【分析】（1）作BD⊥AC于點D，根據(jù)題意可得當BD＝AB時，S△ABC的面積最大，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OA＝OC＝OB＝OD＝4，然后根據(jù)題意可得當BE＝OB時，矩形ABCD面積最大，然后根據(jù)三角形面積公式求出S△AOB的的最大值，即可求出矩形ABCD面積的最大值；（3）作AF∥BD交CB的延長線于點F，作CE⊥AF于點E，設AC＝x，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半表示出AE的長度，然后根據(jù)勾股定理表示出CE的長度，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示出AF的長度，即可表示出三角形AFC的面積，根據(jù)等底等高的兩個三角形面積相等，得到四邊形ABCD的面積等于三角形AFC的面積，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的面積的最大值．【詳解】解：（1）如圖1，作BD⊥AC于點D，設BD＝x，則S△ABC＝12AC?BD＝12×4x＝2∴S△ABC隨x的增大而增大，∵BD≤AB，∴當BD＝AB，即∠A＝90°，x＝2時，S△ABC最大＝2×2＝4，故答案為：4．（2）如圖2，作BE⊥AC于點E，設BE＝x，∵四邊形ABCD是矩形，且AC+BD＝16，∴AC＝BD＝8，且OA＝OC＝12AC＝4，OB＝OD＝12∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，∵△AOB、△BOC、△COD及△AOD等底等高，∴S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD＝12×4x＝2x由（1）可知，當BE＝OB，即∠AOB＝90°，x＝4時，S△AOB最大＝2×4＝8，∴S矩形ABCD最大＝4S△AOB最大＝4×8＝32，∴矩形ABCD面積的最大值為32．（3）存在，如圖3，作AF∥BD交CB的延長線于點F，作CE⊥AF于點E，設AC＝x，∵∠AOB＝120°，∴∠EAC＝180°﹣∠AOB＝60°，∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝30°，∴AE＝12AC＝12∴CE＝x2?(1∵AD∥BC，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AC+BD＝10，∴AF＝BD＝10﹣x，∵△ABD與△ABF等底等高，△DBC與△ABC等底等高，∴S△ABD＝S△ABF，S△DBC＝S△ABC，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝S△ABF+S△ABC＝S△AFC，∵S△AFC＝12AF?CE＝12×32x（10﹣x）＝?34（x∴S四邊形ABCD＝?34（x﹣5）2+∵?34（x﹣5）∴?34（x﹣5）2+253∴當x＝5時，S四邊形ABCD最大＝253∴四邊形ABCD面積的最大值是253【點睛】此題考查了三角形面積的表示方法，30°角直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積的表示方法，30°角直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定．【題型4利用二次函數(shù)求最小周長】【例4】（2023春·九年級課時練習）甲船從A處起以15nmile/h的速度向正北方向航行，這時乙船從A的正東方向20nmile的B處起以20nmile/h的速度向西航行，多長時間后，兩船的距離最??？最小距離是多少？【答案】0.64h后，兩船的距離最小，最小距離是12nmile．【分析】可設x小時后，兩船相距ynmile，寫出y2于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再把關(guān)系式配方可得到多長時間后，兩船的距離最小；并求出最小距離即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖如下：設x小時后，兩船相距ynmile，根據(jù)題意，得：y2＝（15x）2＋（20?20x）2＝225x2＋400?800x＋400x2＝（25x?16）2＋144∴當x＝1625=0.64h時，y2有最小值144，則y答：0.64h后，兩船的距離最小，最小距離是12nmile．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在行程問題中的應用及勾股定理在實際問題中的應用，根據(jù)題意正確地列出函數(shù)關(guān)系式并配方是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，以直線x=1為對稱軸的拋物線y=?x2+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，其中點B(1)點A的坐標為______；(2)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設拋物線的頂點為D，若將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過原點O，且與x軸的另一個交點為E，若在y軸上存在一點F，連接DE，DF，EF，使得△DEF的周長最小，求F點的坐標．【答案】(1)?1,0(2)y=?(3)F【分析】（1）由拋物線y=?x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，點B（2）利用待定系數(shù)法先求解拋物線的解析式即可；（3）先求解原拋物線的頂點坐標為1,4，再求解平移后的拋物線的解析式為y=?x2+2x及點E的坐標，取E關(guān)于y軸對稱的對稱點M?2,0，連接DM，交y軸于【詳解】（1）解：∵拋物線y=?x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，點B∴A的橫坐標為：1?3?1∴A?1,0（2）∵拋物線y=?x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，點B∴?b2×?1∴拋物線為y=?x（3）∵拋物線為y=?x∴D1,4將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過原點O，且與x軸的另一個交點為E，設平移后的拋物線為：y=?x?1∴n?1=0，即n=1，∴平移后的拋物線為：y=?x?1令y=0，則?x解得：x1=0，x2如圖，取E關(guān)于y軸對稱的對稱點M?2,0，連接DM，交y軸于F則C△DEF設DM的解析式為：y=kx+e，∴?2k+e=0k+e=4，解得：k=∴DM的解析式為：y=4當x=0時，y=8∴F0,【點睛】本題考查的是拋物線的對稱性的應用，求解拋物線的解析式，一次函數(shù)的解析式，拋物線的平移，利用軸對稱的性質(zhì)求解三角形的周長的最小值時點的坐標，掌握拋物線的相關(guān)知識是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·江西贛州·九年級?？计谥校W以致用：問題1：怎樣用長為12cm的鐵絲圍成一個面積最大的矩形？小學時我們就知道結(jié)論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為3cm的正方形時面積最大為9cm思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為9m小明猜測：圍成正方形時周長最?。疄榱苏f明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b?2p，當且僅當a=b時，a+ba+b?2ab(a,b對于任意正實數(shù)a、b，∵(a?b)2∴a+b?2ab，當且僅當a=b解決問題：（1）若x>0，則x+4x?（當且僅當x=時取“=（2）運用上述結(jié)論證明小明對問題2的猜測；（3）當x>?1時，求y=x【答案】（1）4，2；（2）見解析；（3）2【分析】（1）根據(jù)題意，由a+b?2ab，當且僅當a=b（2）設矩形的長、寬分別為x、y，由題意得xy=9，再根據(jù)公式證明當x=y時，x+y有最小值，進而得結(jié)論；（3）把y=x2+3【詳解】解：（1）∵x>0，∴4x∴當x=4x時，即∴x+4x?2故答案為4；2．（2）設矩形的長、寬分別為xm、ym，由題意得xy=9，則x+y?2xy，即x+y?6當x=y=3時，x+y取最小值為6，此時矩形的周長最小為：2(x+y)=12；∵x=y時，矩形變?yōu)檎叫危噼F絲圍一個面積為9m（3）y=x∵x>?1，∴x+1>0，4x+1∴y?2(x+1)·4x+1∴當x+1=4x+1時，即y取最小值為：2．【點睛】本題是一個閱讀材料題，主要考查了完全平方公式的應用，不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是讀懂題意，弄清解答的理論依據(jù)，學會對新知識進行拓展應用，難度較大，第（3）題關(guān)鍵是把求出函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為兩個恰當?shù)恼龑崝?shù)的和形式，才能應用公式．【變式4-3】（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A、B，CD是線段OB上的一動線段，且CD=2，過點C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F、E，連接EF．（1）點A的坐標為，線段OB的長=；（2）設點C的橫坐標為m．①當四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．【答案】（1）A（4，0），52；（2）①m=5?22；②當m=2?【分析】（1）根據(jù)y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程組y=xy=x2?4x，可得（2）①根據(jù)C（m，m），F(xiàn)（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根據(jù)D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）2﹣4（m+2）），可得DE=m+2?[（m+2）2﹣4（m+2②先過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，得出AC=DG，再作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，根據(jù)當A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，可得此時AC+AD最短，然后求得直線A'G的解析式為y=?9?427x+4，解方程組可得D、C【詳解】（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，解得：x1=0，x2=4，∴A（4，0），解方程組y=xy=可得：x=0y=0或x=5∴B（5，5），∴OB=5故答案為（4，0），52；（2）①∵點C的橫坐標為m，且CF∥DE∥y軸，∴C（m，m），F(xiàn)（m，m2﹣4m）．又∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，∴D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）2∴CF=m﹣（m2﹣4m），DE=m+2?[（m+2）2﹣4（∵當四邊形CDEF是平行四邊形時，CF=DE，∴m﹣（m2﹣4m）=m+2?[（m+2）2﹣4（解得：m=5?②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，∴AC=DG，作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，∴當A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，此時AC+AD最短．∵A（4，0），AG=CD=2，∴A'（0，4），G（4+2設直線A'G的解析式為y=kx+b，則4=b2解得：k=?9?4∴直線A'G的解析式為y=?9?42解方程組y=xy=?可得：x=2+2∴D（2+22，∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，∴C（2?22，∴點C的橫坐標m=2?2∵AD=A'D，AC=DG，CD=AG=2，∴△ACD的最小值為A'G+AG=(4+2故當m=2?22時，△【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象的交點坐標的計算，兩點間的距離公式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對邊相等以及兩點之間線段最短進行計算求解．解題時注意方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用．【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋問題】【例5】（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）某拋物線形拱橋的截面圖如圖所示．某數(shù)學小組對這座拱橋很感興趣，他們利用測量工具測出水面的寬AB為8米．AB上的點E到點A的距離AE=1米，點E到拱橋頂面的垂直距離EF=74米．他們以點A為坐標原點，以AB所在直線為(1)求該拋物線所對應的函數(shù)表達式．(2)求拱橋頂面離水面AB的最大高度．(3)現(xiàn)有一游船（截面為矩形）寬度為4米，船頂?shù)剿娴母叨葹?米．要求游船從拱橋下面正中間通過時，船頂?shù)焦皹蝽斆娴木嚯x應大于0.5米．請通過計算說明該游船是否能安全通過．【答案】(1)該拋物線所對應的函數(shù)表達式為y=?(2)拱橋頂面離水面AB的最大高度為4米(3)該游船能安全通過，理由見解析【分析】(1)設拋物線解析式為y=ax2+bxa≠0，將8,0，1,7(2)把拋物線的解析式化為頂點式，求出拋物線的最大值即可．(3)根據(jù)對稱性，確定船左側(cè)的坐標，根據(jù)解析式，計算函數(shù)值，比較與安全距離2+【詳解】（1）設y=ax2+bxa≠0，將得64a+8b=0a+b=解得a=?1∴該拋物線所對應的函數(shù)表達式為y=?1（2）y=?1當x=4時，ymax∴拱橋頂面離水面AB的最大高度為4米．（3）∵游船（截面為矩形）寬度為4米，船頂?shù)剿娴母叨葹?米，游船從拱橋下面正中間通過，∴船離點A的距離為4?4÷2=2米．把x=2代入y=?1y=?1∵2+0.5=2.5<3，∴該游船能安全通過．【點睛】本題考查了拋物線的應用，熟練掌握待定系數(shù)法，求函數(shù)的最值，對稱性是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·河南商丘·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個拋物線形拱橋的截面圖，在正常水位時，水位線AB與拱橋最高點的距離為9m，水面寬AB=30(1)請你建立合適的平面直角坐標系xOy，并根據(jù)建立的平面直角坐標系求出該拋物線的解析式．(2)已知一艘船（可近似看成長方體）在此航行時露出水面的高度為4m，若這艘船的寬度為18m，當水位線比正常水位線高出【答案】(1)拋物線的解析式為y=?1(2)這艘船能從該拋物線形拱橋下方順利通過，理由見解析【分析】（1）根據(jù)拱橋的實際問題建立直角坐標系，再根據(jù)建立直角坐標系得到拋物線的解析式即可解答；（2）根據(jù)題意得到船的最高點的縱坐標為?4，再根據(jù)拋物線的解析式為y=?125x2得到【詳解】（1）解：建立的平面直角坐標系xOy如解圖所示．觀察圖象，可知該拋物線的頂點為0,0，點A?15,?9∴可設該拋物線的解析式為y=ax將點A?15,?9代入y=ax2解得a=?1∴該拋物線的解析式為y=?1（答案不唯一，建立的平面直角坐標系不同則答案不同）；（2）解：能，理由如下：當水位線比正常水位線高出1m時，此時船的最高點的縱坐標為?9+1+4=?4將y=?4代入y=?1解得x=±10，∴此時與這艘船最高點在同一水平面的拱橋的寬度為10×2=20（m）．∵20>18，∴這艘船能從該拋物線形拱橋下方順利通過．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與實際問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖，水面寬AB與橋長CD均為12m，在距離D點3m的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．如圖2，橋面上方有3根高度均為5m的支柱CG、OH、DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為2m，下面結(jié)論正確的是①圖1拋物線型拱橋的函數(shù)表達式y(tǒng)=?1②圖2右邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=1③圖2左邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=1④圖2在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，彩帶長度的最小值是3m【答案】①②③④【分析】①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征計算求解；②由圖象分析右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標為(3,2)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；③用與②相同的方法即可求出函數(shù)解析式；④彩帶的長度為Lm，利用L1【詳解】解：根據(jù)題意可知點F的坐標為3,?1.5，可設拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達式為：y1將F3,?1.5代入y1=解得a1∴y1=?由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標為3,2，可設其表達式為y=a將H0,5代入其表達式有：5=解得a2∴右邊鋼纜所在拋物線表達式為：y=13(x?3)同理可知，③正確；設彩帶的長度為Lm則L=1∵1∴當x=2時，L最小，最小值為3．故④正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解決此類型題一般先根據(jù)題意設出適當?shù)亩魏瘮?shù)表達式（一般式、頂點式或交點式），再結(jié)合實際和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解．【變式5-3】（2023春·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期末）某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系（以AB中點為原點，拋物線對稱軸所在直線為y軸）中，拱橋高度OC=5m，跨度AB=20(1)求拋物線的解析式．(2)拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形EFGH（H，G分別在拋物線的左右側(cè)上），已知搭建“腳手架”EFGH的三邊所用鋼材長度為18.4m（EF在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點E與拱橋端點A(3)已知公園要進行改造，在原位置上將拱橋ACB改造為圓弧AC'B，跨度AB不變，且（2）中“腳手架”矩形EFGH仍然適用（E，F(xiàn)打樁位置不變，H，G依然在拱橋上），求改造后拱橋的高度OC'【答案】(1)y=?(2)“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為4(3)改造后拱橋的高度OC'【分析】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+c，把B（2）設點G的坐標為t,?120t2+5，根據(jù)題意得HG=2t，GF=?120t2+5，又∵EH+HG+GF=18.4m，∴2t+2?1（3）取GH中點K，在CO延長線上取圓心M，連接MG，MB，設OM長為xm，由勾股定理得GK2+KM2=OM2+OB【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為y=ax2+c，經(jīng)過B∴100a+c=0c=5，解得a=?∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：設點G的坐標為t,?1根據(jù)題意得HG=2t，GF=?1∵EH+HG+GF=18.4m∴2t+2?解得t1=6，∴HG=12m，GF=3.2∴EO=1∴AE=AO?EO=4m答：“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為4m（3）解：如圖，取GH中點K，在CO延長線上取圓心M，連接MG，MB，設OM長為xm在Rt△MKG中，G在Rt△OMB中，O∴GK2+K解得x=8.4，∴OM=8.4m，C∴OC答：改造后拱橋的高度OC'為【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6利用二次函數(shù)解決隧道問題】【例6】（2023·北京海淀·九年級期末）如圖1是某條公路的一個具有兩條車道的隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻AD和BC與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB=8米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點E，測量點E到墻面AD的距離AE，點E到隧道頂面的距離EF．設AE=x米，EF=y米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出隧道頂面到路面AB的最大距離為___________米，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax??(2)請你幫助工程人員建立平面直角坐標系．描出上表中