第2章 一元二次方程全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷（1個(gè)概念1個(gè)解法2個(gè)關(guān)系1個(gè)應(yīng)用3種數(shù)學(xué)思想）（原卷版）

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料第2章一元二次方程全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【1個(gè)概念】一元二次方程定義【1個(gè)解法】一元二次方程的解法【2個(gè)關(guān)系】1.一元二次方程的根的判別式2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【1個(gè)應(yīng)用】一元二次方程應(yīng)用【3種思想】1.整理思想2.轉(zhuǎn)化思想3.分類討論思想【檢測(cè)卷】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【1個(gè)概念】一元二次方程定義【例1】下列選項(xiàng)中，是關(guān)于x的一元二次方程的是()A．x2＋eq\f(1,x2)＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0【例2】關(guān)于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，則k的值為_(kāi)_______．【例3】將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.【1個(gè)解法】一元二次方程的解法【例4】運(yùn)用開(kāi)平方法解下列方程：(1)4x2＝9；(2)(x＋3)2－2＝0.【例5】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.【例6】用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.【例7】用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.【例8】用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可變形為：x2－6x＋9＝0，則(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解為：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解為x1＝eq\f(16,7)，x2＝eq\f(4,3).【2個(gè)關(guān)系】1.一元二次方程的根的判別式【例9】不解方程，判斷下列方程的根的情況．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋eq\f(1,4)＝0；(3)x2－x＋1＝0.【例10】已知：關(guān)于x的方程2x2＋kx－1＝0，求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【例11】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的兩實(shí)數(shù)根，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為()A．－1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．1【例12】已知一元二次方程的兩根分別是4和－5，則這個(gè)一元二次方程是()A．x2－6x＋8＝0B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0D．x2＋x－20＝0【例13】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一個(gè)根，則另一個(gè)根為_(kāi)_______．【例14】關(guān)于x的方程x2－ax＋2a＝0的兩根的平方和是5，則a的值是()A．－1或5B．1C．5D．－1【例15】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．【1個(gè)應(yīng)用】一元二次方程應(yīng)用【例16】有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，邊長(zhǎng)應(yīng)為多少厘米？【例17】若a、b、c為△ABC的三邊，且a、b、c滿足a2－ac－ab＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀．【例18】有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患了流感．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了多少個(gè)人？(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【例19】月季生長(zhǎng)速度很快，開(kāi)花鮮艷誘人，且枝繁葉茂．現(xiàn)有一棵月季，它的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是73.求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？【例20】某工廠一種產(chǎn)品2013年的產(chǎn)量是100萬(wàn)件，計(jì)劃2015年產(chǎn)量達(dá)到121萬(wàn)件．假設(shè)2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率相同．(1)求2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率；(2)2014年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件？【例21】某工廠使用舊設(shè)備生產(chǎn)，每月生產(chǎn)收入是90萬(wàn)元，每月另需支付設(shè)備維護(hù)費(fèi)5萬(wàn)元；從今年1月份起使用新設(shè)備，生產(chǎn)收入提高且無(wú)設(shè)備維護(hù)費(fèi)，使用當(dāng)月生產(chǎn)收入達(dá)100萬(wàn)元，1至3月份生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長(zhǎng)，累計(jì)達(dá)364萬(wàn)元，3月份后，每月生產(chǎn)收入穩(wěn)定在3月份的水平．(1)求使用新設(shè)備后，2月、3月生產(chǎn)收入的月增長(zhǎng)率；(2)購(gòu)進(jìn)新設(shè)備需一次性支付640萬(wàn)元，使用新設(shè)備幾個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤(rùn)不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤(rùn)？(累計(jì)利潤(rùn)是指累計(jì)生產(chǎn)收入減去舊設(shè)備維護(hù)費(fèi)或新設(shè)備購(gòu)進(jìn)費(fèi))【例22】一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購(gòu)買(mǎi)了一批樹(shù)苗，園林公司規(guī)定：如果購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗不超過(guò)60棵，每棵售價(jià)為120元；如果購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗超過(guò)60棵，每增加1棵，所出售的這批樹(shù)苗每棵售價(jià)均降低0.5元，但每棵樹(shù)苗最低售價(jià)不得少于100元．該校最終向園林公司支付樹(shù)苗款8800元．請(qǐng)問(wèn)該校共購(gòu)買(mǎi)了多少棵樹(shù)苗？【例23】菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計(jì)劃以每千克5元的價(jià)格對(duì)外批發(fā)銷售．由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷，李偉為了加快銷售，減少損失，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價(jià)格對(duì)外批發(fā)銷售．(1)求平均每次下調(diào)的百分率；(2)小華準(zhǔn)備到李偉處購(gòu)買(mǎi)5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．試問(wèn)小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請(qǐng)說(shuō)明理由．【例24】現(xiàn)有一塊長(zhǎng)80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的小正方形，做成一個(gè)底面積為1500cm2的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，求小正方形的邊長(zhǎng)．【例25】如圖，在一塊長(zhǎng)為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行)，剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意可列出的方程為_(kāi)_____________．【例26】如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．(1)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？(2)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由．【3種思想】1.整理思想【例27】（2023春?玄武區(qū)期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2023﹣m2﹣m的值為．【例28】．（2023春?沭陽(yáng)縣月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2+4m+2021的值為．【例29】．（2023春?興化市月考）已知m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一個(gè)根，則2m2+4m的值是．2.轉(zhuǎn)化思想【例30】（2023?沭陽(yáng)縣模擬）若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則2021﹣2a﹣4b的值為．【例31】（2022秋?丹徒區(qū)期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一個(gè)根，則6a2﹣3a+3的值等于．【例32】．（2023?鼓樓區(qū)二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．3.分類討論思想【例33】．（2022秋?阜寧縣期中）如圖，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)即停．（1）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，PQ能將矩形ABCD的面積分成2：5兩部分？（2）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？【檢測(cè)卷】一、單選題1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）方程的兩個(gè)根為（）A． B． C． D．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）方程的兩個(gè)根為（）A． B．C． D．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買(mǎi)椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢(qián)，遣人去買(mǎi)幾株椽．每株腳錢(qián)三文足，無(wú)錢(qián)準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買(mǎi)一批椽，這批椽的價(jià)錢(qián)為文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢(qián)，試問(wèn)文能買(mǎi)多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（

）A． B．C．（ D．6．（2022秋·湖南懷化·九年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，則k的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．87．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．5 B． C．4 D．8．（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．20229．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）隨著春天的到來(lái)，到植物園賞花的游客越來(lái)越多，2023年3月份的游客人數(shù)是元月份的3倍．設(shè)2、3月份游客人數(shù)的平均增長(zhǎng)率為x（

）A． B．C． D．10．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列方程中，有一個(gè)根為的方程是（）A． B． C． D．二、填空題11．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為，12．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和5，第三邊長(zhǎng)為方程的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．13．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．14．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，使得方程的兩根互為相反數(shù)，你所寫(xiě)的方程是．15．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）實(shí)數(shù)x和y滿足，則．16．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：且，，那么的值等于．17．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和是371，設(shè)第二個(gè)奇數(shù)為，則依題意可得到的方程是．18．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長(zhǎng)：；（3）若矩形A，B的面積相等，則．三、解答題19．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）解關(guān)于的方程（合適的方法）：(1)；(2)．20．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡(jiǎn)，得，故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．21．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，請(qǐng)求出k的值及相應(yīng)的實(shí)數(shù)根．22．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有長(zhǎng)為30米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為10米），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃，設(shè)花圃一邊的長(zhǎng)為x米，面積為y平方米．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果要圍成面積為63平方米的花圃，的長(zhǎng)是多少？23．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)，速度為；點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)，速度為，點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)幾秒后，的長(zhǎng)度為；(2)幾秒后，的面積為；(3)的面積能否為？請(qǐng)說(shuō)明理由．24．（2022秋·四川廣安·九年級(jí)?？计谥校刂菽嘲儇浬虉?chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為5元的日用商品．如果以單價(jià)7元銷售，每天