人教版2024-2025學年八年級數(shù)學上冊舉一反三專題12.3三角形全等的判定(探索篇)【八大題型】(學生版+解析)

專題12.3三角形全等的判定（探索篇）【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使三角形全等】 1【題型2確定全等三角形的對數(shù)】 2【題型3網(wǎng)格中確定全等三角形】 3【題型4靈活選用判定方法證明全等】 5【題型5多次證全等求解或證明結論】 6【題型6由全等三角形的判定與性質確定線段之間的關系】 7【題型7全等三角形的動態(tài)問題】 9【題型8全等三角形的應用】 10知識點：全等三角形的判定判定兩個三角形全等常用的思路方法如下：【題型1添加條件使三角形全等】【例1】（23-24八年級·山東東營·期中）如圖，在△ABC和△CDE中，點B、D、C在同一直線上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下條件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（

）A．∠A=∠DCE B．AB∥DE C．BC=DE 【變式1-1】（23-24八年級·河南信陽·期中）在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'，有下列條件：①AB=A'B'；②BC=B【變式1-2】（23-24八年級·江蘇徐州·期中）如圖，已知AD=AE，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，則需要添加的條件是．（寫一個即可）【變式1-3】（23-24八年級·湖北襄陽·期末）如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A=∠D，AB//DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學的發(fā)言，甲說：添加AB=DE；乙說：添加AC//DF；丙說：添加BE=CF．（1）甲、乙、丙三個同學說法正確的是________；（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．【題型2確定全等三角形的對數(shù)】【例2】（23-24八年級·河南信陽·期中）如圖，在△ABC中，AC=BC,CD=CE，連接BE、AD相交于點O，連接OC，則圖中共有全等三角形（

）A．5對 B．4對 C．3對 D．2對【變式2-1】（23-24八年級·河南南陽·期末）如圖，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD與CE交于O，連接AO，則圖中共有全等的三角形的對數(shù)為（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【變式2-2】（23-24八年級·廣東深圳·期中）如圖，AB∥CD，BC∥AD，BE=DF，圖中全等的三角形的對數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2-3】（23-24八年級·重慶渝北·期末）如圖（1），已知AB=AC，D為∠BAC的角平分線上一點，連接BD，CD；如圖（2），已知AB=AC，D，E為∠BAC的角平分線上兩點，連接BD，CD，BE，CE；如圖（3），已知AB=AC，D，E，F(xiàn)為∠BAC的角平分線上三點，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此規(guī)律，第6個圖形中有全等三角形的對數(shù)是（

）A．21 B．11 C．6 D．42【題型3網(wǎng)格中確定全等三角形】【例3】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習）如圖，方格中△ABC的3個頂點分別在正萬形的頂點（格點上），這樣的三角形叫格點三角形，圖中與△ABC（不含△ABC）全等的格點三角形共有（

）個A．4 B．5 C．8 D．7【變式3-1】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，像△ABC這樣的三角形叫做格點三角形，畫與△ABC只有一條公共邊且全等的格點三角形，在該網(wǎng)格中這樣的格點三角形（不與△ABC重合）最多可以畫出個．【變式3-2】（23-24八年級·河北廊坊·期末）在方格紙中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點的連線為邊的三角形叫做格點三角形，解決下列問題．（1）如圖1，以點D和點E為兩個頂點作格點三角形，使所作的格點三角形與△ABC全等，那么這樣的格點三角形最多可以畫出個；（2）如圖2，∠1＋∠2＝．【變式3-3】（23-24八年級·寧夏吳忠·期中）如圖，△ABC是格點三角形（頂點在網(wǎng)格線的交點上），請在下列每個方格紙上按要求畫一個與△ABC全等的格點三角形．(1)在圖①中所畫三角形與△ABC有一條公共邊AB；(2)在圖②中所畫三角形與△ABC有一個公共角C；(3)在圖③中所畫三角形與△ABC有且只有一個公共頂點A．【題型4靈活選用判定方法證明全等】【例4】（23-24八年級·山東青島·期中）如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求證：BD=AC．

以下是合作小組三名同學關于此題的討論：小麗說：“我可以根據(jù)全等三角形的判定定理‘AAS’證明兩個三角形全等，從而得到BD=AC．”小穎說：“我可以根據(jù)直角三角形全等的判定定理‘HL’證明兩個三角形全等，從而得到BD=AC．”小雨說：“我可以根據(jù)三角形的面積相等，來證明BD=AC．”看了他們的討論，你一定也有了自己的主意，請寫出你的證明．【變式4-1】（23-24八年級·河南鄭州·期末）下列所給的四組條件中，能作出唯一三角形的是（

）A．∠A=∠B=∠C=60° B．AB=1cm，AC=4cmC．AB=5cm，AC=6m，∠C=30° D．BC=3cm，【變式4-2】（23-24八年級·河南鄭州·期末）已知△ABC的三個內角三條邊長如圖所示，則甲、乙、丙三個三角形中，和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【變式4-3】（23-24八年級·河北保定·期末）（1）閱讀下題及證明過程已知：如圖，D是△ABC的BC邊上一點，E是AD上一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE．求證：∠BAE=∠CAE．證明：在△AEB和△AEC中，因為EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，所以△AEB≌所以∠BAE=∠CAE………………第二步上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程．（2）如果兩個銳角三角形的兩組邊分別相等，且其中一組等邊的對角相等，那么這兩個三角形全等嗎？請說明理由．【題型5多次證全等求解或證明結論】【例5】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期末）已知：AD是△ABC的角平分線，且AD⊥BC(1)如圖1，求證：AB=AC；(2)如圖2，∠ABC=30°，點E在AD上，連接CE并延長交AB于點F，BG交CA的延長線于點G，且∠ABG=∠ACF，連接FG．①求證：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG：S△ACF=2:3【變式5-1】（23-24八年級·河南洛陽·期末）已知：如圖，AB=AC，BD=CE，CD與BE相交于點O，連接OA．證明：(1)OC=OB；(2)OA平分∠CAB．【變式5-2】（23-24八年級·廣西百色·期末）如圖，已知，AD⊥BD于點D，CB⊥BD于點B，AB=CD．(1)求證：AD=CB；(2)連接AC交BD于點O，試判斷OA與OC之間的數(shù)量關系，并說明理由．【變式5-3】（23-24八年級·重慶·期末）如圖1，在等邊三角形ABC中，點D在BC上，點E在AB上，CE，AD交于點F，CG⊥AD于點G，延長CG交AB于點H，∠HCE=30°．(1)求證：AE=BD．(2)如圖2，連接BF，若BF⊥CE，求證：點F是AG的中點．【題型6由全等三角形的判定與性質確定線段之間的關系】【例6】（23-24八年級·江西南昌·期末）如圖，AD是△ABC的角平分線．(1)若AB=AC+CD，求證：∠ACB=2(2)當∠ACB=2∠B時，AC+CD【變式6-1】（23-24八年級·廣東潮州·階段練習）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，AD=5，BE=2，求線段DE的長．【變式6-2】（23-24八年級·重慶·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC<AC，過點B作DE∥AC，且BD=BC，點B作BF⊥AB交CD于點F

(1)如圖1，若∠BAC=40°，且BF=BE，求∠CFE的度數(shù)；(2)如圖2，若DE=AC，求證：AB=BF+EF．【變式6-3】（23-24八年級·重慶·期末）在△ABC中，∠ACB和∠CAB的角平分線CE、AD相交于點G．(1)若∠B=50°，求∠AGC的度數(shù)；(2)延長CE至點N，過點N作BC的平行線NM交AB于點M，若EG=EM，求證：AC=AE+EN．【題型7全等三角形的動態(tài)問題】【例7】（23-24八年級·湖南郴州·期中）如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點向A點運動，設運動時間為t(秒)(0≤t<3)．

(1)用含t的代數(shù)式表示PC的長度．(2)若點P、Q的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；(3)若點P、Q的運動速度不相等，當點Q的運動速度a為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？【變式7-1】（23-24八年級·廣東潮州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，點E在線段AD上，且AE=6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上．以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，A．2 B．4 C．4或65 D．2或【變式7-2】（23-24八年級·湖南郴州·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm，延長BC到點E，使CE=1cm，連接DE，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，當△PBC和△DCE全等時，t【變式7-3】（23-24八年級·河南鄭州·期末）如圖，在△ABC中，AD為高線，AC=18．點E為AC上一點，CE=12AE，連接BE，交AD于點O

(1)猜想線段BO與AC的位置關系，并證明；(2)若動點Q從點A出發(fā)沿射線AE以每秒6個單位長度的速度運動，運動的時間為t秒．①當點Q在線段AE上時，是否存在t的值，使得△BOQ的面積為27？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；②動點P從點O出發(fā)沿線段OB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，P，Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，點F是直線BC上一點，且CF=AO，當△AOP與△FCQ全等時，請直接寫出t的值．【題型8全等三角形的應用】【例8】（23-24八年級·貴州銅仁·期末）某同學根據(jù)數(shù)學知識原理制作了如圖所示的一個測量工具拐尺,其中O為AB的中點,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,現(xiàn)要測量一透明隔離房間的深度,如何使用此測量工具,說明理由.【變式8-1】（23-24八年級·陜西西安·期中）如圖，小剛站在河邊的點A處，在河對面（小剛的正北方向）的點B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了20步到達一棵樹C處，接著再向前走了20步到達D處，然后他左轉90°直行，從點D處開始計步，當小剛看到電線塔、樹與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線時，他恰好走了74步，并且小剛一步大約0.5米．由此小剛估計出了在點A處時他與電線塔的距離，請問他的做法是否合理？若合理，請求出在點A處時他與電線塔的距離；若不合理，請說明理由．【變式8-2】（23-24八年級·陜西西安·期末）小樂與朋友們周末去游樂園乘坐海盜船游玩，想了解海盜船擺動到最高點位置時的高度．如圖，當靜止時海盜船位于鉛垂線BD上，轉軸B到地面的距離BD=10m，在乘坐的過程中，當海盜船靜止在點A處時，AC⊥BD，此時測得點A到鉛垂線BD的距離AC=5m，當船頭從A處擺動到A'處時發(fā)現(xiàn)船頭處在最高位置處，此時，A【變式8-3】（23-24八年級·河南鄭州·期末）茗陽閣位于河南省信陽市浉河區(qū)茶韻路一號，建成于2007年4月29日，是信陽新建的城市文化與形象的代表建筑之一．設A,B兩點分別為茗陽閣底座的兩端（其中A,B兩點均在地面上）．因為A,B兩點間的實際距離無法直接測量，某學習小組分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖1，在平地上取一個可以直接到達點A,B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO=AO,DO=BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖2，先確定直線AB，過點B作BD⊥AB，在點D處用測角儀確定∠1=∠2，射線DC交直線AB于點C，最后測量BC的長即可得線段AB的長．(1)請用所學知識論證甲、乙兩種方案的合理性；(2)如果讓你參與測量，你會選擇哪一種方案？請說明理由．專題12.3三角形全等的判定（探索篇）【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使三角形全等】 2【題型2確定全等三角形的對數(shù)】 5【題型3網(wǎng)格中確定全等三角形】 8【題型4靈活選用判定方法證明全等】 12【題型5多次證全等求解或證明結論】 18【題型6由全等三角形的判定與性質確定線段之間的關系】 24【題型7全等三角形的動態(tài)問題】 31【題型8全等三角形的應用】 37知識點：全等三角形的判定判定兩個三角形全等常用的思路方法如下：【題型1添加條件使三角形全等】【例1】（23-24八年級·山東東營·期中）如圖，在△ABC和△CDE中，點B、D、C在同一直線上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下條件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（

）A．∠A=∠DCE B．AB∥DE C．BC=DE 【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定．將各個選項依次代入題目當中，再根據(jù)全等三角形的判定方法依次判斷即可．一般三角形全等的判定方法有SAS、ASA、AAS、SSS，注意沒有SSA．熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．【詳解】解：A、若添加∠A=∠DCE，則可根據(jù)ASA證明△ABC≌△CDE，故A選項不符合題意；B、若添加AB∥DE，則可得∠B=∠EDC，則可根據(jù)AAS證明△ABC≌△CDEC、若添加BC=DE，則可根據(jù)SAS證明△ABC≌△CDE，故C選項不符合題意；D、若添加AB=CD，則成了SSA，不能證明△ABC≌△CDE，故D選項符合題意.故選：D【變式1-1】（23-24八年級·河南信陽·期中）在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'，有下列條件：①AB=A'B'；②BC=B【答案】②③（答案不唯一）SAS【分析】本題考查三角形全等的判定方法，根據(jù)四個選項所給條件結合判定兩個三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS分別進行分析即可．【詳解】解：∵∠C=∠C'，添加②BC=B'C'；③添加③AC=A'C'；④∠A=∠A添加⑤∠B=∠B'；③AC=A'C故答案為：答案不唯一，如②③；SAS．【變式1-2】（23-24八年級·江蘇徐州·期中）如圖，已知AD=AE，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，則需要添加的條件是．（寫一個即可）【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（寫一個即可）【分析】本題考查全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由∠1=∠2，可得∠BAD=∠CAE，再根據(jù)題干中的條件，可添加角相等或邊相等即可．【詳解】解：添加AB=AC，∵∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS添加∠B=∠C，∵∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE，又∵∠B=∠C，AD=AE，∴△ABD≌△ACEAAS添加∠ADB=∠E，∵∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE，又∵∠ADB=∠E，AD=AE，∴△ABD≌△ACEASA故答案為：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（寫一個即可）．【變式1-3】（23-24八年級·湖北襄陽·期末）如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A=∠D，AB//DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學的發(fā)言，甲說：添加AB=DE；乙說：添加AC//DF；丙說：添加BE=CF．（1）甲、乙、丙三個同學說法正確的是________；（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．【答案】（1）甲、丙；（2）見詳解【分析】（1）根據(jù)平行線的性質，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上條件∠A=∠D，只需要添加一個能得出對應邊相等的條件，即可證明兩個三角形全等，添加AC//DF不能證明△ABC≌△DEF；（2）添加AB=DE，再由條件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【詳解】（1）解：∵AB//DE，∴∠B＝∠DEC，又∵∠A=∠D，∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）∴說法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；（2）選“甲”，理由如下：證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A＝∠D∠B＝∠DEF∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．【題型2確定全等三角形的對數(shù)】【例2】（23-24八年級·河南信陽·期中）如圖，在△ABC中，AC=BC,CD=CE，連接BE、AD相交于點O，連接OC，則圖中共有全等三角形（

）A．5對 B．4對 C．3對 D．2對【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題中條件，數(shù)形結合，利用兩個三角形全等的判定定理逐個驗證即可得到答案，熟練掌握兩個三角形全等的判定定理是解決問題的關鍵．【詳解】解：①由∠ACB=∠ACB，AC=BC,CD=CE，根據(jù)SAS可得△ACD≌△BCE；∴∠CAD=∠CBE②由AC=BC,CD=CE可得AE=BD，由△ACD≌△BCE可得∠CAD=∠CBE，則由∠CAD=∠CBE，∠AOE=∠BOD，AE=BD，根據(jù)AAS可得△AOE≌△BOD；③由△AOE≌△BOD可得OD=OE，則由OD=OE，OC=OC,CD=CE，根據(jù)SSS可得△COE≌△COD；④由△AOE≌△BOD可得OA=OB，則由OA=OB，AC=BC,CO=CO，根據(jù)SSS可得△ACO≌△BCO；⑤由△ACD≌△BCE可得AD=BE；由AC=BC,CD=CE可得AE=BD；AB=AB；根據(jù)SSS可得△AEB≌△BDA；綜上所述，圖中共有全等三角形5對，故選：A．【變式2-1】（23-24八年級·河南南陽·期末）如圖，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD與CE交于O，連接AO，則圖中共有全等的三角形的對數(shù)為（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】D【分析】根據(jù)AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∠CAE=∠BAD，可證明△CAE≌△BAD，得出AD=AE，∠C=∠B，根據(jù)AAS可證明△DCO≌△EBO，得出CO=BO，利用SSS證得△ACO≌△ABO，利用HL證得△DAO≌△EAO，由此得出共有全等的三角形的對數(shù)為4對．【詳解】解：由題意可得△CAE≌△BAD，△DCO≌△EBO，△ACO≌△ABO，△DAO≌△EAO共4對三角形全等．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式2-2】（23-24八年級·廣東深圳·期中）如圖，AB∥CD，BC∥AD，BE=DF，圖中全等的三角形的對數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形得判定定理，依次證明三角形全等，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，在△ABD與△CDB中，∠ABD=∠CDBBD=DB∴△ABD≌△CDBASA∴AD=BC，AB=CD，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDFSAS∴AE=CF，∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，∴BF=DE，在△ADE與△CBF中，AD=CB∴△ADE≌△CBFSSS同理可得△ABF≌△CDE，△ADF≌CBE，△AEF≌△CFE，即6對全等三角形．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，能正確根據(jù)定理進行推論是解題的關鍵．【變式2-3】（23-24八年級·重慶渝北·期末）如圖（1），已知AB=AC，D為∠BAC的角平分線上一點，連接BD，CD；如圖（2），已知AB=AC，D，E為∠BAC的角平分線上兩點，連接BD，CD，BE，CE；如圖（3），已知AB=AC，D，E，F(xiàn)為∠BAC的角平分線上三點，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此規(guī)律，第6個圖形中有全等三角形的對數(shù)是（

）A．21 B．11 C．6 D．42【答案】A【分析】設第n個圖形中有an(n為正整數(shù)）個全等三角形，根據(jù)各圖形中全等三角形對數(shù)的變化可找出變化規(guī)律“an【詳解】解：設第n個圖形中有an圖(1)，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD(SAS∴a同理，可得：a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，∴a∴a故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定以及規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中全等三角形對數(shù)的變化，找出變化規(guī)律“an【題型3網(wǎng)格中確定全等三角形】【例3】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習）如圖，方格中△ABC的3個頂點分別在正萬形的頂點（格點上），這樣的三角形叫格點三角形，圖中與△ABC（不含△ABC）全等的格點三角形共有（

）個A．4 B．5 C．8 D．7【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定方法，結合網(wǎng)格的特點，畫出圖形，即可得出結果．【詳解】解：如圖所示以正方形一邊為三角形的邊都可作兩個全等的三角形，所以共有8個全等三角形，除去△ABC外有7個與△ABC全等的三角形．即：故選D．【變式3-1】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，像△ABC這樣的三角形叫做格點三角形，畫與△ABC只有一條公共邊且全等的格點三角形，在該網(wǎng)格中這樣的格點三角形（不與△ABC重合）最多可以畫出個．【答案】6【分析】本題考查了全等三角形、格點三角形的定義，可以以BC為公共邊和以AB為公共邊分別畫出3個三角形，以AC為公共邊不可以畫出三角形，即可得出答案，采用數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖所示：，以BC為公共邊可以畫出△BDC、△BEC、△BFC三個三角形，以AB為公共邊可以畫出△ABG、△ABM、△ABH三個三角形，故可以畫出6個，故答案為：6．【變式3-2】（23-24八年級·河北廊坊·期末）在方格紙中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點的連線為邊的三角形叫做格點三角形，解決下列問題．（1）如圖1，以點D和點E為兩個頂點作格點三角形，使所作的格點三角形與△ABC全等，那么這樣的格點三角形最多可以畫出個；（2）如圖2，∠1＋∠2＝．【答案】445°/45度【分析】（1）觀察圖形可知：DE與AC是對應邊，B點的對應點在DE上方兩個，在DE下方兩個共有4個滿足要求的點，也就有四個全等三角形；（2）由圖可知∠1=∠3，∠2+∠3=45°，從而可得結論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，運用SSS可得與△ABC全等的三角形有4個，線段DE的上方有兩個點，下方也有兩個點．故答案為：4．（2）由圖可知△ABC≌△EDC，∴∠1=∠3，而∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=45°，故答案為：45°．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時要做到不重不漏．【變式3-3】（23-24八年級·寧夏吳忠·期中）如圖，△ABC是格點三角形（頂點在網(wǎng)格線的交點上），請在下列每個方格紙上按要求畫一個與△ABC全等的格點三角形．(1)在圖①中所畫三角形與△ABC有一條公共邊AB；(2)在圖②中所畫三角形與△ABC有一個公共角C；(3)在圖③中所畫三角形與△ABC有且只有一個公共頂點A．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點根據(jù)軸對稱畫出圖形即可；（2）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點根據(jù)軸對稱畫出圖形即可；（3）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點畫出圖形即可．【詳解】（1）如圖①所示，△ABD即為所求；（2）如圖②所示，△DEC即為所求；（3）如圖③所示，△AED即為所求，【點睛】本題考查了作圖-應用與設計作圖、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．【題型4靈活選用判定方法證明全等】【例4】（23-24八年級·山東青島·期中）如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求證：BD=AC．

以下是合作小組三名同學關于此題的討論：小麗說：“我可以根據(jù)全等三角形的判定定理‘AAS’證明兩個三角形全等，從而得到BD=AC．”小穎說：“我可以根據(jù)直角三角形全等的判定定理‘HL’證明兩個三角形全等，從而得到BD=AC．”小雨說：“我可以根據(jù)三角形的面積相等，來證明BD=AC．”看了他們的討論，你一定也有了自己的主意，請寫出你的證明．【答案】見解析【分析】本題目考查了三角形全等的判定方法，解題關鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵；①根據(jù)垂線的知識可得∠D=∠C=90°，在結合AAS證明△AOD≌△BOC，最后根據(jù)全等三角形的性質得出結論；②連接AB，根據(jù)直角三角形的HL，證明Rt△ABD≌Rt△BAC，即可得出結論；③連接AB，證明△AOD≌△BOC，可得S△AOD=S△BOC，再結合三角形面積計算方法即可得出結論；④連接DC【詳解】小麗方法：AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°．∴在△AOD和△BOC中，∠D=∠C∴△AOD≌△BOC∴AO=BO，DO=CO．∴AO+CO=BO+DO，即BD=AC．小穎方法：連接AB．∵AC⊥BC，BD⊥AD，，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ABD和RtAD=BC∴Rt△ABD≌Rt△BAC∴BD=AC．小雨方法：連接AB．∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°．∴在△AOD和△BOC中，∠D=∠C∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC∴S∴S△AOD+S△AOB又∵S△ABD=1∴12∵AD=BC，∴BD=AC．

方法4：連接CD，

∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADO=∠BCO=90°．∴在△AOD和△BOC中，∠ADO=∠BCO∴△AOD≌△BOC∴∠A=∠B，OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC=∠BCD在△ADC和△BCD中，∠ADC=∠BCD∴△ADC≌△BCD∴AD=BC．【變式4-1】（23-24八年級·河南鄭州·期末）下列所給的四組條件中，能作出唯一三角形的是（

）A．∠A=∠B=∠C=60° B．AB=1cm，AC=4cmC．AB=5cm，AC=6m，∠C=30° D．BC=3cm，【答案】D【分析】本題主要考查了構成三角形的條件．熟練掌握三角形全等的判定方法，三角形三邊關系，是解決問題的關鍵．根據(jù)三角形三邊的關系對B進行判斷；根據(jù)全等三角形的判定方法對A、C、D進行判斷．【詳解】A．∠A=∠B=∠C=60°，不符合三角形全等判定條件，不能作出唯一三角形；B．AB=1cm，AC=4cm，這里AB+AC=BC，不符合三角形三邊關系，不能作出三角形；C．AB=5cm，AC=6m，兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，不能作出唯一三角形；D．BC=3cm，AC=5cm，兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等，能作出唯一三角形．故選：D．【變式4-2】（23-24八年級·河南鄭州·期末）已知△ABC的三個內角三條邊長如圖所示，則甲、乙、丙三個三角形中，和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解題的關鍵．根據(jù)三角形判定方法判斷即可解答．【詳解】解：甲與△ABC不符合兩邊對應相等，且夾角相等，∴甲和已知三角形不全等；乙與△ABC符合兩邊對應相等，且夾角相等，∴根據(jù)SAS可判定乙和與△ABC全等；丙與△ABC符合兩角對應相等，且其中一角的對邊相等，∴根據(jù)AAS可判定丙和與△ABC全等．故選：B．【變式4-3】（23-24八年級·河北保定·期末）（1）閱讀下題及證明過程已知：如圖，D是△ABC的BC邊上一點，E是AD上一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE．求證：∠BAE=∠CAE．證明：在△AEB和△AEC中，因為EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，所以△AEB≌所以∠BAE=∠CAE………………第二步上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程．（2）如果兩個銳角三角形的兩組邊分別相等，且其中一組等邊的對角相等，那么這兩個三角形全等嗎？請說明理由．【答案】（1）不正確；錯在第一步，詳見解析；（2）全等，詳見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，可知第一步錯誤，證明時先根據(jù)等腰三角形的性質及判定，可逐步推得AB=AC，再根據(jù)“邊邊邊”判定三角形全等即可；（2）先寫出已知，求證與證明，“已知，在銳角三角形ABC和銳角三角形A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，∠C=∠C'．求證：△ABC≌△A'B'C'【詳解】（1）不正確；錯在第一步．證明：在△BEC中，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌∴∠BAE=∠CAE；（2）全等．理由如下：已知：如圖，在銳角三角形ABC和銳角三角形A'AB=A'B'，求證：△ABC≌證明：過點A作AD⊥BC于點D，過點A'作A'D∴∠ADC=∠A在△ACD和△A∵∠C=∠∴△ACD≌∴AD=A在Rt△ABD和Rt∵AB=∴Rt∴∠B=∠B在△ABC和△A∵∠C=∠∴△ABC≌【題型5多次證全等求解或證明結論】【例5】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期末）已知：AD是△ABC的角平分線，且AD⊥BC(1)如圖1，求證：AB=AC；(2)如圖2，∠ABC=30°，點E在AD上，連接CE并延長交AB于點F，BG交CA的延長線于點G，且∠ABG=∠ACF，連接FG．①求證：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG：S△ACF=2:3【答案】(1)見解析(2)①證明見解析②6【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定以及角平分線的定義.（1）用ASA證明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；（2）①證明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用ASA證明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②過F作FK⊥AG于K，由S△ABG:S△ACF=2:3，可得S△CAE:S△ACF=2:3，【詳解】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CADAD=AD∴△ABD≌△ACDASA∴AB=AC；（2）①∵AB=AC，∠ABC=30°∴∠BAD=∠CAD=60°，∴∠BAG=60°=∠CAD，在△BAG和△CAE中，∠BAG=∠CAEAB=AC∴△BAG≌△CAEASA∴AG=AE，在△FAG和△FAE中，AG=AE∠GAF=∠EAF∴△FAG≌△FAEASA∴∠AFG=∠AFC；②過F作FK⊥AG于K，如圖：由①知：△BAG≌△CAE，∵S∴S∴S由①知：△FAG≌△FAE，∴S∴1∴AG:AC=1:3，∵AG=2，∴AC=6．【變式5-1】（23-24八年級·河南洛陽·期末）已知：如圖，AB=AC，BD=CE，CD與BE相交于點O，連接OA．證明：(1)OC=OB；(2)OA平分∠CAB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質，等邊對等角，角平分線的性質，即可．（1）根據(jù)AB=AC，BD=CE，得AE=AD，推出△ADC≌△AEB，則∠ACD=∠ABE，根據(jù)AB=AC，則∠ACB=∠ABC，則∠OCB=∠OBC，即可得OC=OB；（2）由（1）得OC=OB，∠ACD=∠ABE，AB=AC，推出△ACO≌△ABO，則∠CAO=∠BAO，即可．【詳解】（1）證明如下：∵AB=AC，BD=CE，∴AE+CE=AD+BD，∴AE=AD，在△ADC和△AEB，AC=AB∠CAB=∠BAC∴△ADC≌△AEB，∴∠ACD=∠ABE，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠OCB=∠OBC，∴OC=OB．（2）證明：∵OC=OB∠ACD=∠ABE∴△ACO≌△ABO，∴∠CAO=∠BAO，即OA平分∠CAB．【變式5-2】（23-24八年級·廣西百色·期末）如圖，已知，AD⊥BD于點D，CB⊥BD于點B，AB=CD．(1)求證：AD=CB；(2)連接AC交BD于點O，試判斷OA與OC之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)OA=OC，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握相關判定定理是解決本題的關鍵．（1）根據(jù)HL證明Rt△ABD≌RtCDB（2）根據(jù)AAS證明△AOD≌△COB，再根據(jù)全等三角形的性質即可得OA=OC．【詳解】（1）證明：如圖所示，∵AD⊥BD，CB⊥BD

∴∠1=∠2=90°在Rt△ABD和RtAB=CDBD=DB∴Rt△ABD≌∴AD=CB；（2）解：OA=OC理由如下：如圖，在△AOD和△COB中，∠3=∠4∠1=∠2∴△AOD≌△COBAAS∴OA=OC．【變式5-3】（23-24八年級·重慶·期末）如圖1，在等邊三角形ABC中，點D在BC上，點E在AB上，CE，AD交于點F，CG⊥AD于點G，延長CG交AB于點H，∠HCE=30°．(1)求證：AE=BD．(2)如圖2，連接BF，若BF⊥CE，求證：點F是AG的中點．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．（1）由ASA可證△CAE≌△ABD，可得AE=BD；（2）延長BF交AC于點Q，由ASA可證△ABQ≌△BCH，可得AQ=BH，由AAS可證△CFQ≌△AGH，可得AG=CF=2FG，可得結論．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵CG⊥AD，∠HCE=30°，∴CF=2FG，∠CFG=60°，∴∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠BAD，∴∠ACF=∠BAD，在△CAE和△ABD中，∠ACE=∠BADAC=AB∴△CAE≌△ABDASA∴AE=BD；（2）如圖，延長BF交AC于點Q，∵BF⊥CE，∠ECH=30°，∴∠FBC+∠BCG=60°，∵∠ABF+∠FBC=∠ABC=60°，∴∠ABF=∠BCG，在△ABQ和△BCH中，∠ABF=∠BCGAB=BC∴△ABQ≌△BCHASA∴AQ=BH，∴AB?BH=AC?AQ，∴AH=CQ，在△CFQ和△AGH中，∠CFQ=∠AGH=90°∠ACF=∠HAG∴△CFQ≌△AGHAAS∴AG=CF，∴AG=2FG，∴點F是AG的中點．【題型6由全等三角形的判定與性質確定線段之間的關系】【例6】（23-24八年級·江西南昌·期末）如圖，AD是△ABC的角平分線．(1)若AB=AC+CD，求證：∠ACB=2(2)當∠ACB=2∠B時，AC+CD【答案】(1)見解析(2)AB=AC+CD，理由見解析【分析】（1）延長AC至E，使CE=CD，連接DE，運用SAS證明△BAD≌△EAD（2）在AC的延長線上取點F，使CF=CD，連接DF，根據(jù)AAS推導△BAD≌△FAD得到結論．【詳解】（1）證明：延長AC至E，使CE=CD，連接DE∵AB=AC+CD，∴AB=AE.∵AD平分∠BAC∴∠BAD=在△BAD與△EAD中，AB=AE∠BAD=∠EAD∴△BAD≌△EAD.∴∠B=∵CD=CE，∴∠∵∠ACB=∴∠ACB=2（2）解：AB=AC+CD.理由：在AC的延長線上取點F，使CF=CD，連接DF.∴∠CDF=又∵∠ACB=∴∠ACB=2∵∠ACB=2∴∠B=∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△BAD與△FAD中，∠B=∠F∠BAD=∠CAD∴△BAD≌△FAD.∴AB=AF=AC+CF=AC+CD．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，三角形外角性質，等腰三角形的判定和性質．正確的作出輔助線是解題關鍵．【變式6-1】（23-24八年級·廣東潮州·階段練習）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，AD=5，BE=2，求線段DE的長．【答案】(1)①見解析，②見解析；(2)3．【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案，本題考查了全等三角形的性質和判定，同角的余角相等，垂直的定義，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECB∴△ADC≌△CEBAAS②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE；（2）證明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠BEC∠ADC=∠BEC∴△ADC≌△CEBAAS∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC?CD=AD?BE=5?2=3．【變式6-2】（23-24八年級·重慶·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC<AC，過點B作DE∥AC，且BD=BC，點B作BF⊥AB交CD于點F

(1)如圖1，若∠BAC=40°，且BF=BE，求∠CFE的度數(shù)；(2)如圖2，若DE=AC，求證：AB=BF+EF．【答案】(1)70°(2)見解析【分析】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、平行線的性質等知識，熟練運用全等三角形的性質探究線段間的關系是解答的關鍵．（1）先根據(jù)平行線的性質得到∠ABE=∠A=40°，∠CBD=∠ACB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質求得∠E=25°，∠D=45°，進而利用三角形的外角性質求解即可；（2）先求得∠BCD=∠D=45°，在AB上截取BG=BF，連接GF、GC，分別證明△GBC≌△FBDSAS【詳解】（1）解：∵DE∥AC，∠A=40°，∴∠ABE=∠A=40°，∠CBD=∠ACB=90°，∵BF⊥AB，∴∠ABF=90°，∴∠EBF=130°，∵BF=BE，∴∠E=1∵BD=BC，∴∠D=1∴∠CFE=∠E+∠D=25°+45°=70°；（2）證明：∵∠ACB=90°，DE∥∴∠CBD=∠ACB=90°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠D=45°，如圖，在AB上截取BG=BF，連接GF、

∵BF⊥AB，∴∠GBC+∠CBF=90°，∵∠CBD=∠CBF+∠FBD=90°，∴∠GBC=∠FBD，在△GBC和△FBD中，BG=BF∠GBC=∠FBD∴△GBC≌∴∠D=∠BCG=45°，DF=GC，∴∠ACG=45°=∠D，在△AGC和△EFD中，GC=DF∠ACG=∠D∴△AGC≌∴AG=EF，∴AB=AG+BG=EF+BF，∴AB=BF+EF．【變式6-3】（23-24八年級·重慶·期末）在△ABC中，∠ACB和∠CAB的角平分線CE、AD相交于點G．(1)若∠B=50°，求∠AGC的度數(shù)；(2)延長CE至點N，過點N作BC的平行線NM交AB于點M，若EG=EM，求證：AC=AE+EN．【答案】(1)∠AGC=115°；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，三角形內角和定理即可求解；（2）在AC上截取AH=AE，連接HG，證明△AHG≌△AEGSSS本題考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形全等的性質與判定，平行線的性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵∠B=50°，∴∠BAC+∠ACB=180°?∠B=130°，∵∠ACB和∠CAB的角平分線CE、AD相交于點G，∴∠GAC=12∠BAC∴∠GAC+∠ACG=1∴∠AGC=180°?∠GAC+∠ACG（2）證明：如圖，在AC上截取AH=AE，連接HG，∵AD平分∠HAE，∴AG垂直平分HE，∴HG=EG，∵EM=EG，∴HG=EM，又∵AG=AG，∴△AHG≌∴∠AHG=∠AEG，∴∠CHG=∠NEM，又∵MN∥∴∠N=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠ACE=∠N，∴△HCG≌△ENMAAS∴HC=EN，∵AC=AH+HC，∴AC=AE+EN．【題型7全等三角形的動態(tài)問題】【例7】（23-24八年級·湖南郴州·期中）如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點向A點運動，設運動時間為t(秒)(0≤t<3)．

(1)用含t的代數(shù)式表示PC的長度．(2)若點P、Q的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；(3)若點P、Q的運動速度不相等，當點Q的運動速度a為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？【答案】(1)6?2t(2)是，理由見解析(3)當a=83時，能夠使△BPD與△CQP【分析】此題主要考查了動點問題和全等三角形的判定，（1）直接根據(jù)時間和速度表示PC的長；（2）根據(jù)SAS證明△CQP≌（3）因為點P、Q的運動速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能與PC相等，則PB=PC=3，CQ=BD=4，得【詳解】（1）解：由題意得：PB=2t，則PC=6?2t；（2）解：△CQP≌當t=1時，由題意得：a=2，PB=CQ=2，∴PC=6?2=4，∵∠B=∠C，∴AC=AB=8，∵D是AB的中點，∴BD=1∴BD=PC=4，在△CQP和△BPD中，∵PC=BD∠C=∠B∴△CQP≌（3）解：∵點P、Q的運動速度不相等，∴PB≠CQ，當△BPD與△CQP全等，且∠B=∠C，∴BP=PC=3，∵BP=2t=3，∴t=32∴32a=4，a=∴當a=83時，能夠使△BPD與△CQP【變式7-1】（23-24八年級·廣東潮州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，點E在線段AD上，且AE=6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上．以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，A．2 B．4 C．4或65 D．2或【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，數(shù)形結合、分類討論并熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．當△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：①當EA=PB時，△APE≌△BQP，②當AP=BP時，△AEP≌△BQP，分別按照全等三角形的性質及行程問題的基本數(shù)量關系求解即可．【詳解】解：當△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：①當EA=PB時，△APE≌△BQP(SAS∵AB=10cm，AE=6∴BP=AE=6cm，AP=4∴BQ=AP=4cm∵動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B∴點P和點Q的運動時間為：4÷2=2s∴v=4÷2=2cm/s②當AP=BP時，△AEP≌△BQP(SAS∵AB=10cm，AE=6∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=綜上，v的值為2或125故選：D．【變式7-2】（23-24八年級·湖南郴州·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm，延長BC到點E，使CE=1cm，連接DE，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，當△PBC和△DCE全等時，t【答案】2或7【分析】本題主要考查正方形的性質，三角形全等的判定與性質，關鍵是要考慮到點P的兩種情況，牢記三角形全等的性質是解本題的關鍵．根據(jù)由點P的運動情況可知，△PBC和△DCE全等分以下兩種情況：①當點P在AB上運動時，②當點P在CD上運動時，利用三角形全等的性質建立關于t等式求解，即可解題．【詳解】解：由點P的運動情況可知，△PBC和△DCE全等分以下兩種情況：①當點P在AB上運動時，∵四邊形ABCD為正方形，AB=3cm∴BC=CD=AB=3cm，∠B=∠BCD=90°∴∠DCE=90°，要△PBC和△DCE全等，即PB=CE，∵CE=1cm∴3?t=1，解得t=2；②當點P在CD上運動時，要△PBC和△DCE全等，即PC=CE，∵CE=1cm∴t?6=1，解得t=7；綜上所述，t的值為2或7．故答案為：2或7．【變式7-3】（23-24八年級·河南鄭州·期末）如圖，在△ABC中，AD為高線，AC=18．點E為AC上一點，CE=12AE，連接BE，交AD于點O

(1)猜想線段BO與AC的位置關系，并證明；(2)若動點Q從點A出發(fā)沿射線AE以每秒6個單位長度的速度運動，運動的時間為t秒．①當點Q在線段AE上時，是否存在t的值，使得△BOQ的面積為27？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；②動點P從點O出發(fā)沿線段OB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，P，Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，點F是直線BC上一點，且CF=AO，當△AOP與△FCQ全等時，請直接寫出t的值．【答案】(1)BO⊥AC，證明見解析(2)①存在t的值，理由見解析，t=32；②t的值為9【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．（1）由全等三角形的性質可得∠OBD=∠CAD，由余角的性質可得∠AEO=∠ODB=90°，即可求解；（2）①由全等三角形的性質可得BO=AC=18，由三角形的面積公式可求解；②分兩種情況討論，由全等三角形的判定列出等式，即可求解．【詳解】（1）解：BO⊥AC，理由如下：在△ABC中，AD為高，∴∠ODB=90°，又∵△BDO≌△ADC，∴∠OBD=∠CAD，∵∠OBD=∠CAD，∠BOD=∠AOE，∴∠AEO=∠ODB=90°，∴BO⊥AC；（2）解：①存在t的值，使得△BOQ的面積為27，理由如下：∵△BDO≌△ADC，AC=18，∴BO=AC=18，∵CE=1∴AE=12，CE=6，

由（1）可知，∠