九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點10四種方法求二次函數(shù)的解析式（原卷版）

重難點10四種方法求二次函數(shù)的解析式【知識梳理】1.一般式當題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值；2.頂點式若已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點式．這頂點坐標為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當x=h時，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).3.交點式已知圖像與x軸交于不同的兩點，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．4.平移變換型將一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當圖像向左（右）平移n個單位時，就在x–h上加上（減去）n；當圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負，右、左移；k值正負，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【考點剖析】解法一：一般式1.一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三點，求這個二次函數(shù)的解析式．2.已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，10），（1，4），（2，7）三點．求這個二次函數(shù)的解析式，并求出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標．3.二次函數(shù)圖象過A，C，B三點，點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y軸正半軸上，且AB＝OC，求二次函數(shù)的表達式．4.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C，D作拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），點A，B，D的坐標分別為（﹣2，0），（3，0），（0，4），求拋物線的解析式．5．（2021·上海寶山·九年級期中）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點，（1）求該拋物線的表達式及點的坐標；（2）將拋物線平移，使點落在點處，點落在點處，求的面積；（3）如果點在軸上，與相似，求點的坐標．解法二：頂點式1.設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（﹣2，2），且過點（1，1），求這個函數(shù)的關(guān)系式．2.已知二次函數(shù)當x＝1時有最大值是﹣6，其圖象經(jīng)過點（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．3．（上海楊浦區(qū)·九年級一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線交y軸于點為A，頂點為D，對稱軸與x軸交于點H．（1）求頂點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當拋物線過點（1，-2），且不經(jīng)過第一象限時，平移此拋物線到拋物線的位置，求平移的方向和距離；（3）當拋物線頂點D在第二象限時，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．解法三：交點式1.如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函數(shù)表達式．2.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣1，0），點B，點C分別為x軸，y軸正半軸上一點，其滿足OC＝OB＝2OA．求過A，B，C三點的拋物線的表達式；3.已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點，且BC＝5，求該二次函數(shù)的解析式．4．（2021·上海）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求該拋物線的表達式及點的坐標：（2）如果點的坐標為，聯(lián)結(jié)、，求的正切值；（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一點，當時，求點的坐標．解法四：平移變換型1.將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度后，求平移后的拋物線解析式．2.將拋物線y＝2x2先向下平移3個單位，再向右平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線經(jīng)過點（1，5），求新拋物線的表達式及新拋物線與y軸交點的坐標．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把拋物線y＝ax2+bx+c向下平移一個單位長度，再向左平移5個單位長度所得到的新拋物線的頂點是（﹣2，0），求原拋物線的表達式．4．（上海格致中學九年級月考）把二次函數(shù)這個圖像上下平移，使其頂點恰好落在正比例函數(shù)的圖像上，求平移后二次函數(shù)的解析式5.拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸正半軸交于A點，M（﹣2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點，拋物線沿射線AD方向平移2個單位，求平移后的解析式．6．（2020·上海）已知：拋物線，經(jīng)過點A(-1,-2)，B(0,1).（1）求拋物線的關(guān)系式及頂點P的坐標.（2）若點B′與點B關(guān)于x軸對稱，把（1）中的拋物線向左平移m個單位，平移后的拋物線經(jīng)過點B′，設(shè)此時拋物線頂點為點P′.①求∠P′BB′的大小.②把線段P′B′以點B′為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)120°，點P′落在點M處，設(shè)點N在（1）中的拋物線上，當△MNB′的面積等于6時，求點N的坐標.7．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）已知：經(jīng)過點，．(1)求函數(shù)解析式；(2)平移拋物線使得新頂點為（m＞0）．①倘若，且在的右側(cè)，兩拋物線都上升，求的取值范圍；②在原拋物線上，新拋物線與軸交于，時，求點坐標．【過關(guān)檢測】1．（2021·上海九年級專題練習）已知一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（4，1）和（，6）．求這個二次函數(shù)的解析式．2．（2021·上海九年級專題練習）如圖，已知拋物線y＝－x2＋4x＋m與x軸交于A，B兩點，AB＝2，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為對稱軸上一點，要使PA＋PC最小，求點P的坐標．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）已知函數(shù)是二次函數(shù)．（1）求m的值；（2）求這個二次函數(shù)的解析式，并指出開口方向、對稱軸和頂點坐標．4．（2020·崇明縣大同中學九年級月考）如圖已知在直角坐標系中，一條拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中B（3，0），C（0，4），點A在x軸的負半軸上，OC＝4OA．（1）求點A坐標；（2）求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點坐標．5．（2021·上海中考真題）已知拋物線過點．（1）求拋物線的解析式；（2）點A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．①若A與Q重合，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標．6．（2022·上海徐匯·九年級期末）二次函數(shù)的自變量x的取值與函數(shù)y的值列表如下：x…﹣2﹣10…234……﹣503…30﹣5…(1)根據(jù)表中的信息求二次函數(shù)的解析式，并用配方法求出頂點的坐標；(2)請你寫出兩種平移的方法，使平移后二次函數(shù)圖像的頂點落在直線上，并寫出平移后二次函數(shù)的解析式．7．（2022·上海楊浦·九年級期末）已知二次函數(shù)．(1)用配方法把二次函數(shù)化為的形式，并指出這個函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)如果將該函數(shù)圖像沿軸向下平移5個單位，所得新拋物線與軸正半軸交于點，與軸交于點，頂點為，求的面積．8．（2022·上海金山·九年級期末）已知：拋物線經(jīng)過點和，頂點為點，拋物線的對稱軸與軸相交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）求的度數(shù)；（3）把拋物線向上或者向下平移，點平移到點的位置，如果，求平移后的拋物線解析式．9．（2022·上海閔行·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與牰交于點，與軸交于點．點C為拋物線的頂點．(1)用含的代數(shù)式表示頂點的坐標：(2)當頂點在內(nèi)部，且時，求拋物線的表達式：(3)如果將拋物線向右平移一個單位，再向下平移個單位后，平移后的拋物線的頂點仍在內(nèi)，求的取值范圍．10．（2022·上海普陀·九年級期中）在平面直角坐標系xOy中(如圖)，已知拋物線y=x2-bx+c經(jīng)過A(-1．2)、B(0，-1)兩點．(1)求拋物線的表達式及頂點P的坐標；(2)將拋物線y=x2-bx+c向左平移(+1)個單位，設(shè)平移后的拋物線頂點為點P'．①求∠BP'P的度數(shù)；②將線段P'B繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°，點P’落在點M處，點N是平移后的拋物線上的一點，當△MNB的面積為1時，求點N的坐標．11．（2022·上海靜安·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點A坐標是（2，4），點B在x軸上，（如圖所示），二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點O、A、B三點，頂點為D．(1)求點B與點D的坐標；(2)求二次函數(shù)圖像的對稱軸與線段AB的交點E的坐標；(3)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平移后，點A落在原二次函數(shù)圖像的對稱軸上，點D落在線段AB上，求圖像平移后得到的二次函數(shù)解析式．12．（2022·上海奉賢·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中,拋物線與軸交于點和點，與軸交于點,頂點為．（1）求該拋物線的表達式的頂點的坐標；（2）將拋物線沿軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點為,點的對應(yīng)點為．①如果點落在線段上,求的度數(shù)；②設(shè)直線與軸正半軸交于點,與線段交于點,當時,求平移后新拋物線的表達式．13．（2022·上海市羅星中學模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，拋物線交y軸于點為A，頂點為D，對稱軸與x軸交于點H．（1）求頂點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當拋物線過點（1，-2），且不經(jīng)過第一象限時，平移此拋物線到拋物線的位置，求平移的方向和距離；（3）當拋物線頂點D在第二象限時，如果∠ADH=∠AHO，求