強度計算：有限體積法（FVM）中的激波捕捉與限幅器技術教程

強度計算：有限體積法（FVM）中的激波捕捉與限幅器技術教程1有限體積法（FVM）基礎1.1FVM的基本原理有限體積法（FVM）是一種廣泛應用于流體力學、熱傳導和電磁學等領域的數(shù)值計算方法。其核心思想是將計算域劃分為一系列控制體積（或稱為單元），并在每個控制體積上應用守恒定律。與有限差分法和有限元法相比，F(xiàn)VM更直接地基于守恒原理，這使得它在處理非結構化網(wǎng)格和復雜幾何形狀時具有優(yōu)勢。1.1.1守恒原理在FVM中，守恒原理被應用于每個控制體積。例如，對于連續(xù)性方程，質量守恒意味著流入控制體積的質量必須等于流出的質量加上控制體積內(nèi)的質量變化。數(shù)學上，這可以表示為：?其中，ρ是密度，u是流體速度，t是時間。1.1.2控制體積控制體積的選擇和生成是FVM中的關鍵步驟?？刂企w積可以是任意形狀，但通常選擇為四邊形（2D）或六面體（3D）?？刂企w積的邊界稱為面，面的法向量用于計算面通量。1.2離散化過程詳解離散化是將連續(xù)的偏微分方程轉化為離散形式的過程，以便在計算機上進行數(shù)值求解。在FVM中，離散化過程包括：積分形式：將偏微分方程轉化為積分形式，即在每個控制體積上應用守恒定律。數(shù)值積分：使用數(shù)值積分方法（如中點規(guī)則、梯形規(guī)則或高斯積分）來近似積分。通量計算：計算通過控制體積面的通量，這通常涉及到對流項和擴散項的處理。離散方程：將積分形式轉化為離散方程，這些方程可以用于迭代求解。1.2.1示例：離散化連續(xù)性方程考慮一個簡單的1D連續(xù)性方程：?在控制體積Vid其中，n是面的法向量，dSd其中，Ai+12和1.2.2Python代碼示例下面是一個使用Python和NumPy庫離散化1D連續(xù)性方程的簡單示例：importnumpyasnp

#定義網(wǎng)格參數(shù)

nx=100#網(wǎng)格點數(shù)

dx=1.0/(nx-1)#網(wǎng)格間距

nt=100#時間步數(shù)

dt=0.001#時間步長

#初始化密度和速度

rho=np.ones(nx)

u=np.zeros(nx)

#更新邊界條件

rho[0]=1.0

rho[-1]=1.0

#離散化過程

forninrange(nt):

rho[1:-1]-=dt/dx*(u[1:-1]*(rho[2:]-rho[0:-2]))

#輸出最終的密度分布

print(rho)1.3網(wǎng)格生成與選擇網(wǎng)格生成是FVM中的另一個關鍵步驟。網(wǎng)格的選擇直接影響到計算的精度和效率。在FVM中，網(wǎng)格可以是結構化的（如矩形網(wǎng)格）或非結構化的（如三角形網(wǎng)格）。網(wǎng)格生成通常涉及到以下步驟：定義網(wǎng)格參數(shù)：包括網(wǎng)格點數(shù)、網(wǎng)格間距和網(wǎng)格形狀。生成網(wǎng)格：使用網(wǎng)格生成軟件或編程語言生成網(wǎng)格。網(wǎng)格質量檢查：檢查網(wǎng)格的質量，包括網(wǎng)格的正交性、扭曲度和網(wǎng)格尺寸的均勻性。1.3.1示例：使用Python生成1D均勻網(wǎng)格下面是一個使用Python生成1D均勻網(wǎng)格的示例：importnumpyasnp

#定義網(wǎng)格參數(shù)

nx=100#網(wǎng)格點數(shù)

L=1.0#計算域長度

#生成網(wǎng)格

x=np.linspace(0,L,nx)

#輸出網(wǎng)格

print(x)1.3.2網(wǎng)格質量檢查網(wǎng)格質量檢查通常涉及到計算網(wǎng)格的正交性、扭曲度和網(wǎng)格尺寸的均勻性。例如，對于1D網(wǎng)格，我們可以檢查網(wǎng)格間距的均勻性：#計算網(wǎng)格間距

dx=np.diff(x)

#檢查網(wǎng)格間距的均勻性

ifnp.allclose(dx,dx[0]):

print("網(wǎng)格間距均勻")

else:

print("網(wǎng)格間距不均勻")通過以上步驟，我們可以使用有限體積法（FVM）來解決強度計算中的數(shù)值問題，特別是在處理激波捕捉和限幅器時，F(xiàn)VM的守恒性和穩(wěn)定性使其成為一種非常有效的工具。然而，激波捕捉和限幅器的詳細討論將留待后續(xù)的教程中進行。2激波捕捉技術2.1激波捕捉的必要性在流體力學中，激波是流體速度突然變化的界面，這種變化通常伴隨著密度、壓力和溫度的急劇增加。在數(shù)值模擬中，激波的準確捕捉對于模擬高馬赫數(shù)流、燃燒過程、爆炸等現(xiàn)象至關重要。有限體積法（FVM）作為一種廣泛使用的數(shù)值方法，能夠通過激波捕捉技術在網(wǎng)格上準確地表示激波，從而提高模擬的精度和可靠性。2.2上風格式與中心格式對比2.2.1上風格式上風格式（UpwindScheme）是一種基于流體流動方向的數(shù)值格式，它在處理對流項時特別有效。上風格式能夠穩(wěn)定地捕捉激波，避免數(shù)值振蕩，這是因為上風格式考慮了物理信息的傳播方向，只從前一個網(wǎng)格單元（對于正向流動）或后一個網(wǎng)格單元（對于反向流動）獲取信息，從而減少了信息的“混合”，避免了不物理的振蕩。2.2.1.1代碼示例假設我們有一個一維的對流方程，使用上風格式進行離散：?其中，u是流體的速度，a是對流速度。使用上風格式，我們可以得到以下離散方程：u如果a>0，則使用uin?uiimportnumpyasnp

#參數(shù)設置

a=1.0#對流速度

dx=0.1#空間步長

dt=0.01#時間步長

nx=100#網(wǎng)格點數(shù)

nt=100#時間步數(shù)

#初始條件

u=np.zeros(nx)

u[0:40]=2.0

#邊界條件

u[0]=2.0

#上風格式更新

forninrange(nt):

un=u.copy()

foriinrange(1,nx):

ifa>0:

u[i]=un[i]-a*dt/dx*(un[i]-un[i-1])

else:

u[i]=un[i]-a*dt/dx*(un[i+1]-un[i])2.2.2中心格式中心格式（CentralScheme）在計算對流項時，使用網(wǎng)格點兩側的值進行平均，這在平滑流場中表現(xiàn)良好，但在激波附近會導致數(shù)值振蕩，因為中心格式?jīng)]有考慮信息的傳播方向。2.2.2.1代碼示例使用中心格式離散上述一維對流方程：u#中心格式更新

forninrange(nt):

un=u.copy()

foriinrange(1,nx-1):

u[i]=un[i]-a*dt/dx*(un[i+1]-un[i-1])/22.3高分辨率方案介紹高分辨率方案（High-ResolutionSchemes）旨在提高數(shù)值模擬的精度，特別是在激波和不連續(xù)性附近的精度。這些方案通常結合了上風格式的穩(wěn)定性與中心格式的精度，通過使用限幅器（Limiter）來控制數(shù)值振蕩，從而在保持高分辨率的同時，確保數(shù)值解的穩(wěn)定性。2.3.1限幅器限幅器是一種用于控制數(shù)值解中不物理振蕩的工具，它通過調整數(shù)值格式的斜率來實現(xiàn)。限幅器的設計原則是，在平滑區(qū)域使用高階格式以提高精度，在激波或不連續(xù)性附近使用低階格式以保持穩(wěn)定性。2.3.1.1代碼示例使用VanLeer限幅器（一種常用的限幅器）來更新上風格式的斜率：defvan_leer_limiter(r):

return(r+abs(r))/(1+abs(r))

#使用VanLeer限幅器的上風格式更新

forninrange(nt):

un=u.copy()

foriinrange(1,nx):

ifa>0:

slope=(un[i]-un[i-1])/dx

slope_limited=van_leer_limiter(slope)

u[i]=un[i]-a*dt*slope_limited

else:

slope=(un[i+1]-un[i])/dx

slope_limited=van_leer_limiter(slope)

u[i]=un[i]-a*dt*slope_limited通過上述代碼示例，我們可以看到，使用限幅器的上風格式能夠更準確地捕捉激波，同時避免了數(shù)值振蕩，提高了數(shù)值模擬的精度和穩(wěn)定性。3限幅器原理與應用3.1限幅器的作用與分類限幅器在數(shù)值計算方法，尤其是有限體積法(FVM)中扮演著關鍵角色，主要用于激波捕捉，防止數(shù)值解出現(xiàn)非物理的振蕩。限幅器通過限制數(shù)值解的梯度或斜率，確保解的單調性，從而提高計算的穩(wěn)定性和準確性。3.1.1分類限幅器可以分為線性限幅器和非線性限幅器兩大類。線性限幅器通?；诤唵蔚臄?shù)學規(guī)則，如最小值和最大值的限制，來調整數(shù)值解的斜率。非線性限幅器則更為復雜，它們根據(jù)局部流場的特性動態(tài)調整限幅參數(shù)，以更好地捕捉激波和其它非線性現(xiàn)象。3.2TVD限幅器詳解TVD（TotalVariationDiminishing）限幅器是一種非線性限幅器，旨在保持解的總變差不增加，從而避免數(shù)值振蕩。TVD限幅器的核心思想是通過調整數(shù)值解的斜率，確保在計算過程中，解的總變差不會增加，這有助于保持解的單調性，特別是在激波附近。3.2.1原理TVD限幅器通過計算兩個相鄰網(wǎng)格點之間的斜率，并根據(jù)這些斜率的比值來調整數(shù)值解的斜率。具體來說，如果兩個相鄰網(wǎng)格點的斜率比值超過一定閾值，限幅器會減少斜率，以避免非物理的振蕩。3.2.2實現(xiàn)在有限體積法中，TVD限幅器的實現(xiàn)通常涉及到對數(shù)值通量的修正。以下是一個使用Python實現(xiàn)的TVD限幅器示例，用于修正一維標量方程的數(shù)值解。importnumpyasnp

deftvd_limiter(r):

"""

TVD限幅器函數(shù)，輸入為斜率比值r，輸出為修正后的斜率。

"""

#Superbee限幅器

phi=np.where(r<=0,0,np.where(r<=1,r,np.where(r<=2,2*r-2,0)))

returnphi

defupdate_solution(u,dt,dx,flux):

"""

更新數(shù)值解u，dt為時間步長，dx為空間步長，flux為數(shù)值通量。

"""

#計算斜率

slope=np.gradient(u,dx)

#計算斜率比值

r=np.where(slope[:-1]==0,1,slope[1:]/slope[:-1])

#應用TVD限幅器

limiter=tvd_limiter(r)

#修正斜率

slope_limited=np.where(slope[:-1]==0,slope[:-1],limiter*slope[:-1])

#更新解

u_new=u-dt/dx*(flux[1:]-flux[:-1])+dt*(slope_limited[1:]-slope_limited[:-1])

returnu_new在這個示例中，tvd_limiter函數(shù)實現(xiàn)了Superbee限幅器，它根據(jù)斜率比值r動態(tài)調整限幅參數(shù)。update_solution函數(shù)則使用這個限幅器來修正數(shù)值解u，確保在時間步長dt和空間步長dx下，解的更新不會引入非物理的振蕩。3.3非線性限幅器的實現(xiàn)非線性限幅器的實現(xiàn)通常需要更復雜的數(shù)學模型，以適應不同類型的流場和激波。以下是一個使用Python實現(xiàn)的非線性限幅器示例，它基于VanLeer的β函數(shù)，用于修正數(shù)值解的斜率。defvan_leer_limiter(r):

"""

VanLeer的β函數(shù)限幅器，輸入為斜率比值r，輸出為修正后的斜率。

"""

phi=(r+np.abs(r))/(1+np.abs(r))

returnphi

defupdate_solution_nonlinear(u,dt,dx,flux):

"""

使用VanLeer限幅器更新數(shù)值解u，dt為時間步長，dx為空間步長，flux為數(shù)值通量。

"""

#計算斜率

slope=np.gradient(u,dx)

#計算斜率比值

r=np.where(slope[:-1]==0,1,slope[1:]/slope[:-1])

#應用VanLeer限幅器

limiter=van_leer_limiter(r)

#修正斜率

slope_limited=np.where(slope[:-1]==0,slope[:-1],limiter*slope[:-1])

#更新解

u_new=u-dt/dx*(flux[1:]-flux[:-1])+dt*(slope_limited[1:]-slope_limited[:-1])

returnu_new在這個示例中，van_leer_limiter函數(shù)實現(xiàn)了VanLeer的β函數(shù)限幅器，它通過計算斜率比值r的β函數(shù)來動態(tài)調整限幅參數(shù)。update_solution_nonlinear函數(shù)則使用這個限幅器來修正數(shù)值解u，確保在處理復雜流場時，解的更新仍然保持穩(wěn)定和準確。通過上述示例，我們可以看到限幅器在有限體積法中的重要性，以及如何通過不同的限幅器策略來提高數(shù)值計算的穩(wěn)定性和準確性。在實際應用中，選擇合適的限幅器策略對于準確捕捉激波和其它非線性現(xiàn)象至關重要。4FVM中的激波捕捉與限幅器實踐4.1激波捕捉算法的編程實現(xiàn)在有限體積法(FVM)中，激波捕捉算法是處理激波和間斷現(xiàn)象的關鍵技術。激波捕捉算法通過在間斷處添加人工耗散，確保數(shù)值解的穩(wěn)定性和物理一致性。下面，我們將通過一個具體的例子來展示如何在Python中實現(xiàn)一個簡單的激波捕捉算法。4.1.1例子：一維Burgers方程的激波捕捉一維Burgers方程為：u我們使用FVM和激波捕捉算法來求解這個方程。4.1.1.1步驟1：定義網(wǎng)格和初始條件importnumpyasnp

#定義網(wǎng)格參數(shù)

nx=100

dx=1.0/(nx-1)

nt=100

dt=0.001

#初始化網(wǎng)格和速度場

x=np.linspace(0,1,nx)

u=np.where(x<0.5,2.0,1.0)4.1.1.2步驟2：實現(xiàn)FVM離散化flux=lambdau:0.5*u**2

#FVM離散化

forninrange(nt):

un=u.copy()

u[1:-1]-=dt/dx*(flux(un[2:])-flux(un[:-2]))4.1.1.3步驟3：添加激波捕捉為了穩(wěn)定解，我們添加一個簡單的激波捕捉算法，例如VanLeer限幅器。defvan_leer_limiter(r):

return(r+np.abs(r))/(1+np.abs(r))

#添加限幅器

forninrange(nt):

un=u.copy()

slope=(un[2:]-un[1:-1])/dx

slope_limited=van_leer_limiter(slope[1:]/slope[:-1])

u[1:-1]-=dt/dx*(flux(un[2:]-slope_limited[1:]*dx)-flux(un[:-2]+slope_limited[:-1]*dx))4.1.2分析與討論通過上述代碼，我們實現(xiàn)了FVM中的一維Burgers方程求解，并添加了VanLeer限幅器來捕捉激波。限幅器的作用是限制數(shù)值解的斜率，防止出現(xiàn)非物理的振蕩。4.2限幅器在FVM中的應用案例限幅器在FVM中廣泛應用于處理激波和間斷，下面通過一個二維Euler方程的求解來展示限幅器的應用。4.2.1例子：二維Euler方程的激波捕捉二維Euler方程描述了流體動力學中的守恒定律，包括質量、動量和能量的守恒。4.2.1.1步驟1：定義網(wǎng)格和初始條件nx,ny=100,100

dx,dy=1.0/(nx-1),1.0/(ny-1)

nt=100

dt=0.001

#初始化網(wǎng)格和流體狀態(tài)

x,y=np.meshgrid(np.linspace(0,1,nx),np.linspace(0,1,ny))

rho=np.ones((nx,ny))

rho[np.where(x<0.5)]=2.0

u=np.zeros((nx,ny))

v=np.zeros((nx,ny))

p=np.ones((nx,ny))4.2.1.2步驟2：實現(xiàn)FVM離散化#FVM離散化

forninrange(nt):

rho_un,u_un,v_un,p_un=rho.copy(),u.copy(),v.copy(),p.copy()

#更新密度、速度和壓力

rho-=dt/dx*(rho_un*u_un)[1:,:]-dt/dy*(rho_un*v_un)[:,1:]

u-=dt/dx*(u_un**2+p_un/rho_un)[1:,:]-dt/dy*(u_un*v_un)[:,1:]

v-=dt/dx*(u_un*v_un)[:,1:]-dt/dy*(v_un**2+p_un/rho_un)[:,1:]4.2.1.3步驟3：添加限幅器#添加VanLeer限幅器

forninrange(nt):

rho_un,u_un,v_un,p_un=rho.copy(),u.copy(),v.copy(),p.copy()

#計算斜率

slope_rho_x=(rho_un[2:,:]-rho_un[1:-1,:])/dx

slope_rho_y=(rho_un[:,2:]-rho_un[:,1:-1])/dy

#限幅

slope_limited_rho_x=van_leer_limiter(slope_rho_x[1:,1:]/slope_rho_x[:-1,1:])

slope_limited_rho_y=van_leer_limiter(slope_rho_y[1:,1:]/slope_rho_y[1:,:-1])

#更新流體狀態(tài)

rho[1:-1,1:-1]-=dt/dx*(rho_un[2:,1:-1]-rho_un[1:-1,1:-1]-slope_limited_rho_x*dx)

rho[1:-1,1:-1]-=dt/dy*(rho_un[1:-1,2:]-rho_un[1:-1,1:-1]-slope_limited_rho_y*dy)

#類似地更新u,v,p4.2.2分析與討論在二維Euler方程的求解中，限幅器同樣起到了穩(wěn)定解的作用，尤其是在激波和間斷的處理上。通過限幅器，我們可以確保數(shù)值解的物理意義，并避免非物理的振蕩。4.3數(shù)值穩(wěn)定性與收斂性分析在FVM中，激波捕捉算法和限幅器的使用直接影響到數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性。穩(wěn)定性分析通常涉及CFL條件，而收斂性則需要檢查解是否隨著網(wǎng)格細化和時間步長減小而收斂到真實解。4.3.1例子：CFL條件的檢查CFL條件是確保數(shù)值解穩(wěn)定性的關鍵。對于一維Burgers方程，CFL條件為：d#檢查CFL條件

max_u=np.max(np.abs(u))

cfl=dt/dx

ifcfl>1/max_u:

print("CFL條件不滿足，可能產(chǎn)生不穩(wěn)定解")4.3.2分析與討論CFL條件的檢查是確保FVM算法穩(wěn)定性的基礎。在實際應用中，我們可能需要動態(tài)調整時間步長以滿足CFL條件，從而保證數(shù)值解的穩(wěn)定性。4.3.3例子：網(wǎng)格細化和時間步長減小的收斂性測試為了檢查算法的收斂性，我們可以比較不同網(wǎng)格細化程度和時間步長下的解。#定義不同網(wǎng)格和時間步長的參數(shù)

nx_list=[50,100,200]

dx_list=[1.0/(nx-1)fornxinnx_list]

dt_list=[0.001,0.0005,0.00025]

#對每個參數(shù)組合求解并比較解

fornx,dx,dtinzip(nx_list,dx_list,dt_list):

x=np.linspace(0,1,nx)

u=np.where(x<0.5,2.0,1.0)

#FVM求解

forninrange(nt):

un=u.copy()

u[1:-1]-=dt/dx*(flux(un[2:])-flux(un[:-2]))

#比較解

ifnx_list.index(nx)>0:

diff=np.linalg.norm(u-u_prev)

print(f"網(wǎng)格細化至{nx}，時間步長減小至{dt}，解的差異為{diff}")

u_prev=u.copy()4.3.4分析與討論通過上述代碼，我們可以觀察到隨著網(wǎng)格細化和時間步長的減小，解的差異逐漸減小，這表明算法是收斂的。收斂性測試是驗證數(shù)值方法正確性和有效性的關鍵步驟。通過上述例子和分析，我們展示了激波捕捉算法和限幅器在FVM中的實現(xiàn)和應用，以及如何檢查數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性。這些技術對于處理流體動力學中的激波和間斷現(xiàn)象至關重要。5高級主題與研究進展5.1多維激波捕捉技術5.1.1原理多維激波捕捉技術是有限體積法(FVM)中處理激波和間斷問題的關鍵方法。在多維流場中，激波的形成和傳播不僅沿一個方向，而是可能在多個方向上同時發(fā)生。傳統(tǒng)的激波捕捉方法，如一維的Godunov方法或其變種，可能無法準確捕捉到多維流場中的激波結構。因此，多維激波捕捉技術通過考慮流場的多維特性，使用更復雜的數(shù)值通量和重構策略，以提高激波捕捉的準確性和穩(wěn)定性。5.1.2內(nèi)容多維激波捕捉技術通常包括以下內(nèi)容：多維重構：在每個網(wǎng)格單元內(nèi)，使用多維信息進行狀態(tài)變量的重構，以更準確地描述激波附近的流場變化。例如，可以使用多維有限體積法中的多維限幅器進行重構。多維數(shù)值通量：基于多維流場的特性，計算網(wǎng)格邊界上的數(shù)值通量。這可能涉及到多維Riemann問題的求解，如HLLC或Roe通量。多維限幅器：為了防止數(shù)值振蕩，多維限幅器被設計用于限制重構的斜率，確保數(shù)值解的單調性。5.1.3示例假設我們正在處理一個二維流場中的激波問題，使用多維有限體積法進行數(shù)值模擬。以下是一個使用Python實現(xiàn)的多維重構和限幅器的簡化示例：importnumpyasnp

defmultidimensional_reconstruction(U,dx,dy):

"""

多維重構函數(shù)，輸入為狀態(tài)變量U，網(wǎng)格大小dx和dy。

輸出為在每個網(wǎng)格邊界上的重構值。

"""

#一維重構

Ux=(U[1:,:]-U[:-1,:])/dx

Uy=(U[:,1:]-U[:,:-1])/dy

#多維限幅器

Ux_limited=minmod(Ux[1:,:],Ux[:-1,:])

Uy_limited=minmod(Uy[:,1:],Uy[:,:-1])

#重構

U_left=U[:-1,:]+0.5*Ux_limited*dx

U_right=U[1:,:]-0.5*Ux_limited*dx

U_bottom=U[:,:-1]+0.5*Uy_limited*dy

U_top=U[:,1:]-0.5*Uy_limited*dy

returnU_left,U_right,U_bottom,U_top

defminmod(a,b):

"""

實現(xiàn)minmod限幅器，用于限制重構斜率，防止數(shù)值振蕩。

"""

returnnp.sign(a)*np.minimum(np.abs(a),np.abs(b))*(np.sign(a)==np.sign(b))

#假設的流場狀態(tài)變量U

U=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

dx=1.0

dy=1.0

#調用多維重構函數(shù)

U_left,U_right,U_bottom,U_top=multidimensional_reconstruction(U,dx,dy)在這個示例中，我們首先計算了狀態(tài)變量U在x和y方向上的梯度，然后使用minmod限幅器對這些梯度進行限制，最后根據(jù)限幅后的梯度進行狀態(tài)變量的重構。5.2自適應網(wǎng)格與限幅器5.2.1原理自適應網(wǎng)格技術在有限體積法中用于動態(tài)調整網(wǎng)格的分辨率，以提高計算效率和精度。在激波或間斷附近，網(wǎng)格會被細化，而在流場變化平緩的區(qū)域，網(wǎng)格則會被粗化。限幅器在自適應網(wǎng)格中同樣重要，用于防止在激波捕捉過程中出現(xiàn)的數(shù)值振蕩。5.2.2內(nèi)容自適應網(wǎng)格與限幅器的結合使用，可以實現(xiàn)以下功能：網(wǎng)格細化與粗化：根據(jù)流場的局部變化率，動態(tài)調整網(wǎng)格的分辨率。限幅器的自適應應用：在網(wǎng)格細化的區(qū)域，使用更嚴格的限幅器策略，以確保激波捕捉的穩(wěn)定性。5.2.3示例以下是一個使用自適應網(wǎng)格和限幅器的簡化示例，同樣使用Python實現(xiàn)：defadaptive_grid(U,dx,dy,threshold):

"""

自適應網(wǎng)格函數(shù)，輸入為狀態(tài)變量U，網(wǎng)格大小dx和dy，以及變化率閾值threshold。

輸出為調整后的網(wǎng)格大小dx_new和dy_new。

"""

#計算變化率

dU_dx=np.abs((U[1:,:]-U[:-1,:])/dx)

dU_dy=np.abs((U[:,1:]-U[:,:-1])/dy)

#根據(jù)變化率調整網(wǎng)格大小

dx_new=dx/(1+dU_dx>threshold)

dy_new=dy/(1+dU_dy>threshold)

returndx_new,dy_new

#使用自適應網(wǎng)格和限幅器

dx_new,dy_new=adaptive_grid(U,dx,dy,0.5)在這個示例中，我們首先計算了狀態(tài)變量U在x和y方向上的變化率，然后根據(jù)變化率是否超過閾值，動態(tài)調整了網(wǎng)格的分辨率。在實際應用中，網(wǎng)格的調整會更加復雜，可能涉及到網(wǎng)格的重新劃分和狀態(tài)變量的重新分布。5.3激波捕捉與限幅器在復雜流場中的應用5.3.1原理在復雜流場中，激波和間斷可能以各種形式出現(xiàn)，包括激波反射、激波與激波的相互作用等。激波捕捉與限幅器的結合使用，可以有效地處理這些復雜情況，確保數(shù)值解的穩(wěn)定性和準確性。5.3.2內(nèi)容激波捕捉與限幅器在復雜流場中的應用通常包括：激波反射的處理：在壁面或障礙物附近，激波會反射，形成復雜的流場結構。激波捕捉技術可以準確地模擬這種反射過程。激波與激波的相互作用：在多激波流場中，激波之間的相互作用會導致流場的劇烈變化。限幅器可以防止在這些區(qū)域出現(xiàn)的數(shù)值振蕩。5.3.3示例假設我們正在模擬一個包含激波反射和激波相互作用的復雜流場，以下是一個