4.4.2　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)

4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)第四章

§4.4

對(duì)數(shù)函數(shù)1.進(jìn)一步掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).2.利用單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)的定義域和簡單值域問題.3.了解反函數(shù)的概念和圖象特點(diǎn).學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題二、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合性問題三、反函數(shù)內(nèi)容索引一、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題例1求下列函數(shù)的定義域：解要使函數(shù)式有意義，則lg(2－x)≥0，故函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1].解要使函數(shù)式有意義，則log3(3x－2)≠0，解得x<4，且x≠3.故函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，3)∪(3,4).反思感悟(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0.(2)求定義域的常用方法是解不等式(組)，有時(shí)在解不等式時(shí)，還要考慮函數(shù)的單調(diào)性.(3)有時(shí)求定義域比較特殊，其解法為從外向里一層一層地將對(duì)數(shù)符號(hào)去掉，每去掉一層對(duì)數(shù)符號(hào)都要考慮函數(shù)的單調(diào)性，最后求出x的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的定義域：二、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合性問題例2

已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－2.(1)若f(x)>0，求x的取值范圍；解函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－2，∵f(x)>0，即log2(x＋1)－2>0，∴l(xiāng)og2(x＋1)>2，∴x＋1>4，∴x>3.∴x的取值范圍是(3，＋∞).(2)若x∈(－1,3]，求f(x)的值域.解∵x∈(－1,3]，∴x＋1∈(0,4]，∴l(xiāng)og2(x＋1)∈(－∞，2]，∴l(xiāng)og2(x＋1)－2∈(－∞，0].∴f(x)的值域?yàn)?－∞，0].反思感悟

(1)求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，一定要先求函數(shù)的定義域，再研究f(x)與f(－x)的關(guān)系.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.關(guān)于直線y＝x對(duì)稱C.關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱

D.關(guān)于y軸對(duì)稱√所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.三、反函數(shù)問題

在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)y＝2x與y＝log2x的圖象，觀察兩函數(shù)圖象的關(guān)系.提示反函數(shù)：指數(shù)函數(shù)

(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).它們的定義域與值域正好互換.注意點(diǎn)：(1)同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱.(高中階段只要求掌握這一類反函數(shù))知識(shí)梳理y＝ax例3

若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝2x的反函數(shù)，則f(f(2))的值為A.16 B.0 C.1 D.2解析函數(shù)y＝2x的反函數(shù)是y＝log2x，即f(x)＝log2x.∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.√反思感悟

互為反函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)(1)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．(2)互為反函數(shù)的定義域與值域互換．(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．所以反函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[－1,4].√1.知識(shí)清單：(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的定義域.(2)求簡單對(duì)數(shù)的值域、最值、奇偶性問題.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)，有時(shí)需求幾部分的交集.課堂小結(jié)隨堂演練A.(0,2) B.(0,2]

C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)1234√∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2，＋∞).12342.函數(shù)y＝x＋log2x(x≥1)的值域?yàn)锳.(1，＋∞) B.(－∞，1)C.[1，＋∞) D.[－1，＋∞)√3.若函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為√解析由題意得f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，∴f(x)的最大值或最小值在端點(diǎn)處取得，即f(0)＋f(1)＝a，12341234解析由題意得f(x)＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.已知函數(shù)f(x)＝log2x，若函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù)，則f(g(2))等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析∵g(x)是f(x)的反函數(shù)，∴g(x)＝2x，∴g(2)＝22＝4，則f(g(2))＝f(4)＝log24＝2.162.若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)y＝lgx的圖象上，a≠1，則下列點(diǎn)也在此圖象上的是123456789101112131415√16解析因?yàn)辄c(diǎn)(a，b)在函數(shù)y＝lgx的圖象上，所以b＝lga.當(dāng)x＝10a時(shí)，有y＝lg(10a)＝1＋lga＝1＋b，所以點(diǎn)(10a,1－b)不在此函數(shù)的圖象上，B不正確；當(dāng)x＝a2時(shí)，有y＝lga2＝2lga＝2b，所以點(diǎn)(a2,2b)在此函數(shù)的圖象上，D正確.12345678910111213141516123456789101112131415A.c>a>b

B.c>b>a

C.b>a>c

D.a>b>c16√∴c>b>a.1234567891011121314154.設(shè)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝log2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式為A.－log2x

B.log2(－x)

C.－log2(－x) D.logx2解析當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝log2(－x).又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－log2(－x).√161234567891011121314155.某企業(yè)2018年全年投入研發(fā)資金150萬元，為激勵(lì)創(chuàng)新，該企業(yè)計(jì)劃今后每年投入的研發(fā)資金比上年增長8%，則該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.08≈0.033，lg2≈0.301，lg3≈0.477)A.2020年

B.2021年

C.2022年

D.2023年解析設(shè)經(jīng)過n年該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，√16取n＝4，則經(jīng)過4年后是2022年.12345678910111213141516A.y＝2x B.y＝log2x

C.y＝－x2

D.√√√123456789101112131415(0,1)∪(1,2]161234567891011121314158.設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為

，則a＝____.4解析∵a>1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上單調(diào)遞增，16∴

a＝4.1234567891011121314159.已知函數(shù)f(x)＝loga(10＋x)－loga(10－x)(a>0，且a≠1).(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；解函數(shù)f(x)是奇函數(shù).理由如下：16即函數(shù)的定義域?yàn)?－10,10).函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.則f(－x)＝loga(10－x)－loga(10＋x)＝－[loga(10＋x)－loga(10－x)]＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).123456789101112131415(2)若f(x)>0，求x的取值范圍.解若f(x)>0，則f(x)＝loga(10＋x)－loga(10－x)>0，即loga(10＋x)>loga(10－x)，16綜上，當(dāng)a>1時(shí)，x的取值范圍為(0,10)，當(dāng)0<a<1時(shí)，x的取值范圍為(－10,0).123456789101112131415證明函數(shù)f(x)的定義域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).1610.已知函數(shù)f(x)＝log2(1＋x2).求證：(1)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；123456789101112131415證明設(shè)x1，x2為區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增.16(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增.123456789101112131415綜合運(yùn)用√161234567891011121314151612345678910111213141512.函數(shù)f(x)＝lg|x|為A.奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減B.奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增C.偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減√16123456789101112131415解析已知函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lgx在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝lg|x|在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減.16A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)

D.既奇又偶函數(shù)解析易知該函數(shù)的定義域?yàn)镽，12345678910111213141516√∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)為奇函數(shù).1234567891011121314151614.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，BC平行于x軸，頂點(diǎn)A，B和C分別在函數(shù)y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的圖象上，則實(shí)數(shù)a的值為______.解析設(shè)B(x,2logax)，∵BC平行于x軸，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD的邊長＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知，得AB垂直于x軸，∴A(x,3logax)，正方形ABCD邊長＝|AB|＝3logax－2loga