第18講直線的一般式方程（三大題型歸納分層練）（原卷版）

第18講直線的一般式方程【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01直線的一般式方程 2題型02利用一般式解決直線的平行與垂直問(wèn)題 5題型03直線的一般式方程的應(yīng)用 7分層練習(xí) 10夯實(shí)基礎(chǔ) 10能力提升 15創(chuàng)新拓展 22一、直線的一般式方程我們把關(guān)于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的________________，簡(jiǎn)稱一般式．注意點(diǎn)：(1)直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)．(2)當(dāng)直線方程Ax＋By＋C＝0的系數(shù)A，B，C滿足下列條件時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0有如下性質(zhì)①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；②當(dāng)A≠0，B＝0，C≠0時(shí)，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；③當(dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；④當(dāng)A＝0，B≠0，C＝0時(shí)，直線與x軸重合；⑤當(dāng)A≠0，B＝0，C＝0時(shí)，直線與y軸重合二、利用一般式解決直線的平行與垂直問(wèn)題已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)．(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.題型01直線的一般式方程【解題策略】求直線一般式方程的策略在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式【典例分析】課本例5已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－4)，斜率為－eq\f(4,3)，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程．【例1】根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,3)；(2)經(jīng)過(guò)A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；(3)在x軸、y軸上的截距分別為－3，－1；(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸．【變式演練】【變式1】（2223高二上·山東菏澤·期中）過(guò)點(diǎn)與的直線的一般式方程為.【變式2】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，，寫出直線，，的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式方程．【變式3】根據(jù)下列條件分別寫出直線的一般式方程．(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(5,7)，B(1,3)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4,3)，斜率為－3；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，平行于y軸；(4)斜率為2，在x軸上的截距為1.題型02利用一般式解決直線的平行與垂直問(wèn)題【解題策略】求過(guò)一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的方法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出方程．(2)可利用待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C2【典例分析】【例2】已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l平行；(2)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l垂直．【變式演練】【變式1】已知直線3x－4y＋4＝0與直線ax＋8y＋7＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為________．【變式2】（2223高二上·貴州黔西·期中）已知直線和直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為．【變式3】（2122高二上·上海金山·階段練習(xí)）已知兩條直線，，，判斷兩直線的位置關(guān)系．題型03直線的一般式方程的應(yīng)用【解題策略】含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根【典例分析】【例3】設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直線l在x軸上的截距為－3，求m的值；(2)已知直線l的斜率為1，求m的值．【變式演練】【變式1】設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式2】已知在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各邊所在直線的方程．【變式3】（2324高二上·安徽·階段練習(xí)）已知直線.(1)若，求的值；(2)若，求過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線的方程.【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二上·山東煙臺(tái)·期中）若直線在y軸上的截距為2，則該直線的斜率為（

）A． B．2 C． D．2．（2324高二上·湖北·期末）已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A．2或0 B．2 C．0 D．3．（2324高二上·河南信陽(yáng)·期末）直線與平行，則a的值為（

）A．0 B． C．或0 D．或04．（2324高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2324高二上·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）已知直線l的方程是（A，B不同時(shí)為0），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則直線l過(guò)定點(diǎn)C．若且，則直線l不過(guò)第二象限D(zhuǎn)．若，則直線l必過(guò)第二、三象限6．（2324高二上·江蘇宿遷·期末）如果，那么直線通過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限三、填空題7．（2223高二上·北京海淀·階段練習(xí)）已知直線，.若，則實(shí)數(shù)a=，若，則實(shí)數(shù)a=．8．（2324高二上·吉林遼源·期末）已知直線，直線，且，則的值為.9．（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）直線在x軸上的截距是．四、解答題10．（2324高二上·浙江臺(tái)州·期中）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.(1)求直線的一般式方程；(2)若點(diǎn)，求點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).11．（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）討論直線：和：的位置關(guān)系．【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·浙江杭州·期中）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·北京順義·期末）已知直線：，：.若，則實(shí)數(shù)（

）A．0或 B．0 C． D．或23．（2324高二上·廣西百色·期末）若直線和平行，則的值為（

）A． B．C．或 D．4．（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l的方程為2x－5y＋10＝0，且在y軸上的截距為b，則b等于（）A．－2 B．2C．－5 D．5二、多選題5．（2324高二上·寧夏銀川·期中）直線（A，B不同時(shí)為0）下列說(shuō)法正確的是（

）A．則該直線與兩坐標(biāo)軸都相交 B．，則該直線與軸平行C．則該直線為軸所在直線 D．，則該直線過(guò)原點(diǎn)6．（2324高二上·新疆·期中）已知，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則（

）A． B． C． D．三、填空題7．（2324高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）（1）若直線，直線，則的充要條件為；（2）若直線，直線，則的充要條件為.8．（2324高二上·上?！て谀┲本€的傾斜角的大小為.9．（2223高二上·北京·期中）若直線：與直線：平行，則．四、解答題10．（2324高二上·山東臨沂·期中）已知△ABC的邊AB，AC所在直線的方程分別為，，點(diǎn)在邊BC上．(1)若△ABC為直角三角形，求邊BC所在直線的方程；(2)若P為BC的中點(diǎn)，求邊BC所在直線的一般方程．11．（2324高二上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．求：(1)邊中線所在的直線方程；(2)的平分線所在的直線方程．【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高三上·山東青島·期末）“”是“直線與平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題2．（2324高二上·福建廈門·階段練習(xí)）已知直線，則（

）A．無(wú)論如何變化，直線恒過(guò)定點(diǎn)B．無(wú)論如何變化，直線一定不經(jīng)過(guò)第三象限C．無(wú)論如何變化，直線必經(jīng)過(guò)第一、二、三象限D(zhuǎn)．當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線三、填空題3．（2324高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)，其中a，b，c均為實(shí)數(shù)，下列四個(gè)說(shuō)法中：①存在實(shí)數(shù)δ，使點(diǎn)N在直線l上；②若，則過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l重合；③若，則直線l經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)；所有結(jié)論正確的說(shuō)法的序號(hào)是.四、解答題4．（2324高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）（1）已知斜率為負(fù)的直線過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的面積是54，求直線的方程；（2）在中，已知邊上的中線所在直線的方程依次是與，求所在直線方程.5.已知集合A＝eq\b\l