專題23基本不等式（2）（原卷版）新高一數(shù)學(xué)暑假銜接與新課重難點(diǎn)預(yù)習(xí)（人教A版2019）

專題23基本不等式（2）基本不等式是開學(xué)后第一次月考的重難點(diǎn)題型高一學(xué)生初見它，笑容就漸漸消失，直呼：“這是基本不懂式”；高二學(xué)生再見它，小小眼睛裝大大的疑惑：“??？這道題還得用它啊?！备呷龑W(xué)生刷到它相關(guān)的題，人生若只如初見：“我們高一高二的時(shí)候?qū)W過這個(gè)？”模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"13"\n\h\z\u【題型1】判斷不等式是否能成立【題型2】基本不等式與幾何圖形結(jié)合【題型3】和，積，平方和之間的轉(zhuǎn)化【題型4】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題【題型5】基本不等式恒成立問題【題型6】基本不等式能成立問題【題型7】消參法求最值【題型8】因式分解型【題型9】同除型（構(gòu)造齊次式）【題型10】萬能“k”法【題型11】含有根式的配湊（根式平方和為定值型）【題型12】運(yùn)用基本不等式證明不等式【課后作業(yè)】模塊二模塊二【核心題型突破】·舉一反三【題型1】判斷不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．（多選）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．（多選）已知，，且，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是8 D．的最小值是【鞏固練習(xí)1】（多選）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零實(shí)數(shù)，都有D．若，則的最小值為4【鞏固練習(xí)2】（多選）若實(shí)數(shù)m，，滿足，以下選項(xiàng)中正確的有（

）A．mn的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．最小值為【鞏固練習(xí)3】（多選）下列說法正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若，則的最大值是【鞏固練習(xí)4】（多選）已知，且，則（

）A．的最小值是 B．最小值為C．的最大值是 D．的最小值是【題型2】基本不等式與幾何圖形結(jié)合基本不等式鏈的無字證明：如圖，在C是以AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，CD⊥AB，DE⊥CO，記AD＝a，BD＝b，則有（1）證明：，由射影定理可得：（幾何平均數(shù)），（算術(shù)平均數(shù)），顯然，即（2）證明：，由三角函數(shù)可得：，顯然（3）對(duì)于，若通過以上圖形來解會(huì)有些復(fù)雜，可以結(jié)合完全平方公式來證明會(huì)更方便設(shè)，，稱為a、b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．過點(diǎn)C作的垂線交半圓于D，連接、、．過點(diǎn)C作的垂線，垂足為E．則圖中線段的長度是a、b的算術(shù)平均數(shù)，線段的長度是a、b的幾何平均數(shù)．

數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．（多選）幾何原本中的幾何代數(shù)法以幾何方法研究代數(shù)問題成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明如圖，在AB上取一點(diǎn)C，使得，，過點(diǎn)C作交半圓周于點(diǎn)D，連接作交OD于點(diǎn)下面不能由直接證明的不等式為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，因此這種方法也被稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)(不同于A，B，O)，點(diǎn)D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于點(diǎn)E，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為()A．a(chǎn)b≤a＋b2(a＞0，b＞B．a(chǎn)＋b2＜2aba＋b(a＞0，C．2aba＋b≤ab(a＞0，b＞D．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞【鞏固練習(xí)2】如圖，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求點(diǎn)B在AM上，點(diǎn)D在AN上，且對(duì)角線MN過點(diǎn)C，已知AB＝4，AD＝3，那么當(dāng)BM＝時(shí)，矩形花壇的AMPN面積最小，最小面積為．【鞏固練習(xí)3】（2324高一上·江西南昌·期中）圖1的弦圖是由我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽提出的，故稱趙爽弦圖，利用這個(gè)弦圖，我們可以給基本不等式一個(gè)非常形象的幾何解釋．?dāng)?shù)學(xué)探究課上，同學(xué)們對(duì)趙爽弦圖從邊長、周長、面積、角度等方面進(jìn)行了探究，得出了很多優(yōu)美的結(jié)論．如圖2，某探究小組將趙爽弦圖中的直角的直角邊延長交另一個(gè)直角三角形的斜邊為點(diǎn)，記的周長為，面積為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【題型3】和，積，平方和之間的轉(zhuǎn)化涉及和，積，平方和的最值問題時(shí)利用基本不等式變形求解常用不等式鏈：（主要用于和積轉(zhuǎn)換）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學(xué)?？迹┮阎?，且，則的取值范圍為．【鞏固練習(xí)1】（2324高一上·天津河北·期中）若，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．【鞏固練習(xí)3】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為________【鞏固練習(xí)4】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【題型4】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）其中，為的調(diào)和平均值反應(yīng)了平均速度（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列，全系搭載麒麟芯片強(qiáng)勢(shì)回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過萬重山”.發(fā)布后的第一周銷量約達(dá)80萬臺(tái)，第二周的增長率為a，第三周的增長率為b，這兩周的平均增長率為x（a，b，x均大于零），則（

）A． B．C． D．兩次購買同一種物品，不考慮物品價(jià)格的升降（假設(shè)第一次價(jià)格為，第二次價(jià)格為）可以用兩種不同的策略，第一種是每次購買這種物品數(shù)量一定;第二種是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，哪種購物方式比較經(jīng)濟(jì)（

）A．第一種 B．第二種 C．都一樣 D．不確定（2024·高一·廣東深圳·期末）某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入160萬元買一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入98萬元.使用若干年后對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種，方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以20萬元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以30萬元的價(jià)格處理.哪種方案較為合理？并說明理由.（注：年平均盈利額）【鞏固練習(xí)1】小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】如圖，某燈光設(shè)計(jì)公司生產(chǎn)一種長方形線路板，長方形的周長為4，沿折疊使點(diǎn)B到點(diǎn)位置，交于點(diǎn)P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)用電最少，則用電最少時(shí)，的長度為（

）

A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】（2324高一上·江蘇連云港·月考）某工廠建造一個(gè)無蓋的長方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價(jià)為100元，池壁每平方米的造價(jià)為80元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？【鞏固練習(xí)4】某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室，由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米元，左?右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元，設(shè)屋子的左，右兩面墻的長度均為米，房屋的造價(jià)為.(1)寫出關(guān)于的表達(dá)式.(2)當(dāng)左、右兩面墻的長度為多少時(shí)，工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià).【題型5】基本不等式恒成立問題，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于1、參變分離法：如果能夠?qū)?shù)分離出來,建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系,那么a>y恒成立?a>ymax;a<y2、變更主元：在有幾個(gè)變量的問題中,常常有一個(gè)變量處于主要地位,我們稱之為主元。在解含有參數(shù)的不等式時(shí),有時(shí)若能換一個(gè)角度,變參數(shù)為主元,則可以得到意想不到的效果。3、判別式法：對(duì)于含有參數(shù)的一元二次不等式問題,若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程,則通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想,可使問題順利解決,這里一定要注意對(duì)含參數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論。已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【鞏固練習(xí)1】若對(duì)于任意，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)2】已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型6】基本不等式能成立問題能成立問題又稱有解問題，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【鞏固練習(xí)1】若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為.【題型7】消參法求最值消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.已知x>0,y>0，xy+2x-y=10，則x+y的最小值為．【鞏固練習(xí)1】若正數(shù)x,y滿足x2-2xy+2=0，則x+y的最小值是（A．6 B．62 C．22 D【鞏固練習(xí)2】若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b2+1【鞏固練習(xí)3】（多選）已知，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是E．【題型8】因式分解型含有這類結(jié)構(gòu)的式子，可以考慮因式分解配湊成的結(jié)構(gòu)，再結(jié)合整體思想來求最值（2023·重慶巴蜀中學(xué)校考）已知，，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9【鞏固練習(xí)1】已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2324高一上·福建莆田·期中）已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】（2324高一上·遼寧·期中）若，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型9】同除型（構(gòu)造齊次式）齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，12x2＋8xy－y2的最小值為________．【題型10】萬能“k”法設(shè)k法的三個(gè)步驟：⑴問誰設(shè)誰：求誰，誰就是k；⑵代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；⑶確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（重慶巴蜀中學(xué)校考）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________【鞏固練習(xí)2】已知正實(shí)數(shù)x、y滿足則xy的取值范圍是________【題型11】含有根式的配湊（根式平方和為定值型）對(duì)于，求最大值可以設(shè)，配好系數(shù)后的與可以湊出定值已知a，b是正實(shí)數(shù)，且2a2＋3b2＝10，求的最大值．【鞏固練習(xí)1】已知為正實(shí)數(shù)，且，求的最大值【鞏固練習(xí)2】若x>0，y>0，且2x2＋eq\f(y2,3)＝8，則xeq\r(6＋2y2)的最大值為________．【題型12】運(yùn)用基本不等式證明不等式三元基本不等式：（均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．柯西不等式：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）已知，求證:(1);(2).【鞏固練習(xí)1】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：．【鞏固練習(xí)2】（2324高一上·安徽淮南·期中）已知是正實(shí)數(shù).(1)證明：；(2)若，證明：.(3)已知是正數(shù)，且，求證：．【課后作業(yè)】模塊模塊三【課后作業(yè)】（2324高一上·四川廣安·期中）（多選）在下列函數(shù)中，最小值是2的是（

）．A． B．C． D．（多選）已知，，且，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．（多選）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，過點(diǎn)作的垂線交半圓于，連接、、，過點(diǎn)作的垂線，垂足為.則該圖形可以完成的所有的無字證明為（

）A． B．C． D．原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì)．小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次