高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：27 排列與組合（學(xué)生版+解析版）

專題27排列與組合

一、單選題

1.（2020?山東省高二期中）若用“=104，則〃=（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2020.山東省高二期中）若用=12C；2,則”=（）

A.4B.6C.7D.8

3.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要

求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（）

A.14B.24C.28D.48

4.（2020?山東省高二期中）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人

服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有不同的選法種數(shù)為（）

A.420B.660C.840D.880

5.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的

個數(shù)是（）

A.360

B.300

C.240

D.180

6.（2020?北京大峪中學(xué)高二期中）5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)

為（）

A.240種B.120種C.96種D.480種

7.（2020?福建省高三二模（理））在“弘揚(yáng)中華文化”的演講比賽中，參賽者甲、乙、丙、丁、戊進(jìn)入了前5

名的決賽（獲獎名次不重復(fù)）.甲、乙、丙三人一起去詢問成績，回答者說：“第一名和第五名恰好都在你

們?nèi)酥校椎某煽儽缺谩?，從這個回答分析，5人的名次排列的所有可能情況有（）.

A.18種B.24種C.36種D.48種

8.（2019?佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高二開學(xué)考試）高三某6個班級從“照母山”等6個不同的景點(diǎn)中任意選取

一個進(jìn)行郊游活動，其中1班、2班不去同一景點(diǎn)且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少種（）

A.B.C；64C.D.

二、多選題

9.（2020.南京市秦淮中學(xué)高二期中）下列各式中，等于〃!的是（）

A.A7B.%C.nA：：；D.m!C：

10.（2020?江蘇省高二期中）下列等式中，正確的是（）

A.A：+mA：T=ALB.rC：=?C；：；

-4-1

C.C解=cr+c3+cnD.c：=Jc片

n-m

11.（2020?山東省濰坊一中高二月考）某工程隊(duì)有卡車、挖掘機(jī)、吊車、混凝土攪拌車4輛工程車，將它們

全部派往3個工地進(jìn)行作業(yè)，每個工地至少派一輛工程車，共有多少種方式？下列結(jié)論正確的有（）

A.18B.C；C；C；C；C.C；C：A；D.C：A；

12.（2020?臨淄區(qū)英才中學(xué)高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種

三、填空題

13.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）5人排成一排，其中甲、乙相鄰的排法有種（用數(shù)字作答）

14.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有種（用

數(shù)字作答）.

15.（2020?山東省高二期中）用1,2,3,4,5這5個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的

數(shù)的個數(shù)為.（用數(shù)字作答）

16.（2020?浙江省寧波諾丁漢附中高二期中）用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字，可以組成個無重復(fù)數(shù)字的

三位數(shù)，也可以組成個能被5整除且無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

四、解答題

17.(2020?江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高二期中)有5名男生，4名女生排成一排.

(1)從中選出3人排成一排，有多少種排法？

(2)若4名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？

18.(2020?黑龍江省鐵人中學(xué)高二期中(理))從6名運(yùn)動員中選出4人參加4x100接力賽，分別求滿足下

列條件的安排方法種數(shù)：

(1)甲、乙兩人都不跑中間兩棒；

(2)甲、乙二人不都跑中間兩棒.

19.(2020?江蘇省泰州中學(xué)高二期中)從5名男生和4名女生中選出4人參加辯論比賽.

(1)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種不同選法？

(2)如果4個人中既有男生又有女生，那么有多少種不同選法？

20.(2019?佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高二開學(xué)考試)以下問題最終結(jié)果用數(shù)字表示

(1)由0、1、2、3、4可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？

(2)由1、2、3、4、5組成多少個無重復(fù)數(shù)字且2、3不相鄰的五位數(shù)？

(3)由1、2、3、4、5組成多少個無重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1,2,3必須按由大到小順序排列的五位數(shù)?

21.（2020?浙江省效實(shí)中學(xué)高二期中）（1）由0,1,2,9這十個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，

十位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值等于7的四位數(shù)的個數(shù)共有幾種？

（2）我校高三學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)在從中任選3人，要

求這三人不能是同一個班級的學(xué)生，且在三班至多選1人，求不同的選取法的種數(shù).

22.（2020?北京大峪中學(xué)高二期中）一場小型晚會有3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單.

（1）2個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

（2）2個相聲節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？

（3）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？

（4）前3個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？

（要求：每小題都要有過程，且計(jì)算結(jié)果都用數(shù)字表示）

專題27排列與組合

一、單選題

1.（2020?山東省高二期中）若聞,,=104；,貝|〃=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

因?yàn)槭?=106，所以“23.eN*,

所以有—2）=2）,

即2（2〃—1）=5（”—2）,解得：n=8.

故選：C.

2.（2020?山東省高二期中）若呢=12C；2,貝°〃=（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

?；A：=12C;2=12第,

/、/、n(n-Y]

1)(〃-2)=12x-------即〃一2二6,

〃=8,

故選：D.

3.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要

求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（）

A.14B.24C.28D.48

【答案】A

【解析】

法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，

故不同的選派方案種數(shù)為0；.0：+。><7：=14.故選A.

法二：從4男2女中選4人共有C：種選法，4名都是男生的選法有C：種，

故至少有1名女生的選派方案種數(shù)為=15-1=14.故選A

4.（2020?山東省高二期中）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人

服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有不同的選法種數(shù)為（）

A.420B.660C.840D.880

【答案】B

【解析】

從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，

共有4C；=840種選法，

其中不含女生的有4=180種選法，

所以服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生的選法種數(shù)為840-180=660.

故選：B

5.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的

個數(shù)是（）

A.360

B.300

C.240

D.180

【答案】B

【解析】

當(dāng)四個數(shù)字中沒有0時，沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有：發(fā)=120種；

當(dāng)四個數(shù)字中有0時，沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有：￡H=180種，

兩類相加一共有300種，故選B.

6.（2020?北京大峪中學(xué)高二期中）5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)

為（）

A.240種B.120種C.96種D.480種

【答案】A

【解析】

由題先把5本書的兩本捆起來看作一個元素共有或=10種可能，這一個元素和其他的三個元素在四個位置

全排列共有禺=24種可能，所以不同的分法種數(shù)為10x24=240種，故選A.

7.（2020?福建省高三二模（理））在“弘揚(yáng)中華文化”的演講比賽中，參賽者甲、乙、丙、丁、戊進(jìn)入了前5

名的決賽（獲獎名次不重復(fù)）.甲、乙、丙三人一起去詢問成績，回答者說：“第一名和第五名恰好都在你

們?nèi)酥?，甲的成績比丙好”，從這個回答分析，5人的名次排列的所有可能情況有（）.

A.18種B.24種C.36種D.48種

【答案】A

【解析】

（1）當(dāng)甲排第1名時，則第5名從乙、丙兩個選一個，其它三名任意排列，

M=2團(tuán)=12；

（2）當(dāng)甲排第2,3,4名時，則第5名必排丙，第1名排乙，其它三名任意排列，

N2==6；

N=12+6=18,

故選：A.

8.（2019?佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高二開學(xué)考試）高三某6個班級從“照母山”等6個不同的景點(diǎn)中任意選取

一個進(jìn)行郊游活動，其中1班、2班不去同一景點(diǎn)且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少種（）

A.B.C564C.D.^64

【答案】D

【解析】

1班、2班的安排方式有&種，剩余4個班的安排方式有64種，所以共有出64各安排方式，故選D.

二、多選題

9.（2020?南京市秦淮中學(xué)高二期中）下列各式中，等于加的是（）

A.Af1B.A3C.D.mlC：

【答案】AC

【解析】

根據(jù)題意，依次分選項(xiàng)：

對于A，A：i="x("-l)x.......x2="!，故A正確；

對于3，A%=(w+l)x〃x(w-l)x.......X2=(/7+1)!,故3錯誤;

對于C,=nx(n-l)x.......xl=n!,故C正確；

對于D，故。錯誤;

故選：AC.

10.(2020.江蘇省高二期中)下列等式中，正確的是()

A.町+版/=鴛B.匕=心：

CC"+i—+(Jm+C"'-iD(J111—+1C"'+i

n—m

【答案】ABD

【解析】

n\n\(n-m+lYnln\(n+l)-nl(n+1)!

選項(xiàng)A,左邊=7--------+tn-----------------=-------------7btn--------------=------------7-=------------7-=

(n—m)!^n—m+iy.[n—m+\y.\n-m+\y.\n—m+\y.yn—m+ly.

右邊，正確；

(H—1)!rn\n\

選項(xiàng)B,右邊=加7~~/------^7=--7~不77-------^=r'~Tf-----左邊，正確；

選項(xiàng)C,右邊=。71+。：=禺；1/左邊，錯誤；

m+1n\(m+l\-nln\

選項(xiàng)D,右邊=7TTT;而=7nTi77八7=-r?1=左邊，正

確.

故選：ABD

IL(2020?山東省濰坊一中高二月考)某工程隊(duì)有卡車、挖掘機(jī)、吊車、混凝土攪拌車4輛工程車，將它們

全部派往3個工地進(jìn)行作業(yè)，每個工地至少派一輛工程車，共有多少種方式？下列結(jié)論正確的有()

A.18B.C?C；C；C.C?A；D.CjA；

【答案】CD

【解析】

根據(jù)捆綁法得到共有C：?用=36,

先選擇一個工地有兩輛工程車，再剩余的兩輛車派給兩個工地，共有C；C；A；=36.

C；C；C；C：=18/36.

故選：CD.

12.（2020?臨淄區(qū)英才中學(xué)高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種

【答案】ACD

【解析】

A.甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，可將甲乙捆綁看成一個元素，則不同的排法有禺=24種，故A正確.

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有HH+46聞=54種，故3不正確.

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為=72種，故C正確.

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有與=20種，故D正確.

A

故選：ACD.

點(diǎn)睛：

排列組合中的排序問題，常見類型有：

（1）相鄰問題捆綁法；（2）不相鄰問題插空排；（3）定序問題縮倍法（插空法）；（4）定位問題優(yōu)先法.

三、填空題

13.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）5人排成一排，其中甲、乙相鄰的排法有種（用數(shù)字作答）

【答案】48

【解析】

因?yàn)榧住⒁蚁噜?，則利用捆綁法，看作一個人，則有用=2種，

再與其余3人看作4人全排列有用=24種，

所以5人排成一排，其中甲、乙相鄰的排法有用?用=48種，

故答案為：48

14.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有種（用

數(shù)字作答）.

【答案】72

【解析】

可分兩個步驟完成，第一步驟先排除甲乙外的其他三人，有A；種，第二步將甲乙二人插入前人形成的四個

空隙中，有A；種，則甲、乙兩不相鄰的排法有A；A：=72種.

15.（2020?山東省高二期中）用1,2,3,4,5這5個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的

數(shù)的個數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】24

【解析】

由題意知，能被5整除的四位數(shù)末位必為5,只有1種方法，其它位的數(shù)字從剩余的四個數(shù)中任選三個全排

列有方=4x3x2=24,

故答案為：24

16.（2020?浙江省寧波諾丁漢附中高二期中）用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字，可以組成_____個無重復(fù)數(shù)字的

三位數(shù)，也可以組成個能被5整除且無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

【答案】100216

【解析】

第一個空：第一步，先確定三位數(shù)的最高數(shù)位上的數(shù)，有=5種方法；

第二步，確定另外二個數(shù)位上的數(shù)，有6=5x4=20種方法，

所以可以組成5x20=100個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；

第二個空：被5整除且無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)上的數(shù)有2種情況：

當(dāng)個數(shù)上的數(shù)字是0時，其他數(shù)位上的數(shù)有6=5x4x3x2=120個；

當(dāng)個數(shù)上的數(shù)字是5時，先確定最高數(shù)位上的數(shù)，有C；=4種方法，而后確定其他三個數(shù)位上的數(shù)有

看=4x3x2=24種方法，所以共有24x4=96個數(shù)，

根據(jù)分類計(jì)算原理共有120+96=216個數(shù).

四、解答題

17.(2020?江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高二期中)有5名男生，4名女生排成一排.

(1)從中選出3人排成一排，有多少種排法？

(2)若4名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？

【答案】⑴504

(2)43200

【解析】

(1)由題意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人

從中選出3人排成一排，共有禺=504種排法；

(2)可用插空法求解，先排5名男生有另種方法，

5個男生可形成6個空，將4個女生插入空中，有4種方法

故共有￡4=43200種方法

18.(2020?黑龍江省鐵人中學(xué)高二期中(理))從6名運(yùn)動員中選出4人參加4x100接力賽，分別求滿足下

列條件的安排方法種數(shù)：

(1)甲、乙兩人都不跑中間兩棒；

(2)甲、乙二人不都跑中間兩棒.

【答案】(1)144(2)336

【解析】

(1)先選跑中間的兩人有用種，再從余下的4人中選跑1、4棒的有用，則共有&方=144種.

(2)用間接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法展，再去掉甲、乙跑中間的安排方法用用種,

故滿足條件的安排方法有4-息息=336種.

19.(2020?江蘇省泰州中學(xué)高二期中)從5名男生和4名女生中選出4人參加辯論比賽.

(1)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種不同選法？

(2)如果4個人中既有男生又有女生，那么有多少種不同選法？

【答案】(1)91種；(2)120種.

【解析】

分析:

(1)用間接法分析，先計(jì)算在9人中任選4人的選法數(shù)，再排除其中“甲乙都沒有入選”的選法數(shù)，即可得

答案；

(2)用間接法分析，先計(jì)算在9人中任選4人的選法數(shù)，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的選法數(shù)，

即可得答案.

詳解：

(1)先在9人中任選4人，有C；=126種選法，其中甲乙都沒有入選，即從其他7人中任選4人的選法有

C；=35種，則甲與女姓中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有126—35=91種.

(2)先在9人中任選4人，有C；=126種選法，其中只有男生的選法有C；=5種，只有女生的選法有C：=l

種，則4人中必須既有男生又有女生的選法有126-5-1=120種.

20.(2019?佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高二開學(xué)考試)以下問題最終結(jié)果用數(shù)字表示

(1)由0、1、2、3、4可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？

(2)由1、2、3、4、5組成多少個無重復(fù)數(shù)字且2、3不相鄰的五位數(shù)？

(3)由1、2、3、4、5組成多少個無重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1,2,3必須按由大到小順序排列的五位數(shù)？

【答案】(1)60(2)72(3)20

【解析】

(1)偶數(shù)末位必須為0,2,4對此進(jìn)行以下分類：

當(dāng)末位是0時，剩下1,2,3,4進(jìn)行全排列，At=24

當(dāng)末位是2時，注意。不能排在首位，首位從1,3,4選出有A；種方法排在首位，剩下的三個數(shù)可以進(jìn)行

全排列有A；種排法，所以當(dāng)末位數(shù)字是2時有A；A；=18個數(shù).

同理當(dāng)末位數(shù)字是4時也有18個數(shù)，

所以由0、1、2、3、4可以組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有24+18+18=60個.

(2)由1、2、3、4、5組成五位數(shù)一共有￡=5x4x3x2x1=120個.

第一步，把2.3捆定，有￡=2種排法；

第二步，捆定的2,3與1,4,5一起全排列，共有=4x3x2x1=24個數(shù)，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，2,3相鄰的五位數(shù)共有耳A：=48個數(shù)，

因此由1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字且2、3不相鄰的五位數(shù)共有

120-48=72個數(shù).

(3)把五位數(shù)每個數(shù)位看成五個空，數(shù)字4,5共有&=5x4=20個，

然后把數(shù)字1,2,3按照3,2,1的順序插入，只有一種方式，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可知

由1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字且數(shù)字