高考數(shù)學第一輪復習導學案(新高考)第45講數(shù)列的綜合運用(原卷版+解析)

第45講數(shù)列的綜合運用1、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性．數(shù)列在實際問題中的應用2、現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常?？紤]用數(shù)列的知識去解決．1．數(shù)列實際應用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮是第n項an與第n＋1項an＋1的遞推關(guān)系還是前n項和Sn與前n＋1項和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．1、（2023?北京）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，，，則，數(shù)列的所有項的和為．2、（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當時，．3、（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．4、（2021?乙卷（文））設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前項和．證明：．1、甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．甲、乙開始運動后，相遇的時間為________分鐘．A.3 B.7 C.11 D.142、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（

）A．4 B．±4 C．8 D．±83、對于每一個正整數(shù)n，設曲線y＝xn＋1在點(1，1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝________．4、(2022·江蘇南京市二十九中學高三10月月考)(多選題)南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，…，設各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（）A.B.C.D.考向一數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應用例1、（1）（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護項目，至今已有500多年的歷史，表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學在研究數(shù)列時，發(fā)現(xiàn)其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即，如果該數(shù)列的前兩項分別為，其前項和記為，若，則（

）A． B． C． D．（2）（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．141（3）（2023·吉林·統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26變式1、（1）(2022·青島期初考試)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為A．8B．11C．14D．16（1）、(2022·湖北華中師大附中等六校開學考試聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》是我國古老的天文學和數(shù)學著作，其書中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測影子的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個節(jié)氣，其晷長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，這九個節(jié)氣的所有晷長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個節(jié)氣晷長之和為10.5尺，則立秋的晷長為（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺（3）、（2020屆山東實驗中學高三上期中）古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天考向二數(shù)列中的含參問題例2、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列前項和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和．若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．變式1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列的首項為1，公差，其前n項和滿足.(1)求公差d；(2)是否存在正整數(shù)m，k使得.變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個數(shù)為．(1)求，的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．考向三數(shù)列中的“定義型問題”例3、（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在數(shù)列與不是同一數(shù)列，且滿足下面兩個條件：（1）是的一個排列；（2）數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.給出下面三個數(shù)列：①數(shù)列的前項和；②數(shù)列：1，2，3，4，5；③數(shù)列：1，2，3，4，5，6.具有“性質(zhì)”的為________；具有“變換性質(zhì)”的為_________.變式1、(2022·江蘇如皋中學高三10月月考)已知數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足：，定義使為整數(shù)叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.變式2、(2022·江蘇蘇州市八校聯(lián)盟第一次適應性檢測)若數(shù)列{an}中不超過f(m)的項數(shù)恰為bm(m∈N*)，則稱數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列，稱相應的函數(shù)f(m)是數(shù)列{an}生成{bm}的控制函數(shù)．已知an＝2n，且f(m)＝m，數(shù)列{bm}的前m項和Sm，若Sm＝30，則m的值為()A．9B．11C．12D．14考向四數(shù)列與不等式等知識點的結(jié)合例4（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項和，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．變式1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，且數(shù)列的前項和為，求證：．1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）傳說國際象棋發(fā)明于古印度，為了獎賞發(fā)明者，古印度國王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國王讓人在他發(fā)明的國際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個格子放一粒，第二個格子放兩粒，第三個格子放四粒，第四個格子放八粒……依此規(guī)律，放滿棋盤的64個格子所需小麥的總重量大約為（

）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．10152、（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值元的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為．按復利計算，則小李每個月應還（

）A．元 B．元C．元 D．元3、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┲袊糯鷶?shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.4、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在①，②這兩個條件中選擇一個補充在下面的問題中，然后求解．設等差數(shù)列的公差為，前n項和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，．（說明：只需選擇一個條件填入求解，如果兩個都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評分）(1)請寫出你的選擇，并求數(shù)列和的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，設的前n項和為，求證：．5、（2023·云南·統(tǒng)考一模）記數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設m為整數(shù)，且對任意，，求m的最小值．6、（2023·山西·統(tǒng)考一模）從下面的表格中選出3個數(shù)字（其中任意兩個數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項.第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698(1)求數(shù)列的通項公式，并求的前項和；(2)若，記的前項和，求證.7、（2023·安徽安慶·?？家荒＃?shù)列中，，且滿足(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求；(3)設，是否存在最大的；正整數(shù)，使得對任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，請說明理由.

第45講數(shù)列的綜合運用1、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性．數(shù)列在實際問題中的應用2、現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常?？紤]用數(shù)列的知識去解決．1．數(shù)列實際應用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮是第n項an與第n＋1項an＋1的遞推關(guān)系還是前n項和Sn與前n＋1項和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．1、（2023?北京）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，，，則，數(shù)列的所有項的和為．【答案】48；384．【解析】數(shù)列的后7項成等比數(shù)列，，，，公比．，又該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，數(shù)列的所有項的和為．故答案為：48；384．2、（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當時，．【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，，為的前項和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當為偶數(shù)時，，，，當為奇數(shù)時，，，，故原式得證．3、（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當時，，②，①②得：，故，化簡得：，，，，；所以，故（首項符合通項）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．4、（2021?乙卷（文））設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前項和．證明：．【解析】（1），，成等差數(shù)列，，是首項為1的等比數(shù)列，設其公比為，則，，，．（2）證明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．1、甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．甲、乙開始運動后，相遇的時間為________分鐘．A.3 B.7 C.11 D.14【答案】：B【解析】：設n分鐘后第1次相遇，依題意得2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（

）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】C【詳解】依題意得，又，所以．故選：C．3、對于每一個正整數(shù)n，設曲線y＝xn＋1在點(1，1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝________．【答案】：－2【解析】：利用導數(shù)求得曲線y＝xn＋1在點(1，1)處的切線方程為y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它與x軸交于點(xn，0)，則有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq\f(n,n＋1)，∴an＝lgxn＝lgeq\f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．4、(2022·江蘇南京市二十九中學高三10月月考)(多選題)南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，…，設各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】由題意知：，故，∴，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，，顯然，故D錯誤；故選：BC考向一數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應用例1、（1）（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護項目，至今已有500多年的歷史，表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學在研究數(shù)列時，發(fā)現(xiàn)其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即，如果該數(shù)列的前兩項分別為，其前項和記為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由得，所以，.故選：D.（2）（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．141【答案】B【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為，2到20的全部素數(shù)和為，所以挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為.故選：B.（3）（2023·吉林·統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【詳解】設該數(shù)列為，當為奇數(shù)時，所以為奇數(shù)；當為偶數(shù)時，所以為偶數(shù)數(shù)；所以，故選:B.變式1、（1）(2022·青島期初考試)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為A．8B．11C．14D．16【答案】B【解析】由題意可知，這位公公9個兒子的年齡從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，則可設年齡最小的兒子年齡為a1，則公差為d＝3，由題意，eqS\s\do(9)＝9a\s\do(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\do(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為11，故答案選B．（1）、(2022·湖北華中師大附中等六校開學考試聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》是我國古老的天文學和數(shù)學著作，其書中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測影子的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個節(jié)氣，其晷長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，這九個節(jié)氣的所有晷長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個節(jié)氣晷長之和為10.5尺，則立秋的晷長為（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺【答案】D【解析】【分析】設等差數(shù)列的首項為，公差為d，根據(jù)題意列出方程組求解即可.【詳解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個節(jié)氣，其晷長依次成等差數(shù)列，設其首項為，公差為d，根據(jù)題意，∴立秋的晷長為.故選：D（3）、（2020屆山東實驗中學高三上期中）古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】設該女子第一天織布尺，則，解得，前天織布的尺數(shù)為：，由，得，解得的最小值為8．故選：．考向二數(shù)列中的含參問題例2、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列前項和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和．若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】當時，；當時，，將代入上式，可得，則；，，代入不等式，可得，整理可得，當為偶數(shù)時，不等式為，令，，當時，，則在上單調(diào)遞增，由于，故，此時；當為奇數(shù)時，不等式為，令，（為奇數(shù)且），易知在單調(diào)遞增，則，此時，綜上所述，.故答案為：變式1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列的首項為1，公差，其前n項和滿足.(1)求公差d；(2)是否存在正整數(shù)m，k使得.【解析】（1）因為，，所以，所以，即，解得：或.因為，所以.（2）法一：由（1）得，，，時；時；時；時（舍），當時，，不合題意；滿足條件的有三組.法二：由（1）得，，故，所以，且，所以，所以，，.存在滿足條件的有三組.變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個數(shù)為．(1)求，的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．【解析】（1）設數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，，解得，所以，時，集合中元素個數(shù)為，時，集合中元素個數(shù)為；（2）由（1）知，，時，=2001<2022，時，=4039>2022，記，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，所以所求的最小值是11.考向三數(shù)列中的“定義型問題”例3、（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在數(shù)列與不是同一數(shù)列，且滿足下面兩個條件：（1）是的一個排列；（2）數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.給出下面三個數(shù)列：①數(shù)列的前項和；②數(shù)列：1，2，3，4，5；③數(shù)列：1，2，3，4，5，6.具有“性質(zhì)”的為________；具有“變換性質(zhì)”的為_________.【答案】①②【詳解】解：對于①，當時，，，2，3，為完全平方數(shù)數(shù)列具有“性質(zhì)”；對于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換性質(zhì)”，數(shù)列為3，2，1，5，4，具有“性質(zhì)”，數(shù)列具有“變換性質(zhì)”；對于③，，1都只有與3的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，，2，3，4，5，6，不具有“變換性質(zhì)”．故答案為：①；②．變式1、(2022·江蘇如皋中學高三10月月考)已知數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足：，定義使為整數(shù)叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，，進而分奇、偶數(shù)項求通項公式，再合并即可得答案；（2）根據(jù)題意得，故設，，則，再解不等式即可得區(qū)間內(nèi)的“幸福數(shù)”，再求和即可得答案.【詳解】（1）∵①，∴，②當時，①﹣②得，∴的奇數(shù)項與偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，且公差均為2，，∴(為奇數(shù))(為偶數(shù))∴（2）設，，∴，令，，∴∴區(qū)間內(nèi)的“幸福數(shù)”為，，…，∴所有“幸福數(shù)”的和為.變式2、(2022·江蘇蘇州市八校聯(lián)盟第一次適應性檢測)若數(shù)列{an}中不超過f(m)的項數(shù)恰為bm(m∈N*)，則稱數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列，稱相應的函數(shù)f(m)是數(shù)列{an}生成{bm}的控制函數(shù)．已知an＝2n，且f(m)＝m，數(shù)列{bm}的前m項和Sm，若Sm＝30，則m的值為()A．9B．11C．12D．14【答案】B【解析】由題意可知，當m為偶數(shù)時，可得2n≤m，則bm＝eq\f(m,2)；當m為奇數(shù)時，可得2n≤m－1，則eqb\s\do(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ\B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m為奇數(shù)),\F(m,2)(m為偶數(shù))))，則當m為偶數(shù)時，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq\f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq\f(1,2)×eq\f(m,2)＝EQ\F(m\S(2),4)，則EQ\F(m\S(2),4)＝30，因為m∈N*，所以無解；當m為奇數(shù)時，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ\F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq\f(m＋1,2)＝EQ\F(m\S(2)－1,4)，所以EQ\F(m\S(2)－1,4)＝30，因為m∈N*，所以m＝11，故答案選B．考向四數(shù)列與不等式等知識點的結(jié)合例4（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項和，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)列，所以，則，得（），兩式相減得：，則，（），又適合上式，故．另解：由得（），故為常數(shù)列，則，故．（2）由（1）得，所以，則.變式1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，且數(shù)列的前項和為，求證：．【解析】（1）當時，，解得；當時，由，得，兩式相減可得，，又，，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，的通項公式為；（2）證明：由可知，所以，，因為恒成立，所以，又因為，所以單調(diào)遞增，所以，綜上可得．1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）傳說國際象棋發(fā)明于古印度，為了獎賞發(fā)明者，古印度國王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國王讓人在他發(fā)明的國際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個格子放一粒，第二個格子放兩粒，第三個格子放四粒，第四個格子放八?！来艘?guī)律，放滿棋盤的64個格子所需小麥的總重量大約為（

）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．1015【答案】C【解析】64個格子放滿麥粒共需，麥子大約20000粒，1噸麥子大約粒，，故選：C.2、（2023·江蘇泰州·泰州中學?？家荒＃┬±钤?022年1月