培優(yōu)課11 數(shù)列的子數(shù)列問(wèn)題

8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點(diǎn)，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點(diǎn)，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤(pán)群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期優(yōu)課11數(shù)列的子數(shù)列問(wèn)題培優(yōu)點(diǎn)一分段數(shù)列典例1已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a且b1=a1,（1）求數(shù)列{b（2）設(shè)cn=bn,n≤5,解題觀摩[解析]（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d因?yàn)閿?shù)列{b所以a1+2d因?yàn)閐≠0，所以a1+4d因?yàn)閎1=a1=3（2）由（1）知bn=3所以cn當(dāng)1≤n≤當(dāng)n≥6時(shí)，故Tn1.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)的性質(zhì)列式可解得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，進(jìn)而可得所求通項(xiàng)公式.2.對(duì)n分類(lèi)討論，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式求和.在分段數(shù)列關(guān)系中引入?yún)?shù)1.已知數(shù)列{an}滿足an=12,n=1[解析]當(dāng)λ=1，n≥2時(shí)，∴S將數(shù)列通項(xiàng)的分段問(wèn)題改為數(shù)列遞推關(guān)系的分段問(wèn)題2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（1）若0<an（2）若a=5，求[解析]（1）當(dāng)an∈(0當(dāng)an∈(3故an+1∈(0（2）當(dāng)a1=a=5時(shí)，a2=a1?3=2所以數(shù)列{an}為5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，?,即數(shù)列{an培優(yōu)點(diǎn)二數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問(wèn)題典例2[2023·新高考Ⅱ卷]已知{an}為等差數(shù)列，bn=an?6,n為奇數(shù),2an,n（1）求{a（2）證明：當(dāng)n>5時(shí)，解題觀摩[解析]（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，而bn=an于是S解得a1=5,d=（2）由（1）知，Sn=n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，…………審題②當(dāng)n>5時(shí)，Tn當(dāng)n若n≥3，則Tn=b1+當(dāng)n>5時(shí)，Tn綜上所述，當(dāng)n>5時(shí)，解答與奇偶項(xiàng)有關(guān)的求和問(wèn)題的關(guān)鍵1.弄清當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.弄清當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù).3.對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以先求出S2k將數(shù)列遞推關(guān)系的奇偶項(xiàng)問(wèn)題改為數(shù)列通項(xiàng)的奇偶項(xiàng)問(wèn)題1.[2024·南通模擬]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,（1）求數(shù)列{a（2）若b2,2a3,b4成等差數(shù)列，記數(shù)列{cn}滿足c[解析]（1）因?yàn)閎nan+1?an=又?jǐn)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，所以公比為2，即b所以數(shù)列{an}（2）由（1）知數(shù)列{bn}由b2,2a3,b4成等差數(shù)列得所以b1=2，則數(shù)列{cn}將單數(shù)列的奇偶項(xiàng)遞推問(wèn)題改為雙數(shù)列的奇偶項(xiàng)遞推問(wèn)題2.[2024·濰坊模擬]已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，前n項(xiàng)和為S（1）求{a（2）設(shè)bn=an,n為奇數(shù),[解析]（1）因?yàn)閧an}所以由S3=即a兩式相除得1+q+q2q=133，整理得3q2?10q+3（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=an=所以T=====9將數(shù)列遞推關(guān)系的奇偶問(wèn)題改為數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)交融的數(shù)列奇偶問(wèn)題3.[2024·南京模擬]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Snn∈N?，數(shù)列{b（1）求數(shù)列{an}（2）若cn=2Sn,n為奇數(shù),b[解析]（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{因?yàn)閍1=3,b1=1,b所以an=2n（2）由（1）知，Sn=所以T2n培優(yōu)點(diǎn)三兩數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題典例3已知數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=4n?1解題觀摩[解析]設(shè)ak=b所以k=因?yàn)?,4互質(zhì)，所以m+1必為4的倍數(shù)，即cp=bm=解決兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題的兩種方法1.不定方程法：列出兩個(gè)項(xiàng)相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識(shí)，求出符合條件的項(xiàng)，并解出相應(yīng)的通項(xiàng)公式.2.周期法（即尋找下一項(xiàng)）：通過(guò)觀察找到首項(xiàng)后，從首項(xiàng)開(kāi)始向后，逐項(xiàng)判斷變化較大（如公差的絕對(duì)值大）的數(shù)列中的項(xiàng)是否為另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，并找到規(guī)律（如周期），分析相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到通項(xiàng)公式.給定數(shù)列中一個(gè)是等差數(shù)列，一個(gè)是等比數(shù)列1.已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n?2[解析]由題意，令21=3n?2,得n令22=3n?2,得n令23=3n?2,得n令24=3n?2,得n依此類(lèi)推，可得數(shù)列{cn}為4,42,43,44,?，即{c給定數(shù)列中一個(gè)是等差數(shù)列，一個(gè)是非等差非等比數(shù)列，求最小值2.已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=5n?4[解析]令ak=bm，即5k?4=所以m=1或m+1=5i或