高考數學復習全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)考點11平面向量及其應用(20種題型6個易錯考點)專項練習(原卷版+解析)

考點11平面向量及其應用（20種題型6個易錯考點）一、真題多維細目表一、真題多維細目表考題考點考向2022新高考1，第3題平面向量的概念及線性運算向量的線性運算2022新高考2，第4題數量積的綜合應用由夾角相等求參數值2021新高考1，第10題數量積的定義及夾角與模問題利用坐標運算求解向量的模，數量積2021新高考2，第15題數量積的綜合應用平面向量的數量積2021全國乙理，第14題數量積的定義及夾角與模問題由向量垂直求參數2020新高考2，第3題平面向量的概念及線性運算向量的線性運算2020新高考1，第7題數量積的綜合應用求數量積的取值范圍二二、命題規(guī)律與備考策略高考對本章內容的考查以平面向量的基礎知識、基本運算為主，考查與平面向量基本定理相關的線性運算、向量的數量積運算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。高考對本章的考查依然是基礎與能力并存，在知識形成過程、知識遷移種滲透數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數與方程、數形結合、轉化與劃歸思想。三三、2023真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共4小題）1．（2023?甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），則cos?+，﹣?＝（）A． B． C． D．2．（2023?甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，則cos?﹣，﹣?＝（）A． B． C． D．3．（2023?乙卷）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則?＝（）A． B．3 C．2 D．54．（2023?新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1二．填空題（共1小題）5．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，則||＝．四四、考點清單1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．5．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘向量及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．6．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．7．向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．8．平面向量的數量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積9.向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝011.平面向量與解三角形的綜合應用(1)解決平面向量與三角函數的交匯問題，關鍵是準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉化為三角函數中的有關問題解決．(2)還應熟練掌握向量數量積的坐標運算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標運算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識．<常用結論>1．五個特殊向量(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數，0是一個向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無數個，它們大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個常用結論(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點，O為平面內任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)若A，B，C是平面內不共線的三點，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數)，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.3．基底需要的關注三點(1)基底e1，e2必須是同一平面內的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果對于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共線向量定理應關注的兩點(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2－x2y1＝0.(2)判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后按兩向量共線進行判定．5．兩個結論(1)已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．7．平面向量數量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.五五、題型方法一．向量的概念與向量的模（共2小題）1．（2023?葉城縣校級模擬）已知，，若與模相等，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023?廣西模擬）已知和是兩個正交單位向量，且，則k＝（）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4二．向量相等與共線（共2小題）3．（2023?南通模擬）若向量滿足，則向量一定滿足的關系為（）A． B．存在實數λ，使得 C．存在實數m，n，使得 D．4．（2023?湖北模擬）已知向量，則“與共線”是“存在唯一實數λ使得”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件三．平面向量的線性運算（共1小題）5．（2023?濟南三模）在△ABC中，若，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C．1 D．四．向量的加法（共1小題）6．（2023?浙江模擬）設M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則＝（）A． B． C． D．五．向量的減法（共1小題）7．（2023?防城港模擬）在△ABC中，D為BC的中點，則＝（）A． B． C． D．六．向量的三角形法則（共2小題）8．（2023?普寧市校級二模）設是單位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，則四邊形ABCD（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形9．（2023?西寧模擬）在△ABC中，D是AB邊上的中點，則＝（）A．2+ B．﹣2 C．2﹣ D．+2七．向量加減混合運算（共1小題）10．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知＝（1，），＝（2，0），則|﹣3|＝（）A．2 B．2 C．24 D．28八．兩向量的和或差的模的最值（共3小題）11．（2023?安徽模擬）△ABC中，||＝2||，則sinA的最大值為（）A． B． C． D．12．（2023?張家口一模）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（）A． B．2 C． D．13．（2023?市中區(qū)校級一模）若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為．九．向量數乘和線性運算（共2小題）14．（2023?石獅市校級模擬）我國古代入民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現(xiàn)，是中國古代數學的圖騰，還被用作第24屆國際數學家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（）A． B． C． D．15．（2023?湖南模擬）如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若＝λ+μ，則λ+μ＝（）A．2 B． C． D．一十．平面向量數量積的含義與物理意義（共2小題）16．（2023?天門模擬）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B．﹣1 C． D．17．（2023?淮北二模）已知向量，滿足?＝10，且＝（﹣3，4），則在上的投影向量為（）A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣，） D．（，﹣）一十一．平面向量數量積的性質及其運算（共3小題）18．（2023?射洪市校級模擬）已知平面向量，，的夾角為60°，，則實數t（）A．﹣1 B．1 C． D．±119．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）在邊長為2的菱形ABCD中，，則的最小值為（）A．﹣2 B． C． D．20．（2023?虹口區(qū)校級三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．一十二．平面向量數量積的坐標表示、模、夾角（共2小題）21．（2023?廣州三模）已知向量，，且，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．622．（2023?丹東模擬）已知向量，，則＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5一十三．向量的投影（共2小題）23．（2023?翠屏區(qū)校級模擬）已知向量，若，則在方向上的投影為（）A．1 B．﹣1 C． D．24．（2023?宜賓模擬）已知點M是圓C：（x﹣4）2+y2＝4上的一個動點，點N是直線y＝x上除原點O外的任意一點，則向量在向量上的投影的最大值是（）A． B． C． D．一十四．投影向量（共2小題）25．（2023?東莞市校級三模）已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為（）A．（6，﹣3） B． C． D．26．（2023?開福區(qū)校級二模）已知單位向量，的夾角為60°，則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．一十五．平面向量的基本定理（共3小題）27．（2023?斗門區(qū)校級三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于點O，，則＝（）A． B． C． D．28．（2023?浠水縣校級三模）在平行四邊形ABCD中，．若，則m﹣n＝（）A． B． C． D．29．（2023?鎮(zhèn)江三模）在△ABC中，＝3，點E是CD的中點．若存在實數λ，μ使得，則λ+μ＝（請用數字作答）．一十六．平面向量的坐標運算（共2小題）30．（2023?浙江二模）若，，則＝（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（2，2）31．（2023?興慶區(qū)校級二模）已知向量，，，若，則m+n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8一十七．平面向量共線（平行）的坐標表示（共2小題）32．（2023?河南三模）已知向量，若，則實數x＝（）A．5 B．4 C．3 D．233．（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知向量，，且．則sinα的值為（）A． B．0 C．±1 D．不存在一十八．數量積表示兩個向量的夾角（共3小題）34．（2023?北京模擬）若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．35．（2023?郴州模擬）已知向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．36．（2023?渝中區(qū)校級模擬）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為．一十九．數量積判斷兩個平面向量的垂直關系（共2小題）37．（2023?西寧二模）若向量，，且，則＝（）A． B．4 C． D．38．（2023?江西模擬）已知向量，，，則x的值為（）A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4二十．平面向量的綜合題（共2小題）39．（2023?龍華區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，E是AB的中點，＝2，＝，EF與AD交于點M，則＝（）A．+ B．+ C．+ D．+40．（2023?金山區(qū)二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為．六六、易錯分析易錯點一、忽略向量共線致誤1、已知向量的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍為________．2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是__________．易錯點二、對向量共線定理及平面向量基本定理理解不準確致誤3、給出下列命題：(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底確定后,平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示；(3)若a,b共線,則且存在且唯一；(4)λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,則λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命題的個數為A.1B.2C.3D.4易錯點三、對兩兩夾角相等理解不準確4、若單位向量兩兩夾角相等,則的模為.易錯點四、確定向量夾角忽略向量的方向致錯5、已知等邊△ABC的邊長為1,則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.6、在中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足,則等于（）A．B.C.D.易錯點五、向量基本概念模糊致錯7、下列五個命題：若a∥b,b∥c,則a∥c；若A,B,C,D是同一平面內的四點且eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；若,則；；其中正確的命題有______個。易錯點六、忽視平面向量基本定理的成立條件8、下列各組向量中，可以作為基底的是（）A、=（0，0），=（1，-2）B、=（-1，2），=（5，7）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，-3），=（4，-6）七七、刷基礎一．選擇題（共11小題）1．（2023?鄭州模擬）若，均為單位向量，且，則k的值可能是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣32．（2023?廈門模擬）平面上的三個力1，2，3作用于同一點，且處于平衡狀態(tài)．已知1＝（1，0），|2|＝2，?1，2?＝120°，則|3|＝（）A． B．1 C． D．23．（2023?南平模擬）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足+＝2，則||＝（）A． B．1 C． D．4．（2023?云南模擬）若向量，則在上的投影向量為（）A． B． C．（33，44） D．5．（2023?梅河口市校級模擬）設非零向量滿足，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．6．（2023?三模擬）已知，為單位向量，若|﹣2|＝，則?（﹣2）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．27．（2023?長沙縣校級三模）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．8．（2023?西安二模）已知向量，，且，則sinαcosα＝（）A．3 B．﹣3 C． D．9．（2023?河南模擬）已知向量，，若，則＝（）A． B．5 C． D．1010．（2023?凱里市校級二模）若向量，，，且，則m＝（）A． B． C．﹣1 D．111．（2023?龍華區(qū)校級模擬）若平面向量與滿足＝﹣1，且||＝2，||＝1，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．二．多選題（共3小題）（多選）12．（2023?金安區(qū)校級模擬）下列命題正確的有（）A．已知復數z的共軛復數為，則z+一定是實數 B．若為向量，則 C．若z1，z2為復數，則|z1z2|＝|z1|?|z2| D．若為向量，且，則（多選）13．（2023?泉州模擬）圓O為銳角△ABC的外接圓，AC＝2AB＝2，則的值可能為（）A． B． C． D．（多選）14．（2023?射洪市校級模擬）如圖，點C，D是線段AB的三等分點，則下列結論正確的有（）A． B． C． D．三．填空題（共13小題）15．（2023?閬中市校級二模）已知為單位向量，且滿足，則＝．16．（2023?武功縣校級模擬）已知菱形EFGH中，，則＝．17．（2023?河南模擬）已知不共線，向量，，且，則k＝．18．（2023?船營區(qū)校級模擬）已知向量，向量在方向上的投影向量坐標為．19．（2023?張掖四模）已知向量，，且，則向量在方向上的投影為．20．（2023?虹口區(qū)校級模擬）將向量繞坐標原點O順時針旋轉30°得到，則＝．21．（2023?香坊區(qū)校級三模）已知向量，，若在方向上的投影向量為，則x的值為．22．（2023?洛陽模擬）已知向量＝（x，1），＝（﹣3，2），若2＝（1，4），則＝．23．（2023?梅河口市校級一模）已知向量滿足，且，則與的夾角為．24．（2023?河南模擬）已知向量＝（2，﹣3），＝（﹣1，2），＝（4，3），若（λ）⊥，則|λ﹣|＝．25．（2023?黃浦區(qū)校級三模）已知平面向量，，若，則m＝．26．（2023?市中區(qū)校級模擬）已知向量，，與共線，則＝．27．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知，若與平行，則實數k＝．八.八.刷真題一．選擇題（共8小題）1．（2022?全國）已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，則（）A．x2＝2 B．|x|＝2 C．x2＝3 D．|x|＝32．（2023?北京）已知向量，滿足+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），則||2﹣||2＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（2022?乙卷）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），則|﹣|＝（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023?全國）設向量，，若，則x＝（）A．5 B．2 C．1 D．05．（2022?乙卷）已知向量，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，則?＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．（2022?新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，則t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．67．（2022?新高考Ⅰ）在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA．記＝，＝，則＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+38．（2022?北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1，則?的取值范圍是（）A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]二．填空題（共8小題）9．（2023?上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），則?＝．10．（2022?甲卷）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，則m＝．11．（2023?天津）在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，點D為AB的中點，點E為CD的中點，若設＝，＝，則可用，表示為；若＝，則?的最大值為．12．（2022?上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且滿足?＝0，?＝2，?＝1，則λ＝．13．（2022?甲卷）設向量，的夾角的余弦值為，且||＝1，||＝3，則（2+）?＝．14．（2022?上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點M為邊AB的中點，點P在邊BC上，則?的最小值為．15．（2022?天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中點，＝2，試用，表示為，若⊥，則∠ACB的最大值為．16．（2022?浙江）設點P在單位圓的內接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則2+2+…+2的取值范圍是．

考點11平面向量及其應用（20種題型6個易錯考點）一一、真題多維細目表考題考點考向2022新高考1，第3題平面向量的概念及線性運算向量的線性運算2022新高考2，第4題數量積的綜合應用由夾角相等求參數值2021新高考1，第10題數量積的定義及夾角與模問題利用坐標運算求解向量的模，數量積2021新高考2，第15題數量積的綜合應用平面向量的數量積2021全國乙理，第14題數量積的定義及夾角與模問題由向量垂直求參數2020新高考2，第3題平面向量的概念及線性運算向量的線性運算2020新高考1，第7題數量積的綜合應用求數量積的取值范圍二二、命題規(guī)律與備考策略高考對本章內容的考查以平面向量的基礎知識、基本運算為主，考查與平面向量基本定理相關的線性運算、向量的數量積運算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。高考對本章的考查依然是基礎與能力并存，在知識形成過程、知識遷移種滲透數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數與方程、數形結合、轉化與劃歸思想。三三、2023真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共4小題）1．（2023?甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），則cos?+，﹣?＝（）A． B． C． D．【分析】根據題意，求出+和﹣的坐標，進而求出|+|、|﹣|和（+）?（﹣）的值，進而由數量積的計算公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，向量＝（3，1），＝（2，2），則+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），則有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）?（﹣）＝2，故cos?+，﹣?＝＝．故選：B．【點評】本題考查向量的夾角，涉及向量的數量積計算，屬于基礎題．2．（2023?甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，則cos?﹣，﹣?＝（）A． B． C． D．【分析】根據題意，用、表示，利用模長公式求出cos＜，＞，再計算﹣與﹣的數量積和夾角余弦值．【解答】解：因為向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，所以＝++2?，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）?（﹣）＝（2+）?（+2）＝2+2+5?＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos?﹣，﹣?＝＝＝．故選：D．【點評】本題考查了平面向量的數量積與模長夾角的計算問題，是基礎題．3．（2023?乙卷）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則?＝（）A． B．3 C．2 D．5【分析】由已知結合向量的線性表示及向量數量積的性質即可求解．【解答】解：正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，所以＝﹣1，，，＝2×2＝4，則?＝（）?（）＝+++＝﹣1+0+0+4＝3．故選：B．【點評】本題主要考查了向量的線性表示及向量數量積的性質的應用，屬于基礎題．4．（2023?新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1【分析】由已知求得+λ與+μ的坐標，再由兩向量垂直與數量積的關系列式求解．【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故選：D．【點評】本題考查平面向量加法與數乘的坐標運算，考查兩向量垂直與數量積的關系，是基礎題．二．填空題（共1小題）5．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，則||＝．【分析】根據向量數量積的性質及方程思想，即可求解．【解答】解：∵|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，∴，，∴，∴＝3，∴．故答案為：．【點評】本題考查向量數量積的性質及方程思想，屬基礎題．四四、考點清單1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．5．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘向量及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．6．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．7．向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．8．平面向量的數量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積9.向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝011.平面向量與解三角形的綜合應用(1)解決平面向量與三角函數的交匯問題，關鍵是準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉化為三角函數中的有關問題解決．(2)還應熟練掌握向量數量積的坐標運算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標運算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識．<常用結論>1．五個特殊向量(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數，0是一個向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無數個，它們大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個常用結論(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點，O為平面內任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)若A，B，C是平面內不共線的三點，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數)，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.3．基底需要的關注三點(1)基底e1，e2必須是同一平面內的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果對于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共線向量定理應關注的兩點(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2－x2y1＝0.(2)判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后按兩向量共線進行判定．5．兩個結論(1)已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．7．平面向量數量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.五五、題型方法一．向量的概念與向量的模（共2小題）1．（2023?葉城縣校級模擬）已知，，若與模相等，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用坐標求出的模長，進而根據已知條件可以得到一個關于的方程，問題即可得到解決．【解答】解：因為，所以，故，而又已知，且，所以，解得．故選：C．【點評】本題主要考查了向量的數量積運算，屬于基礎題．2．（2023?廣西模擬）已知和是兩個正交單位向量，且，則k＝（）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4【分析】根據題意得到，，求得，根據向量模的計算公式，列出方程，即可求解．【解答】解：因為和是正交單位向量，，，可得，所以，解得k＝2或k＝4．故選：B．【點評】本題考查向量的運算，屬于基礎題．二．向量相等與共線（共2小題）3．（2023?南通模擬）若向量滿足，則向量一定滿足的關系為（）A． B．存在實數λ，使得 C．存在實數m，n，使得 D．【分析】對兩邊平方即可得出，進而得出，從而判斷A不正確；時，B不一定成立；時，D不成立，這樣只能選C．【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴不一定成立；時，不成立；時，不成立．故選：C．【點評】本題考查了向量數量積的計算公式，共線向量基本定理，考查了計算能力，屬于基礎題．4．（2023?湖北模擬）已知向量，則“與共線”是“存在唯一實數λ使得”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】充分性根據驗證；必要性直接證明即可．【解答】解：當時，滿足與共線，但是不存在實數λ使得，故充分性不成立；存在唯一實數λ使得，則與共線成立，即必要性成立，故“與共線”是“存在唯一實數λ使得”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題主要考查了共線向量的定義，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題．三．平面向量的線性運算（共1小題）5．（2023?濟南三模）在△ABC中，若，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C．1 D．【分析】由平面向量的線性運算，結合三角形的面積公式求解即可．【解答】解：設點A、B為線段DE的三等分點，因為，所以＝，，則＝，當且僅當CD⊥CE時取等號，即△ABC面積的最大值為1．故選：C．【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了三角形的面積公式，屬中檔題．四．向量的加法（共1小題）6．（2023?浙江模擬）設M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用向量的線性運算法則求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴M是AC，BD的中點，∴＝，，∴＝＝＝（）＝＝（）＝＝．故選：A．【點評】本題主要考查了向量的線性運算，屬于基礎題．五．向量的減法（共1小題）7．（2023?防城港模擬）在△ABC中，D為BC的中點，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用平面向量的線性運算求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，D為BC的中點，∴＝，∴＝﹣＝，故選：D．【點評】本題考查了平面向量的線性運算，是基礎題．六．向量的三角形法則（共2小題）8．（2023?普寧市校級二模）設是單位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，則四邊形ABCD（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【分析】據向量相反向量的定義得四邊形為平行四邊形，再據鄰邊相等四邊形為菱形．【解答】解：∵，∴∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵∴四邊形ABCD是菱形故選：B．【點評】本題考查相反向量的定義，菱形滿足的條件．9．（2023?西寧模擬）在△ABC中，D是AB邊上的中點，則＝（）A．2+ B．﹣2 C．2﹣ D．+2【分析】利用向量加法法則直接求解．【解答】解：在△ABC中，D是AB邊上的中點，則＝＝＝＝2．故選：C．【點評】本題考查向量的表示，考查向量加法法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．七．向量加減混合運算（共1小題）10．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知＝（1，），＝（2，0），則|﹣3|＝（）A．2 B．2 C．24 D．28【分析】可根據條件求出的坐標，從而可求出．【解答】解：；∴．故選：A．【點評】考查向量坐標的減法和數乘運算，根據向量坐標求向量長度的方法．八．兩向量的和或差的模的最值（共3小題）11．（2023?安徽模擬）△ABC中，||＝2||，則sinA的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由||＝2||，兩邊，整理得到，結合基本不等式進而得到cosA的最小值，再利用平方關系求解．【解答】解：由||＝2||，兩邊同時平方得，展開整理得，即，∴，當且僅當時等號成立．又∵sin2A+cos2A＝1且sinA＞0，∴時，所以sinA取最大值．故選：C．【點評】本題主要考查向量模的運算性質，數量積運算，考查運算求解能力，屬于中檔題．12．（2023?張家口一模）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（）A． B．2 C． D．【分析】根據數量積的運算律得到，設，即可得到，再由求出的范圍，即可得解．【解答】解：由，得，即．設，則，顯然cosθ≠0，所以，又，所以，所以，即的最大值為．故選：C．【點評】本題主要考查平面向量的數量積運算，屬于中檔題．13．（2023?市中區(qū)校級一模）若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為2．【分析】在平面直角坐標系中，不妨設，，，再結合平面向量的數量積運算，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：在平面直角坐標系中，不妨設，，，∵，，，∴x1x2+y1y2＝0，x1＝1，x2＝﹣1，∴y1y2＝1，∴＝|y1+y2|＝＝，當且僅當y1＝±1時，等號成立，故的最小值為2．故答案為：2．【點評】本題主要考查平面向量的數量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題．九．向量數乘和線性運算（共2小題）14．（2023?石獅市校級模擬）我國古代入民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現(xiàn)，是中國古代數學的圖騰，還被用作第24屆國際數學家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（）A． B． C． D．【分析】如圖所示，建立直角坐標系．不妨設AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．利用勾股定理可得x，通過RT△ABE的邊角關系，可得E的坐標，設＝m+n，路坐標運算性質即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系．不妨設AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．∴x2+4x2＝1，解得x＝．設∠BAE＝θ，則sinθ＝，cosθ＝．∴xE＝cosθ＝，yE＝sinθ＝．設＝m+n，則（，）＝m（1，0）+n（0，1）．∴m＝，n＝．∴＝+，另解：過E分別作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分別為M，N．通過三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．即可得出結論．故選：A．【點評】本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數求值、平面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．（2023?湖南模擬）如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若＝λ+μ，則λ+μ＝（）A．2 B． C． D．【分析】建立平面直角坐標系，使用坐標進行計算，列方程組解出λ，μ．【解答】解：以AB，AD為坐標軸建立平面直角坐標系，如圖：設正方形邊長為1，則＝（1，），＝（﹣，1），＝（1，1）．∵＝λ+μ，∴，解得．∴λ+μ＝．故選：D．【點評】本題考查了平面向量的基本定理，屬于基礎題．一十．平面向量數量積的含義與物理意義（共2小題）16．（2023?天門模擬）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B．﹣1 C． D．【分析】根據數量積的運算律求出，在根據向量在向量上的投影向量為計算可得．【解答】解：因為，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為．故選：C．【點評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題．17．（2023?淮北二模）已知向量，滿足?＝10，且＝（﹣3，4），則在上的投影向量為（）A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣，） D．（，﹣）【分析】根據投影向量的定義計算即可．【解答】解：因為?＝10，且＝（﹣3，4），所以在上的投影向量||cos＜，＞＝（?）＝10×＝（﹣，）．故選：C．【點評】本題考查了投影向量的定義與計算問題，是基礎題．一十一．平面向量數量積的性質及其運算（共3小題）18．（2023?射洪市校級模擬）已知平面向量，，的夾角為60°，，則實數t（）A．﹣1 B．1 C． D．±1【分析】對兩邊平方，再由數量積公式計算可得答案．【解答】解：因為，所以，即4+2×2×cos60°t+t2＝3，解得t＝﹣1．故選：A．【點評】本題主要考查平面向量的數量積運算，屬于基礎題．19．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）在邊長為2的菱形ABCD中，，則的最小值為（）A．﹣2 B． C． D．【分析】由平面向量的線性運算，結合平面向量數量積的運算求解即可．【解答】解：已知在邊長為2的菱形ABCD中，，則，則＝＝＝＝，又x∈[0，1]，則當x＝0時，取最小值．故選：B．【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量數量積的運算，屬中檔題．20．（2023?虹口區(qū)校級三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．【分析】設，則，得到，結合絕對值三角不等式，即可求解．【解答】解：不妨設，則，由，可得，則||，所以的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量數量積的運算和性質以及絕對值不等式的應用，屬于中檔題．一十二．平面向量數量積的坐標表示、模、夾角（共2小題）21．（2023?廣州三模）已知向量，，且，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用向量的數量積運算求出m，再利用向量的求模公式求解．【解答】解：∵，∴++2?＝+﹣2?，∴?＝0，∵，，∴12+4m＝0，m＝﹣3，∴＝（4，﹣3），∴＝＝5．故選：C．【點評】本題考查了向量的數量積，向量的求模公式，屬于基礎題．22．（2023?丹東模擬）已知向量，，則＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】由已知求得的坐標，再由平面向量數量積的坐標運算求解．【解答】解：∵，，∴，則＝2×（﹣1）+1×（﹣1）＝﹣3．故選：B．【點評】本題考查向量減法的坐標運算及數量積的坐標運算，是基礎題．一十三．向量的投影（共2小題）23．（2023?翠屏區(qū)校級模擬）已知向量，若，則在方向上的投影為（）A．1 B．﹣1 C． D．【分析】利用坐標運算求出，然后求投影即可．【解答】解：，，則，則在方向上的投影為．故選：B．【點評】本題主要考查向量的投影公式，屬于基礎題．24．（2023?宜賓模擬）已知點M是圓C：（x﹣4）2+y2＝4上的一個動點，點N是直線y＝x上除原點O外的任意一點，則向量在向量上的投影的最大值是（）A． B． C． D．【分析】取點N（a，a），則a≠0，設點M（4+2cosθ，2sinθ），其中0≤θ＜2π，利用向量投影的定義以及三角恒等變換可求得向量在向量上的投影的最大值．【解答】解：取點N（a，a），則a≠0，設點M（4+2cosθ，2sinθ），其中0≤θ＜2π，所以，向量在向量上的投影為＝，若向量在向量取最大值，則a＞0，所以，＝，因為0≤θ＜2π，則，當且僅當時，等號成立，故向量在向量上的投影的最大值是為．故選：A．【點評】本題主要考查向量的投影，考查轉化能力，屬于中檔題．一十四．投影向量（共2小題）25．（2023?東莞市校級三模）已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為（）A．（6，﹣3） B． C． D．【分析】根據已知向量坐標，求投影向量公式求解即可．【解答】因為，所以，，故所求投影向量為：．故選：D．【點評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題．26．（2023?開福區(qū)校級二模）已知單位向量，的夾角為60°，則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．【分析】根據向量的數量積公式及投影向量的定義即可求解．【解答】解：因為兩個單位向量和的夾角為60°，則，所以，，，故所求投影向量為．故選：C．【點評】本題主要考查向量的數量積公式及投影向量的定義，屬于基礎題．一十五．平面向量的基本定理（共3小題）27．（2023?斗門區(qū)校級三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于點O，，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據平面向量的線性運算可求出結果．【解答】解：如圖，由，可得（利用平行關系求得線段比），則，所以．故選：A．【點評】本題主要考查了平面向量的線性運算，屬于基礎題．28．（2023?浠水縣校級三模）在平行四邊形ABCD中，．若，則m﹣n＝（）A． B． C． D．【分析】根據向量對應線段的數量及位置關系，用表示出，求出參數，進而得結果．【解答】解：＝，所以，則．故選：D．【點評】本題主要考查了向量的線性表示及平面向量基本定理，屬于基礎題．29．（2023?鎮(zhèn)江三模）在△ABC中，＝3，點E是CD的中點．若存在實數λ，μ使得，則λ+μ＝（請用數字作答）．【分析】首先根據題意，利用向量線性運算將用和表示，然后和題設條件對照，即可求出．【解答】解：如圖，因為E為CD中點，所以＝+，又＝3，∴＝，∴＝，故λ＝，，∴λ+μ＝．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬簡單題．一十六．平面向量的坐標運算（共2小題）30．（2023?浙江二模）若，，則＝（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（2，2）【分析】根據平面向量的坐標運算即可求得答案．【解答】解：由題意知，，故．故選：B．【點評】本題主要考查向量的坐標運算，屬于基礎題．31．（2023?興慶區(qū)校級二模）已知向量，，，若，則m+n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據已知條件，結合平面向量的坐標運算，即可求解．【解答】解：，，，，則（9，4）＝（2m，﹣3m）+（n，2n），即，解得m＝2，n＝5，故m+n＝7．故選：C．【點評】本題主要考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題．一十七．平面向量共線（平行）的坐標表示（共2小題）32．（2023?河南三模）已知向量，若，則實數x＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用平面向量線性運算的坐標表示和向量共線的坐標表示求參數．【解答】解：，因為，所以（2+3x）×（﹣1）＝7×（2﹣x），解得x＝4．故選：B．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．33．（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知向量，，且．則sinα的值為（）A． B．0 C．±1 D．不存在【分析】根據向量共線得到5cosα＝2sin2α，利用二倍角正弦公式得到cosα＝0，再根據平方關系計算可得．【解答】解：因為，，且，所以5cosα＝2sin2α，即5cosα＝4sinαcosα，即cosα（5﹣4sinα）＝0，因為sinα∈[﹣1，1]，所以5﹣4sinα＞0，所以cosα＝0，又sin2α+cos2α＝0，所以sinα＝±1．故選：C．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．一十八．數量積表示兩個向量的夾角（共3小題）34．（2023?北京模擬）若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．【分析】根據平面向量夾角的坐標運算公式可求出結果．【解答】解：向量，，則＝，又因為，所以，即與的夾角等于．故選：D．【點評】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎題．35．（2023?郴州模擬）已知向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．【分析】根據已知條件，結合相垂直的性質，以及平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：設向量的夾角為θ，θ∈[0，π]，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴cosθ＝＝，∴．故選：B．【點評】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎題．36．（2023?渝中區(qū)校級模擬）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為．【分析】根據已知條件，結合平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：，故cos＝＝，∵，∴向量與的夾角大小為．故答案為：．【點評】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎題．一十九．數量積判斷兩個平面向量的垂直關系（共2小題）37．（2023?西寧二模）若向量，，且，則＝（）A． B．4 C． D．【分析】根據向量垂直的坐標表示求x，再由向量的模的坐標表示即得．【解答】解：由，可得﹣x+2×2＝0，所以x＝4，，．故選：D．【點評】本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題．38．（2023?江西模擬）已知向量，，，則x的值為（）A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4【分析】根據題意，由平面向量垂直的坐標運算即可得到結果．【解答】解：因為向量，，且，則，解得x＝﹣3．故選：C．【點評】本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題．二十．平面向量的綜合題（共2小題）39．（2023?龍華區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，E是AB的中點，＝2，＝，EF與AD交于點M，則＝（）A．+ B．+ C．+ D．+【分析】根據題意，分析可得＝+，設＝k，則＝+，再設＝x+y，分析可得+＝+，分析k、x、y的關系，可得k的值，計算可得答案．【解答】解：根據題意，＝＝（﹣），則＝，則＝+＝+（﹣）＝+，M在AD上，設＝k，則＝+，又由E、M、F三點共線，則＝x+y，（x+y＝1）則＝+，而＝+，則有+＝+，故有，解可得k＝，故＝+．故選：A．【點評】本題考查平面向量基本定理，涉及向量的線性運算，屬于基礎題．40．（2023?金山區(qū)二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為．【分析】畫出圖形，結合已知條件找出C，B的幾何意義，判斷D的位置，利用向量的模的幾何意義，轉化求解不等式的最小值即可．【解答】解：如圖設＝，＝5，＝，＝，＝，點B在以A為圓心，半徑為的圓上，點C在以M為圓心，半徑為1的圓上，∠NOM＝，所以D在射線ON上，所以＝≥||﹣＝，作的A關于射線ON的對稱點G，則，且，所以≥＝﹣＝，（當且僅當D、G、M共線時取等號），的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查向量的模的幾何意義的應用，考查數形結合以及分析問題解決問題的能力，是難題．六六、易錯分析易錯點一、忽略向量共線致誤1、已知向量的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍為________．【錯解】因為向量的夾角為鈍角，所以，即，解得，【錯因】概念模糊，錯誤地認為為鈍角，實際上，為鈍角不共線。【正解】因為向量的夾角為鈍角，所以且不共線，即，解得，所以實數x的取值范圍為。2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是__________．【錯解】∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)).因θ為銳角,有cosθ>0,∴eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))>0?2λ＋1>0,得λ>－eq\f(1,2),λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).【錯因】當向量a,b同向時,θ＝0,cosθ＝1滿足cosθ>0,但不是銳角．【正解】∵θ為銳角,∴0<cosθ<1.又∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)),∴0<eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))且eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))≠1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋1>0，,2λ＋1≠\r(5)·\r(λ2＋1))),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(1,2)，,λ≠2.))∴λ的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2)).易錯點二、對向量共線定理及平面向量基本定理理解不準確致誤3、給出下列命題：(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底確定后,平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示；(3)若a,b共線,則且存在且唯一；(4)λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,則λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命題的個數為A.1B.2C.3D.4【錯解】選B或C或D【錯因】(1)對于兩個向量共線定理(a(a≠0)與b共線?存在唯一實數λ使得b＝λa)中條件“a≠0”的理解：當a＝0時,a與任一向量b都是共線的；當a＝0且b≠0時,b＝λa是不成立的,但a與b共線．因此,為了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我們要求a≠0.換句話說,如果不加條件“a≠0”,“a與b共線”是“存在唯一實數λ使得b＝λa”的必要不充分條件．(2)面向量的一組基底是兩個不共線向量,平面向量基底可以有無窮多組．用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2為同一平面內不共線的兩個向量)的形式,它是向量線性運算知識的延伸．如果e1,e2是同一平面內的一組基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0.【正解】平面內的兩個不共線的向量可以作為一組基底,(1)是假命題；(2)是真命題；對于(3),當a,b均為零向量時可以取任意實數,當a為零向量,b為非零向量時不存在,(3)是假命題；對于(4),只有a,b為不共線向量時才成立.易錯點三、對兩兩夾角相等理解不準確4、若單位向量兩兩夾角相等,則的模為.【錯解】因為單位向量兩兩夾角相等,則夾角為,所以+=+=0,所以的模為0。【錯因】忽略了夾角為零度的情況【正解】當的夾角為時的模為3,當夾角為時,+=+=0,的模為0.易錯點四、確定向量夾角忽略向量的方向致錯5、已知等邊△ABC的邊長為1,則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.【錯解】∵△ABC為等邊三角形,∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1,向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))間的夾角均為60°.∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).【錯因】數量積的定義a·b＝|a|·|b|·cosθ,這里θ是a與b的夾角,本題中eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))夾角不是∠C.兩向量的夾角應為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角,如圖eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))的夾角應是∠ACD.【正解】eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))的夾角應是∠ACB的補角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1,所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝－eq\f(1,2).同理得eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2).故eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2).6、在中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足,則等于（）A．B.C.D.【錯解】由知,P為△ABC的重心,根據向量的加法,,則=【錯因】夾角是,不是0.【正解】由知,P為△ABC的重心,根據向量的加法,,則=故選A.易錯點五、向量基本概念模糊致錯7、下列五個命題：若a∥b,b∥c,則a∥c；若A,B,C,D是同一平面內的四點且eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；若,則；；其中正確的命題有______個?！惧e解】1或2或3或4【錯因】①忽略零向量與任意向量共線；②忽略四點共線的情況；③忽略；④對數量積的運算律理解錯誤?！菊狻竣偃鬮為零向量,則a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,則a∥c為假命題；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)),則A,B,C,D可能共線,故為假命題；③若,則或，故為假命題；④因表示與c共線的向量,表示與a共線的向量,可能不共線,故不一定相等,該命題是假命題，正確的命題有0個。易錯點六、忽視平面向量基本定理的成立條件8、下列各組向量中，可以作為基底的是（）A、=（0，0），=（1，-2）B、=（-1，2），=（5，7）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，-3），=（4，-6）【錯解】選A或C或D【錯因】概念模糊，根據基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內的基底?！菊狻窟xB，如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W習這部分知識時，務必要注意這兩個定理的作用和成立條件。七七、刷基礎一．選擇題（共11小題）1．（2023?鄭州模擬）若，均為單位向量，且，則k的值可能是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【分析】兩邊同時平方，得到，余弦值只能在[﹣1，1]判斷即可．【解答】解：因為，所以，所以，所以，由于，均為單位向量，所以，所以，由于，所以只有B符合．故選：B．【點評】本題主要考查向量的模，屬于基礎題．2．（2023?廈門模擬）平面上的三個力1，2，3作用于同一點，且處于平衡狀態(tài)．已知1＝（1，0），|2|＝2，?1，2?＝120°，則|3|＝（）A． B．1 C． D．2【分析】根據條件得，并且，進行數量積的運算即可求出的值，進而求出的值．【解答】解：根據題意知，，∴，且，∴＝，∴．故選：C．【點評】本題考查了根據向量的坐標求向量的長度的方法，向量數量積的運算及計算公式，向量長度的求法，考查了計算能力，屬于基礎題．3．（2023?南平模擬）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足+＝2，則||＝（）A． B．1 C． D．【分析】由已知結合向量的線性運算即可求解．【解答】解：因為正方形ABCD的邊長為1，點M滿足+＝＝2，所以M為AC的中點，則||＝|BD|＝．故選：C．【點評】本題主要考查了向量的線性運算，屬于基礎題．4．（2023?云南模擬）若向量，則在上的投影向量為（）A． B． C．（33，44） D．【分析】根據題意，結合在上的投影向量為，準確運算，即可求解．【解