第13講圓與圓的位置關(guān)系原卷版

第13講：圓與圓的位置關(guān)系【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)一、兩圓位置關(guān)系的判斷考點(diǎn)二、兩圓的公共弦方程考點(diǎn)三、兩圓的公共弦長考點(diǎn)四、兩圓的公切線問題考點(diǎn)五、由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)問題考點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系確定圓的方程考點(diǎn)七：圓與圓位置關(guān)系的綜合【知識梳理】知識點(diǎn)兩圓的位置關(guān)系及其判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含【例題詳解】題型一、兩圓位置關(guān)系的判斷1．（2324高二上·浙江金華·期末）圓C：與圓的位置關(guān)系不可能（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【答案】D【分析】由題可得兩圓半徑與圓心，后由圓心距與兩圓半徑間關(guān)系可得答案.【詳解】由題可得圓C：，則其圓心，半徑為；圓，則其圓心為，半徑為.則兩圓圓心距為，故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.故選：D2．（2324高二上·浙江寧波·期末）已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】B【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得各自的半徑，圓心，結(jié)合圓心距滿足的條件即可判斷.【詳解】由題意圓：即圓：的圓心，半徑分別為，圓：即圓：的圓心，半徑分別為，所以兩圓的圓心距滿足，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：B.3．（2024·廣東廣州·二模）若直線與圓相切，則圓與圓（

）A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．沒有公共點(diǎn)【答案】B【分析】由直線與圓相切，得，則圓的圓心在圓上，兩圓相交.【詳解】直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，即，得.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，其圓心在圓上，所以兩圓相交.故選：B題型二、兩圓的公共弦方程4．（2324高二上·天津和平·期末）已知圓：和圓：，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接將兩圓方程作差即可得公共弦方程.【詳解】由題意圓：和圓：，將兩式作差得，圓與圓的公共弦所在的直線方程為，整理得.故選：B.5．（2324高二上·四川成都·期末）圓和圓的公共弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩圓公共弦方程特征進(jìn)行求解即可.【詳解】兩個(gè)圓的方程相減，得，故選：C6．（2324高二上·貴州貴陽·期末）圓與圓相交于兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可知，所求直線為兩圓的圓心所在直線.【詳解】線段的垂直平分線為圓心連線，由圓的方程可知，，，,所以直線的方程為，化簡為.故選：B題型三、兩圓的公共弦長7．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（

）．A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】判斷兩圓相交，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)圓的弦長的幾何求法，即可求得答案.【詳解】由題意知圓，即圓，圓心為，半徑，圓，即圓，圓心為，半徑，則，即兩圓相交，將圓和圓的方程相減，可得直線的方程為，則到直線的距離為，故弦的長為，故選：A8．（2324高二上·四川成都·期中）圓與圓的公共弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓的公共弦所在直線，利用圓中半徑、半弦長、圓心距之間的關(guān)系求弦長.【詳解】兩圓方程作差可得：，即兩圓公共弦所在直線方程為，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以圓心到公共弦所在直線距離，故弦長為.故選：B9．（2324高二上·吉林白山·期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出公共弦所在的直線方程以及公共弦長，利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】聯(lián)立,相減可得直線：，所以到直線的距離為，利用圓與直線相交可得：，所以.故選：A.題型四、兩圓的公切線問題10．（2324高二上·四川成都·期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，與點(diǎn)的距離為且與圓相切的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，判斷以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與已知圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】根據(jù)題意可知與點(diǎn)的距離為的直線始終與以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓相切，而此直線又與圓相切，因此該直線是圓與圓的公切線，又兩圓圓心距離等于兩圓半徑和，所以兩圓外切，它們有3條公切線，即所求切線條數(shù)為3，故選：C11．（2324高二上·廣東深圳·期末）已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求解即可.【詳解】由題意知，，因?yàn)閳A與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，故，即，解得.故選：C.12．（2324高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知圓與圓有四條公切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩圓有四條公切線得兩圓外離，由兩圓的位置關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A有四條公切線，所以兩圓外離，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為4，圓，可得，圓的圓心為，半徑為，所以，解得.故選：B.題型五、由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)問題13．（2324高二上·河南南陽）以為圓心，且與圓相外切的圓C的方程為（

）A． B．C．=16 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩圓外切求圓的半徑，即可求解.【詳解】由題意可知，兩圓的圓心距為5，設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閮蓤A相外切，則，得，所以圓的方程為.故選：B14．（2020高一上·全國·專題練習(xí)）已知圓，則圓O關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出圓的圓心，設(shè)出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由兩點(diǎn)構(gòu)成直線的斜率與直線垂直以及兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，列方程組即可求解，由此可得解.【詳解】設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以對稱圓的圓心為，所以對稱圓的方程為即.故選：A.15．（2122高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得圓心關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得對稱圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，所以對稱圓的方程為.故選：A題型六、圓與圓的位置關(guān)系確定圓的方程16．（2122高二·全國·課后作業(yè)）已知半徑為1的動(dòng)圓與圓相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A．B．或C．D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè)出動(dòng)圓圓心坐標(biāo),分外切和內(nèi)切兩種情況討論,列出符合題意的方程化簡即可.【詳解】解:由題不妨設(shè)動(dòng)圓圓心為,若動(dòng)圓與已知圓外切,則,,若動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切,則,.故選：D17．（1819高三上·河北衡水·階段練習(xí)）若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓與圓的對稱性可得，再利用幾何關(guān)系，求點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由圓與圓關(guān)于直線對稱，可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線上，可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以圓的圓心的軌跡方程為，整理得.故選：C.18．（2324高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓.若圓心在軸上的圓同時(shí)平分圓和圓的圓周，則圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題知圓C與圓的公共弦是圓的直徑，圓C與圓的公共弦是圓的直徑，進(jìn)而設(shè)圓C的圓心為，半徑為得，再結(jié)合距離公式解方程即可得答案.【詳解】圓C平分圓C1等價(jià)于圓C與圓的公共弦是圓的直徑．同理圓C與圓的公共弦是圓的直徑設(shè)圓C的圓心為，半徑為，則，所以，即，解得所以圓C的方程為．故選：A題型七：圓與圓位置關(guān)系的綜合19．（2324高二上·河南洛陽·期末）已知圓：．(1)若直線過定點(diǎn)，且與圓相切，求的方程；(2)若圓的半徑為，圓心在直線：上，且與圓外切，求圓的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）分類討論直線斜率存在與否，再待定系數(shù)法設(shè)出切線方程，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求切線的斜率，求出切線；（2）根據(jù)圓心在直線上，以及兩圓外切的條件列出圓心坐標(biāo)的方程組，求出圓心坐標(biāo)即可．【詳解】（1）由圓：得圓心，半徑，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，即，所以，解得，所以切線為，即，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，易知也是圓的切線，所以直線的方程為：或；（2）設(shè)，則，解得，；或，，故所求圓的方程為或.20．（2324高二上·四川瀘州·期末）已知圓過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓與圓的公共弦長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意首先得圓心在直線上，結(jié)合即可求解.（2）兩圓相減首先得公共弦方程，由點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式即可求解.【詳解】（1）由題意設(shè)圓的圓心為，已知圓過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)，所以圓心在直線即直線上，所以，又，所以解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.又圓，兩圓方程相減得公共弦方程為，所以圓心到公共弦的距離為，而圓的半徑為，所以圓與圓的公共弦長為.21．（2324高二上·河南鄭州·期末）已知圓的圓心為，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，且切線段長的最小值為2．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓與圓：相交于，兩點(diǎn)，求兩圓公共弦的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可由點(diǎn)到直線的距離公式求解，（2）根據(jù)兩圓相減可得相交弦所在直線方程，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合弦長公式求解.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，過向圓所作切線的一個(gè)切點(diǎn)為，由知，當(dāng)最小時(shí)，切線段的長度有最小值，自圓心向直線引垂線段，此時(shí)有最小值．圓心到直線的距離．即．．圓的方程為．（2）由圓：和圓：，由于兩圓的圓心距為，故兩圓相交，兩圓方程相減得，公共弦所在直線方程為．圓心到直線的距離為．弦長．【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、單選題22．（2324高二下·四川遂寧）已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離【答案】B【分析】根據(jù)圓的方程求得圓心和半徑，再由圓心距和兩半徑之間的關(guān)系可得兩圓外切.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為；圓可化為，圓心，半徑為；圓心距，所以兩圓外切.故選：B23．（2324高二上·江蘇泰州·期末）設(shè)，若圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓心距離與半徑和與差的關(guān)系列不等式求解.【詳解】圓，圓心為，半徑為，圓，圓心為，半徑為，若圓與圓有公共點(diǎn)，則，又，所以.故選：D24．（2324高二上·山東濟(jì)寧·期末）圓與圓的公共弦的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定兩圓相交，再將兩圓做差可得公共弦所在直線方程，然后利用垂徑定理求弦長.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓心距離為，故兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線方程為，即，所以公共弦的長度為.故選：D.25．（2324高二上·河北唐山·期末）已知圓與圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先找出兩圓的位置關(guān)系，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求出公切線的數(shù)量.【詳解】兩圓圓心分別為，半徑分別為2和3，而圓心距為5，故兩圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，故選：C26．（2324高二上·廣東肇慶·期末）已知圓：（），圓：，若圓上存在點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q在圓上，則r的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圓關(guān)于直線的對稱圓，則圓與圓有交點(diǎn)，利用圓心距和半徑的關(guān)系列式求解即可.【詳解】圓：,方程化為，，則圓心坐標(biāo)為，半徑為5,設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則,解得，則，所以圓關(guān)于直線的對稱圓方程為，，由題中條件可知，圓與圓有交點(diǎn)，,,則，即，解得，故選：D.27．（2324高二上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知，直線為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到當(dāng)最小時(shí)，最小，求得直線的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為圓心，為半徑作圓，轉(zhuǎn)化為線段為與的公共弦，結(jié)合圓的公共弦的求法，即可求解.【詳解】由的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為，因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)與直線垂直，所以直線的方程為，即,聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,可得，在Rt中，，同理，以為圓心，為半徑作圓，則線段為與的公共弦，的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.故選：A.28．（2324高二上·天津?yàn)I海新·期末）已知圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①兩圓的圓心距；②直線AB的方程為；③；④圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】求出圓的圓心與半徑，求解圓心距判斷①；求出相交弦數(shù)值的直線方程判斷②；求解弦長判斷③；利用點(diǎn)到直線的距離求解判斷④即可．【詳解】圓的圓心，半徑為：2；圓的圓心，半徑為；對于①，兩圓的圓心距，所以①不正確；對于②，兩圓相交，兩個(gè)圓的方程作差可得，即，所以②正確；對于③，圓到直線的距離為：，所以，所以③不正確；對于④，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，所以④正確；故選：B．二、多選題29．（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先明確兩圓位置關(guān)系，從而根據(jù)兩圓位置關(guān)系明確公切線的情況，再根據(jù)公切線特征情況分情況直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題知，兩圓半徑，所以，故圓、外切，則兩圓有三條公切線，如圖，的中點(diǎn)為兩圓外切切點(diǎn)，當(dāng)直線過的中點(diǎn)，且與垂直時(shí)，因?yàn)?，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線與平行，且到的距離為時(shí)，設(shè)直線的方程為，所以，解得或，所以直線的方程為或．故選：ABC．30．（2324高二下·河南·期中）已知圓，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓相交，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時(shí)，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時(shí)，圓和圓相交弦長為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求圓心和半徑.對于AB：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系分析求解；對于C：結(jié)合選項(xiàng)A分析判斷；對于D：先兩圓方程作差求公共弦所在直線的方程，結(jié)合垂徑定理求弦長.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；則，對于選項(xiàng)A：若圓和圓相交，則，即，解得，故A正確；對于選項(xiàng)B：若和外切，則，即，解得，故B正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A可知：圓和圓相交，所以圓和圓有且僅有2條公切線，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A可知：圓和圓相交，且圓，，兩圓方程作差得，即公共弦所在直線的方程為，圓心到直線的距離，所以公共弦長為，故D正確.故選：ABD31．（2324高二上·江西九江·期末）由直線：上的一點(diǎn)向圓：引兩條切線，，A，是切點(diǎn)，則（

）A．線段長的最小值為B．四邊形面積的最小值為C．的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，切點(diǎn)弦所在的直線方程為【答案】AD【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合切線長性質(zhì)分析求解；對于B：根據(jù)面積關(guān)系結(jié)合A中結(jié)論分析判斷；對于C：根據(jù)題意結(jié)合倍角公式分析求解；對于D：分析可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，結(jié)合相交弦方程的求法分析運(yùn)算.【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，可知圓的圓心為，半徑為．對于選項(xiàng)A：因?yàn)閳A心到直線：的距離，可知，可得，所以線段長的最小值為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)樗倪呅蚊娣e，由選項(xiàng)A可知：四邊形面積的最小值為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋芍c(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則的中點(diǎn)為，且，即點(diǎn)在圓，即上，將與作差可得，所以切點(diǎn)弦所在的直線方程，故D正確．故選：AD．

32．（2324高二上·廣東中山·期中）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，又設(shè)直線分別交軸于，兩點(diǎn)，則（

）A．的最小值為 B．直線必過定點(diǎn)C．滿足的點(diǎn)有兩個(gè) D．的最小值為【答案】BCD【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理求出，即可判斷A，設(shè)求出切點(diǎn)弦的方程，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷B，求出以為直徑的圓的方程，再判斷圓與圓的位置關(guān)系，即可判斷C，設(shè)此時(shí)滿足，則從而求出最小值，即可判斷D.【詳解】圓的圓心為，半徑，則到直線的距離，則，故A錯(cuò)誤；設(shè)，以為直徑的圓，又圓，兩圓的方程相減得，即，由，解得，因此直線過定點(diǎn)，故B正確；對于直線，令，則，即，令，則，所以，則的中點(diǎn)為，，則以為直徑的圓的方程為，又，則，所以以為直徑的圓與圓相交，所以滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，故C正確；因?yàn)?，，設(shè)，，則，則，即又，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，C選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為判斷兩圓的位置關(guān)系，D選項(xiàng)主要是利用阿圓的思想確定，使得.三、填空題33．（2324高二下·廣東·期中）已知圓：和圓：，則兩圓公共弦所在直線的方程為.【答案】【分析】兩圓作差相減，以能求出兩圓的公共弦所在的直線方程.【詳解】圓：和圓：，兩圓作差相減，得直線方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，直線方程滿足題意.故答案為：.34．（2324高二上·福建龍巖·期末）已知圓與圓外離，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】由題意表示出兩圓的圓心半徑，進(jìn)一步結(jié)合兩圓外離列出不等式即可求解.【詳解】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，因?yàn)閮蓤A外離，所以圓心距滿足，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.35．（2324高二上·天津西青·期末）已知圓：與圓：相交于點(diǎn)A、B.①若，則公共弦所在直線方程為；②若弦長，則.【答案】【分析】對于①直接由兩圓方程相減得，對于②若弦長，則直線通過圓心，兩圓的方程相減得直線方程，由此即可代入求解.【詳解】①若，則圓：，圓：，兩個(gè)方程相減得，化簡并整理得公共弦所在直線方程為，②若弦長，即公共弦所在直線通過圓心，而兩圓方程相減得，化簡并整理得公共弦所在直線方程為，所以，解得.故答案為：.36．（2324高二上·遼寧·期末）已知，直線為上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為.【答案】【分析】由題意可知，則，當(dāng)與直線垂直時(shí)最小，結(jié)合點(diǎn)斜式方程可求解直線PM方程，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；利用勾股定理可得，以為圓心，為半徑作圓，將兩圓方程相減即可求出直線AB方程.【詳解】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，

由題意可知，則，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)與直線垂直，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，.在Rt中，，同理.以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，

的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是能夠明確AB即為以為圓心，為半徑的與的公共弦，由此可求得直線AB方程.四、解答題37．（2324高二下·上海·期中）已知圓．(1)求直線被圓截得弦長；(2)已知圓過點(diǎn)且與圓相切于原點(diǎn)，求圓的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓心和半徑，結(jié)合勾股定理可得答案；（2）利用待定系數(shù)法和相切可求圓的方程.【詳解】（1）由可得，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得弦長為.（2）設(shè)，則，解得，；因?yàn)閳A與圓相切于原點(diǎn)，且圓過點(diǎn)，所以，，兩邊平方整理可得，平方可求，代入可得，所以圓的方程為.38．（2324高二上·四川成都·期末）已知圓，圓，點(diǎn)為圓上的一點(diǎn).(1)若過點(diǎn)作圓的切線交圓于、兩點(diǎn)，且弦長度最大值與最小值之積為，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，圓上有、兩點(diǎn)滿足，求線段長度的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）畫出圖形，得出，進(jìn)一