第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)周考詳細(xì)答案

20232024學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)周考考試范圍：解析幾何、統(tǒng)計(jì)案例、概率（滿分150分，用時120分鐘）選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某校地理小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖，則下列說法正確的是（

）A．氣壓與海拔高度呈正相關(guān) B．沸點(diǎn)與氣壓呈負(fù)相關(guān)C．沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān) D．沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很弱【答案】C【詳解】由圖1知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)．由于兩個散點(diǎn)圖中的點(diǎn)都呈線性分布，所以沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)，故選：C．2．圓的圓心到直線的距離為（

）A．0B．1 C． D．【答案】D【詳解】圓化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，則圓心到直線的距離.故選：D3.現(xiàn)有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，其中測試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示測試成績優(yōu)秀（高于135分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次測試成績在85分到110分之間的人數(shù)約為（）A.200 B.300 C.400 D.500【答案】B【解析】,，所以此次測試成績在85分到110分之間的人數(shù)約為人.故選：B4．已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，的最大值為3，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以．因?yàn)椋?，即，所以，．又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B5．用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，則，即，即，所以.故選：A.6.直線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】當(dāng)時，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當(dāng)時，曲線，即，橢圓的左半部分；畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知有個公共點(diǎn).故選：B

7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如下圖所示：因?yàn)椋瑒t，，所以，，因?yàn)?，則，設(shè)，則，則，由勾股定理可得，即，整理可得，因?yàn)椋獾?，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，事件與事件獨(dú)立C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，事件與事件獨(dú)立【答案】D【詳解】當(dāng)時，表示一正一反，故，故A錯誤；此時，，，故B錯誤；當(dāng)時，表示并非每次都是正面朝上，故，故C錯誤；此時，，，所以，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某興趣小組研究光照時長和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量顆之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖.若去掉后，下列說法正確的是（

）

A．相關(guān)系數(shù)的絕對值變小B．決定系數(shù)變大C．殘差平方和變大D．解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】BD【解析】由圖可知：較其他的點(diǎn)偏離直線最大，所以去掉后，回歸效果更好.對于選項(xiàng)A：相關(guān)系數(shù)越接近于1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以去掉后，相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，所以去掉后，決定系數(shù)變大，故B正確；對于選項(xiàng)C：殘差平方和變大，擬合效果越差，所以去掉后，殘差平方和變小，故C錯誤對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：去掉后，相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，所以解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)，故D正確；故選：BD.10．設(shè)、是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，若，，，則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，，所?，故A正確，B錯誤；又且，所以，故C正確，D正確.故選：ACD11.已知動直線：和：，是兩直線的交點(diǎn)，是兩直線和分別過的定點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．的最大值為10 D．的軌跡方程為【答案】AC【詳解】直線的方程可化為，所以直線過定點(diǎn)，直線的方程可化為，所以直線過定點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以A正確,B錯誤，由已知，所以直線與直線垂直，即，因?yàn)椋?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；因?yàn)?，故，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，化簡可得，又點(diǎn)不是直線的交點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)的軌跡為圓除去點(diǎn)，D錯誤；故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為．【答案】【解析】依題意，是直線的一個方向向量，所以直線的斜率，所以直線的傾斜角為．13.在研究變量與之間的關(guān)系時，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則．【答案】16【詳解】設(shè)未剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，因?yàn)樗?，則，又這兩對數(shù)據(jù)為，所以，所以，所以14．圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分．已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度．信號處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是，若以為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】2【詳解】由圖2，可設(shè)拋物線方程為，過點(diǎn)，∴，拋物線方程為，∴，是拋物線的準(zhǔn)線，∴到的距離等于．（1）過作于，則到直線和直線的距離為之和∵拋物線的焦點(diǎn)∴過F作于，和拋物線的交點(diǎn)就是，∴（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立）∴點(diǎn)到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，∴最小值．（2）取中點(diǎn)為，過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為則為梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以，以為直徑的圓與y軸相切，所以點(diǎn)為圓與y軸的切點(diǎn)，所以D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又D為中點(diǎn)，所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，又點(diǎn)P在拋物線上，則有，解得，所以P點(diǎn)橫坐標(biāo)為．故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到的距離比到直線：的距離小2.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與動點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，求線段的長度.（1）由題意動點(diǎn)到的距離比到直線：的距離小2，即動點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線：的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以，則，所以動點(diǎn)M的軌跡方程是.………………5分（2）由已知可得直線的方程是即，設(shè)，由得，，所以，則，故.………………13分16．（15分）為了考察學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識的掌握程度，準(zhǔn)備了甲、乙兩個不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計(jì)算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計(jì)算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個同學(xué)來抽題回答；每個同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機(jī)抽取兩道題作答．每個同學(xué)先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題目放回原紙箱．(1)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；(2)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學(xué)接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個題目抽取概念敘述題的概率．【詳解】（1）設(shè)表示“第次從甲箱中抽到概念敘述題”，則，，所以第二題抽到的是概念敘述題的概率.………………6分（2）設(shè)事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出的兩道題都是概念敘述題，事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出的兩道題都是計(jì)算題，事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出1個概念敘述題1個計(jì)算題，事件表示B同學(xué)從乙箱中抽取兩道題目，第一個題目抽取概念敘述題，此時乙箱中有4道概念敘述題，3道計(jì)算題，故有，此時乙箱中有2道概念敘述題，5道計(jì)算題，故有，，此時乙箱中有3道概念敘述題，4道計(jì)算題，故有.………………15分17．（15分）己知雙曲線的一條漸近線為，其虛軸長為為雙曲線上任意一點(diǎn)．(1)求證：到兩條漸近線的距離之積為定值，并求出此定值；(2)若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，求的最小值．【詳解】（1）由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為設(shè)，則，漸近線為，P到兩條漸近線的距離之積.………………7分（2）由已知，得，設(shè)或，在雙曲線上，所以，因此或，對稱軸為，由于或，所以當(dāng)時，取得最小值為.………………15分18．（17分）隨著科技的進(jìn)步，近年來，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，各大品牌新能源汽車除了靠不斷提高汽車的性能和質(zhì)量來提升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升.小趙同學(xué)對某品牌新能源汽車近5年的廣告費(fèi)投入（單位：億元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)見下表：年份代號12345廣告費(fèi)投入4.85.66.27.68.8并隨機(jī)調(diào)查了200名市民對該品牌新能源汽車的認(rèn)可情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見下表認(rèn)可不認(rèn)可50歲以下市民703050歲以上市民6040(1)求廣告費(fèi)投入與年份代號之間的線性回歸方程，并求在樣本點(diǎn)處的殘差；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度是否有關(guān).(3)若以這200名市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度情況估計(jì)整體情況，則從全市市民中隨機(jī)選取20人，記選到認(rèn)可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.附：①回歸直線中，，；②，.0.10.010.0012.7066.63510.828【詳解】（1），，則，則，故；………………5分當(dāng)時，，所以殘差.………………7分（2）零假設(shè)為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度無關(guān).………………12分（3）若以這200名市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度情況估計(jì)整體情況，則從全市市民中隨機(jī)選取1人，記選到認(rèn)可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民的概率為，若從全市市民中隨機(jī)選取20人，記選到認(rèn)可該品牌新能源汽車且50歲以上的市民人數(shù)為，則，所以數(shù)學(xué)期望與方差分別為.………………17分19．（17分）已知橢圓的長軸長為，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓上點(diǎn)處的切線方程是，過直線上一點(diǎn)引C的兩條切線，切點(diǎn)分別是，①求證：直線恒過定點(diǎn)；②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【詳解】（1）由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的方程為；……