1.1.1空間向量及其運(yùn)算（7大題型提分練）

1.1.1空間向量及其運(yùn)算題型一空間向量的概念理解1．（2324高二上·陜西咸陽·月考）在長方體中，下列向量與是相等向量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示的長方體中，A：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；B：向量與大小相等，方向相同，所以這兩個向量相等，因此本選項(xiàng)正確；C：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；D：顯然向量與向量方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確，故選：B2．（2324高二上·貴州·開學(xué)考試）關(guān)于空間向量，下列四個結(jié)論正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．任意兩個空間向量總是共面的C．零向量沒有方向D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】B【解析】對于A，方向相反長度相等的向量是相反向量，故A錯誤，對于B，空間中，任意兩個向量是共面的，故B正確，對于C，零向量的方向是任意的，故C錯誤，對于D，兩個不相等的向量模長可以相等，此時方向不相同，即為不相等的向量.故D錯誤，故選：B3．（2324高二上·黑龍江肇東·月考）給出下列命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；④若向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】對于①，，故①為真命題；對于②，若與中有一個為零向量時，其方向不確定，故②為假命題；對于③，終點(diǎn)相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反，所以③為假命題；對于④，共線向量所在直線可以重合，也可以平行，不能得到點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上，故④為假命題；對于⑤，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故⑤為假命題．故假命題的個數(shù)為4.故選：C4．（2324高二下·云南保山·開學(xué)考試）（多選）下列關(guān)于空間向量的命題中，不正確的是（

）A．長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量B．平行且模相等的兩個向量是相等向量C．若，則D．兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同【答案】BCD【解析】對于選項(xiàng)A：由相等向量的定義知A正確；對于選項(xiàng)B：平行且模相等的兩個向量也可能是相反向量，B錯；對于選項(xiàng)C：若兩個向量不相等，但模長仍可能相等，例如不共線的單位向量，C錯；對于選項(xiàng)D：相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個向量的有向線段的起點(diǎn)不要求相同，D錯，故選：BCD．題型二空間向量的線性運(yùn)算1．（2324高二上·廣東佛山·月考）在長方體中，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A2．（2324高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，則，所以.故選：C3．（2324高二上·河南開封·期末）（多選）已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以，正確；對于B，，錯誤；對于C，，正確；對于D，，錯誤.故選：AC4．（2324高二上·貴州·月考）如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，為的重心，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈闹匦?，所以，所?故選：B.題型三向量共線的判斷與應(yīng)用1．若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為.【答案】－/【解析】由題意知，存在實(shí)數(shù)λ使得，即，解得.故答案為：2．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知三點(diǎn)共線，為空間任意一點(diǎn)，，則.【答案】【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，∴，即，，又，所以，所以.故答案為：.3．（2324高二上·福建泉州·月考）設(shè)是不共線的向量，已知，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k為．【答案】【解析】由，，得，由A，B，D三點(diǎn)共線，得，而，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k為.故答案為：4．（2324高二上·遼寧·期中）設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.題型四求空間向量的數(shù)量積1．（2324高二上·廣東茂名·期末）如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，，，則（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】A【解析】由題意可知：，所以.故選：A.2．（2324高二下·江蘇常州·期中）如圖，在正三棱柱中，，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由正三棱柱可得，，而，故，故選：A.3．（2324高二上·遼寧沈陽·期中）如圖，正四面體ABCD的棱長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，則的值為（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【解析】，．故選：C．4．（2324高二下·福建龍巖·期中）如圖，在斜三棱柱中，，，，則（

）A．48 B．32 C． D．【答案】C【解析】.故選：C題型五空間向量的長度問題1．（2324高二上·遼寧大連·期中）已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則.【答案】【解析】單位向量兩兩夾角均為，則，所以.故答案為：2．（2324高二上·福建泉州·月考）已知單位向量，，中，，，則．【答案】【解析】因?yàn)?，，且，，為單位向量，則.故答案為：3．（2324高二上·河北石家莊·期中）已知空間中三個單位向量兩兩夾角均為60°．OA的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，則．【答案】【解析】如圖，,所以，所以，故答案為:.4．（2324高二上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，二面角的度數(shù)為，其棱上有兩點(diǎn)、，線段、分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，，，，則，因?yàn)椋?，，因此?故選：D.題型六求空間向量的夾角1．（2324高二上·山東煙臺·期中）已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】由題設(shè)，則，所以，又，可得，即.故選：C2．（2324高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗裕?故選：B.3．（2324高二上·陜西寶雞·期中）在空間四邊形中，，，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】D【解析】如圖所示，∵，又，，則∴，∴，.故選：D4．（2324高二上·山西呂梁·期中）在四面體中，，，，，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所?又，，所以，所以.又，所以．故答案為：題型七求空間向量的投影向量1．（2324高二上·寧夏銀川·月考）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，，，則空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為.所以所求投影向量的模長為2.故選：A2．（2223高二上·北京朝陽·期中）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】四棱錐如圖所示，底面是矩形，∴，底面，底面，∴，過向量的始點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，過向量的終點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，在向量上的投影向量為，由底面是矩形,，故選：B3．（2223高二下·安徽合肥·開學(xué)考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，與夾角的余弦值為，在上的投影向量為.故選：D．4．（2223高二上·廣東佛山·月考）如圖所示，已知平面ABC，，，則向量在向量上的投影向量是

.【答案】【解析】在中，由余弦定理得，，而平面ABC，，故，，在中，，即，得故向量在向量上的投影向量是故答案為：1．（2324高二上·江西新余·期末）如圖，在四棱柱中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在四棱柱中，四邊形是平行四邊形，又與交于點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以，又，，所以，即，故選：A．2．（2324高二上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在長方形中，為中點(diǎn)，.以為折痕將四邊形折起，使，分別達(dá)到，，當(dāng)異面直線，成角為時，異面直線，成角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)，由于，所以即為直線，所成的角,故,又，所以，因此異面直線，成角余弦值為，故選：A3．（2324高二上·青海·期中）（多選）已知三棱柱，為空間內(nèi)一點(diǎn)，若，其中，，則（

）A．若，則點(diǎn)在棱上 B．若，則點(diǎn)在線段上C．若，為棱的中點(diǎn) D．若，則點(diǎn)在線段上【答案】ABD【解析】作出三棱柱，如圖，對于A，當(dāng)時，，則，所以點(diǎn)在棱上，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以點(diǎn)在線段上，故B正確；對于C，當(dāng)時，由B知，所以為棱的中點(diǎn)，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，所以，則，即，所以點(diǎn)在線段上，故D正確.故選：ABD.4．（2324高二上·江西·月考）已知空間向量、、的模長分別為、、，且兩兩夾角均為，點(diǎn)為的重心，則．【答案】/【解析】如下圖所示：因?yàn)闉榈闹匦?，則，可得，則，所以，，故.故答案為：.5．（2324高二上·浙江嘉興·期末）在三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【解析】如圖，設(shè)，，在中，