山西臨汾霍州三中2025年初三下期末質量調研（一模）數學試題含解析

山西臨汾霍州三中2025年初三下期末質量調研（一模）數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖,在△ABC中,AD是BC邊的中線,∠ADC=30°,將△ADC沿AD折疊,使C點落在C′的位置,若BC=4,則BC′的長為()A．2 B．2 C．4 D．32．整數a、b在數軸上對應點的位置如圖，實數c在數軸上且滿足，如果數軸上有一實數d，始終滿足，則實數d應滿足（）.A． B． C． D．3．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則周長的最小值為A．6 B．8 C．10 D．124．如果a﹣b=5，那么代數式（﹣2）?的值是（）A．﹣ B． C．﹣5 D．55．某校40名學生參加科普知識競賽（競賽分數都是整數），競賽成績的頻數分布直方圖如圖所示，成績的中位數落在（）A．50.5～60.5分 B．60.5～70.5分 C．70.5～80.5分 D．80.5～90.5分6．下列計算正確的是A． B． C． D．7．一個關于x的一元一次不等式組的解集在數軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥38．某班為獎勵在學校運動會上取得好成績的同學，計劃購買甲、乙兩種獎品共20件．其中甲種獎品每件40元，乙種獎品每件30元．如果購買甲、乙兩種獎品共花費了650元，求甲、乙兩種獎品各購買了多少件．設購買甲種獎品x件，乙種獎品y件．依題意，可列方程組為（）A． B．C． D．9．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O，若∠A=50°10′，∠COD=100°，則∠C等于（）A．30°10′ B．29°10′ C．29°50′ D．50°10′10．化簡的結果是（）A．1 B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．計算：（﹣2a3）2=_____．12．如圖，E是?ABCD的邊AD上一點，AE=1213．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，點E在AD邊上，以E為圓心，EA長為半徑的⊙E與BC相切，交CD于點F，連接EF．若扇形EAF的面積為43π，則14．觀察如圖中的數列排放順序，根據其規(guī)律猜想：第10行第8個數應該是_____．15．在實數范圍內分解因式：=_________16．兩個完全相同的正五邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共頂點O，其擺放方式如圖所示，則∠AOB等于______度．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積最大，若存在，求出點F的坐標和最大值；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相較于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐標．18．（8分）如圖，已知∠AOB=45°，AB⊥OB，OB=1．（1）利用尺規(guī)作圖：過點M作直線MN∥OB交AB于點N（不寫作法，保留作圖痕跡）；（1）若M為AO的中點，求AM的長．19．（8分）某校為了解本校學生每周參加課外輔導班的情況，隨機調査了部分學生一周內參加課外輔導班的學科數，并將調查結果繪制成如圖1、圖2所示的兩幅不完整統(tǒng)計圖（其中A：0個學科，B：1個學科，C：2個學科，D：3個學科，E：4個學科或以上），請根據統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題：請將圖2的統(tǒng)計圖補充完整；根據本次調查的數據，每周參加課外輔導班的學科數的眾數是個學科；若該校共有2000名學生，根據以上調查結果估計該校全體學生一周內參加課外輔導班在3個學科（含3個學科）以上的學生共有人．20．（8分）已知關于x的一元二次方程為常數．求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根；若該方程一個根為5，求m的值．21．（8分）某文教店老板到批發(fā)市場選購A、B兩種品牌的繪圖工具套裝，每套A品牌套裝進價比B品牌每套套裝進價多2.5元，已知用200元購進A種套裝的數量是用75元購進B種套裝數量的2倍．求A、B兩種品牌套裝每套進價分別為多少元？若A品牌套裝每套售價為13元，B品牌套裝每套售價為9.5元，店老板決定，購進B品牌的數量比購進A品牌的數量的2倍還多4套，兩種工具套裝全部售出后，要使總的獲利超過120元，則最少購進A品牌工具套裝多少套？22．（10分）從一幢建筑大樓的兩個觀察點A，B觀察地面的花壇（點C），測得俯角分別為15°和60°，如圖，直線AB與地面垂直，AB＝50米，試求出點B到點C的距離．（結果保留根號）23．（12分）一名在校大學生利用“互聯(lián)網+”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產品，這種產品成本價10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于16元/件，市場調查發(fā)現(xiàn)，該產品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？24．小敏參加答題游戲，答對最后兩道單選題就順利通關．第一道單選題有3個選項，，，第二道單選題有4個選項，，，，這兩道題小敏都不會，不過小敏還有一個“求助”機會，使用“求助”可以去掉其中一道題的一個錯誤選項．假設第一道題的正確選項是，第二道題的正確選項是，解答下列問題：（1）如果小敏第一道題不使用“求助”，那么她答對第一道題的概率是________；（2）如果小敏將“求助”留在第二道題使用，用畫樹狀圖或列表的方法，求小敏順利通關的概率；（3）小敏選第________道題（選“一”或“二”）使用“求助”，順利通關的可能性更大．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、A【解析】連接CC′，∵將△ADC沿AD折疊，使C點落在C′的位置，∠ADC=30°，∴∠ADC′=∠ADC=30°，CD=C′D，∴∠CDC′=∠ADC+∠ADC′=60°，∴△DCC′是等邊三角形，∴∠DC′C=60°，∵在△ABC中，AD是BC邊的中線，即BD=CD，∴C′D=BD，∴∠DBC′=∠DC′B=∠CDC′=30°，∴∠BC′C=∠DC′B+∠DC′C=90°，∵BC=4，∴BC′=BC?cos∠DBC′=4×=2，故選A.【點睛】本題考查了折疊的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質以及三角函數等知識，準確添加輔助線，掌握折疊前后圖形的對應關系是解題的關鍵．2、D【解析】

根據a≤c≤b，可得c的最小值是﹣1，根據有理數的加法，可得答案．【詳解】由a≤c≤b，得：c最小值是﹣1，當c=﹣1時，c+d=﹣1+d，﹣1+d≥0，解得：d≥1，∴d≥b．故選D．本題考查了實數與數軸，利用a≤c≤b得出c的最小值是﹣1是解題的關鍵．3、C【解析】

連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結論．【詳解】連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=1．故選C．本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．4、D【解析】【分析】先對括號內的進行通分，進行分式的加減法運算，然后再進行分式的乘除法運算，最后把a-b=5整體代入進行求解即可.【詳解】（﹣2）?===a-b，當a-b=5時，原式=5，故選D.5、C【解析】分析：由頻數分布直方圖知這組數據共有40個，則其中位數為第20、21個數據的平均數，而第20、21個數據均落在70.5～80.5分這一分組內，據此可得．詳解：由頻數分布直方圖知，這組數據共有3+6+8+8+9+6=40個，則其中位數為第20、21個數據的平均數，而第20、21個數據均落在70.5～80.5分這一分組內，所以中位數落在70.5～80.5分．故選C．點睛：本題主要考查了頻數（率）分布直方圖和中位數，解題的關鍵是掌握將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．6、C【解析】

根據同類項的定義、同底數冪的除法、單項式乘單項式法則和積的乘方逐一判斷即可．【詳解】、與不是同類項，不能合并，此選項錯誤；、，此選項錯誤；、，此選項正確；、，此選項錯誤．故選：．此題考查的是整式的運算，掌握同類項的定義、同底數冪的除法、單項式乘單項式法則和積的乘方是解決此題的關鍵．7、C【解析】試題解析：一個關于x的一元一次不等式組的解集在數軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是x＞1．故選C．考點：在數軸上表示不等式的解集．8、A【解析】

根據題意設未知數,找到等量關系即可解題,見詳解.【詳解】解：設購買甲種獎品x件，乙種獎品y件．依題意，甲、乙兩種獎品共20件,即x+y=20,購買甲、乙兩種獎品共花費了650元,即40x+30y=650,綜上方程組為,故選A.本題考查了二元一次方程組的列式,屬于簡單題,找到等量關系是解題關鍵.9、C【解析】

根據平行線性質求出∠D，根據三角形的內角和定理得出∠C=180°-∠D-∠COD，代入求出即可．【詳解】∵AB∥CD，∴∠D=∠A=50°10′，∵∠COD=100°，∴∠C=180°-∠D-∠COD=29°50′.故選C.本題考查了三角形的內角和定理和平行線的性質的應用，關鍵是求出∠D的度數和得出∠C=180°-∠D-∠COD．應該掌握的是三角形的內角和為180°.10、A【解析】原式=?（x–1）2+=+==1，故選A．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、4a1．【解析】

根據積的乘方運算法則進行運算即可.【詳解】原式故答案為考查積的乘方，掌握運算法則是解題的關鍵.12、4【解析】∵AE=12ED，AE+ED=AD，∴ED=2∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD//BC，∴△DEF∽△BCF，∴DF：BF=DE：BC=2：3，∵DF+BF=BD=10，∴DF=4，故答案為4.13、1【解析】分析：設∠AEF=n°，由題意nπ×2詳解：設∠AEF=n°，由題意nπ×2∴∠AEF=120°，∴∠FED=60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠D=90°，∴∠EFD=10°，∴DE=12∴BC=AD=2+1=1，故答案為1．點睛：本題考查切線的性質、矩形的性質、扇形的面積公式、直角三角形10度角性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14、1【解析】

由n行有n個數，可得出第10行第8個數為第1個數，結合奇數為正偶數為負，即可求出結論．【詳解】解：第1行1個數，第2行2個數，第3行3個數，…，∴第9行9個數，∴第10行第8個數為第1+2+3+…+9+8=1個數．又∵第2n﹣1個數為2n﹣1，第2n個數為﹣2n，∴第10行第8個數應該是1．故答案為：1．本題考查了規(guī)律型中數字的變化類，根據數的變化找出變化規(guī)律是解題的關鍵．15、2（x+）（x-）．【解析】

先提取公因式2后，再把剩下的式子寫成x2-（）2，符合平方差公式的特點，可以繼續(xù)分解．【詳解】2x2-6=2（x2-3）=2（x+）（x-）．

故答案為2（x+）（x-）．本題考查實數范圍內的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．在實數范圍內進行因式分解的式子的結果一般要分到出現(xiàn)無理數為止．16、108°【解析】

如圖，易得△OCD為等腰三角形，根據正五邊形內角度數可求出∠OCD，然后求出頂角∠COD，再用360°減去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【詳解】∵五邊形是正五邊形，∴每一個內角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案為108°本題考查正多邊形的內角計算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出頂角是關鍵.三、解答題（共8題，共72分）17、(1)、y=－+x+4；(2)、不存在，理由見解析.【解析】試題分析：(1)、首先設拋物線的解析式為一般式，將點C和點A意見對稱軸代入求出函數解析式；(2)、本題利用假設法來進行證明，假設存在這樣的點，然后設出點F的坐標求出FH和FG的長度，然后得出面積與t的函數關系式，根據方程無解得出結論.試題解析：(1)、∵拋物線y=a+bx+c(a≠0)過點C(0,4)∴C=4①∵－=1∴b=－2a②∵拋物線過點A(－2,0)∴4a－2b+c="0"③由①②③解得：a=－，b=1，c=4∴拋物線的解析式為：y=－+x+4(2)、不存在假設存在滿足條件的點F，如圖所示，連結BF、CF、OF，過點F作FH⊥x軸于點H，F(xiàn)G⊥y軸于點G.設點F的坐標為(t，+t+4)，其中0＜t＜4則FH=+t+4FG=t∴△OBF的面積=OB·FH=×4×(+t+4)=－+2t+8△OFC的面積=OC·FG=2t∴四邊形ABFC的面積=△AOC的面積+△OBF的面積+△OFC的面積=－+4t+12令－+4t+12=17即－+4t－5=0△=16－20=－4＜0∴方程無解∴不存在滿足條件的點F考點：二次函數的應用18、（1）詳見解析；（1）.【解析】

（1）以點M為頂點，作∠AMN=∠O即可；（1）由∠AOB=45°，AB⊥OB，可知△AOB為等腰為等腰直角三角形，根據勾股定理求出OA的長，即可求出AM的值.【詳解】（1）作圖如圖所示；（1）由題知△AOB為等腰Rt△AOB，且OB=1，所以，AO=OB=1又M為OA的中點，所以，AM=1=本題考查了尺規(guī)作圖，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知識，熟練掌握作一個角等于已知角是解（1）的關鍵，證明△AOB為等腰為等腰直角三角形是解（1）的關鍵.19、（1）圖形見解析；（2）1；（3）1.【解析】

（1）由A的人數及其所占百分比求得總人數，總人數減去其它類別人數求得B的人數即可補全圖形；（2）根據眾數的定義求解可得；（3）用總人數乘以樣本中D和E人數占總人數的比例即可得．【詳解】解：（1）∵被調查的總人數為20÷20%＝100（人），則輔導1個學科（B類別）的人數為100﹣（20+30+10+5）＝35（人），補全圖形如下：（2）根據本次調查的數據，每周參加課外輔導班的學科數的眾數是1個學科，故答案為1；（3）估計該校全體學生一周內參加課外輔導班在3個學科（含3個學科）以上的學生共有2000×＝1（人），故答案為1．此題主要考查了條形統(tǒng)計圖的應用以及扇形統(tǒng)計圖應用、利用樣本估計總體等知識，利用圖形得出正確信息求出樣本容量是解題關鍵．20、（1）詳見解析；（2）的值為3或1．【解析】

（1）將原方程整理成一般形式，令即可求解，（2）將x=1代入，求得m的值，再重新解方程即可.【詳解】證明：原方程可化為，，，，，不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．解：將代入原方程，得：，解得：，．的值為3或1．本題考查了參數對一元二次方程根的影響.中等難度．關鍵是將根據不同情況討論參數的取值范圍.21、（1）A種品牌套裝每套進價為1元，B種品牌套裝每套進價為7.5元；（2）最少購進A品牌工具套裝2套．【解析】試題分析：（1）利用兩種套裝的套數作為等量關系列方程求解.(2)利用總獲利大于等于120,解不等式.試題解析：（1）解：設B種品牌套裝每套進價為x元，則A種品牌套裝每套進價為（x+2.5）元．根據題意得：=2×，解得：x=7.5，經檢驗，x=7.5為分式方程的解，∴x+2.5=1．答：A種品牌套裝每套進價為1元，B種品牌套裝每套進價為7.5元．（2）解：設購進A品牌工具套裝a套，則購進B品牌工具套裝（2a+4）套，根據題意得：（13﹣1）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，解得：a＞16，∵a為正整數，∴a取最小值2．答：最少購進A品牌工具套裝2套．點睛：分式方程應用題：一設，一般題里有兩個有關聯(lián)的未知量，先設出一個未知量，并找出兩個未知量的聯(lián)系；二列，找等量關系，列方程，這個時候應該注意的是和差分倍關系：三解，正確解分式方程；四驗，應用題要雙檢驗；五答，應用題要寫答.22、【解析】

試題分析：根據題意構建圖形，結合圖形，根據直角三角形的性質可求解.試題解析：作AD⊥BC于點D，∵∠MBC=60°，∴∠ABC=30°，∵AB⊥AN，∴∠BAN=90°，∴∠BAC=105°，則∠ACB=45°，在Rt△ADB中，AB=1000，則AD=500，BD=，在Rt△ADC中，AD=500，CD=500，則BC=．答：觀察點B到花壇C的距離為米．考點：解