一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用(教師版)

PAGEPAGE1一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(一)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用一、知識(shí)要點(diǎn)：（一）一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．（二）切線方程的計(jì)算：1.在某點(diǎn)處的切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2.過某點(diǎn)的切線方程的計(jì)算：設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以，然后解出的值（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．（三）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法：利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．（四）利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：1.函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．2.切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn)．3.曲線“在”點(diǎn)處的切線與“過”點(diǎn)的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點(diǎn)的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．（五）求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)1.注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；2.謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上。二、題型：（一）求與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)量1．已知是可導(dǎo)函數(shù)，如圖所示，直線是曲線在處的切線，令，是的導(dǎo)函數(shù)，則（

A

）A．0 B．1 C． D．【詳解】由圖可知：過，所以，又過，所以，即．而，所以故選：A．2．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性求出時(shí)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率為2.故選：C.3．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】對求導(dǎo)后根據(jù)題意可得在上有解.令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得值域，從而可得不等式，求解即可.【詳解】對求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，曲線不存在與直線垂直的切線，當(dāng)時(shí)，若曲線存在與直線垂直的切線，只需在上有解.令，求導(dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以k的取值范圍是.故選：D.4．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與的圖象關(guān)于直線對稱，得到，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.解：因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，所以與互為反函數(shù)，所以，則．由，得，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率，故，顯然，故，所以直線的傾斜角為，故選：B．（二）切線方程(Ⅰ)在某點(diǎn)處的切線方程1．已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（

A

）A．B．C．D．【詳解】由題意知，所以，又，所以的圖象在處的切線方程為，即.故選：A.2．設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.(Ⅱ)過某點(diǎn)的切線方程1．(多選題)過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程可能是（

BC

）A．B．C．D．【詳解】.當(dāng)點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)切線的斜率為：，所以切線方程為：；當(dāng)點(diǎn)是不切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，即，此時(shí)切線的斜率為：，所以切線方程為：，把點(diǎn)代入得：，，解得：，或舍去，所以切線方程為：，故選：BC2.過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A．B．1C.D.答案:B解析:設(shè)切點(diǎn)為，切線為,由，得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，又過點(diǎn),所以，解得，所以切點(diǎn)為，縱坐標(biāo)為1.故選：B.(三)公切線1．斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1【答案】A【分析】設(shè)直線的方程為，先根據(jù)直線和圓相切算出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出.【詳解】依題意得，設(shè)直線的方程為，即，由直線和圓相切可得，，解得，當(dāng)時(shí)，和相切，，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點(diǎn)同時(shí)在直線和曲線上，即，解得.即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，和相切，，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點(diǎn)同時(shí)在直線和曲線上，即，解得.即時(shí)，.綜上所述，或.故選：A.2．若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點(diǎn)為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：3．(多選題)若直線是曲線與曲線的公切線，則（

BD

）A．B．C．D．【詳解】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.故選：BD.4．若存在直線與曲線，都相切，則a的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求得與相切的切線方程，可得，進(jìn)而可得有解，從而利用導(dǎo)數(shù)可求的范圍.解：設(shè)直線與相切與點(diǎn)，因?yàn)?，所以切線方程，即，設(shè)直線與相切與點(diǎn)，因?yàn)?，所以切線方程，即，，所以有解，令，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，所以，的范圍?故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查曲線公切線相關(guān)問題的求解，求解曲線公切線的基本思路是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得兩曲線的切線方程，根據(jù)切線方程的唯一性構(gòu)造方程組來進(jìn)行求解.(四)求參數(shù) 1．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為3，則實(shí)數(shù)．【答案】1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，求出在處的導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，解得.故答案為：1.2.已知為非零實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則______.答案：解析:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，解得，.3.若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)的取值為（）A．

B．

C．或

D．或解析：因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，，或(五)求與切線有關(guān)最值或范圍問題1．曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，即可得到縱截距，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求值域即可.【詳解】因?yàn)椋运笄芯€方程為，令，則，令，則.所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?，，所以該切線在y軸上的截距的取值范圍為.故選：B.2．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得平行于直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)?，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.3．動(dòng)直線l分別與直線，曲線相交于兩點(diǎn)，則的最小值為()A.B.C．1D.答案：A解析：設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，這兩條平行線間的距離的值最小，因?yàn)橹本€的斜率等于2，曲線的導(dǎo)數(shù)，令，可得或(舍去)，故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.(六)導(dǎo)數(shù)的幾何意義綜合1．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．4B．3 C．2D．1【答案】D【分析】利用已知條件求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到。利用基本不等式即可求解.【詳解】由于直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，且，所以，則切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則，即.所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1.故選：D2．若直線與曲線相切，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)坐標(biāo)，再由切點(diǎn)在直線上可得，則，構(gòu)造并研究單調(diào)性，進(jìn)而求值域即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，所以，則，即又因?yàn)樵谏希?，所以，即，所以，所以，令，，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)趨近正無窮時(shí)，趨近正無窮.所以的取值范圍為：.故答案為：.3．已知曲線存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

B

）A．B．C．D．【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率，∴切線方程為，∵切線過原點(diǎn)，∴，整理得：∵存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，∴，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.4．過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

A

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，∴M處的切線斜率，則過點(diǎn)P的切線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡得，∵過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，∴方程有三個(gè)不等實(shí)根.令，求導(dǎo)得到，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示，故，即.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，