2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何 檢測試卷（培優(yōu)）

2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測評卷

空間向量與立體幾何

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的

1.如圖圓錐的高50=石，底面直徑A5=2,C是圓。上一點，且AC=1,則SA與8C所成

2.已知長方體A8CO-AB|GA，A8=AA=2,4O=1,正方形CQA。所在平面記為，

若經(jīng)過點A的直線/與長方體45CO-A旦GA所有的棱所成角相等，且/ca=M,則線段

AW的長為

A.痘B.3C.?D.75

2

3.如圖，三棱錐V-ABC的側(cè)棱長都相等，底面ABC與側(cè)面E4C都是以4C為斜邊的等

腰直角三角形，E為線段AC的中點，尸為直線A8上的動點，若平面舊與平面VBC所

成銳二面角的平面角為。，則cosJ的最大值是（）

4.在正方體ABCD—AiBiCiDi中，E、F、G分別為AAi、BC、CiDi的中點，現(xiàn)有下面三

個結(jié)論：①4EFG為正三角形；②異面直線AQ與CF所成角為6（r；③AC〃平面EFG.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①B.②③C.??D.??

5.如圖，在四棱錐f-ABCO中，PA_L平面ABQ9,底面A8CD是正方形，PA=AB,則

下列數(shù)量積最大的是（)

A.BDPCD.PAPC

6.正方體ABCO-ABCIA的棱長為2,MN是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2個點之

間的線段成為球的弦），P為正方體表面上的動點，當弦MN最長時，麗?麗的最大值為

（）

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，邊長為1的正方形A8。所在平面與正方形他比所在平面互相垂直，動點、M,N

分別在正方形對角線AC和8廠上移動，且。知=3%=4（0＜々＜應(yīng)）.則下列結(jié)論正確的是

（）

A.CN=MEB.當時，ME與CN相交

C.異面直線4c與6廠所成的角為45。D.MN始終與平面BCE平行

8.如圖，已知正方體ABGR的校長為1,E,F分別是樓相＞,8?的中點.若點「

為側(cè)面正方形ADAA內(nèi)（含邊界）的動點，且存在使用力=才能+），就成立，則用P

與側(cè)面ADAA所成角的正切值最大為（）

A.2B.1D.0

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分

9.如圖，正方體ABC。-4乃01。的棱長為〃，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點M在線段4。上，則不存在點“滿足

B.若點A/在線段4。上，則四面體M-C與。的體積為定值

C.若點M在線段AO上，則異面直線與CB,所成角的取值范圍是[30。，900]

D.若點M是正方體表面上的動點，則滿足AM=缶的動點軌跡長度為深

10.如圖，在菱形ABCD中，AB=—,/班。=60°,沿對角線BD將△A3。折起，使點

3

A,C之間的距離為2啦，若P，Q分別為直線BD,CA上的動點，則下列說法正確的是（）

A.當AQ=QC,4"時，點D到直線PQ的距離為邛

B.線段PQ的最小值為友

C.平面A8￡）_L平面BCD

D.當P,Q分別為線段BD,CA的中點時。，PQ與AD所成角的余弦值為亞

4

11.已知直三棱柱ABC—A&G中，AB工BC,AB=BC=BB\,。為的中點.點。滿足

麗=函,其中4耳0,1],則（）

A.對V4w[0,l]時，都有人尸，。4

B.當4=g時，直線AP與八8所成的角是30°

C.當時，直線AP與平面4&G所成的角的正切值半

D.當義=<時，直線AP與。6相交于一點0,則黑=:

12.兩個全等的等腰直角三角形A8C和等腰直角三角形OC8所在兩個平面互相垂直，其中,

則/48。=/。8=三，BC=2,則()

2

A.異面直線3。和AC所成的角為?B.平面AC￡>_L平面河

Q

C.四面體A8CO外接球的表面積為12"D.%面體例0=§

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.在直三棱柱ABC-A媯G中，M=4,二面角的大小為60。，點3到平面

ACGA的距離為石，點C到平面ABBIA的距離為2百，則異面直線8。與AG所成角的

余弦值為.

14.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，P4_L平面ABC。，/8AO=90，PA=AB=BC=-AD=\,

2

BC//AD,已知。是四邊形4BCQ內(nèi)部一點，且二面角Q-PD-A的平面角大小為則

4

△ADQ的面積的取值范圍是.

15.如圖，四棱錐P-A8C。的底面是邊長為1的正方形，尸CJ_平面A8C。，且尸C=2,

若點E為PC的中點，則點D到平面ABE的距離為.

16.三棱錐O-A3C中，OA.OR、。。兩兩垂直，且Q4=O5=OC.給出下列四個命題:

①伊+麗+百-=3（可；

（2）BC（C4-CO）=0；

③（5+礪）和直的夾角為60；

④三棱鋌。-ABC的體積為，（族?正）正.

其中所有正確命題的序號為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.如圖，在直棱柱ABCD-A止IGDI中，AD〃BC,NBAD=90。，AC1BD,BC=1,

AD=AA)=3.

（1）證明：AC±BiD；

（2）求直線BCi與平面ACDi所成角的正弦值.

18.如圖所示.四棱柱ABC力-的棱長均為6,側(cè)棱與底面垂直，且N皿＞=60°,M

是側(cè)棱。。上的點，N是線段GR上的動點.

（1）若以D為坐標原點，以覺為y軸正方向，以而;為z軸正方向建立空間直角坐標系,

寫出點4的坐標；

（2）求點到平面ACM的距離；

（3）若平面M4c與平面ACN夾角的余弦值為跡，試確定點N的位置.

10

19.如圖所示，在四棱錐P-ABCO中，&）_1_底面ABCQ,底面ABC。是矩形，PD=CD=2,

AD=1,M是線段PC的中點.

（1）求證：AD_L平面PCZ）；

（2）求二面角M—8。—。的余弦值；

（3）求直線用和平面MBD所成角的正弦值

20.如圖，在三棱錐尸-ABC中，R4_L底面ABC,NBAC=90。.點D,E,N分別為棱PA,

PC,BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求二面角尸-￡)￡-8的余弦值.

21.如圖，在三棱柱中，Cqj■平面ABC,ACLBC，AC=BC=2,CC,=3,

點分別在棱AA和棱CG上，且A￡>=1,CE=2,M為棱A片的中點.

(1)求證：上BQ；

(2)求二面角8-瓦E-。的正弦值：

(3)求直線A片與平面。用七所成角的正弦值.

22.在三棱錐P-A8C中，平面P4C_L平面ABC,△PAC為等腰直角三角形，PA工PC,

ACA.BC,BC=2AC=4,M為AB的中點.

（1）求證：AC1PM.

（2）求PC與平面PAR所成角的正弦值.

PN

（3）在線段PB上是否存在點N,使得平面CNM_L平面PAB?若存在，求出PB的值；若

不存在，說明理由

答案及解析

1.【答案】A

建立如圖所示的空間直角坐標系得

。但」,。1

A（O,-1,O）,5（04,0）,5（0,0,石），

122J

設(shè)方,心的夾角為仇0<6><^

又屈=（OJG）,配=（#,—T，。

則cos”畫三=一旦

\AS\BC\4

因為0<夕隹

即SA與BC所成角的余弦值為邊

4

2.【答案】D

如圖，建立空間直角坐標系外>2.

由題意得41,0,0),設(shè)點”的坐標(0,y,z)(y>0,z>0),則麗=(—i,y,z).

由題意得與。ADC平行的棱所在直線的方向向量可分別取為2=(1,0,0),6=(0,1,0),

c=(0,0,1).

因為直線AM與所有的棱所成角相等，

所以|cos<AM,a>|=|cos<AM,b>|=|cos<AM,c>\,

因此畫d=畫同=西H,

yz

所以\三AM7\7二\AM\\—AM\■,w解得y=1,z=1,

所以點M的坐標(0JD,即為正方形OCGA對角線的交點,

因此加■=(-1,覃)，所以|AMI=V5.

3.【答案】D

底面A8C與側(cè)面E4C都是以AC為斜邊的等腰直角三角形,

則R/AA5C二肋小么。，所以01=VC=5A=BC

i&VA=VC=BA=BC=VB=2,

由石為線段4c的中點，

則VE=8V=夜，

由"2+8爐=丫82,

所以VEJ_￡B,

以E為原點，所為1軸，EC為y軸，￡丫為z軸，

建立空間直角坐標系，如圖所示：

z

AV-

/x

則c（o,&,o）,B（6O,O）,V（0,0,V2）,設(shè)網(wǎng)x,x-?0）,

VC=（0,-72,72）,麗=（?0,-及），EV=（0,0,V2）,而=卜6-五,&）,

設(shè)平面VBC的一個法向量而=（不%,乙），

則已竺二°,即陶d=。,

in-VB=0[夜X]-點4=0

令石=1,則y=?,4=1,

所以而=。,1,1）.

設(shè)平面VEF的一個法向量〃=（孫、2,Z2），

ml[n-EV=0NN[V2Z2=0

則1{—，即{/r-\（-,

/??VF=0x-x2+yx-yJ2\-y2+\/2z2=0

解得Z2=0,令%=1，則%=也-1，

X

所以^-Lhol,

平面VEF與平面VBC所成銳二面角的平面角為9,

一一也

貝1"帝砥乒

將分子、分母同除以可得

X

&2-2&X+2/12一6岳+6

4,/(X)=6X2-6V2X+6=6^X--三+3,

當％=李時，f(x)min=3,

則cose的最大值為：與=￡.

63

4.【答案】D

建立空間直角坐標系如下圖所示，設(shè)正方體的邊長為2：則

E(2,0,l),F(l,2,0),G(0,l,2),|EF|=Vl2+22+12=>76,|EG|=>/22+l2+l2=>/6,

|FG|=Vl2+l2+22,所以三角形￡FG是在三角形，①正確.

A(2,0,2),0(022),所以麗=(-2,1,0),市=(1,0,-2),設(shè)異面直線4G與C1尸所成角為a,

2_2

則cosa=所以aw60、②錯誤.

MMV5x>/5-5

A(2,0,0),C(0,2,0),AC=(-2,2,0),甌=(一1,2,-1),旃=(一2,1,1),設(shè)平面)G的法向量為

元?EF=-x+2y-2z=0

=(x,y,z),則，令x=l得y=l,z=l,所以［=(1,1,1),由于

??EG=-2x+y-z=0

ACw=-2+2=0，所以③正確.

綜上所述，正確的命題序號為①③.

故選：D

5.【答案】B

解：設(shè)/<4=AB=1,因為如_1_平面ABCD,所以必_LAC,PA±AB,PA上BD,PAIBC,

又底面A8C￡)是正方形，所以BO_LAC,AB-AC=lxlxcos-=—,

42

對于A,BDPC=BD(PA+AC)=BDPA+BDAC=0+0=0：

對于B,方=例+期?例-砌

=PA+PAAC+ABPA+ABAC

/7

=1+04-0+1xV2x^=-=2；

2

對于C,BCPC=BC(PA+AC)=BCPA+BCAC=0+\xy/2x^=\.

對于D,PAPC=PA(PA+AC)=PA+PA-AC=1+0=1,

所以數(shù)量積最大的是麗.正，

故選：B.

6.【答案】B

連接尸O,如下圖所示：

設(shè)球心為0,則當弦MN的長度最大時，MN為球的直徑，

由向量線性運算可知

PMPN=（PO+OM^PO+ON）

=Pd2+POON+OMPO+OMON

=Pd2+Pd^ON+OM）+dMON

正方體ABCD-A居GA的棱長為2,則球的半徑為1,ON+OM=6,OMON=-l,

所以而2+河.（而+麗'）+司彳.麗

1?2

=PO-1，

而同w□，網(wǎng)

所以的2_]?（）2],

即麗?麗《0,2],

麗?麗的最大值為2

7.【答案】D

???邊長為1的正方形A8CD所在平面與正方形他所所在平面互相垂直

???以點B為坐標原點，麗所在直線為x軸，而所在直線為y軸，脛所在直線為z軸建立

空間直角坐標系,所以A(1,O,O),8(0,0,0),C(0,0J),E(0,l,0),廣(1,1,0)

CM=BN=a(O<a<&)

，過點M作MPJ_AB于點P,連接EP,CN,ME,

則一堂。，N與a,專a,0

CN:鬧停"標，

ME=J[*]+11-告]+1=J/一缶+2

顯然，CN與M石不,■定相等，選項A錯誤.

B選項：當°=立時;即M為AC中點，N為BF中點時，如圖所示，

2

此時處與CN相交‘故當時’處與CN不相交，選項B錯誤

C選項：AC=(-l,0,l),前=(1,1,0)

cos國歷"郎等號

???異面直線AC與3尸所成的角為60。，C選項錯誤

D選項:麗=(冬，冬,0卜件

。,0,1-2I」?！籥-\

222

平面BCE的法向量為7=(1,0,0)

a冬冬.；(1,0,0)=0

：.MNn=

?*-MN.Ln

???MN始終與平面BCE平行

???選項D正確

8.【答案】D

解：?.,存在X,yeR,使“=犬靛+),晶，BEC\BF=B,

二與?！ㄆ矫?￡廠,

設(shè)AA的中點為G,連接尸口，B0,AG,D\E,

則6G〃"A〃8E,BEu平面班戶，旦G不在平面班戶內(nèi),

所以〃平面3EF,同理AG//平面Bb,AGC\B}G=G,4GBQu平面4GA,

/.平面B[GA//平面班產(chǎn),

?.?點p為側(cè)面正方形4)AA內(nèi)(含邊界)動點，且平面BE產(chǎn)，

二點尸的軌跡為線段G4,

???正方體ABC?！狝5GA的楂長為1,E、G分別是校人。、AA的中點,

由題得幺尸片就是與側(cè)面ADD.A,所成角，

所以tanNAP4=±最大，則4/最小，即APLGA.

由等面積法得lx1=APx—^,「.AP=—,

23215

-L=V5

所以tan幺尸片最大值為亞

T

9.【答案】BD

解：對于A,因為當M在A。上運動時，從馬工平面4耳。。，CMu平面A&C￡>,

于是AR_LCM,所以存在點“滿足CMAR,所以A錯誤;

對于B,因為A。〃耳C，AO〃面B。。，又點M在線段4。上，所以以到面B。。，的距離

即為A。到面的距離，所以距離為定值，所以四面體M-C4R的體積為定值所以B

對；

對于C,以。為原點，建立以DA,DC,。。所在直線為X,丁，z軸的空間直角坐標系,

則點M(x,0,x),B(a,a,0),C(0,a,0),B}(a,a,a),

所以BM-(x-a,-a,x)?=(a,O,a),

_a

設(shè)異面直線BM與Cfi.所成角為仇則cos?=加色=g-幻+竺=',

\BM\|OB，yl(x-a)2+a2+x:?\l2a^Jx2-ax+a2

當x=：時，cos<9=0,夕=90。，

2

當時、cos^=l-e-ll+----(噫<ka),當x=0或x=a是，cos。的值最大為;，此時

2y(河尸2

0=60。，

所以的取值范圍是[60。，90°],所以C錯誤:

對于D,當點Af在平面BCC由內(nèi)時，由45_1_面BCC內(nèi)，BWu面8。。石，AB工BM,所

以有/W?=482+85/2，

所以8必=々，所以點M的軌跡是以。為圓心"為半徑的!圓弧，

同理點M在面44GA，CDDG時，軌跡也是。為半徑的:圓弧,

從而動點A/軌跡長度為3K2皿-筌，所以D正確.

42

故選：BD.

10.【答案】BCD

取8D的中點0,連接OAOC,由題意可知：OA=OC=2,

因為OA2+OC2=AC?,所以O(shè)4_L”，

又易知OA_LBROC_LBD,

因為a_L0C,OALBD,OCC\BD=O,

所以。4，平面8。。，

因為。Au平面

所以平面4由)_L平面8OC，故C正確；

以。為原點，OB,OC,OA分別為xy,z軸建立坐標系，

則8(￥，0,0),C(020),A(0,0,2),q-孥。。，

當AQ=QC,4PD=DB時,(2(0,1,1),P-y,0.0

,|吧閉5后

所以點D到直線PQ的距離為"=丁圖」花=亍，故A錯誤;

設(shè)P(a,0,0),Q(x,y,z),由以“麗得,Q(0t2-2AM),

|尸＜="/+(2_2/1)2+(2/1)2=4a2+8()―3J+2，

當時，故正確；

4=0,2=：|P(2|n.n=V2,B

當P，Q分別為線段BD,CA的中點時，

*0,0,0),0(0,1,1),P2=(O,1J),祝卜孚0,一2

設(shè)PQ與AD所成的角為0,

—2限

則I叫畫0欄4'

所以PQ與AD所成角的余弦值為亞，故D正確；

4

故選：BCD

II.【答案】ACD

以8ABe為乂y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)A笈=1,

其中A(LOJ)，用(ooi),8(0,0,0),G(oJi),

因為麗=2甌，所以尸（o,；u）,

A.因為4尸=（一1，42-1），°耳二（一3，-31），4008］=；-：％+；2-；=0,

所以*_L西，所以AP^Og,故正確;

B.當；l=g時，A^=f-l,1,-1],AB=(-l,0,0),所以

3

|cos<AP,Ag>|=.1—=亞手也

11

代6142'

所以直線4戶與A3所成的角不是30°,故錯誤;

C.當4=3時，幫=（一1］，一；）取平面人?。坏囊粋€法向量為［={0,0』）,

所以Icos<A^,n>\=I—=建，設(shè)直線AP與平面AB￡所成的角為8,

。6

Ll+l.Vi

V44

D.當時，如圖所示，P為B。中點,。為4。中點，連接0P,

1PQOP1

所以。尸〃的。=5的，所以就二麗=5,故正確,

故選：ACD.

12.【答案】AC

如圖，因為AASC"和△￡＞口?所在兩個平面互相垂直，4ABC=4DCB=],

則平面ABCJ_平面。C5,則AS,BC,8兩兩互相垂直.

因此可以把四面體O-ABC放在E方體中進行研究.易得異面直線刖和4c所成的角為不

故選項A正確；

以C為坐標原點，過點。且平行48的直線為X軸，CB,8所在的直線分別為丁軸、z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C(0,0,0),8(0,2,0),4(2,2,0),0(002),

易知平面ACO的一個法向量為而=(-1,1,0),平面45。的法向量為,二(0,1,1),正G=1H0，

故選項B錯誤：

四面體43co的外接球即為其所在正方體的外接球，易得外接球的直徑為正方體的體對角線,

即外接球的半徑r=G，則外接球的表面積S=4仃2=12乃，故選項C正確；

V4BCO=1^c.|CD|=p故選項D錯誤.

故選：AC.

I、\

13.【答案】叵

28

如圖所示，

由題意可知，直三棱柱A8C-A4G中，二面角B-A4I-C的大小為60。,

所以44C為二面角8-明一。的平面角，即Z&4C=60°,

因為點3到平面ACGA的距離為右，

即點B到直線AC的距離為石，

過點5作BOJ.AC于O,則BO=V5,4B=2,AO=1,

因為點C到平面A84A的距離為2b，即點C到直線A8的距離為2石，

又因為NfiAC=60°,A3=2,

所以8c=26，AB工BC，AC=4,CD=3,

以8為坐標原點，8cB4,84所在直線分別為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標系.

所以4（0,0,4）,C（2萬,0,0）,4（020）,G（2百,0,4）,

鴕=（26O，T，Aq=（273,-2,4）.

-4_V14

-728x732-28.

所以異面直線與AG所成角的余弦值為粵.

故答案為：巫

28

?.?小_L平面ABCD,/84。=90、以點A為坐標原點，A。、AB、期所在直線分別為X、

丁、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,0)、5(0,1,0),C(l,l,0)、0(2,0,0)、P(0,0,l),

設(shè)點Q(a,40),其中04aW2,

-llLftl___

設(shè)平面產(chǎn)。。的法向量為加二(x,y,z)，￡>P=(-2,0,l),DQ=(a-2,b,0),

m-DP=-2x+z=0一/、

則坑網(wǎng)="少+刀=0'取i可得吁W犯

易知平面PAD的一個法向量為n=(0,1,0),

V2

由已知條件可得|cos<m,n>\

"2'

lwihl府方+5b2

所以，2-a=?，即a+病=2,

a=2

直線CD上的點(x,y,0)滿足x+y=2,聯(lián)立，:解譯

b=0'

4=0

；=2,解得

聯(lián)立,2舊，

a=0b=-----

5

所以，點。的縱坐標b的取值范圍為

易知點。不在線段A。匕則be(o,竽］

所以，S^DQ~~

故答案為：(o,半］

15.【答案】立

2

以點C為坐標原點，8所在直線為x軸，C8所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立空

間直角坐標系C-型,如圖所示，則0(1,0,0),41J0),8(0,1,0),鳳0,0,1),從而

DA=(0,1,0),RA=(1,0,0),BE=(0,-1,1).

設(shè)平面ABE的一個法向量為3=(。力,。)，

n-BA=04=0

由法向量的性質(zhì)可得一二

n-BE=0-b+c=0

令c=l,則a=O,b=l,所以-=(0,1,1).

\DAn\_1_y[l

所以點D到平面ABE的距離d=\n\=^=T

故答案為：—

2

16?【答案】①②?

設(shè)。A=OB=OC=a,由于。4、OB、OC兩兩垂直,

以點0為坐標原點，。4、OB、。。所在立線分別為“、y、z軸建立空間宜角坐標系,

如下圖所示:

則0(0,0,0)、4(。,0,0)、3(0,4,0)、C(0,0M).

對于①，OA+OB+OC=(a^a)f所以，()+份+反/=3/=3(而丫，①正確;

對于②，CA-CO=OA=(a^O)fBC=(O,-a,a),貝I」而(無一否)=0,②正確;

對于③，9+麗=(4〃,())，CA=(aA-a),

__________(OA+OB\CA/i

cos<04+OB,GA>==---------7=

|0A+04同網(wǎng)22

-,0<<04+05,04><180,所以，(厲+方)和己的夾角為6(T,③正確；

對于④，A3=(-a,a,0),AC=(-a,0,a),BC=(Oy-a,a),則麗衣=/,

所以,就被硝網(wǎng)芻網(wǎng)三缶邛/,

而三棱錐O-ABC的體積為V=!X!O4.OB-OC=，/,④錯誤

326

故答案為：①②③.

17.【答案】

(1)證明見解析

(2)叵

7

【解析】

(1)先證明出AC_L平面B8Q。，即可證明4C_L片。；

(2)以A為坐標原點，AB,AD,AAi所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直

角坐標系.用向量法求解.

(1)

因為ABCD-AiB)CiDi是直棱柱，所以陰_L平面ABCD.

又ACu平面A8CO，故B4_L4C.

又己知八C_LE),平面BRRD,旦BB】cBD=B,故4CJ■平面

因為qOu平面88Q。，所以ACJ.8Q.

(2)

以A為坐標原點，AB,AD,AAi所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐

標系.

設(shè)AB=l,則A(0,0,0),B(t,0,0),Bi(t,0,3),C(t,1,0),Ci(t,1,3),D(0,

3,0),Di(0,3,3).

從而2方=(—I,3,—3),AC=(t,1,0),5D=(—t,3,0).

UUUUUULL

因為AC_LBD,所以ACBD=-l2+3+0=0,解得，或t=一6(舍去).

于是麗=(一6，3,-3),衣=(G，1,0).

---------lilium

ADy=(0,3,3),AC=(v3?1，0),4G=(0?1,0).

設(shè)落(x,y,z)是平面ACD1的一個法向量，

則卜更=。即/+y=。

I元A￡)i=0(3y+3z=0

令x=L則7=(1,一叢,73).

設(shè)直線BiCi與平面ACDi所成的角為0,

貝Usin9=|cos〈〉露〉曰芹需^二落字

I〃I,IO|C1|V//

故直線。平面ACDi所成的角的正弦值為也L

7

18.【答案】

(1)(3瘋3,6)

(2)d=6

(3)N(0,2,6)

【解析】

(1)易知△ABO是正三角形，取A8的中點E,連接OE,可得OE_LA8,OE_LQC,然后

以D為坐標原點，分別以詼，反,西為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系求

解；

(2)由(1)求得平面ACM的一個法向量而二(5,必,馬)及西的坐標，然后由d=華網(wǎng)

\m\

求解；

(3)設(shè)點N(0,Z6)(0W/lW6),得到兩=(0,2-6,6),求得平面ACV的一個法向量

?=(x2,y2,z2),然后由|cosW㈤上隨包=粵求解.

111||n|10

(1)

解：由題意可知，四邊形ABC。是菱形，又/皿＞=60°,連接4。,

所以△A3。是正三角形，

取A8的中點E,連接力E.

所以O(shè)E_L48,￡)EJL。。.

又因為四棱柱的側(cè)棱與底面垂直，所以。兩兩垂直，

以D為坐標原點，分別以派反，西為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.

已知直四棱柱ABCD-ABCR的棱長均為6,

因為A￡7/DC,且AE='QC=3,

2

所以￡>E=3百，

所以用的坐標為(3b,3,6)；

(2)

由⑴及題意,得相關(guān)點的坐標為。(0,0,0),436,-3,0),。(0,6,0),"(0,0,4),3(3有,3,6),

AC-(3>/3,9,O),AAf-(3石,3,4).

設(shè)平面ACM的一個法向量為所=區(qū),％,4),

則長竺=。,即卜3fx—,

[而?AM=0[-373^4-3y+44=0

令芭=,則y=1,4=,,

即平面ACM的一個法向量為m=(6,,

又碉*=(36,3,2),

所以點用到平面ACM的距離為_網(wǎng)

(3)

由(1)(2)及題意，設(shè)點N(0",6)(04；l<6),

則的=(0,4-6,6),

設(shè)平面ACN的?個法向量用=區(qū)，%，22),

亭二°,即-3石%2+9y2=0

則

n-CN=0(A-6)y2+6Z2=0

取十g則『石」,彳).

3y/10

則俅。s5用卜箭

~io~

化簡可得3分+284-68=0,

解得;1=2或義=一號,

因為04446,

所以九=2,

所以N(0,2,6),

故當點N位置在的線段上，與R的距離等于2時,

平面MAC與平面ACN夾角的余弦值為旭.

10

19.【答案】

(1)證明見解析

G

6

V6

9一

【解析】

(1)、利用線面垂直的判定證明；

(2)、建立空間直角坐標系，求出平面瓦必和平面3c。的法向量，利用向量夾角的余弦

計算二面角的余弦值；

(3)、求出而與平面M8￡>的法句量所成角的余弦值，即可導(dǎo)出直線PB和平面ME)所成

角的正弦值.

(1)

底面ABC。，A￡>u平面ABC。，.?.PD_LAZ),?.四邊形48CD是矩形，.?.￡>C_LA。

PDcDC=D、PDu平面PCD.DCu平面PCD,「.AD_L平面PCD

(2)

由(1)可知，DA.DC、OP兩兩垂直，

以。為坐標原點，D4所在直線為x軸，0c所在直線為V軸，DP所在直線為z軸，建立如

圖所示空間直角坐標系。一個2.

則。（0,0,0）,A（l,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,B（l,2,0）,

?.?“是線段尸。的中點，二由0,覃),

.?,AP=(-I,O,2),DB=(1,2,O),DA7=(O,1,1),DP=(O,O,2)

..、n-DB-0fx+2y=0/、

設(shè)平面友加的一個法向量為為=(x,y,z),貝葉_而0,y+z—o，「?萬二(-2,1,-1)

?「PD±底面ABCD,：.麗=(0,0,2)為平面88的一個法向量，

易知二面角M-8O-C的平面角為銳角，故二面角M-8Q-C的余弦值為業(yè).

6

(3)

?.?*0,0,2),6(120),.?.麗=(1,2、一2),由(2)可知平面皿加的一個法向量為:=(一2,1,-1)

設(shè)直線網(wǎng)和平面用30所成角為。丑0個，

疝』虱〃冏=峭=/H+2+21=與怎

直線網(wǎng)和平面M爾)所成角的正弦值為逅.

9

20.【答案】

(1)證明見解析；

⑵-也.

2

【解析】

(1)取人8中點尸，連接A/尸、NF,由已知可證叱〃平面NF“平面BDE,從

而得證平面M/W//平面進而得證MN〃平面3￡>E；

(2)由PAJ_底面ABC,NB4C=9O。，則以A為原點，4B、AC.A尸所在直線分別為

X、V、z釉建立空間直角坐標系，求出半血與平面也>￡的一個法向量，結(jié)合圖形

由向量法即可求解二面角P-OE-8的余弦值.

(1)

證明：取A5中點F,連接“f、NF,

?.?M為中點，

;.MFi/BD,

Q5￡)u平面MF《平面BDE,

二.也產(chǎn)〃平面BDE,

QN為BC中點,

:.NF11AC,

又。、石分別為AP、PC的中點，

:.DE//AC,則NF//DE,

?.Z)Eu平面3DE,NFU平面BDE,

.?.Nr〃平面

又MFf)NF=F,

平面MF7V"平面BDE,

,/MNu平面MFN,

MN〃平面3DE：

(2)

解：?.?Q4_L底面人8C，

???以A為原點，分別以A3、AC.AP所在直線為X、丁、z軸建立空間直角坐標系,

\'PA=AC=4,AB=2,

二.B(2,0,0),D(0,0,2),E(0,2,2),

則麗=(一2。2),BE=(-2,2,2)f

設(shè)平面BDE的一個法向最為五=(x,y,z),

in-BD=0-2x+2z=0…一

由，----9—2x+2y+2z=0'?。矩暗眉?(1，°」)，

in?BE=0

易知平面厄的一個法向量為7=(1,0,0),

-----tn-n\v2

所以8S"'…麗=彘=三

所以由圖可知二面角石-8的余弦值為-史.

2

21.【答案】

(1)證明見解析

⑵叵

6

⑶走

3

【解析】

以c為原點，分別以瓦瓦，函*的方向為“軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.

UULWI.■■

(1)計算出向量CM和5Q的坐標，得出G"-BO=0,即可證明出

(2)可知平面的一個法向量為無，計算出平面用團的一個法向量為/利用空間向

量法計算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果:

（3）利用空間向量法可求得更線Aq與平面所成角的正弦值.

（1）

依題意，以c為原點，分別以以、而、西的方向為％軸、y軸、z軸的正方向建立空間

直角坐標系（如圖），

可得。(0,0,0)、4(2,0,0)>8(0,2,0)、C,(0,0,3).

A(2,0,3)、勺(0,2,3)、。(2,0,1)、E(0,0,2)、"(1,1,3).

依題意，或=(1,1,0),麗=(2,-2,-2),

從而泵?麗=2-2+0=0,所以GM_L4。；

依題意，第=（20,0）是平面防舌的一個法向量,

函=（021）,說=（2,0,-1）.

設(shè)］=（x,y,z）為平面DB.E的法向量，

::￡?即2y+z=0

則〈

2x-z=0

不妨設(shè)x=l，可得〃=（L-1,2）.

CAn2

cos<卬CAn>“-前一-會-了-'

■■―/—一，?一