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專題2.21對(duì)稱圖形——圓(全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外,;點(diǎn)在圓上,;點(diǎn)在圓內(nèi),;【知識(shí)點(diǎn)二】四量定理在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.【知識(shí)點(diǎn)三】垂徑定理及其推論垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.【知識(shí)點(diǎn)四】圓周角定理及其推論圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角的一半.推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等.推論2:直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角所對(duì)的弦是直徑.推論3:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.【知識(shí)點(diǎn)五】直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系:(圓心到直線距離為,圓的半徑為)相交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn),;相切:直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn),;相離:直線與圓無(wú)公共點(diǎn),.【知識(shí)點(diǎn)六】直線和圓的位置關(guān)系切線定理:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法:直線與交點(diǎn)個(gè)數(shù);直線到圓心的距離與半徑關(guān)系;切線的判定定理.【知識(shí)點(diǎn)七】切線長(zhǎng)定理(1)切線長(zhǎng)定理:過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線,這兩條切線的夾角.(2)弦切角定理:弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角.【知識(shí)點(diǎn)八】確定圓的條件(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,這些圓的圓心在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.(2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.【知識(shí)點(diǎn)九】圓的外心與內(nèi)心(1)外心:三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.(2)銳角三角形的外心在三角形內(nèi),直角三角形的外心是斜邊重點(diǎn),鈍角三角形的外心在三角形外部。(3)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于它另外兩個(gè)角頂點(diǎn)與外心連線夾角的一半.(4)內(nèi)心:內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做內(nèi)心,它的性質(zhì)是到三角形三邊的距離相等?!局R(shí)點(diǎn)十】三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊關(guān)系(1)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于它另外兩個(gè)角頂點(diǎn)與內(nèi)心連線夾角減去再乘以2..(2)三角形周長(zhǎng)為,面積為,內(nèi)切圓半徑為,則.(3)直角三角形兩直角邊分別是,斜邊為,內(nèi)切圓半徑為,則.【知識(shí)點(diǎn)十一】相交弦定理、切割線定理、割線定理(1)相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖1,是的兩條弦且交于點(diǎn),則.圖1圖2圖3(2)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。如圖2,是的切線,線段交于兩點(diǎn),則.(3)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖3,線段交于兩點(diǎn),交于兩點(diǎn),則.【知識(shí)點(diǎn)十二】正多邊形與圓、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積公積(1)正變形的圓心角為度.(2)弧長(zhǎng)計(jì)算公式:在半徑為的圓中,的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)計(jì)算公式為.(3)如果扇形的半徑為,圓心角為,那么扇形面積的計(jì)算公式為.(4)如果扇形的半徑為,弧長(zhǎng)為,那么扇形面積的計(jì)算公式為.(5)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,側(cè)面展開(kāi)圖中的扇形圓心角為n°,則圓錐的側(cè)面積,圓錐的全面積:.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】圓的基礎(chǔ)知識(shí)【例1】(2022·江蘇南京·中考真題)如圖,在中,,點(diǎn)、在上,,過(guò)、、三點(diǎn)作,連接并延長(zhǎng),交于點(diǎn).(1)求證:;(2)若,,,求的半徑長(zhǎng).【變式1】(22-23九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,半徑為4,P為上任意一點(diǎn),E是的中點(diǎn),則的最大值是(
)A.6 B.7 C.8 D.9【變式2】(23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí))如圖,點(diǎn)A,B,C在上,四邊形是平行四邊形,若,則四邊形的面積為.【題型2】弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理【例2】(2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)O,A的與該直線相交于點(diǎn)C,連結(jié),.(1)求點(diǎn)E到x軸的距離.(2)連結(jié),求的長(zhǎng).【變式1】(2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè))如圖,在半徑為5的圓O中,,是互相垂直的兩條弦,垂足為P,且,則的長(zhǎng)為()A.3 B.4 C. D.【變式2】(2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))如圖,點(diǎn)在半徑長(zhǎng)為4的上,點(diǎn)分別是弦,弦的中點(diǎn),連接,若弧的度數(shù)為,弧的度數(shù)為,則的長(zhǎng)度為.【題型3】與圓有關(guān)的位置關(guān)系【例3】(2024·云南·模擬預(yù)測(cè))如圖,是的直徑,點(diǎn),在上,,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,平分.
(1)求證:是的切線;(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn),的半徑為,求的長(zhǎng).【變式1】(2023九年級(jí)下·上海·專題練習(xí))如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,,的半徑長(zhǎng)為,與相交,且點(diǎn)在外,那么的半徑長(zhǎng)可能是(
)
A.r=1 B. C. D.【變式2】(2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè))如圖,在中,是邊上的一點(diǎn),以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn),且是的切線.若半徑,,則的長(zhǎng)為.【題型4】圓中有關(guān)的計(jì)算【例4】(23-24九年級(jí)上·海南??凇て谀┤鐖D,的直徑為,弦為,的平分線交于點(diǎn)D,(1)求的度數(shù);(2)求的長(zhǎng);(3)求,的長(zhǎng).【變式1】(24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè))如圖,平面直角坐標(biāo)系中,正六邊形的頂點(diǎn)A,B在x軸上,頂點(diǎn)F在y軸上,若,則中心P的坐標(biāo)為(
)A. B.(1,) C.(2,2) D.(3,2)【變式2】(2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè))如圖,已知中,,,,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),以為直徑作,連接交于點(diǎn),則的最小值.【題型5】圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例5】(2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè))如圖,點(diǎn)是的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn),,繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接.(1)判斷直線與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若,求陰影部分的面積.【變式1】(2024·重慶·模擬預(yù)測(cè))如圖,內(nèi)接于,為的直徑,直線與相切于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),若,則的度數(shù)為(
)A. B. C. D.【變式2】(2024·浙江嘉興·二模)如圖,銳角三角形內(nèi)接于于點(diǎn)D,連結(jié)并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,D重合),設(shè)(m,n為正數(shù)),則m關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】(2024·江西·中考真題)如圖,是的直徑,,點(diǎn)C在線段上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)C的弦,將沿翻折交直線于點(diǎn)F,當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為正整數(shù)時(shí),線段的長(zhǎng)為.【例2】(2024·山東東營(yíng)·中考真題)如圖,內(nèi)接于,是的直徑,點(diǎn)在上,點(diǎn)是的中點(diǎn),,垂足為點(diǎn)D,的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證:是的切線;(2)若,,求線段的長(zhǎng).2、拓展延伸【例1】(2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè))如圖,中,,點(diǎn)O為的外心,,,是的內(nèi)切圓.則的長(zhǎng)為(
)A.2 B.3 C. D.【例2】(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))如圖,中,,D在線段上,連,以為的直徑交于P,,當(dāng)D在線段上自C向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是(
)A.3 B. C. D.專題2.21對(duì)稱圖形——圓(全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外,;點(diǎn)在圓上,;點(diǎn)在圓內(nèi),;【知識(shí)點(diǎn)二】四量定理在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.【知識(shí)點(diǎn)三】垂徑定理及其推論垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.【知識(shí)點(diǎn)四】圓周角定理及其推論圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角的一半.推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等.推論2:直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角所對(duì)的弦是直徑.推論3:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.【知識(shí)點(diǎn)五】直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系:(圓心到直線距離為,圓的半徑為)相交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn),;相切:直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn),;相離:直線與圓無(wú)公共點(diǎn),.【知識(shí)點(diǎn)六】直線和圓的位置關(guān)系切線定理:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法:直線與交點(diǎn)個(gè)數(shù);直線到圓心的距離與半徑關(guān)系;切線的判定定理.【知識(shí)點(diǎn)七】切線長(zhǎng)定理(1)切線長(zhǎng)定理:過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線,這兩條切線的夾角.(2)弦切角定理:弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角.【知識(shí)點(diǎn)八】確定圓的條件(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,這些圓的圓心在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.(2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.【知識(shí)點(diǎn)九】圓的外心與內(nèi)心(1)外心:三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.(2)銳角三角形的外心在三角形內(nèi),直角三角形的外心是斜邊重點(diǎn),鈍角三角形的外心在三角形外部。(3)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于它另外兩個(gè)角頂點(diǎn)與外心連線夾角的一半.(4)內(nèi)心:內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做內(nèi)心,它的性質(zhì)是到三角形三邊的距離相等?!局R(shí)點(diǎn)十】三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊關(guān)系(1)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于它另外兩個(gè)角頂點(diǎn)與內(nèi)心連線夾角減去再乘以2..(2)三角形周長(zhǎng)為,面積為,內(nèi)切圓半徑為,則.(3)直角三角形兩直角邊分別是,斜邊為,內(nèi)切圓半徑為,則.【知識(shí)點(diǎn)十一】相交弦定理、切割線定理、割線定理(1)相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖1,是的兩條弦且交于點(diǎn),則.圖1圖2圖3(2)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。如圖2,是的切線,線段交于兩點(diǎn),則.(3)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖3,線段交于兩點(diǎn),交于兩點(diǎn),則.【知識(shí)點(diǎn)十二】正多邊形與圓、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積公積(1)正變形的圓心角為度.(2)弧長(zhǎng)計(jì)算公式:在半徑為的圓中,的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)計(jì)算公式為.(3)如果扇形的半徑為,圓心角為,那么扇形面積的計(jì)算公式為.(4)如果扇形的半徑為,弧長(zhǎng)為,那么扇形面積的計(jì)算公式為.(5)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,側(cè)面展開(kāi)圖中的扇形圓心角為n°,則圓錐的側(cè)面積,圓錐的全面積:.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】圓的基礎(chǔ)知識(shí)【例1】(2022·江蘇南京·中考真題)如圖,在中,,點(diǎn)、在上,,過(guò)、、三點(diǎn)作,連接并延長(zhǎng),交于點(diǎn).(1)求證:;(2)若,,,求的半徑長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑為5【分析】(1)連接、、、,先證明,得到,再由,可得垂直平分,即,(2)設(shè)求的半徑為,由(1)可知為中點(diǎn),則,利用勾股定理求出,再求出,,,由勾股定理建立方程,解得,則的半徑為5.解:(1)證明:連接、、、,∵,∴,在和中,,∴,∴,又∵,∴垂直平分,即,(2)解:設(shè)求的半徑為,由(1)可知,∴為中點(diǎn),為中點(diǎn),∴,在中,,在中,,,,∵∴,解得,∴的半徑為5.【點(diǎn)撥】本題主要考查了三線合一定理,線段垂直平分線的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,圓的基本性質(zhì)等等,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式1】(22-23九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,半徑為4,P為上任意一點(diǎn),E是的中點(diǎn),則的最大值是(
)A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),三角形的中位線定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是利用中位線和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半輔助線,屬于中考選擇題中的壓軸題.如圖,連接,取的中點(diǎn),連接,.利用三角形的中位線定理可得,再求出OH,從而得出.當(dāng)點(diǎn)O、H、E三點(diǎn)共線,且點(diǎn)H在O、E之間時(shí),的最大值.解:如圖,連接,取的中點(diǎn),連接,.,,,,,,,∴當(dāng)點(diǎn)O、H、E三點(diǎn)共線,且點(diǎn)H在O、E之間時(shí),的最大值,故選:B.【變式2】(23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí))如圖,點(diǎn)A,B,C在上,四邊形是平行四邊形,若,則四邊形的面積為.【答案】【分析】證明四邊形是菱形,連接,得到是等邊三角形,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理,求出,利用菱形的面積公式進(jìn)行求解即可.解:∵點(diǎn)A,B,C在上,∴,∵四邊形是平行四邊形,∴四邊形是菱形,∴,連接,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),則,∴為等邊三角形,∴,∴,∴四邊形的面積為:;故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查菱形了圓的性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握菱形的判定方法以及等邊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【題型2】弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理【例2】(2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)O,A的與該直線相交于點(diǎn)C,連結(jié),.(1)求點(diǎn)E到x軸的距離.(2)連結(jié),求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】本題考查了垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理、勾股定理和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.(1)過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),先確定,再根據(jù)垂徑定理得到,然后利用勾股定理計(jì)算出即可;(2)連結(jié),,如圖,先求出,則可判斷為等腰直角三角形,所以,再根據(jù)圓周角定理得到,所以為等腰直角三角形,于是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng).解:(1)解:過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),如圖,當(dāng)時(shí),,解得,,,,在中,,點(diǎn)到軸的距離為;(2)連結(jié),,如圖,當(dāng)時(shí),,,,為等腰直角三角形,,,為等腰直角三角形,.【變式1】(2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè))如圖,在半徑為5的圓O中,,是互相垂直的兩條弦,垂足為P,且,則的長(zhǎng)為()A.3 B.4 C. D.【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理,作出輔助線是解題的關(guān)鍵.作于M,于N,連接,,首先利用勾股定理求出的長(zhǎng),然后判定四邊形是正方形即可得到答案.解:作于M,于N,連接,,由垂徑定理得勾股定理得:,弦互相垂直,,于M,于N,四邊形是矩形,,四邊形是正方形,故選:D.【變式2】(2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))如圖,點(diǎn)在半徑長(zhǎng)為4的上,點(diǎn)分別是弦,弦的中點(diǎn),連接,若弧的度數(shù)為,弧的度數(shù)為,則的長(zhǎng)度為.【答案】【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,三角形中位線定理以及勾股定理的運(yùn)用,題目的綜合性較強(qiáng),解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角,連接,作于點(diǎn),根據(jù)已知得,可得,,所以,再根據(jù)是的中位線,即可得出答案.解:連接,作于點(diǎn),∵弧的度數(shù)為,弧的度數(shù)為,∴,∵,∴,,∵,∴,∴,∴,∵點(diǎn)分別是弦,弦的中點(diǎn),∴是的中位線,∴.故答案為:.【題型3】與圓有關(guān)的位置關(guān)系【例3】(2024·云南·模擬預(yù)測(cè))如圖,是的直徑,點(diǎn),在上,,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,平分.
(1)求證:是的切線;(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn),的半徑為,求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理,切線的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識(shí).(1)連接,則,得到,結(jié)合平分可推出,根據(jù)平行線的性質(zhì)并結(jié)合,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),即可證明;(2)連接,則,由圓周角定理和角平分線的定義可推出是等邊三角形,得到,,推出,得到,最后由勾股定理即可求解.解:(1)證明:如圖,連接,則,
,平分,,,,
,,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn),,,即,是的半徑,是的切線;(2)解:如圖,連接,則,
由(1)知,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),,,
是等邊三角形,,,
由(1)知是的切線,,,
,,.【變式1】(2023九年級(jí)下·上海·專題練習(xí))如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,,的半徑長(zhǎng)為,與相交,且點(diǎn)在外,那么的半徑長(zhǎng)可能是(
)
A.r=1 B. C. D.【答案】B【分析】連接交于,根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng),從而求出的長(zhǎng),再根據(jù)相交兩圓的位置關(guān)系得出的范圍即可.解:連接交于,如圖,
在中,由勾股定理得:,則,,,與相交,且點(diǎn)在外,必須,即只有選項(xiàng)B符合題意,故選:B.【點(diǎn)撥】本題考查了相交兩圓的性質(zhì),點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,勾股定理等知識(shí)點(diǎn),能熟記相交兩圓的性質(zhì)和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.【變式2】(2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè))如圖,在中,是邊上的一點(diǎn),以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn),且是的切線.若半徑,,則的長(zhǎng)為.【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)—“圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑”,也考查了圓周角定理和勾股定理.掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解本題的關(guān)鍵.連接,如圖,先根據(jù)切線的性質(zhì)得到,則可計(jì)算出,再判斷為等邊三角形得到,接著利用圓周角定理得到,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng).解:連接,如圖,是的切線,,,,,,為等邊三角形,,為直徑,,.故答案為:.【題型4】圓中有關(guān)的計(jì)算【例4】(23-24九年級(jí)上·海南海口·期末)如圖,的直徑為,弦為,的平分線交于點(diǎn)D,(1)求的度數(shù);(2)求的長(zhǎng);(3)求,的長(zhǎng).【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念,勾股定理,角平分線的性質(zhì),熟記“直角所對(duì)的圓周角為”是解題關(guān)鍵.(1)直接根據(jù)圓周角定理即可求解;(2)根據(jù)勾股定理求解即可;(3)根據(jù)角平分線得出,再由同一圓內(nèi),圓周角和弦的關(guān)系確定,利用勾股定理即可求解解:(1)解:是的直徑,,;(2),;(3)是的平分線,,,在中,,,,,.【變式1】(24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè))如圖,平面直角坐標(biāo)系中,正六邊形的頂點(diǎn)A,B在x軸上,頂點(diǎn)F在y軸上,若,則中心P的坐標(biāo)為(
)A. B.(1,) C.(2,2) D.(3,2)【答案】A【分析】此題考查了正多邊形的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),勾股定理,連接,作于Q,由正六邊形的性質(zhì)得到,得到,勾股定理求出,再證得四邊形是矩形,得到,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)解:如圖,連接,作于Q,由正六邊形的性質(zhì)可得.在中,.∴.∵∴四邊形是矩形,∴,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【變式2】(2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè))如圖,已知中,,,,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),以為直徑作,連接交于點(diǎn),則的最小值.【答案】/【分析】連接,由以為直徑作,,,得,,即可得動(dòng)點(diǎn)在以中點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng),,在一直線上時(shí),,故.本題主要考查了勾股定理,圓周角定理,圓中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,解題關(guān)鍵是動(dòng)中抓不變.解:連接,由以為直徑作,,,得,,得動(dòng)點(diǎn)在以中點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng),,在一直線上時(shí),,故,即的最小值,故答案為:.【題型5】圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例5】(2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè))如圖,點(diǎn)是的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn),,繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接.(1)判斷直線與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若,求陰影部分的面積.【答案】(1)是的切線;見(jiàn)解析(2)【分析】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算,熟練切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.(1)連接,根據(jù)題意推出是等邊三角形,進(jìn)而推出是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到,,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)求出,則,根據(jù)切線的判定定理即可得解;(2)根據(jù)陰影部分的面積求解即可.解:(1)證明:如圖,連接,根據(jù)題意得,,,是等邊三角形,,,是等邊三角形,,,,,,,,,,是的半徑,是的切線;(2)解:,,,,,,陰影部分的面積.【變式1】(2024·重慶·模擬預(yù)測(cè))如圖,內(nèi)接于,為的直徑,直線與相切于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),若,則的度數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì),等邊對(duì)等角,直角三角形的兩個(gè)銳角互補(bǔ),連接,根據(jù)為的直徑,得出,進(jìn)而可得,再根據(jù)等邊對(duì)等角,得出,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,進(jìn)而即可求解.解:如圖所示,連接,∵為的直徑,∴,∵∴,又∵∴,∵,∴,∵直線與相切于點(diǎn)C,∴,∴,故選:B.【變式2】(2024·浙江嘉興·二模)如圖,銳角三角形內(nèi)接于于點(diǎn)D,連結(jié)并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,D重合),設(shè)(m,n為正數(shù)),則m關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為【答案】【分析】設(shè),得到,,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到,根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論.本題考查了三角形的外接圓與外心,三角形內(nèi)角和公式,正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.解:連接,設(shè),,,,,,,,,,故答案為:.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】(2024·江西·中考真題)如圖,是的直徑,,點(diǎn)C在線段上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)C的弦,將沿翻折交直線于點(diǎn)F,當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為正整數(shù)時(shí),線段的長(zhǎng)為.【答案】或或2【分析】本題考查了垂徑定理,勾股定理,折疊的性質(zhì),根據(jù),可得或2,利用勾股定理進(jìn)行解答即可,進(jìn)行分類討論
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